Ad. 1

I =

Z

x ln |x| dx

(x

2

+ 1)

2

=











u = ln |x| v

0

=

x

(x

2

+ 1)

2

u

0

=

1

x

v = −

1

2

1

x

2

+ 1











= −

ln |x|

2(x

2

+ 1)

+

Z

1

2x(x

2

+ 1)

dx

1

2x(x

2

+ 1)

=

(1 + x

2

) − x

2

2x(x

2

+ 1)

=

1

2x

−

x

2(x

2

+ 1)

I = −

ln |x|

2(x

2

+ 1)

+

1

2

ln |x| −

1

4

ln(x

2

+ 1) + C =

x

2

ln |x|

2(x

2

+ 1)

−

1

4

ln(x

2

+ 1) + C

I =

Z

ln |x| dx

(x + 2)

2

=











u = ln |x| v

0

=

1

(x + 2)

2

u

0

=

1

x

v = −

1

x + 2











= −

ln |x|

x + 2

+

Z

1

x(x + 2)

dx =

= −

ln |x|

x + 2

+

Z

1

2

 1

x

−

1

x + 2



dx = −

ln |x|

x + 2

+

1

2

ln |x| −

1

2

ln |x + 2| + C = −

ln |x|

x + 2

+

1

2

ln






x

x + 2






+ C

lub: =



−

1

x + 2

+

1

2



ln |x| −

1

2

ln |x + 2| + C =

x ln |x|

2(x + 2)

−

1

2

ln |x + 2| + C

I =

Z

arc tg

√

x dx ==







u = arc tg

√

x

v

0

= 1

u

0

=

1

1 + x

·

1

2

√

x

v = x







= x arc tg

√

x −

Z

√

x

2(1 + x)

dx =

=

√x = t, x = t

2

, dx = 2t dt

= x arc tg

√

x −

Z

t · 2t dt

2(1 + t

2

)

= x arc tg

√

x −

Z

t

2

dt

(1 + t

2

)

Ponieważ

t

2

(1 + t

2

)

=

t

2

+ 1 − 1

t

2

+ 1

= 1 −

1

t

2

+ 1

więc I = x arc tg

√

x − t + arc tg t + C = arc tg

√

x −

√

x + arc tg

√

x = (x + 1) arc tg

√

x −

√

x + C

I =

Z

x

2

ln(x

2

+x+2) dx =

(u = ln(x

2

+ x + 2) v

0

= x

2

u

0

=

2x + 1

x

2

+ x + 2

v =

1

3

x

3

)

=

1

3

x

3

ln(x

2

+x+2)−

Z

1

3

2x

4

+ x

3

x

2

+ x + 2

dx

Dzielenie daje:

2x

2

− x − 3

x

2

+ x + 2

2x

4

+ x

3

− 2x

4

− 2x

3

− 4x

2

− x

3

− 4x

2

x

3

+ x

2

+ 2x

− 3x

2

+ 2x

3x

2

+ 3x + 6

5x + 6

Z

2x

4

+ x

3

x

2

+ x + 2

dx =

Z



2x

2

− x − 3 +

5x + 6

x

2

+ x + 2



dx =

2

3

x

3

−

1

2

x

2

− 3x +

Z

5
2

(2x + 1) +

7
2

x

2

+ x + 1

dx =

=

2

3

x

3

−

1

2

x

2

−3x+

5

2

ln(x

2

+x+2)+

7

2

Z

dx

x +

1
2

2

+

7
4

=

2

3

x

3

−

1

2

x

2

−3x+

5

2

ln(x

2

+x+2)+

√

7 arc tg

2x + 1

√

7

+C

więc I =

1

3

x

3

ln(x

2

+ x + 2) −

2

9

x

3

+

1

6

x

2

+ x −

5

6

ln(x

2

+ x + 2) −

√

7

3

arc tg

2x + 1

√

7

+ C =

=

 1

3

x

3

−

5

6



ln(x

2

+ x + 2) −

x(4x

2

− 3x − 18)

18

−

√

7

3

arc tg

2x + 1

√

7

+ C

Z

(arc sin x)

3

dx =







u = (arc sin x)

3

v

0

= 1

u

0

= 3(arc sin x)

2

·

1

√

1 − x

2

v = x







= x(arc sin x)

3

−

Z

3x

√

1 − x

2

(arc sin x)

2

dx =

=











u = (arc sin x)

2

v

0

=

3 · (2x)

2

√

1 − x

2

u

0

= 2(arc sin x) ·

1

√

1 − x

2

v = −3

√

1 − x

2











= x(arc sin x)

3

+3

√

1 − x

2

(arc sin x)

2

−

Z

6 arc sin x dx =

=







u = 6 arc sin x v

0

= 1

u

0

=

6

√

1 − x

2

v = x







= x(arc sin x)

3

+ 3

√

1 − x

2

(arc sin x)

2

− 6x arc sin x − 6

√

1 − x

2

+ C

I =

Z

x

3

e

x

(x + 3)

2

dx

Dzielenie x

3

przez (x + 3)

2

= x

2

+ 6x + 9 daje

x − 6

x

2

+ 6x + 9

x

3

− x

3

− 6x

2

− 9x

− 6x

2

− 9x

6x

2

+ 36x + 54

27x + 54

więc

I =

Z



(x − 6)e

x

+

(27x + 54)e

x

(x + 3)

2



dx;

Tutaj

Z

(27x + 54)e

x

(x + 3)

2

dx =

Z

(27x + 84 − 27)e

x

(x + 3)

2

dx =

Z



27

x + 3

−

27

(x + 3)

2



e

x

dx

=

Z

27

x + 3

e

x

dx −

Z

27

(x + 3)

2

e

x

dx

=











u =

27

x + 3

v

0

= e

x

u

0

= −

27

(x + 3)

2

v = e

x











=

27

x + 3

e

x

+

Z

27

(x + 3)

2

e

x

dx −

Z

27

(x + 3)

2

e

x

dx =

=

27

x + 3

e

x

+ C

Więc I = xe

x

− e

x

− 6e

x

+

27

x + 3

e

x

+ C =



27

x + 3

+ x − 7



e

x

+ C

Ad. 2

Z

1

x

2

r

x + 1

x

dx =



















x + 1

x

= t

2

x =

1

t

2

− 1

x + 1 = xt

2

dx =

−2t

(t

2

− 1)

2

dt

x(1 − t

2

) = −1



















= −

Z

(t

2

−1)

2

t

2t

(t

2

− 1)

2

dt = −

Z

2t

2

dt =

= −

2

3

t

3

+ C = −

2

3

 x + 1

x



3/2

+ C

Ewentualnie, podstawienie u =

x + 1

x

= 1 +

1

x

, du = −

1

x

2

dx.

Z

1

x

r

x − 2

x

dx =



















x − 2

x

= t

2

x = −

2

t

2

− 1

x − 2 = xt

2

dx =

4t

(t

2

− 1)

2

dt

x(1 − t

2

) = 2



















=

Z

−

t

2

− 1

2

t

4t

(t

2

− 1)

2

dt = −

Z

2t

2

t

2

− 1

dt =

= −

Z

(2t

2

− 2) + 2

t

2

− 1

dt = −

Z



2 +

1

t − 1

−

1

t + 1



dt = −



2t + ln






t − 1

t + 1








+ C =

= −2

r

x − 2

x

− ln








q

x−2

x

− 1

q

x−2

x

+ 1








+ C = −2

r

x − 2

x

− ln

q

x−2

x

− 1



2




x−2

x

− 1




=

= −2

r

x − 2

x

− 2 ln







r

x − 2

x

− 1







+ ln 2 − ln |x| + C = −2

r

x − 2

x

− 2 ln







r

x − 2

x

− 1







− ln |x| + e

C

Z

dx

x − 1 −

√

x − 1

= (

√

x − 1 = t, x − 1 = t

2

, x = t

2

+ 1, dx = 2t dt) =

Z

2t dt

t

2

− t

=

Z

2

t − 1

dt =

= 2 ln |t − 1| + C = 2 ln




√

x − 1 − 1




+ C

I =

Z

arc tg 1 +

√

x

dx = (1 +

√

x = t,

√

x = t − 1, x = (t − 1)

2

, dx = 2(t − 1) dt)

=

Z

arc tg t · 2(t − 1) dt =

(u = arc tg t v

0

= 2t − 2

u

0

=

1

1 + t

2

v = t

2

− 2t

)

= (t

2

− 2t) arc tg t −

Z

t

2

− 2t

t

2

+ 1

dt

t

2

− 2t

t

2

+ 1

=

t

2

+ 1 − 2t − 1

t

2

+ 1

= 1 −

2t + 1

t

2

+ 1

I = (t

2

− 2t) arc tg t − t + ln(t

2

+ 1) + arc tg t + C

a ponieważ t

2

− 2t = 1 + 2

√

x + x − 2 − 2

√

x = x − 1 i t

2

+ 1 = x + 2

√

x + 1 + 1 = t

2

+ 2

√

x + 2

więc I = (x − 1) arc tg 1 +

√

x

− 1 −

√

x + ln x + 2

√

x + 2

+ arc tg 1 +

√

x

=

= x arc tg 1 +

√

x

−

√

x + ln x + 2

√

x + 2

+

e

C

Ad. 4

I =

Z

dx

sin

4

x + cos

4

x

sin

4

x + cos

4

x = (sin

2

x + cos

2

x)

2

− 2 sin

2

x cos

2

x = 1 −

1

2

sin

2

x cos

2

x;

I =

Z

dx

1 −

1
2

sin

2

2x

=

Z

2 dx

2 − sin

2

2x

=

=



tg x = t; sin 2x =

2t

1 + t

2

; x = arc tg t + kπ; dx =

1

1 + t

2

dt



=

=

Z

1

2 −

4t

2

1+t

2

·

1

1 + t

2

dt =

Z

1 + t

2

2(1 + t

2

)

2

− 4t

2

dt =

Z

t

2

+ 1

2(t

4

+ 1)

dt

t

2

+ 1

2(t

4

+ 1)

=

At + B

t

2

−

√

2t + 1

+

Ct + D

t

2

+

√

2t + 1

t

2

+ 1 = 2(At + B)(t

2

+

√

2t + 1) + 2(Ct + D)(t

2

−

√

2t + 1)

t

2

+ 1 =

2At

3

+2Bt

2

+2A

√

2t

2

+2B

√

2t+2At+2B+

+ 2Ct

3

+2Dt

2

−2C

√

2t

2

−2D

√

2t+2Ct+2D

t

3

:

2A

+ 2C

= 0

t

2

:

2A

√

2+2B

− 2C

√

2 + 2D

= 1

t :

2A

+2B

√

2 + 2C

− 2D

√

2 = 0

1 :

2B

+ 2D

= 1

Z pierwszego i trzeciego równania B = D, więc na mocy czwartego B = D =

1

4

.

Teraz z drugiego A − C = 0, co w połączeniu z pierwszym daje A = C = 0. Zatem

I =

Z



1

4(t

2

−

√

2t + 1)

+

1

4(t

2

+

√

2t + 1)



dt =

1

4

2

√

2

arc tg

2t +

√

2

√

2

+

1

4

2

√

2

arc tg

2t −

√

2

√

2

+ C =

=

1

2

√

2

arc tg



√

2t + 1



+

1

2

√

2

arc tg



√

2t − 1



+ C =

=

1

2

√

2

arc tg



√

2 tg x + 1



+

1

2

√

2

arc tg



√

2 tg x − 1



+ C

Ad. 7

Z

dx

1 + sin x + cos x

=



t = tg

x

2

; x = 2 arc tg t + 2kπ; dx =

2

1 + t

2

dt; sin x =

2t

1 + t

2

; cos x =

1 − t

2

1 + t

2

;

tg

x

2

=

1 − cos x

sin x

=

sin x

1 + cos x



=

Z

2

1+t

2

dt

1 +

2t

1+t

2

+

1−t

2

1+t

2

=

Z

2

1 + t

2

+ 2t + 1 − t

2

dt =

Z

2

2t + 2

dt =

=

Z

1

t + 1

dt = ln |t + 1| + C = ln





tg

x

2

+ 1





+ C = ln






1 − cos x

sin x

+ 1






+ C = ln






sin x − cos x + 1

sin x






+ C

lub: = ln






sin x

1 + cos x

+ 1






+ C = ln






sin x + cos x + 1

1 + cos x






+ C