1

3. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

3.1. Pochodna funkcji

W rozdziale tym będziemy zajmowali się funkcjami określonymi na przedzia-

łach otwartych przede wszystkim dlatego, aby nie zaciemniać rozważań zbytnimi
szczegółami. Definiowane pojęcia można uogólnić na przypadek przedziałów obu-
stronnie lub jednostronnie domkniętych, ale nie będzie to prowadziło do istotnie in-
nych pojęć. Kłopoty pojawią się jedynie w punktach końcowych, dlatego skoncentru-
jemy się na przedziałach obustronnie otwartych. Ponieważ pojęcie pochodnej, które za
chwilę podamy, ma charakter lokalny, tzn. ma sens w pewnym otoczeniu wybranego
punktu, więc jest bez znaczenia na jakim zbiorze zdefiniowana jest funkcja „daleko”
od ustalonego punktu, w szczególności dziedziną może być suma dwóch lub kilku
przedziałów. Ponadto przedziałem otwartym jest również zbiór wszystkich liczb rze-
czywistych, a więc ten przypadek również będzie uwzględniony. Po tych kilku uwa-
gach natury technicznej przejdźmy do głównego wątku, który rozpoczniemy od defi-
nicji pochodnej.

Definicja 3.1.1

Niech funkcja f będzie określona na przedziale otwartym:

(

)

R

b

a

f

→

,

:

, nato-

miast

0

x

jest ustalonym punktem dziedziny

(

)

b

a

x

,

0

∈

, zaś

0

≠

h

h niech będzie taką

liczbą, że

(

)

b

a

h

x

,

0

∈

+

. Jeżeli istnieje skończona granica:

(

)

( )

h

x

f

h

x

f

h

0

0

0

lim

−

+

→

to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x

0

i oznaczamy symbolem

( )

0

x

f ′

. Wy-

rażenie stojące pod znakiem granicy:

(

)

( )

h

x

f

h

x

f

0

0

−

+

nazywa się ilorazem różnico-

wym i oznacza się je symbolem:

(

)

x

h

x

f

∆

∆

,

0

.

W podanej definicji punkt x

0

, w którym liczymy pochodną jest ustalony, wtedy

punkt

h

x +

0

jest jakimś innym punktem dziedziny, gdyż spełnia warunek

(

)

b

a

h

x

,

0

∈

+

. W ten sposób iloraz różnicowy można traktować jako pewną funkcję

zmiennej h. Natomiast pochodna jest granicą tej funkcji liczoną względem zmiennej h.
W myśl podanej definicji pochodna w punkcie jest liczbą, ponieważ granica ma być
skończona, a x

0

jest konkretnym punktem. Pochodna funkcji w punkcie może nie ist-

nieć z dwóch powodów: albo granica ilorazu różnicowego nie istnieje, albo nie jest
skończona.

Niekiedy pochodną funkcji w punkcie oznacza się symbolem

( )

dx

x

df

0

, w którym

pozioma kreska nie oznacza kreski ułamkowej, chociaż jak się później okaże wygod-
nie jest czasami zapomnieć o tym i traktować ten symbol jako dzielenie dwóch wyra-
żeń. W tym rozdziale będziemy jednak unikali tego symbolu i korzystali z tego, które-

2

go użyliśmy w definicji. Do wspomnianego oznaczenia powrócimy w rozdziale po-
święconym równaniom różniczkowym.

Definicja 3.1.2

Funkcja f, która ma pochodną w każdym punkcie podzbioru X dziedziny nazy-

wa się funkcją różniczkowalną na zbiorze X. Natomiast odwzorowanie, które każdemu
punktowi

X

x ∈

przyporządkowuje pochodną funkcji f w tym punkcie oznaczamy

symbolem f ′ i nazywamy pochodną funkcji f na zbiorze X.

Z przytoczonej definicji wynika, że dziedziny wyjściowej funkcji i jej pochod-

nej mogą być różne. W niektórych punktach dziedziny funkcji f jej pochodna może nie
istnieć z powodów wspomnianych wyżej. Pochodna funkcji w punkcie ma przejrzystą
interpretację geometryczną.

Rozważmy fragment wykresu funkcji i pęk prostych wychodzących z jednego i

tego samego punktu

( )

(

)

0

0

,

x

f

x

, sytuację taką ilustruje rysunek.

Rys. 3.1.1

Geometryczna interpretacja pochodnej funkcji w punkcie.

Przejście do granicy z h dążącym do zera, przy ustalonym x

0

, oznacza, że prawy punkt

(w kontekście rysunku) rozważanych prostych zbliża się do punktu

( )

(

)

0

0

,

x

f

x

i w

granicy (jeśli granica istnieje) pokryje się z nim. Tak otrzymana „graniczna” prosta z
definicji nazywa się styczną do krzywej (będącej w naszym przypadku wykresem
funkcji f) w punkcie x

0

. Znane z elementarnego kursu matematyki określenie stycznej,

jako prostej mającej z krzywą jeden punkt wspólny, w ogólnym przypadku może pro-
wadzić na manowce. Przede wszystkim z dwóch powodów. Po pierwsze, często zdarza
się, że istnieje nieskończenie wiele prostych mających z zadaną krzywą jeden punkt
wspólny. Dlatego taka definicja nie zadaje stycznej jednoznacznie. Jako przykład roz-
ważmy wykres funkcji

( )

2

x

x

f

=

i punkt będący początkiem układu współrzędnych.

Jak pokazuje rysunek, istnieje nieskończenie wiele prostych przecinających parabolę
w tym punkcie, ale tylko jedna spełnia podaną definicję. Jest nią oś OX

x

0

+ h

x

0

C

B

A

x

0

+ h’

x

0

+ h’’

x

( )

x

f

( )

0

x

f

(

)

h

x

f

+

0

3

Rys. 3.1.2

Spośród wszystkich prostych, które przecinają parabolę w jedynym

punkcie, którym jest początek układu współrzędnych, tylko jedna jest granczną
postacią siecznych - jest to oś OX. I to właśnie ta prosta jest styczną w tym punkcie.

Po drugie, „szkolna” definicja nie uwzględnia stycznej do prostej. Natomiast z wpro-
wadzonego przez nas określenia wynika, że styczną do prostej jest ta sama prosta, a
więc punktów wspólnych jest nieskończenie wiele.

Wcześniej wspomnieliśmy, że pochodna w punkcie jest liczbą, zobaczmy więc

jaki ma sens. Na rys. 3.1.1 grubszymi liniami wyróżniono pewne odcinki. I tak, odci-
nek zaznaczony na osi OY ma długość równą

(

)

( )

0

0

x

f

h

x

f

−

+

i jest ona równa długo-

ści przyprostokątnej BC w trójkącie ABC. Podobnie na osi OX wyróżniony odcinek ma
długość równą h i jest ona równa długości BC podstawy (druga przyprostokątna) trój-
kąta ABC. Stosunek długości tych odcinków jest ilorazem różnicowym i dla cięciwy
przechodzącej przez punkty A i C jest równy tangensowi kąta, jaki tworzy ona z osią
OX

. Dla siecznej, w której zawiera się rozważana cięciwa, liczba ta nazywa się jej

współczynnikiem kierunkowym. Przechodząc do granicy, a więc biorąc coraz mniej-
sze wartości h, otrzymujemy współczynniki kierunkowe siecznych, których prawy
punkt zbliża się do punktu A. W granicy, gdy sieczna stanie się styczną, iloraz różni-
cowy będzie współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie
x

0

. Sama styczna będzie miała równanie:

( )(

)

( )

0

0

0

x

f

x

x

x

f

y

+

−

′

=

które łatwo otrzymać znając współczynnik kierunkowy (czyli

( )

0

x

f ′

) oraz wiedząc, że

prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych

( )

(

)

0

0

,

x

f

x

. Można w tym miejscu

stwierdzić, że geometryczny warunek istnienia pochodnej funkcji w punkcie jest wa-
runkiem na istnienie stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Prostym przykładem
funkcji, która nie ma stycznej w punkcie

0

=

x

jest funkcja

( )

x

x

f

=

, jej wykres

przedstawia rysunek.

0

Y

X

4

Rys. 3.1.3

Przykład funkcji, która w jednym punkcie nie jest różniczkowalna. Brak

pochodnej wynika z niejednoznaczności w wyznaczaniu stycznej do wykresu.

Liniami przerywanymi zaznaczono przedłużenia prostych, z których składa się

wykres funkcji, i które „pretendują” do roli stycznych. Jeżeli rozważamy prawą część
wykresu, to z definicji, jako styczną, otrzymamy inną prostą niż wtedy, gdy rozważa-
my lewą część wykresu. Owa niejednoznaczność jest powodem tego, że styczna w
początku układu w ogóle nie istnieje. Należy pamiętać, że pochodna w punkcie jest
granicą, a granica jest tylko jedna.

Podobna sytuacja ma miejsce wtedy, gdy funkcja nie jest w jakimś punkcie cią-

gła. Szczególny przypadek funkcji nieciągłej w jednym punkcie pokazuje rysunek.

Rys. 3.1.4

Nieciągłość funkcji w punkcie jest powodem nieistnienia jednoznacznie

określonej stycznej, a to oznacza, że w tym punkcie funkcja nie ma pochodnej.

W punkcie nieciągłości można narysować dwie proste. Pochyła prosta jest granicą cię-
ciw, których ustalonym punktem jest punkt nieciągłości, a drugi, ten który dąży do
pierwszego, leży na prawej części wykresu. Jeżeli jednak „ruchomy” punkt będzie
znajdował się na lewej części wykresu, to graniczną cięciwą będzie prosta pionowa.
Nie dość, że inna niż poprzednia, to jeszcze na dodatek granica ilorazu różnicowego
będzie w tym przypadku równa nieskończoności, a w definicji pochodnej granica musi
być skończona Przytoczony przykład jest ilustracją pierwszego twierdzenia dotyczą-
cego istnienia pochodnej.

( )

x

x

f

=

x

5

Twierdzenie

(o warunku koniecznym istnienia pochodnej)

Jeżeli funkcja

(

)

R

b

a

f

→

,

:

ma pochodną w punkcie

(

)

b

a

x

,

0

∈

, to jest w tym

punkcie ciągła.

Sformułowaliśmy w ten sposób warunek konieczny istnienia pochodnej. Wyni-

ka z niego, że jeśli funkcja nie jest ciągła w jakimś punkcie, to na pewno nie ma w nim
pochodnej. Natomiast ciągłość w punkcie nie gwarantuje istnienia pochodnej. Przy-
kładem jest funkcja

( )

x

x

f

=

, która jest ciągła w początku układu współrzędnych, ale

nie ma w nim pochodnej. Dotychczasowe rozważania zilustrujemy przykładem.

Przykład 3.1.1

Rozważmy funkcję

( )

1

2

+

= x

x

f

, jej wykresem jest parabola położona syme-

trycznie względem osi OY i wierzchołku w punkcie

( )

1

,

0

. Policzmy z definicji po-

chodną tej funkcji w

1

0

=

x

, wartość funkcji w tym punkcie jest równa

( )

2

1 =

f

. Iloraz

różnicowy, dla

0

≠

h

, jest równy:

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

h

h

h

h

h

h

h

f

h

f

x

h

f

+

=

+

=

+

−

+

+

=

−

+

=

∆

∆

2

2

1

1

1

1

1

1

,

1

2

2

2

Obliczenie granicy otrzymanego wyrażenia nie przedstawia żadnej trudności, mamy

bowiem:

(

)

(

)

2

2

lim

,

1

lim

0

0

=

+

=

∆

∆

→

→

h

x

h

f

h

h

. Wynik ten oznacza, że pochodna funkcji f w

punkcie

1

0

=

x

jest równa 2:

( )

2

1 =

′

f

. Podstawiając znalezioną wartość pochodnej

oraz wartość funkcji do wzoru na styczną znajdujemy:

(

)

1

1

2

+

−

=

x

y

co po przekształceniu prowadzi do równania:

x

y

2

=

. Otrzymany wynika ilustruje

rysunek.

Rys. 3.1.5

Rysunek ilustrujący przykład wyznaczania stycznej do paraboli w punkcie

1

0

=

x

. Pochodna funkcji

( )

1

2

+

= x

x

f

w

1

0

=

x

jest równa

( )

2

1 =

′

f

i to jest wartość

współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu w tym punkcie.

Rozważana funkcja posiada pochodną w każdym punkcie dziedziny. Można się

o tym przekonać powtarzając powyższy rachunek, ale nie nadając punktowi x

0

kon-

kretnej wartości. Iloraz różnicowy przyjmuje wówczas postać:

x

y

2

=

1

0

=

x

( )

2

1 =

f

6

(

) (

)

(

)

h

x

h

h

h

x

h

x

h

x

x

h

x

f

+

=

+

=

+

−

+

=

∆

∆

0

2

0

2

0

2

0

0

2

2

1

,

Obliczenie granicy przy h dążącym do zera prowadzi do wyniku:

(

)

0

0

0

2

2

lim

x

h

x

h

=

+

→

.

Ponieważ rachunek ten można wykonać dla dowolnej wartości argumentu, więc zwy-
kle opuszcza się indeks 0 i wynik zapisuje się w postaci

( )

x

x

f

2

=

′

. Otrzymaliśmy w

ten sposób nową funkcję, która każdej wartości x przypisuje współczynnik kierunko-
wy stycznej do wykresu funkcji

( )

1

2

+

= x

x

f

w punkcie o odciętej x. Na przykład gdy

0

=

x

, to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu jest równy zeru, a to oznacza,

że kąt też jest równy zeru i styczna jest równoległa do osi OX. Rzeczywiście, styczna
w wierzchołku paraboli ma takie właśnie położenie. Jeżeli natomiast

2

=

x

, to współ-

czynnik kierunkowy będzie równy

( )

4

2

2

2

=

⋅

=

′

f

, co odpowiada kątowi spełniają-

cemu równanie

4

tg

=

α

, odczytanie z tablic prowadzi do wartości

0

4

84

′

=

o

α

.

Jest rzeczą oczywistą, że praktycznie nigdy nie oblicza się pochodnej funkcji z

definicji, korzysta się z własności pochodnych, podobnie jak miało to miejsce przy
obliczaniu granic ciągów lub funkcji. Podamy więc twierdzenie, które umożliwia prak-
tyczne obliczanie pochodnych.

Twierdzenie

(o własnościach pochodnej funkcji)

1. Pochodna funkcji stałej jest równa zeru:

( )

0

=

′

c

,

2. Jeżeli funkcje f i g określone są na przedziale

(

)

b

a,

i różniczkowalne w punkcie

(

)

b

a

x

,

∈

, to zachodzą wzory:

2a

( ) ( )

( )

x

f

c

x

cf

′

=

′

2b

(

) ( )

( )

( )

x

g

x

f

x

g

f

′

±

′

=

′

±

2c

(

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

f

′

+

′

=

′

⋅

2d

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

[

]

2

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

f

′

−

′

=

′













, przy założeniu, że

( )

0

≠

x

g

3. Jeżeli funkcja

(

)

(

)

d

c

b

a

f

,

,

:

→

jest różniczkowalna w punkcie

(

)

b

a

x

,

∈

, nato-

miast funkcja

(

)

R

d

c

g

→

,

:

ma pochodną w punkcie

( ) (

)

d

c

x

f

,

∈

, to istnieje po-

chodna superpozycji (złożenia)

f

g o

i jest równa:

(

) ( )

( )

(

)

( )

x

f

x

f

g

x

f

g

′

⋅

′

=

′

o

Powyższe własności warto zapamiętać, gdyż są bardzo użyteczne przy oblicza-

niu pochodnych, szczególnie wtedy, gdy znamy pochodne podstawowych funkcji ele-
mentarnych. Twierdzenie dotyczy reguł różniczkowania funkcji w punkcie. Jeżeli wy-
stępujące w nim funkcje są różniczkowalne, czyli posiadają pochodne w każdym
punkcie dziedziny, to oczywiście można je również stosować. Zanim przejdziemy do
dalszych rozważań podamy wartości pochodnych kilku funkcji, które szczególnie czę-
sto pojawiają się w zastosowaniach.

7

funkcja

( )

x

f

pochodna

( )

x

f ′

uwagi

( )

α

x

x

f

=

( )

1

−

=

′

α

α

x

x

f

Wykładnik

α

może być dowolną liczbą rzeczywi-

stą, szczególnymi przypadkami są:

( )

x

x

2

1

=

′

(

2

1

=

α

),

2

1

1

x

x

−

=

′













(

1

−

=

α

),

( )

x

x

2

2

=

′

(

2

=

α

).

( )

x

a

x

f

=

( )

a

a

x

f

x

ln

=

′

Dla

e

a = otrzymujemy

( )

x

x

e

e

=

′

.

( )

x

x

f

a

log

=

( )

x

e

x

f

a

log

=

′

Dla

e

a = otrzymujemy

(

)

x

x

1

ln

=

′

Wzór podany w pierwszym wierszu obejmuje bardzo dużą klasę funkcji. Wyni-

ka z niego, oraz ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji przez stałą (własność 2a w
twierdzenie), że pochodną funkcji stałej jest zero. Wiedząc, że

1

0

=

x

możemy zapisać

funkcję stałą w postaci:

0

x

c

c

⋅

=

, wtedy

( )

(

)

( )

0

0

1

0

0

0

=

⋅

⋅

=

′

=

′

⋅

=

′

−

x

c

x

c

x

c

c

.

Użyteczność pochodnej funkcji wynika przede wszystkim z podanych niżej

twierdzeń. W dalszej części zostanie pokazane, w jaki sposób można je zastosować do
badania własności różnych funkcji.

Twierdzenie

(

Rolle’a)

Niech funkcja

f będzie określona i ciągła na przedziale domkniętym

b

a,

i na

końcach przedziału przyjmuje równe wartości

( )

( )

b

f

a

f

=

; ponadto niech istnieje po-

chodna

( )

x

f ′

dla

x z przedziału otwartego

(

)

b

a,

, wtedy istnieje przynajmniej jeden

taki punkt

(

)

b

a

c

,

∈

, że

( )

0

=

′ c

f

Interpretację geometryczną twierdzenia Rolle’a pokazuje rysunek.

Rys. 3.1.6

Ilustracja twierdzenia Rolle’a: wewnątrz przedziału

b

a,

istnieje punkt

c,

w którym

( )

0

=

′ c

f

.

Warunek zerowania się pochodnej w punkcie wewnętrznym przedziału

(

)

b

a,

oznacza, że styczna w tym punkcie jest równoległa do osi odciętych, podobnie jak
styczna do paraboli w jej wierzchołku.

b

c

a

( )

( )

b

f

a

f

=

8

Zanim przejdziemy do omówienia dalszych twierdzeń dotyczących pochodnych

podamy definicję ekstremów funkcji.

Definicja 3.1.3

Mówimy, że funkcja

(

)

R

b

a

f

→

,

:

ma w punkcie

(

)

b

a

x

,

0

∈

maksimum lokal-

ne (względne), jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista

0

>

δ

, że

(

) (

)

b

a

x

x

,

,

0

0

⊂

+

−

δ

δ

oraz dla wszystkich

(

)

δ

δ

+

−

∈

0

0

,

x

x

x

spełniona jest nierówność:

( )

( )

0

x

f

x

f

≤

.

W punkcie

(

)

b

a

x

,

0

∈

funkcja

f ma minimum lokalne (względne), jeśli istnieje taka

liczba rzeczywista

0

>

δ

, że

(

) (

)

b

a

x

x

,

,

0

0

⊂

+

−

δ

δ

oraz dla wszystkich

(

)

δ

δ

+

−

∈

0

0

,

x

x

x

spełniona jest nierówność:

( )

( )

0

x

f

x

f

≥

Mówimy, że funkcja

f ma w jakimś punkcie ekstremum, jeżeli ma w tym punk-

cie minimum lokalne lub maksimum lokalne.

Maksimum (minimum) lokalne nazywa się silnym, jeśli w podanych wyżej nie-

równościach równość zachodzi tylko wtedy, gdy

0

x

x =

.

Przedział

(

) (

)

b

a

x

x

,

,

0

0

⊂

+

−

δ

δ

, występujący w powyższej definicji, nazywa

się otoczeniem punktu

x

0

. W wielu zastosowaniach praktycznych pojawia się potrzeba

znalezienia ekstremów jakiejś funkcji, gdyż mają one często konkretną i ważną inter-
pretację. Jednak dużo ważniejsza może okazać się znajomość maksimum lub mini-
mum globalnego, czyli największej lub najmniejszej wartości funkcji w całej dziedzi-
nie. Jednak to ostanie może nie istnieć. Powrócimy do tego zagadnienia w przykładzie
3.4.2. Przypadek, gdy funkcja posiada maksimum lub minimum globalne podany był
w

twierdzeniu Weierstrassa.

Jednym z wniosków wynikających z twierdzenia Rolle’a jest sformułowane ni-

żej twierdzenie.

Twierdzenie

(

Fermata)

Jeżeli funkcja

(

)

R

b

a

f

→

,

:

osiąga w punkcie

c dziedziny ekstremum i istnieje

pochodna w tym punkcie, to

( )

0

=

′ c

f

.

Twierdzenie to jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum (minimum lub

maksimum) funkcji. Jeszcze raz przypominamy, że z zerowania się pochodnej

( )

0

=

′ c

f

nie wynika, że w tym punkcie istnieje ekstremum. Twierdzenie mówi o

czymś odwrotnym, co może być również odczytane w ten sposób, że jeśli

( )

0

≠

′ c

f

, to

w punkcie

c na pewno nie ma ekstremum. Punkty, w których zeruje się pierwsza po-

chodna nazywa się stacjonarnymi. Z twierdzenia Fermata wynika, że ekstremów nale-
ży szukać tylko pomiędzy punktami stacjonarnymi. Powróćmy na chwilę do zagadnie-
nia znajdywania największej i najmniejszej wartości funkcji. Twierdzenie Weierstras-
sa nie mówiło jak takie wartości znaleźć. Okazuje się, że do ich zlokalizowania można
wykorzystać twierdzenie Fermata. Jeżeli mamy do czynienia z funkcją różniczkowalną

9

określoną na przedziale domkniętym, która posiada ekstrema globalne, to znajdują się
one wśród ekstremów lokalnych lub w punktach końcowych dziedziny.

Bardzo ważne twierdzenie, z którego wynika między innymi twierdzenie Rol-

le’a, zostało sformułowane przez Lagrange’a.

Twierdzenie

(

Lagrange’a)

Jeżeli funkcja

f jest określona i ciągła w przedziale domkniętym

b

a,

oraz jest

różniczkowalna w punktach przedziału otwartego

(

)

b

a,

, to istnieje taki punkt

(

)

b

a

c

,

∈

, że spełniona jest równość:

( )

( )

( )

c

f

a

b

a

f

b

f

′

=

−

−

Podane twierdzenie nazywa się niekiedy twierdzeniem o wartości średniej, bo-

wiem lewa strona równania jest przyrostem funkcji

( )

( )

a

f

b

f

−

podzielonym przez

długość przedziału

a

b − , na którym ten przyrost następuje. Jest to więc przyrost funk-

cji przypadający na jednostkę długości, a więc wartość średnia. Prawa strona równania
mówi natomiast, że owa wartość średnia jest równa współczynnikowi kierunkowemu
stycznej do wykresu funkcji w pewnym punkcie leżącym wewnątrz przedziału

(

)

b

a,

.

Interpretację geometryczną pokazuje rysunek.

Rys. 3.1.7

Ilustracja twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej.

Styczna do wykresu w punkcie o odciętej

c (górna linia) jest równoległa do siecz-

nej przechodzącej przez punkty końcowe o odciętych

a i b. Równoległość prostych

oznacza, że mają one jednakowe współczynniki kierunkowe. Styczna ma współczyn-

nik równy

( )

c

f ′

, natomiast sieczna równy

( )

( )

a

b

a

f

b

f

−

−

, stąd teza twierdzenia Lagran-

ge’a.

3.2 Pochodne wyższych rzędów

Jeżeli mamy do czynienia z funkcją różniczkowalną, to możemy przyporząd-

kować jej pochodną, która też jest pewną funkcją. Jeśli zapomnimy na chwilę, skąd się
ta funkcja wzięła i zastosujemy ponownie definicję 3.1.1, to otrzymamy pochodną
drugiego rzędu (potocznie mówi się: „drugą pochodną”):

a

c

b

( )

b

f

( )

c

f

( )

a

f

10

( )

(

)

( )

h

x

f

h

x

f

x

f

h

0

0

0

0

lim

′

−

+

′

=

′′

→

oczywiście, jeśli powyższa granica istnieje i jest skończona. Druga pochodna w sto-
sunku do pierwszej pochodnej ma takie same własności, jak pierwsza pochodna w od-
niesieniu do wyjściowej funkcji. Natomiast jej związek z wyjściową funkcją

f jest już

bardziej skomplikowany i będzie o tym mowa później. Kontynuując powyższe rozu-
mowanie, przy założeniach gwarantujących istnienie granic, możemy zdefiniować po-
chodne wyższych rzędów. I tak, dla pochodnej rzędu trzeciego mamy definicję:

( )

(

)

( )

h

x

f

h

x

f

x

f

h

0

0

0

0

lim

′′

−

+

′′

=

′′

′

→

W ogólności pochodna

n-tego rzędu wyraża się przez pochodną rzędu (n-1)-go:

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

h

x

f

h

x

f

x

f

n

n

h

n

0

1

0

1

0

0

lim

−

−

→

−

+

=

Może zdarzyć się, że w jakimś punkcie istnieją pochodne do pewnego rzędu n i

ta ostatnia pochodna nie jest już funkcją różniczkowalną w tym punkcie. Dalsze róż-
niczkowanie nie jest wówczas wykonalne. W innym przypadku mogą istnieć pochod-
ne dowolnie dużego rzędu, o takiej funkcji mówimy, że jest różniczkowalna nieskoń-
czenie wiele razy.

Przykład 3.2.1

Rozważmy przykład obliczania pochodnych wyższych rzędów. Na początek

weźmy funkcję

( )

3

x

x

f

=

, korzystając ze wzoru podanego w tabeli z łatwością obli-

czamy pierwszą pochodną:

( )

( )

2

3

3x

x

x

f

=

′

=

′

. Przy obliczaniu kolejnych pochodnych,

oprócz wspomnianego wzoru, skorzystamy z własności pochodnej iloczynu funkcji
przez stałą (własność 2a w twierdzeniu o własnościach pochodnej funkcji). I tak, druga
pochodna jest równa:

( )

( )

( )

x

x

x

x

x

f

6

2

3

3

3

2

2

=

⋅

=

′

=

′

=

′′

,

natomiast trzecia:

( ) ( )

( )

6

6

6

=

′

=

′

=

′′

′

x

x

x

f

.

Kolejna pochodna sprowadza się do różniczkowania funkcji stałej, a więc jest równa
zeru, podobnie jak wszystkie następne. Jest to więc przykład funkcji różniczkowalnej
nieskończenie wiele razy.

Innego pouczającego przykładu dostarcza funkcja:

( )

x

x

f

1

=

. Jeżeli zapiszemy

ją w postaci potęgowej

( )

1

−

= x

x

f

, to kolejne pochodne będziemy obliczali z tego sa-

mego wzoru, co i poprzednie pochodne . Mamy więc pierwszą pochodną:

11

( )

2

1

1

1

−

−

−

−

=

⋅

−

=

′

x

x

x

f

,

drugą:

( )

(

)

3

1

2

2

2

−

−

−

⋅

=

⋅

−

−

=

′′

x

x

x

f

,

i trzecią:

( )

(

)

4

1

3

6

3

2

−

−

−

⋅

−

=

⋅

−

⋅

=

′′

′

x

x

x

f

.

Można w tym miejscu spróbować uogólnić rachunki i wypisać wzór na po-

chodną dowolnego rzędu. W tym celu należy zauważyć, że znaki kolejnych pochod-
nych zmieniają się, a mianowicie: pochodne parzyste mają znak plus, a nieparzyste –

znak minus. Prawidłowość taką możemy zapisać wzorem:

( )

n

1

−

. Pomijając znak,

współczynnik stojący przy zmiennej ma postać iloczynu kolejnych liczb naturalnych
zaczynającego się od jedynki, a kończącego się na liczbie równej rzędowi pochodnej.
Jak już wiemy, iloczyn taki nazywa się silnią. Zauważmy dodatkowo, że potęga
zmiennej jest o jeden większa niż rząd pochodnej. Zbierając wszystkie te spostrzeżenia

razem możemy napisać wzór na pochodną n-tego rzędu:

( )

( )

(

)

1

!

1

+

−

−

=

n

n

n

x

n

f

lub w

równoważnej postaci:

( )

( ) ( )

1

n

x

!

1

+

−

=

n

x

f

n

n

.

Oczywiście, przeprowadzone rozumowanie nie jest dowodem, ale można poka-

zać, że odgadnięty wzór rzeczywiście jest prawdziwy. Rozważany przykład ponownie
dotyczy funkcji nieskończenie razy różniczkowalnej, ale w odróżnieniu od poprzed-
niego przypadku, tym razem kolejne pochodne, dowolnego rzędu, nie prowadzą do
funkcji stałej równej zeru. W szczególności chcąc znaleźć pochodną 10-go rzędu wy-
starczy podstawić do znalezionego wzoru

10

=

n

, w wyniku czego otrzymujemy:

( )

( )

11

10

10

!

10

1

x

f

−

=

. Obliczenie 10! jest dosyć uciążliwe, trzeba bowiem pomnożyć przez

siebie wszystkie liczby naturalne zaczynające się od 1, a kończące się na 10, dlatego

możemy wyrażenie to pozostawić bez zmiany. Ponieważ

( )

1

1

10

=

−

, więc w efekcie

końcowym mamy:

( )

( )

11

10

!

10

x

x

f

=

. Podstawiając do znalezionego wzoru odpowiednie n

możemy od razu wypisać postać pochodnej, ale uwaga, silnia szybko staje się bardzo
dużą liczbą, gdy wzrasta n, dlatego jej wartość może być trudna do policzenia.

3.3 Wybrane zastosowania rachunku różniczkowego

Przejdziemy teraz do omówienia niektórych zastosowań pochodnych. Jednym z

najważniejszych jest wzór Taylora. Pozwala on z jednej strony przybliżać niekiedy
nawet bardzo skomplikowane funkcje wielomianami, a z drugiej strony daje narzędzie
do przedstawiania funkcji w postaci szeregu potęgowego.

12

Niech funkcja

R

b

a

f

→

,

:

ma w przedziale

(

)

b

a,

pochodne do rzędu n

włącznie, i są one funkcjami ciągłymi. Istnieje również pochodna rzędu n+1, ale nie
musi być ciągła. Jeżeli punkt

(

)

b

a

x

,

0

∈

, to w otoczeniu tego punktu funkcję f można

przedstawić w postaci:

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

x

r

x

x

n

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f

n

n

+

−

+

+

−

′′

+

−

′

+

=

0

0

2

0

0

0

0

0

!

!

2

!

1

K

gdzie

( )

x

r

nazywa się resztą i między innymi spełnia warunek

( )

0

0

=

x

r

. Mówi ona o

tym na ile funkcja f, stojąca po lewej stronie, może być przybliżona wielomianem,
chociaż sama nie musi być wielomianem. Istnieje wiele wzorów na resztę, ale podamy
tzw. postać Lagrange’a:

( )

(

)

( )

(

)

(

)

1

0

1

!

1

+

+

−

+

=

n

n

x

x

n

c

f

x

r

gdzie punkt c jest pewnym punktem zawartym pomiędzy x

0

i x. Jeżeli funkcja f jest

wielomianem stopnia n, to reszta jest równa zeru i szereg po prawej stronie kończy się
na wyrazie, w którym n jest stopniem wielomianu. Szczególną postacią wzoru Taylo-
ra, w którym

0

0

=

x

, jest szereg Maclaurina:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x

r

x

n

f

x

f

x

f

f

x

f

n

n

+

+

+

′′

+

′

+

=

!

!

2

0

!

1

0

0

2

K

można go oczywiście zapisać wtedy, gdy zero jest punktem wewnętrznym dziedziny
(wewnętrznym oznacza, że istnieje otoczenie zera zawarte w dziedzinie).

Wzór Taylora jest podstawą, na której opierają się wszelkie obliczenia przybli-

żone, na przykład wykonywane przez kalkulatory. Kalkulator bowiem potrafi mnożyć,
dzielić, dodawać i odejmować, a więc obliczenie wartości dowolnej funkcji musi
sprowadzić do tych działań i robi to właśnie za pomocą wzoru Taylora. Rozważmy
funkcję

( )

x

e

x

f

=

, jest ona wprawdzie określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczy-

wistych, a nie na przedziale domkniętym, ale w tym przypadku nie przeszkadza to w
zastosowaniu wzoru Maclaurina. Ponieważ rozważana funkcja ma tą przyjemną wła-
sność, że jej pochodna jest równa jej samej, więc z łatwością znajdujemy pochodne
dowolnego rzędu. Ich wartość w zerze wynosi

1

0

=

e

, stąd:

( )

x

r

x

n

x

x

x

e

n

x

+

+

+

+

+

+

=

!

1

!

3

1

!

2

1

!

1

1

1

3

2

K

Jeżeli

0

>

x

, to reszta ma postać:

(

)

1

!

1

+

+

n

c

x

n

e

, gdzie

x

c <

<

0

. Można ją oszacować

zastępując

K

718

,

2

=

e

liczbą większą, na przykład 3:

( )

(

)

1

!

1

3

+

+

<

n

x

x

n

x

r

Otrzymane oszacowanie jest szczególnie wygodne wtedy, gdy chcemy obliczyć

wartość

x

e dla argumentu całkowitego. Warto w tym miejscu zdać sobie sprawę z fak-

tu, że najczęściej nie jest nam potrzebna ścisła wartość reszty, ale jedynie świadomość,
że jest ona mniejsza od ustalonej liczby rzutującej na dokładność obliczeń. Sama do-
kładność zależy od ilości wyrazów w rozwinięciu Maclaurina, a więc od n. Jeżeli kal-

13

kulator ma policzyć

2

e

, to na przykład biorąc dziewięć wyrazów otrzymamy obliczaną

wartość różniącą się od jej ścisłej wartości nie więcej niż o:

( )

003

,

0

2 <

r

Jeżeli potrzebna jest większa dokładność, to należy w szeregu Taylora lub Maclaurina
uwzględnić więcej wyrazów. Reszta ma bowiem tę własność, że maleje do zera wraz
ze wzrostem n. Gdy n dąży do nieskończoności i funkcja ma pochodne wszystkich
rzędów, to szereg staje się nieskończony. Jeżeli taka funkcja (nie koniecznie

x

e ) jest

sumą nieskończonego szeregu Taylora, to nazywamy ją funkcją analityczną. Pozosta-
jąc nadal przy funkcji

x

e i przechodząc w rozważanym szeregu z n dążącym do nie-

skończoności dostajemy:

∑

∞

=

=

+

+

+

+

=

0

3

2

!

!

3

1

!

2

1

!

1

1

1

n

n

x

n

x

x

x

x

e

K

Podobnie jak w przykładzie z szeregiem geometrycznym, tak i teraz, musimy zbadać,
kiedy szereg jest zbieżny. Okazuje się, że jego promień zbieżności jest równy nieskoń-
czoności, a więc dziedzina funkcji zadanej szeregiem jest taka sama jak dziedzina

x

e .

Równość zachodzi więc dla wszystkich liczb rzeczywistych. Rozważany przykład po-
kazał, w jaki sposób można funkcje przedstawiać w postaci sumy szeregu potęgowego
– tym sposobem jest rozwinięcie w szereg Taylora lub Maclaurina. Jednak jeszcze raz
podkreślamy, że takie przedstawienie, jeśli istnieje, nie musi być prawdziwe w całej
dziedzinie, przypadek funkcji eksponencjalnej

x

e jest raczej wyjątkiem. Jeżeli w po-

wyższym wzorze podstawimy w miejsce x jedynkę, to otrzymamy szereg często poja-
wiający się w literaturze, którego sumą jest liczba Eulera:

∑

∞

=

=

0

!

1

n

n

e

.

Innym zastosowaniem pochodnych jest reguła d’Hospitala, która pozwala obli-

czać granice nawet bardzo skomplikowanych funkcji. Niech funkcje f i g będą okre-
ślone na pewnym podzbiorze liczb rzeczywistych i mają pochodne w punkcie p nale-
żącym do dziedziny rozważanych funkcji. Jeżeli

( )

0

lim

=

→

x

f

p

x

i

( )

0

lim

=

→

x

g

p

x

oraz

( )

0

≠

′ p

g

, wówczas:

( )

( )

( )

( )

p

g

p

f

x

g

x

f

p

x

′

′

=

→

lim

.

Reguła brzmi dosyć niewinnie, ale ma bardzo poważne konsekwencje. Przede

wszystkim zauważmy, że granica ilorazu nie daje się policzyć przez bezpośrednie pod-
stawienie do funkcji f i g punktu p, pomimo że każda z tych funkcji jest w tym punk-

cie ciągła (co wynika z istnienia pochodnych). Otrzymalibyśmy bowiem wyrażenie

0

0

,

które nie ma sensu. Z podanego wzoru wynika, że można tę trudność ominąć licząc
pochodną funkcji stojącej w liczniku i w mianowniku. Zwracamy od razu uwagę, że
stosunek pochodnych nie ma nic wspólnego z pochodną ilorazu, bowiem ta ostatnia
wyraża się w bardziej skomplikowany sposób przez obie funkcje i ich pochodne. Po-
jawia się pytanie: Co zrobić, gdy dla pochodnych problem z zerowaniem się licznika i
mianownika powtarza się? Otóż okazuje się, że jeśli funkcje mają wyższe pochodne w

14

punkcie p, to procedurę obliczania pochodnych licznika i mianownika można konty-

nuować, ale tylko wtedy, gdy w każdym kroku pojawia się nieoznaczoność typu

0

0

.

Jeżeli po obliczeniu n-tej pochodnej otrzymamy

( )

( )

0

≠

p

g

n

, to powyższy wzór przy-

biera postać:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

p

g

p

f

x

g

x

f

n

n

p

x

=

→

lim

.

W sformułowanej regule d’Hospitala punkt p można zastąpić nieskończonością.

Wtedy oczywiście nie możemy jej wstawić jako argumentu, ale możemy obliczyć gra-
nicę stosunku pochodnych (pierwszego lub jeśli trzeba i istnieją, to wyższych rzędów)
i jeśli istnieje, to jest równa granicy wyjściowego wyrażenia:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x

g

x

f

x

g

x

f

n

n

x

x

±∞

→

±∞

→

= lim

lim

W szczególnym przypadku wzór może „zadziałać” już dla

1

=

n

. Kolejnym rozszerze-

niem reguły d’Hospitala jest zastosowanie jej do nieoznaczoności typu

∞

∞

. Stosuje się

ją dokładnie tak samo, jak dla nieoznaczoności

0

0

, dlatego nie będziemy powtarzać

powyższych wzorów. Dwa wspomniane typy wyrażeń nieoznaczonych nie są jedyny-
mi, jakie mogą się pojawić, ale inne można sprowadzić do powyższych za pomocą
prostych przekształceń algebraicznych. Omówimy je krótko.

Nieoznaczoność typu

∞

⋅

0

można przekształcić następująco:

( ) ( )

( )

( )

x

g

x

f

x

g

x

f

1

=

.

Jeżeli granicą

( )

x

g

jest nieskończoność, to granicą

( )

x

g

1

będzie zero i prawa strona

prowadzi do wyrażenia typu

0

0

. Można oczywiście wykonać nieco inne przekształce-

nie:

( ) ( )

( )

( )

x

f

x

g

x

g

x

f

1

=

prowadzące do nieoznaczoności

∞

∞

. Które z nich zastosować pozostaje do uznania

wykonującego obliczenia. Ponieważ w dalszym kroku trzeba liczyć pochodną licznika
i mianownika, to pierwszym kryterium powinno być to, w którym przypadku łatwiej
będzie obliczać pochodne.

Nieoznaczoność typu

∞

−

∞

sprowadza się do

0

0

za pomocą przekształcenia:

15

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

x

g

x

f

x

f

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

1

1

1

1

1

1

1

−

=

−

=

−

Łatwo sprawdzić, że wyrażenie po prawej stronie ma potrzebny nam typ nieoznaczo-
ności. W tym miejscu należy od razu zaznaczyć, że jeśli wyjściowe wyrażenie dąży do

∞

+

∞

lub

∞

−

∞

−

, to jego granicą jest odpowiednio

∞

+

i

∞

−

, te ostatnie wyrażenia

nie są bowiem nieoznaczonościami.

Nieoznaczoności typu

∞

1 ,

0

0 ,

0

∞ można sprowadzić do poprzednich korzystając z

ciągłości funkcji logarytm (najczęściej używa się logarytmu naturalnego). W tym celu
obliczamy logarytm wyrażenia, którego granicę chcemy znaleźć. Otrzymamy wtedy
funkcję, która będzie miała nieoznaczoność typu

0

⋅

∞

i dalsze postępowanie było już

omówione. Jednak po obliczeniu granicy z reguły d’Hospitala, powiedzmy, że jest ona
równa q, musimy obliczyć

q

e i to będzie szukana wartość.

Prowadzone rozważania zilustrujemy przykładem.

Przykład 3.3.1

Rozważmy funkcję zadaną wzorem:

x

x

1

i spróbujmy obliczyć jej granice przy x

dążącym do nieskończoności. Podstawa potęgi zmierza do ∞, a wykładnik do 0, jest to
więc wyrażenie nieoznaczone typu

0

∞ . Zgodnie z podaną procedurą obliczmy loga-

rytm naturalny, wówczas otrzymujemy:

x

x

x

x

ln

1

ln

1

=

. Skorzystaliśmy przy tym z wła-

sności logarytmu:

x

a

ln

ln

α

α

=

. Tym razem, przy x dążącym do nieskończoności, wy-

rażenie

x

x

ln

1

ma nieoznaczoność typu

∞

⋅

0

. Ale wystarczy zapisać je w postaci:

x

x

x

x

ln

ln

1

=

,

aby mieć do czynienia z nieoznaczonością typu

∞

∞

.

Stosując w tym momencie regułę

d’Hospitala otrzymujemy:

(

)

( )

0

1

lim

1

1

lim

ln

lim

ln

lim

=

=

=

′

′

=

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Nie jest to jednak granica wyjściowego wyrażenia

x

x

1

,

ale logarytmu z niego. Dlatego

obliczamy eksponens:

1

0

=

e

, co prowadzi do wyniku końcowego:

1

lim

1

=

∞

→

x

x

x

Zobaczmy co się stanie, gdybyśmy dokonali innego przekształcenia, prowadzącego do

nieoznaczoności

0

0

,

a mianowicie:

16

x

x

x

x

ln

1

1

ln

1

=

Pochodna licznika jest równa:

2

1

x

−

, natomiast mianownika:

(

)

x

x ⋅

−

2

ln

1

(proszę poli-

czyć ją samemu). W regule d’Hospitala trzeba obliczyć granicę ilorazu pochodnych,

łatwo zauważyć, że będzie ona nadal typu

0

0

.

Ponieważ rozważane funkcje można

różniczkować dalej, to wydawałoby się, że można kontynuować liczenie pochodnych.
Jednak okazuje się, że w wyniku tych obliczeń ciągle będziemy otrzymywali ten sam
typ nieoznaczoności. W takiej sytuacji należy spróbować zmienić rodzaj przekształce-
nia, a wtedy doszlibyśmy do pierwszego sposobu, który jak widzimy dał pożądany
wynik.

3.4. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Zajmiemy się teraz najważniejszym zastosowaniem rachunku różniczkowego

jakim jest badanie przebiegu zmienności funkcji. Często zdarza się, że znamy wzór
funkcji i potrzebny jest nam jej wykres, dlatego musimy znać wiele elementów jego
kształtu, a tym samym własności funkcji.

Zacznijmy od monotoniczności. Aby stwierdzić, czy funkcja jest rosnąca, czy

malejąca narysujmy fragment wykresu i zaznaczmy styczną. Oba przypadki ilustruje
rysunek.

Rys. 3.4. 1

Rysunek pokazuje w jaki sposób styczna do wykresu może charakteryzo-

wać monotoniczność funkcji.

Okazuje się, że funkcję rosnącą (jeśli jest różniczkowalna) można scharaktery-

zować, tym że styczna nachylona jest do osi odciętych pod kątem ostrym lub równym
zeru, a to oznacza, że jej współczynnik kierunkowy jest nieujemny. Z interpretacji
geometrycznej pochodnej wiemy, że współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu
funkcji w jakimś punkcie jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie. Wynika stąd,
że jeśli w pewnym obszarze dziedziny funkcja jest rosnąca, to jest w nim spełniona
nierówność:

( )

0

≥

′ x

f

. Zupełnie analogiczne rozumowanie prowadzi do wniosku, że

dla różniczkowalnej funkcji malejącej w jakimś obszarze zachodzi:

( )

0

≤

′ x

f

.

Kształt wykresu funkcji rosnącej może przybierać dwie formy:

Kąt ostry

Kąt rozwarty

17

Rys. 3.4 2

Dwa różne „wygięcia” wykresu funkcji rosnącej.

Podobnie dla funkcji malejącej:

Rys. 3.4 3

Dwa różne „wygięcia” funkcji malejącej.

Pojawia się pytanie o to, jak rozróżnić, z którym przypadkiem mamy do czy-

nienia. Okazuje się, że pomocna jest wówczas druga pochodna. Jednak zanim z niej
skorzystamy wprowadzimy nowe pojęcie. Zbiór (dla ustalenia uwagi niech będzie to
zbiór na płaszczyźnie) nazywa się wypukłym, jeżeli odcinek łączący dwa dowolne
punkty tego zbioru jest całkowicie zawarty w tym zbiorze. Przykładami figur wypu-
kłych jest koło, prostokąt, trójkąt itp. Przyjrzyjmy się rysunkowi.

Rys. 3.4 4

Koło jako przykład figury wypukłej.

Gdziekolwiek byśmy nie umieścili punktów końcowych odcinka, to zawsze będzie on
całkowicie zawarty w kole. Jeżeli zbiór nie jest wypukły, to oznacza, że jest wklęsły.
Wtedy istnieją odcinki (nie każdy, ale wystarczy przynajmniej jeden), które łączą
punkty zbioru i niektóre z jego punktów wewnętrznych leżą poza zbiorem. Przykład
figury, która nie jest wypukła pokazuje poniższy rysunek.

18

Rys. 3.4 5

Pokazana figura nie jest wypukła, istnieje bowiem odcinek, którego końce

należą do figury, ale część odcinka do niej nie należy.

Z rysunku widać, że istnieją odcinki zawarte całkowicie w figurze, ale są rów-

nież takie, których niektóre punkty do figury nie należą (ta część odcinka została za-
znaczona grubszą linią), a to już wystarcza aby figura był wklęsła. Powróćmy jednak
do wykresów funkcji. Otóż funkcja jest w jakimś obszarze dziedziny wypukła, jeśli
zbiór leżący nad wykresem jest wypukły. W myśl tej definicji wykres musi mieć jako-
ściowy przebieg pokazany na rysunkach:

Rys. 3.4 6

Fragmenty wykresów funkcji wypukłych.

Na obu rysunkach funkcja jest wypukła, ale na pierwszym jest malejąca, a na drugim
rosnąca. Dla funkcji wklęsłej przyjmujemy definicję podobną do poprzedniej. Funkcja
jest w jakimś obszarze dziedziny wklęsła, jeśli zbór leżący nad wykresem funkcji jest
wklęsły. Można się teraz domyśleć, jak wygląda wykres funkcji wklęsłej.

Rys. 3.4. 7

Fragmenty wykresów funkcji wklęsłych wraz z przykładami odcinków,

które decydują o tym, że nie są to funkcje wypukłe.

19

Podobnie jak poprzednio pierwszy rysunek pokazuje fragment funkcji malejącej, a
drugi rosnącej. Narysowano również przykłady odcinków, które decydują o tym, że
mamy do czynienia z funkcjami wklęsłymi.

Po takim wstępie terminologicznym możemy przejść do zastosowań pochodnej

w celu rozstrzygnięcia, jaki charakter ma badana funkcja. Okazuje się, że jeśli w ja-
kimś obszarze funkcja dwukrotnie różniczkowalna jest wypukła, to dla argumentów z
tego zbioru zachodzi:

( )

0

≥

′′ x

f

, jeżeli natomiast funkcja jest wklęsła, to spełniona jest

nierówność przeciwna:

( )

0

≤

′′ x

f

. Pojawia się pytanie: Co oznacza zerowanie się dru-

giej pochodnej

( )

0

=

′′ x

f

? Otóż punkt nazywa się punktem przegięcia, jeśli oddziela

część wykresu, w którym funkcja jest wypukła, od tej części wykresu, w którym jest
wklęsła. Dlatego zerowanie się drugiej pochodnej jest warunkiem koniecznym istnie-
nia punktu przegięcia, ale nie dostatecznym. Kryterium rozstrzygającym jest zmiana
charakteru funkcji – z wypukłej na wklęsłą lub odwrotnie, a więc zmiana znaku dru-
giej pochodnej przy „przejściu” przez punkt będący rozwiązaniem równania

( )

0

=

′′ x

f

(owo „przejście” będzie wyjaśnione za chwilę, przy okazji omawiania warunku dosta-
tecznego istnienia ekstremum) Jeżeli więc funkcja posiada punkty przegięcia, to nale-
ży ich szukać wśród rozwiązań równania

( )

0

=

′′ x

f

, ale to nie oznacza, że rozwiązania

tego równania są punktami przegięcia. Do innego sposobu rozstrzygnięcia, czy w da-
nym punkcie istnieje punkt przegięcia, czy nie, powrócimy nieco później.

Rys. 3.4. 8

W punktach przegięcia funkcja zmienia się z wypukłej na wklęsłą lub z

wklęsłej na wypukłą.

Kolejnymi charakterystycznymi punktami, jakie może posiadać wykres funkcji,

są ekstrema, czyli punkty, w których funkcja osiąga maksimum lub minimum lokalne.
Wcześniej sformułowany został warunek konieczny istnienia ekstremum (twierdzenie
Fermata)

( )

0

0

=

′ x

f

. Teraz zajmiemy się warunkiem dostatecznym. Lokalnie w pobli-

żu maksimum wykres funkcji ma przebieg pokazany na rysunku.

x

0

20

Rys. 3.4. 9

Lokalny kształt wykresu w pobliżu punktu, w którym funkcja ma maksi-

mum.

Okazuje się, że kryterium rozstrzygającym jest w tym przypadku zachowanie

się funkcji w otoczeniu maksimum. Zauważmy mianowicie, że dla

0

x

x <

funkcja jest

rosnąca, a dla

0

x

x >

funkcja jest malejąca. Monotoniczność funkcji charakteryzowana

była znakiem pochodnej stąd, aby stwierdzić czy funkcja ma maksimum trzeba poka-
zać, że przy „przejściu” przez punkt x

0

(zmieniamy argumenty od wartości trochę

mniejszych od x

0

do wartości trochę większych od x

0

) pochodna zmienia znak z do-

datniego na ujemny.

Po powyższych spostrzeżeniach łatwo jest już sformułować warunek dostatecz-

ny istnienia minimum. W jego pobliżu funkcja ma przebieg pokazany na rysunku.

Rys. 3.4. 10

Kształt wykresu w otoczeniu punktu, w którym funkcja osiąga minimum.

Tym razem dla

0

x

x <

funkcja jest malejąca, a dla

0

x

x >

rosnąca. Możemy więc

sformułować kryterium dostateczne istnienia minimum mówiąc, że przy „przejściu”
przez punkt x

0

pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni.

Oba przytoczone kryteria są rozstrzygające i należy jest stosować kiedy się tyl-

ko da. Tym bardziej, że przy badaniu monotoniczności musimy zbadać znaki pochod-
nej, a wtedy dosyć często powyższe kryteria niejako sprawdzają się same. Innego roz-
strzygnięcia dostarcza druga pochodna. Najczęściej stosuje się ją wtedy, gdy nie inte-
resuje nas monotoniczność, a jedynie istnienie lub nieistnienie ekstremów. Zastosowa-
nie kryterium polega na spostrzeżeniu, że w pobliżu maksimum funkcja jest wklęsła, a
więc w tym punkcie druga pochodna jest ujemna. Natomiast w otoczeniu minimum
funkcja jest wypukła, a zatem w tym punkcie druga pochodna jest dodatnia. Podsu-
mowując: jeżeli w punkcie x

0

spełnione są warunki:

( )

0

0

=

′ x

f

i

( )

0

0

<

′′ x

f

, to funkcja

osiąga w nim maksimum; jeżeli natomiast zachodzą warunki:

( )

0

0

=

′ x

f

i

( )

0

0

>

′′ x

f

,

to w punkcie tym funkcja posiada minimum. Kryterium wykorzystujące drugą po-
chodną ma swoje uogólnienie w przypadku badania ekstremów funkcji kilku zmien-
nych. Jednak trzymając się nadal funkcji jednej zmiennej trzeba sobie zdać sprawę, że
badanie drugiej pochodnej może nie dać rozstrzygnięcia. Może się bowiem okazać, że
w badanym punkcie oprócz pierwszej pochodnej zeruje się również druga pochodna.
Problem można rozstrzygnąć, jeżeli funkcja jest odpowiednio wiele razy różniczko-
walna (istnieje pochodna dostatecznie dużego rzędu). Jeżeli wszystkie pochodne funk-

x

0

21

cji f do rzędu

1

−

n

są w punkcie x

0

równe zeru:

( )

( )

(

)

( )

0

0

1

0

0

=

=

′′

=

′

−

x

f

x

f

x

f

n

K

,

natomiast pochodna rzędu n jest różna od zera

( )

( )

0

0

≠

x

f

n

, to mamy dwa przypadki:

1. jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to w x

0

funkcja ma punkt przegięcia,

2. jeżeli n jest liczbą parzystą i

( )

( )

0

0

>

x

f

n

, to funkcja ma w x

0

minimum, jeśli nato-

miast

( )

( )

0

0

<

x

f

n

, to funkcja ma w tym punkcie maksimum.

Zauważmy, że pojawił się również warunek dostateczny istnienia punktu przegię-

cia (pierwszy przypadek) odwołujący się do badania znaku pochodnej odpowiednio
wysokiego rzędu, w punkcie x

0

, a nie w jego otoczeniu.

Kolejnym szczegółem dotyczącym funkcji, jaki przydaje się przy badaniu prze-

biegu zmienności, jest istnienie tzw. asymptot. Pod pojęciem asymptoty ukośnej (jej
szczególnym przypadkiem jest asymptota pozioma) rozumieć będziemy prostą, do
której, mówiąc niezbyt ściśle, wykres funkcji zbliża się, gdy argumenty dążą do nie-
skończoności (plus lub minus nieskończoności). Zbliżanie się oznacza, że różnica po-
między wartościami funkcji i wartościami funkcji liniowej (której wykresem ma być
asymptota) dąży do zera, gdy x dąży do nieskończoności. Oczywiście, takie określenie
wymaga, aby dla pewnego a w dziedzinie zawarty był przedział

(

)

+∞

,

a

, jeśli liczymy

asymptotę w +∞ i przedział

(

)

a

,

∞

−

, gdy wyznaczamy asymptotę w -∞. Równanie

asymptoty ukośnej zapisujemy w postaci kierunkowej:

m

x

k

y

+

⋅

=

. Współczynniki k

i m wyznaczamy z równań:

( )

x

x

f

k

x

±∞

→

= lim

,

( )

(

)

x

k

x

f

m

x

⋅

−

=

±∞

→

lim

Wykres funkcji posiada asymptotę, gdy istnieją powyższe granice i są skończone
(żadna z nich nie może być równa nieskończoności). Wyrażenia te jednocześnie za-
wierają przypadek argumentu dążącego do plus i do minus nieskończoności, ale należy
rozpatrywać je oddzielnie, bowiem w jednym przypadku może istnieć asymptota, a w
drugim nie, lub mogą istnieć obie, ale ich równania będą inne. Jeżeli tak właśnie jest,
to nazywamy je asymptotami jednostronnymi, w przeciwnym przypadku mamy do
czynienia z asymptotą dwustronną. Najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy k, i
jeśli jest skończony, to w drugim kroku obliczamy wyraz wolny m. Jeżeli jest on licz-
bą, to dopiero wtedy możemy stwierdzić, że wykres ma asymptotę ukośną. W szcze-
gólnym przypadku może zajść:

0

=

k

, a to oznacza, że współczynnik m wyraża się

wzorem:

( )

x

f

m

x

±∞

→

= lim

. Jeżeli granica ta jest skończona, to równanie asymptoty ma

postać:

m

y =

− jest to prosta równoległa do osi odciętych, stąd nazwa asymptota po-

zioma. Zauważmy, że wtedy współczynnik m jest granicą badanej funkcji przy x dążą-
cym do nieskończoności. Poniższy rysunek pokazuje przykład wykresu funkcji, która
posiada asymptotę ukośną.

22

Rys. 3.4 11

Przykład funkcji, której wykres posiada asymptotę ukośną jednostronną.

Innym przypadkiem asymptoty, której istnienia nie da się stwierdzić omówio-

nym przed chwilą sposobem, jest asymptota pionowa, bowiem równanie kierunkowe
prostej

m

x

k

y

+

⋅

=

nie opisuje prostej pionowej. Oczywiście, taka prosta musi nadal

mieć tę własność, że wykres zbliża się do niej, ale w tym przypadku argument będzie
dążył do skończonej wartości, a nie do nieskończoności. Prosta pionowa o równaniu

a

x = jest asymptotą pionową lewostronną, jeżeli granica

( )

x

f

a

x

−

→

lim

funkcji f , przy x

dążącym do a, istnieje i jest równa ∞

+

lub ∞

−

. Analogicznie definiuje się asymptotę

pionową prawostronną – trzeba badać istnienie granicy prawostronnej

( )

x

f

a

x

+

→

lim

. Jeżeli

istnieje i jest równa

∞

+

lub ∞

−

, to funkcja f ma asymptotę pionową prawostronną o

równaniu

a

x = . Asymptota pionowa nazywa się dwustronną, jeśli jest jednocześnie

asymptotą prawostronną i lewostronną. Może się zdarzyć, że możemy liczyć tylko
granicę lewostronną lub tylko granicę prawostronną, jeżeli liczby większe od a nie
należą do dziedziny, a w drugim przypadku do dziedziny nie należą liczby mniejsze od
a. Takie szczególne przypadki nie przeszkadzają istnieniu asymptot pionowych jedno-
stronnych, warunkiem ich istnienia jest to, aby wspomniane granice były równe nie-
skończoności. Poniższe rysunki pokazują niektóre przypadki zachowania się funkcji w
pobliżu asymptoty pionowej o równaniu

a

x = .

a

a

m

x

k

y

+

⋅

=

( )

( )

+∞

=

−∞

=

+

−

→

→

x

f

x

f

a

x

a

x

lim

lim

( )

( )

−∞

=

−∞

=

+

−

→

→

x

f

x

f

a

x

a

x

lim

lim

23

Rys. 3.4. 12

Charakterystyczne zachowania się wykresu funkcji w pobliżu asymptoty

pionowej.

Badanie przebiegu zmienności funkcji wymaga kolejnego wykonywania obli-

czeń, które pozwolą wyciągnąć wnioski dotyczące kształtu wykresu i naszkicować go.
Kolejne kroki rachunkowe można ująć w poniższy schemat:
1. Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji.
2. Jeżeli to możliwe, to staramy się wyznaczyć punkty przecięcia wykresu z osiami

układu współrzędnych. Przecięcie z osią odciętych znajdujemy rozwiązując rów-
nanie:

( )

0

=

x

f

(tutaj mogą pojawić się kłopoty natury technicznej), natomiast ob-

liczając wartość funkcji w zerze

( )

0

f

znajdujemy punkt przecięcia z osią rzęd-

nych, przy założeniu, że

0

=

x

należy do dziedziny.

3. Obliczamy granice funkcji na końcach przedziałów określoności. Mogą się w tym

miejscu pojawić granice jednostronne lub granice przy x dążącym do plus lub mi-
nus nieskończoności. Zgodnie z tym co zostało powiedziane na temat asymptot, już
teraz da się stwierdzić, czy istnieją asymptoty pionowe i czy istnieje asymptota po-
zioma. W tym miejscu można od razu rozstrzygnąć występowanie asymptoty uko-
śnej.

4. W następnym kroku obliczamy pochodną funkcji i wyznaczamy jej dziedzinę, któ-

ra może, ale nie musi, być innym zbiorem niż dziedzina badanej funkcji.

5. Rozstrzygamy dla jakich argumentów funkcja jest rosnąca, a dla jakich malejąca,

rozwiązując nierówności:

( )

0

≥

′ x

f

i

( )

0

≤

′ x

f

.

6. Wyznaczamy punkty stacjonarne, tzn. takie, w których zeruje się pochodna:

( )

0

=

′ x

f

. Wśród tych punktów mogą być ekstrema, można to rozstrzygnąć bada-

jąc znak pochodnej w ich otoczeniu. Jeśli zmienia ona znak, to w tych punktach
występuje ekstremum, jeśli nie zmienia znaku, to ekstremum nie ma. Pamiętajmy,
że jest to kryterium rozstrzygające, a więc kiedy się tylko da, to należy je stosować.

7. Wyznaczenie drugiej pochodnej i jej dziedziny pozwala stwierdzić, w których

przedziałach funkcja jest wypukła (

( )

0

≥

′′ x

f

), a w których wklęsła (

( )

0

≤

′′ x

f

). W

tym miejscu rozstrzygamy, w których punktach spełniających równanie

( )

0

=

′′ x

f

istnieją punkty przegięcia (przypominamy, że jest to warunek konieczny, a nie do-
stateczny). W punktach tych wykres zmienia swój charakter z wklęsłego na wypu-

a

a

( )

( )

+∞

=

+∞

=

+

−

→

→

x

f

x

f

a

x

a

x

lim

lim

( )

( )

−∞

=

+∞

=

+

−

→

→

x

f

x

f

a

x

a

x

lim

lim

24

kły lub odwrotnie. Oznacza to, że przy „przejściu” z argumentami przez punkty
przegięcia druga pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni lub z dodatniego
na ujemny. Również druga pochodna może dać odpowiedź na pytanie, czy w
punkcie stacjonarnym, znalezionym wcześniej, istnieje ekstremum. Jeśli w tym
punkcie druga pochodna jest dodatnia, to funkcja ma minimum, jeśli natomiast jest
ujemna, to w tym punkcie występuje maksimum.

8. Przy badaniu przebiegu zmienności funkcji określonej na przedziale domkniętym

b

a,

może pojawić się problem znalezienia największej wartości funkcji. Do-

mkniętość przedziału odgrywa wtedy kluczową rolę, bowiem możemy obliczyć
wartości funkcji na końcach dziedziny:

( )

a

f

i

( )

b

f

, a następnie porównać je z

ekstremami znalezionymi za pomocą pochodnej. Spośród tak znalezionych liczb
wybieramy wartość największą i najmniejszą.

Przykład 3.4.1

Jako przykład zastosowania omówionego schematu zbadamy przebieg zmien-

ności funkcji:

( )

2

3

2

−

−

=

x

x

x

f

Ad1.

Ponieważ jest to funkcja wymierna (iloraz wielomianów), więc naturalną dzie-

dziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem miejsc zerowych mia-
nownika, mamy więc:

{ }

2

−

= R

X

.

Ad2.

Punkt przecięcia z osią rzędnych znajdujemy podstawiając w miejsce x zero,

stąd:

( )

2

3

0 =

f

, jest to więc punkt o współrzędnych













2

3

,

0

. Miejsca zerowe funkcji

spełniają równanie:

( )

0

=

x

f

, które sprowadza się do

0

3

2

=

−

x

. Rozkładając lewą

stronę na czynniki otrzymujemy:

(

)(

)

0

3

3

=

+

−

x

x

skąd odczytujemy rozwiązania

równania:

3

−

=

x

,

3

=

x

. Formalnie należy sprawdzić, czy znalezione rozwiązania

należą do dziedziny, oczywiście że tak.

Ad3.

Ponieważ dziedzina zapisuje się w postaci sumy zbiorów:

(

) (

)

+∞

∪

∞

−

,

2

2

,

, więc

granicami przedziałów określoności są:

∞

±

oraz 2. Na początku obliczamy granice w

nieskończoności:













−













−

=













−













−

=

−

−

±∞

→

±∞

→

±∞

→

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

1

3

1

lim

2

1

3

1

lim

2

3

lim

2

2

2

2

Zauważmy, że wyrażenia w nawiasach dążą do 1. A więc granica

( )

2

3

2

−

−

=

x

x

x

f

zależy od granicy funkcji równej x stojącej przed ułamkiem, ale taka funkcja ma w
nieskończoności granicę równą odpowiednio +∞, gdy x dąży do plus nieskończoności
i −∞, gdy x dąży do minus nieskończoności. W rezultacie otrzymujemy:

( )

+∞

=

+∞

→

x

f

x

lim

i

( )

−∞

=

−∞

→

x

f

x

lim

. Już w tym miejscu można wyciągnąć pierwszy wnio-

25

sek dotyczący asymptot, a mianowicie otrzymany wynik świadczy o tym, że badana
funkcja nie ma asymptot poziomych, gdyż granica funkcji w nieskończonościach nie
jest liczbą skończoną.

Przejdźmy teraz do granicy w punkcie

2

=

x

. Oczywiście należy liczyć granice

jednostronne. Zauważmy, że przy x dążącym do 2 granicą licznika jest 1. Wynik ten
uzyskujemy wstawiając w liczniku zamiast x liczbę 2. Można tak zrobić, gdyż stoi tam
funkcja ciągła i określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, a więc granicę otrzymu-
jemy wstawiając za argument liczbę 2. Nieco gorzej jest z mianownikiem, nie możemy
podstawić w miejsce x liczby 2, gdyż wówczas wyrażenie w mianowniku byłoby rów-
ne zeru, ale właśnie to spostrzeżenie pozwala znaleźć szukane granice jednostronne.
Wynika bowiem z niego, że jeśli x dąży do 2 i licznik pozostaje liczbą, to iloraz dąży
do nieskończoności, bowiem liczba w mianowniku zbliża się do zera. Jeżeli zbliżamy
się do 2 poprzez liczby mniejsze od 2 (granica lewostronna), to licznik jest dodatni
(bliski 1), a mianownik ujemny, gdyż ujemna jest różnica

0

2 <

−

x

, gdy

2

<

x

, a to

oznacza, że iloraz dąży do -∞. Zupełnie analogicznie można uzasadnić, że granicą ilo-
razu będzie +∞, gdy x będzie dążyło do 2 poprzez liczby większe od 2. Wtedy licznik
nadal pozostaje dodatni (bliski 1), ale tym razem mianownik będzie dodatni, ponieważ
dodatnia będzie różnica

2

−

x

, gdy

2

>

x

. Mamy więc granice jednostronne:

( )

−∞

=

−

→

x

f

x

2

lim

i

( )

+∞

=

+

→

x

f

x

2

lim

. Otrzymany wynik świadczy również o tym, że prosta

o równaniu

2

=

x

jest asymptotą pionową.

Sprawdźmy, czy funkcja posiada asymptotę ukośną. W tym celu obliczmy gra-

nicę:

( )

(

)

1

2

1

3

1

lim

2

1

3

1

lim

2

3

lim

lim

2

2

2

2

2

=













−













−

=













−













−

=

−

−

=

±∞

→

±∞

→

±∞

→

±∞

→

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

,

skąd wynika, że jeśli asymptota ukośna istnieje (trzeba bowiem obliczyć wyraz wolny
w równaniu asymptoty), to jej współczynnik kierunkowy będzie równy

1

=

k

. Wyraz

wolny obliczamy ze wzoru:

( )

(

)

2

2

1

3

2

lim

2

1

3

2

lim

2

2

3

lim

2

3

lim

lim

2

=













−













−

=

=













−













−

=

−

+

−

=













−

−

−

=

⋅

−

=

±∞

→

±∞

→

±∞

→

±∞

→

±∞

→

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

k

x

f

m

x

x

x

x

x

Dla wyrazu wolnego, podobnie jak i dla współczynnika kierunkowego, wynik oblicza-
nia granicy nie zależy od tego, czy x dąży do plus, czy minus nieskończoności. Ozna-
cza to, że znaleziona prosta

2

+

= x

y

jest asymptotą dwustronną. Wykres zbliża się do

niej zarówno wtedy, gdy argumenty stają się coraz większe (

+∞

→

x

), jaki i wtedy,

gdy stają się bardzo małe (

−∞

→

x

).

26

Ad4.

Obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na różniczkowanie ilorazu:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

4

2

1

3

2

2

2

2

3

2

3

2

3

−

+

−

=

=

−

⋅

−

−

−

⋅

=

−

′

−

⋅

−

−

−

⋅

′

−

=

′













−

−

=

′

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

Widać, że dziedzina funkcji i jej pochodnej jest tym samym zbiorem, gdyż mianownik
ma zero tylko w

2

=

x

.

Ad5.

Monotoniczność funkcji badamy rozwiązując nierówności

( )

0

≥

′ x

f

i

( )

0

≤

′ x

f

.

Zauważmy jednak, że mianownik pochodnej jest zawsze dodatni (nie może być zerem
ponieważ

2

=

x

nie należy do dziedziny), a więc znak ilorazu będzie zależał jedynie

od znaku licznika. Licznik jest jednak trójmianem kwadratowym, którego pierwiast-
kami są:

1

1

=

x

i

3

2

=

x

Ponieważ współczynnik przy

2

x jest dodatni, więc natych-

miast mamy odpowiedź dotyczącą znaku licznika, a tym samym pochodnej

( )

x

f ′

. Gdy

(

)

∞

+

∪

∞

−

∈

,

3

1

,

x

to funkcja jest rosnąca, natomiast gdy

) (

3

,

2

2

,

1

∪

∈

x

, to funk-

cja jest malejąca.

Ad6.

Poprzedni punkt dał przy okazji odpowiedź, w których punktach dziedziny po-

chodna zeruje się, a mianowicie w pierwiastkach licznika, czyli dla

1

1

=

x

i

3

2

=

x

. Po

zbadaniu monotoniczności, rozstrzygnięcie czy w tych punktach są ekstrema staje się
bardzo proste. Dla

1

<

x

funkcja jest rosnąca, a dla

1

>

x

(ale blisko 1) funkcja jest

malejąca, a więc przy przejściu przez punkt

1

1

=

x

funkcja z rosnącej staje się malejąca

(pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny) – stąd wniosek, że w tym punkcie
występuje maksimum. Jego wartość obliczamy wstawiając do badanej funkcji

1

1

=

x

,

stąd

( )

2

1

max

=

= f

y

. Zupełnie podobnie rozstrzygamy o istnieniu minimum w punkcie

3

2

=

x

, gdzie funkcja z malejącej staje się rosnąca. W punkcie tym występuje mini-

mum i funkcja przyjmuje wartość:

( )

6

3

min

=

= f

y

. Zauważmy, że wartość funkcji w

minimum jest większa niż w maksimum, nie jest to sytuacja rzadka. Pochodna pozwa-
la znaleźć ekstrema na podstawie lokalnego zachowania się funkcji. Jeżeli jest to mi-
nimum, tzn. że wartości funkcji w pobliżu

3

2

=

x

są większe od 6, natomiast wartości

funkcji w pobliżu maksimum są mniejsze od 2 i nic więcej.

Ad7.

W celu zbadania wypukłości i wklęsłości funkcji oraz istnienia punktów przegię-

cia obliczamy drugą pochodną. Podobnie jak poprzednio różniczkujemy iloraz:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4

2

2

2

2

2

2

2

2

3

4

2

3

4

2

3

4

−

′

−

+

−

−

−

′

+

−

=

′













−

+

−

=

′′

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

Szczegółowe rachunki czytelnik powinien wykonać sam traktując je jako proste ćwi-
czenie rachunkowe, wynik jest następujący:

( )

(

)

3

2

2

−

=

′′

x

x

f

27

Znak drugiej pochodnej jedynie zależy od znaku mianownika. Z łatwością odczytuje-
my, że badana funkcja jest wypukła, gdy

(

)

+∞

∈

,

2

x

i wklęsła, gdy

(

)

2

,

∞

−

∈

x

.

W tym miejscu kończymy badanie przebiegu zmienności funkcji. Punkt 8 nie

wchodzi w grę, gdyż rozważana funkcja nie jest określona na przedziale domkniętym.
Otrzymane wyniki wygodnie jest ująć w postaci tabeli.

x

-∞

1

2

3

+∞

( )

x

f

-∞

2

-∞ +∞

6

+∞

( )

x

f ′

+

0

—

—

0

+

( )

x

f ′′

+

—

max asymptota min
pionowa

Sporządzona tabela pozwala narysować wykres badanej funkcji.

Rys. 3.4. 13

Wykres funkcji

( )

2

3

2

−

−

=

x

x

x

f

.

Ponieważ w rozważanym przykładzie nie mieliśmy okazji skorzystać ze wska-

zówek zawartych w punkcie 8, więc zilustrujemy go prostym przykładem, który jed-
nak oddaje sens największej lub najmniejszej wartości funkcji, jako czegoś innego niż
ekstremum lokalne. Ponadto pokazuje, jak ważne jest to, że funkcja jest określona na
przedziale domkniętym.

Przykład 3.4.2

Rozważmy funkcję

( )

1

2

−

= x

x

f

, ale określoną na przedziale domkniętym

3

,

2

−

. Ponieważ jest to funkcja kwadratowa i współczynnik przy

2

x jest dodatni,

( )

x

f

2

1

3

6

2

+

= x

y

x

28

więc ma ona minimum w punkcie

0

=

x

równe

( )

1

0

min

−

=

= f

y

. W tak prostym przy-

padku można obyć się bez zastosowania rachunku różniczkowego. W ogólności po-
winniśmy znaleźć punkty, w których zeruje się pierwsza pochodna i rozstrzygnąć, któ-
re z nich są punktami ekstremalnymi. Gdybyśmy rozważali ten trójmian jako funkcję
określoną na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, to oczywiście nie miałby on
wartości największej. Jednak gdy dziedzina jest zbiorem domkniętym, to musimy ob-
liczyć wartości funkcji na końcach przedziału określoności, w rozważanym przypadku
mamy:

(

)

3

2 =

−

f

,

( )

15

4 =

f

. Biorąc jeszcze pod uwagę wartość ekstremalną (w tym

przypadku minimum):

( )

1

0

−

=

f

widać, że najmniejszą wartością funkcji jest –1, a

największą 8. Dzięki temu, że dziedzina jest przedziałem domkniętym funkcja posiada
wartość największą. Opisany przykład ilustruje rysunek.

Rys. 3.4. 14

Przykład prostej funkcji kwadratowej, która obcięta do przedziału do-

mkniętego posiada wartość największą i najmniejszą.

W zbiorze liczb rzeczywistych wykres miałby swoje przedłużenie poza wartość

3 z lewej strony i poza wartość 8 z prawej strony, dlatego funkcja nie miałaby wartości
największej.

-1

8

3

3

-2