1
3. Rachunek róŜniczkowy funkcji jednej zmiennej
3.1. Pochodna funkcji
W rozdziale tym będziemy zajmowali się funkcjami określonymi na przedzia-
łach otwartych przede wszystkim dlatego, aby nie zaciemniać rozwaŜań zbytnimi
szczegółami. Definiowane pojęcia moŜna uogólnić na przypadek przedziałów obu-
stronnie lub jednostronnie domkniętych, ale nie będzie to prowadziło do istotnie in-
nych pojęć. Kłopoty pojawią się jedynie w punktach końcowych, dlatego skoncentru-
jemy się na przedziałach obustronnie otwartych. PoniewaŜ pojęcie pochodnej, które za
chwilę podamy, ma charakter lokalny, tzn. ma sens w pewnym otoczeniu wybranego
punktu, więc jest bez znaczenia na jakim zbiorze zdefiniowana jest funkcja „daleko”
od ustalonego punktu, w szczególności dziedziną moŜe być suma dwóch lub kilku
przedziałów. Ponadto przedziałem otwartym jest równieŜ zbiór wszystkich liczb rze-
czywistych, a więc ten przypadek równieŜ będzie uwzględniony. Po tych kilku uwa-
gach natury technicznej przejdźmy do głównego wątku, który rozpoczniemy od defi-
nicji pochodnej.
Definicja 3.1.1
Niech funkcja f będzie określona na przedziale otwartym:
(
)
R
b
a
f
→
,
:
, nato-
miast
0
x
jest ustalonym punktem dziedziny
(
)
b
a
x
,
0
∈
, zaś
0
≠
h
h niech będzie taką
liczbą, Ŝe
(
)
b
a
h
x
,
0
∈
+
. JeŜeli istnieje skończona granica:
(
)
( )
h
x
f
h
x
f
h
0
0
0
lim
−
+
→
to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy symbolem
( )
0
x
f ′
. Wy-
raŜenie stojące pod znakiem granicy:
(
)
( )
h
x
f
h
x
f
0
0
−
+
nazywa się ilorazem róŜnico-
wym i oznacza się je symbolem:
(
)
x
h
x
f
∆
∆
,
0
.
W podanej definicji punkt x
0
, w którym liczymy pochodną jest ustalony, wtedy
punkt
h
x +
0
jest jakimś innym punktem dziedziny, gdyŜ spełnia warunek
(
)
b
a
h
x
,
0
∈
+
. W ten sposób iloraz róŜnicowy moŜna traktować jako pewną funkcję
zmiennej h. Natomiast pochodna jest granicą tej funkcji liczoną względem zmiennej h.
W myśl podanej definicji pochodna w punkcie jest liczbą, poniewaŜ granica ma być
skończona, a x
0
jest konkretnym punktem. Pochodna funkcji w punkcie moŜe nie ist-
nieć z dwóch powodów: albo granica ilorazu róŜnicowego nie istnieje, albo nie jest
skończona.
Niekiedy pochodną funkcji w punkcie oznacza się symbolem
( )
dx
x
df
0
, w którym
pozioma kreska nie oznacza kreski ułamkowej, chociaŜ jak się później okaŜe wygod-
nie jest czasami zapomnieć o tym i traktować ten symbol jako dzielenie dwóch wyra-
Ŝeń. W tym rozdziale będziemy jednak unikali tego symbolu i korzystali z tego, które-
2
go uŜyliśmy w definicji. Do wspomnianego oznaczenia powrócimy w rozdziale po-
święconym równaniom róŜniczkowym.
Definicja 3.1.2
Funkcja f, która ma pochodną w kaŜdym punkcie podzbioru X dziedziny nazy-
wa się funkcją róŜniczkowalną na zbiorze X. Natomiast odwzorowanie, które kaŜdemu
punktowi
X
x ∈
przyporządkowuje pochodną funkcji f w tym punkcie oznaczamy
symbolem f ′ i nazywamy pochodną funkcji f na zbiorze X.
Z przytoczonej definicji wynika, Ŝe dziedziny wyjściowej funkcji i jej pochod-
nej mogą być róŜne. W niektórych punktach dziedziny funkcji f jej pochodna moŜe nie
istnieć z powodów wspomnianych wyŜej. Pochodna funkcji w punkcie ma przejrzystą
interpretację geometryczną.
RozwaŜmy fragment wykresu funkcji i pęk prostych wychodzących z jednego i
tego samego punktu
( )
(
)
0
0
,
x
f
x
, sytuację taką ilustruje rysunek.
Rys. 3.1.1
Geometryczna interpretacja pochodnej funkcji w punkcie.
Przejście do granicy z h dąŜącym do zera, przy ustalonym x
0
, oznacza, Ŝe prawy punkt
(w kontekście rysunku) rozwaŜanych prostych zbliŜa się do punktu
( )
(
)
0
0
,
x
f
x
i w
granicy (jeśli granica istnieje) pokryje się z nim. Tak otrzymana „graniczna” prosta z
definicji nazywa się styczną do krzywej (będącej w naszym przypadku wykresem
funkcji f) w punkcie x
0
. Znane z elementarnego kursu matematyki określenie stycznej,
jako prostej mającej z krzywą jeden punkt wspólny, w ogólnym przypadku moŜe pro-
wadzić na manowce. Przede wszystkim z dwóch powodów. Po pierwsze, często zdarza
się, Ŝe istnieje nieskończenie wiele prostych mających z zadaną krzywą jeden punkt
wspólny. Dlatego taka definicja nie zadaje stycznej jednoznacznie. Jako przykład roz-
waŜmy wykres funkcji
( )
2
x
x
f
=
i punkt będący początkiem układu współrzędnych.
Jak pokazuje rysunek, istnieje nieskończenie wiele prostych przecinających parabolę
w tym punkcie, ale tylko jedna spełnia podaną definicję. Jest nią oś OX
x
0
+ h
x
0
C
B
A
x
0
+ h’
x
0
+ h’’
x
( )
x
f
( )
0
x
f
(
)
h
x
f
+
0
3
Rys. 3.1.2
Spośród wszystkich prostych, które przecinają parabolę w jedynym
punkcie, którym jest początek układu współrzędnych, tylko jedna jest granczną
postacią siecznych - jest to oś OX. I to właśnie ta prosta jest styczną w tym punkcie.
Po drugie, „szkolna” definicja nie uwzględnia stycznej do prostej. Natomiast z wpro-
wadzonego przez nas określenia wynika, Ŝe styczną do prostej jest ta sama prosta, a
więc punktów wspólnych jest nieskończenie wiele.
Wcześniej wspomnieliśmy, Ŝe pochodna w punkcie jest liczbą, zobaczmy więc
jaki ma sens. Na rys. 3.1.1 grubszymi liniami wyróŜniono pewne odcinki. I tak, odci-
nek zaznaczony na osi OY ma długość równą
(
)
( )
0
0
x
f
h
x
f
−
+
i jest ona równa długo-
ści przyprostokątnej BC w trójkącie ABC. Podobnie na osi OX wyróŜniony odcinek ma
długość równą h i jest ona równa długości BC podstawy (druga przyprostokątna) trój-
kąta ABC. Stosunek długości tych odcinków jest ilorazem róŜnicowym i dla cięciwy
przechodzącej przez punkty A i C jest równy tangensowi kąta, jaki tworzy ona z osią
OX
. Dla siecznej, w której zawiera się rozwaŜana cięciwa, liczba ta nazywa się jej
współczynnikiem kierunkowym. Przechodząc do granicy, a więc biorąc coraz mniej-
sze wartości h, otrzymujemy współczynniki kierunkowe siecznych, których prawy
punkt zbliŜa się do punktu A. W granicy, gdy sieczna stanie się styczną, iloraz róŜni-
cowy będzie współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie
x
0
. Sama styczna będzie miała równanie:
( )(
)
( )
0
0
0
x
f
x
x
x
f
y
+
−
′
=
które łatwo otrzymać znając współczynnik kierunkowy (czyli
( )
0
x
f ′
) oraz wiedząc, Ŝe
prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych
( )
(
)
0
0
,
x
f
x
. MoŜna w tym miejscu
stwierdzić, Ŝe geometryczny warunek istnienia pochodnej funkcji w punkcie jest wa-
runkiem na istnienie stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Prostym przykładem
funkcji, która nie ma stycznej w punkcie
0
=
x
jest funkcja
( )
x
x
f
=
, jej wykres
przedstawia rysunek.
0
Y
X
4
Rys. 3.1.3
Przykład funkcji, która w jednym punkcie nie jest róŜniczkowalna. Brak
pochodnej wynika z niejednoznaczności w wyznaczaniu stycznej do wykresu.
Liniami przerywanymi zaznaczono przedłuŜenia prostych, z których składa się
wykres funkcji, i które „pretendują” do roli stycznych. JeŜeli rozwaŜamy prawą część
wykresu, to z definicji, jako styczną, otrzymamy inną prostą niŜ wtedy, gdy rozwaŜa-
my lewą część wykresu. Owa niejednoznaczność jest powodem tego, Ŝe styczna w
początku układu w ogóle nie istnieje. NaleŜy pamiętać, Ŝe pochodna w punkcie jest
granicą, a granica jest tylko jedna.
Podobna sytuacja ma miejsce wtedy, gdy funkcja nie jest w jakimś punkcie cią-
gła. Szczególny przypadek funkcji nieciągłej w jednym punkcie pokazuje rysunek.
Rys. 3.1.4
Nieciągłość funkcji w punkcie jest powodem nieistnienia jednoznacznie
określonej stycznej, a to oznacza, Ŝe w tym punkcie funkcja nie ma pochodnej.
W punkcie nieciągłości moŜna narysować dwie proste. Pochyła prosta jest granicą cię-
ciw, których ustalonym punktem jest punkt nieciągłości, a drugi, ten który dąŜy do
pierwszego, leŜy na prawej części wykresu. JeŜeli jednak „ruchomy” punkt będzie
znajdował się na lewej części wykresu, to graniczną cięciwą będzie prosta pionowa.
Nie dość, Ŝe inna niŜ poprzednia, to jeszcze na dodatek granica ilorazu róŜnicowego
będzie w tym przypadku równa nieskończoności, a w definicji pochodnej granica musi
być skończona Przytoczony przykład jest ilustracją pierwszego twierdzenia dotyczą-
cego istnienia pochodnej.
( )
x
x
f
=
x
5
Twierdzenie
(o warunku koniecznym istnienia pochodnej)
JeŜeli funkcja
(
)
R
b
a
f
→
,
:
ma pochodną w punkcie
(
)
b
a
x
,
0
∈
, to jest w tym
punkcie ciągła.
Sformułowaliśmy w ten sposób warunek konieczny istnienia pochodnej. Wyni-
ka z niego, Ŝe jeśli funkcja nie jest ciągła w jakimś punkcie, to na pewno nie ma w nim
pochodnej. Natomiast ciągłość w punkcie nie gwarantuje istnienia pochodnej. Przy-
kładem jest funkcja
( )
x
x
f
=
, która jest ciągła w początku układu współrzędnych, ale
nie ma w nim pochodnej. Dotychczasowe rozwaŜania zilustrujemy przykładem.
Przykład 3.1.1
RozwaŜmy funkcję
( )
1
2
+
= x
x
f
, jej wykresem jest parabola połoŜona syme-
trycznie względem osi OY i wierzchołku w punkcie
( )
1
,
0
. Policzmy z definicji po-
chodną tej funkcji w
1
0
=
x
, wartość funkcji w tym punkcie jest równa
( )
2
1 =
f
. Iloraz
róŜnicowy, dla
0
≠
h
, jest równy:
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
x
h
f
+
=
+
=
+
−
+
+
=
−
+
=
∆
∆
2
2
1
1
1
1
1
1
,
1
2
2
2
Obliczenie granicy otrzymanego wyraŜenia nie przedstawia Ŝadnej trudności, mamy
bowiem:
(
)
(
)
2
2
lim
,
1
lim
0
0
=
+
=
∆
∆
→
→
h
x
h
f
h
h
. Wynik ten oznacza, Ŝe pochodna funkcji f w
punkcie
1
0
=
x
jest równa 2:
( )
2
1 =
′
f
. Podstawiając znalezioną wartość pochodnej
oraz wartość funkcji do wzoru na styczną znajdujemy:
(
)
1
1
2
+
−
=
x
y
co po przekształceniu prowadzi do równania:
x
y
2
=
. Otrzymany wynika ilustruje
rysunek.
Rys. 3.1.5
Rysunek ilustrujący przykład wyznaczania stycznej do paraboli w punkcie
1
0
=
x
. Pochodna funkcji
( )
1
2
+
= x
x
f
w
1
0
=
x
jest równa
( )
2
1 =
′
f
i to jest wartość
współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu w tym punkcie.
RozwaŜana funkcja posiada pochodną w kaŜdym punkcie dziedziny. MoŜna się
o tym przekonać powtarzając powyŜszy rachunek, ale nie nadając punktowi x
0
kon-
kretnej wartości. Iloraz róŜnicowy przyjmuje wówczas postać:
x
y
2
=
1
0
=
x
( )
2
1 =
f
6
(
) (
)
(
)
h
x
h
h
h
x
h
x
h
x
x
h
x
f
+
=
+
=
+
−
+
=
∆
∆
0
2
0
2
0
2
0
0
2
2
1
,
Obliczenie granicy przy h dąŜącym do zera prowadzi do wyniku:
(
)
0
0
0
2
2
lim
x
h
x
h
=
+
→
.
PoniewaŜ rachunek ten moŜna wykonać dla dowolnej wartości argumentu, więc zwy-
kle opuszcza się indeks 0 i wynik zapisuje się w postaci
( )
x
x
f
2
=
′
. Otrzymaliśmy w
ten sposób nową funkcję, która kaŜdej wartości x przypisuje współczynnik kierunko-
wy stycznej do wykresu funkcji
( )
1
2
+
= x
x
f
w punkcie o odciętej x. Na przykład gdy
0
=
x
, to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu jest równy zeru, a to oznacza,
Ŝe kąt teŜ jest równy zeru i styczna jest równoległa do osi OX. Rzeczywiście, styczna
w wierzchołku paraboli ma takie właśnie połoŜenie. JeŜeli natomiast
2
=
x
, to współ-
czynnik kierunkowy będzie równy
( )
4
2
2
2
=
⋅
=
′
f
, co odpowiada kątowi spełniają-
cemu równanie
4
tg
=
α
, odczytanie z tablic prowadzi do wartości
0
4
84
′
=
o
α
.
Jest rzeczą oczywistą, Ŝe praktycznie nigdy nie oblicza się pochodnej funkcji z
definicji, korzysta się z własności pochodnych, podobnie jak miało to miejsce przy
obliczaniu granic ciągów lub funkcji. Podamy więc twierdzenie, które umoŜliwia prak-
tyczne obliczanie pochodnych.
Twierdzenie
(o własnościach pochodnej funkcji)
1. Pochodna funkcji stałej jest równa zeru:
( )
0
=
′
c
,
2. JeŜeli funkcje f i g określone są na przedziale
(
)
b
a,
i róŜniczkowalne w punkcie
(
)
b
a
x
,
∈
, to zachodzą wzory:
2a
( ) ( )
( )
x
f
c
x
cf
′
=
′
2b
(
) ( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
f
′
±
′
=
′
±
2c
(
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
′
+
′
=
′
⋅
2d
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
[
]
2
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
′
−
′
=
′
, przy załoŜeniu, Ŝe
( )
0
≠
x
g
3. JeŜeli funkcja
(
)
(
)
d
c
b
a
f
,
,
:
→
jest róŜniczkowalna w punkcie
(
)
b
a
x
,
∈
, nato-
miast funkcja
(
)
R
d
c
g
→
,
:
ma pochodną w punkcie
( ) (
)
d
c
x
f
,
∈
, to istnieje po-
chodna superpozycji (złoŜenia)
f
g o
i jest równa:
(
) ( )
( )
(
)
( )
x
f
x
f
g
x
f
g
′
⋅
′
=
′
o
PowyŜsze własności warto zapamiętać, gdyŜ są bardzo uŜyteczne przy oblicza-
niu pochodnych, szczególnie wtedy, gdy znamy pochodne podstawowych funkcji ele-
mentarnych. Twierdzenie dotyczy reguł róŜniczkowania funkcji w punkcie. JeŜeli wy-
stępujące w nim funkcje są róŜniczkowalne, czyli posiadają pochodne w kaŜdym
punkcie dziedziny, to oczywiście moŜna je równieŜ stosować. Zanim przejdziemy do
dalszych rozwaŜań podamy wartości pochodnych kilku funkcji, które szczególnie czę-
sto pojawiają się w zastosowaniach.
7
funkcja
( )
x
f
pochodna
( )
x
f ′
uwagi
( )
α
x
x
f
=
( )
1
−
=
′
α
α
x
x
f
Wykładnik
α
moŜe być dowolną liczbą rzeczywi-
stą, szczególnymi przypadkami są:
( )
x
x
2
1
=
′
(
2
1
=
α
),
2
1
1
x
x
−
=
′
(
1
−
=
α
),
( )
x
x
2
2
=
′
(
2
=
α
).
( )
x
a
x
f
=
( )
a
a
x
f
x
ln
=
′
Dla
e
a = otrzymujemy
( )
x
x
e
e
=
′
.
( )
x
x
f
a
log
=
( )
x
e
x
f
a
log
=
′
Dla
e
a = otrzymujemy
(
)
x
x
1
ln
=
′
Wzór podany w pierwszym wierszu obejmuje bardzo duŜą klasę funkcji. Wyni-
ka z niego, oraz ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji przez stałą (własność 2a w
twierdzenie), Ŝe pochodną funkcji stałej jest zero. Wiedząc, Ŝe
1
0
=
x
moŜemy zapisać
funkcję stałą w postaci:
0
x
c
c
⋅
=
, wtedy
( )
(
)
( )
0
0
1
0
0
0
=
⋅
⋅
=
′
=
′
⋅
=
′
−
x
c
x
c
x
c
c
.
UŜyteczność pochodnej funkcji wynika przede wszystkim z podanych niŜej
twierdzeń. W dalszej części zostanie pokazane, w jaki sposób moŜna je zastosować do
badania własności róŜnych funkcji.
Twierdzenie
(
Rolle’a)
Niech funkcja
f będzie określona i ciągła na przedziale domkniętym
b
a,
i na
końcach przedziału przyjmuje równe wartości
( )
( )
b
f
a
f
=
; ponadto niech istnieje po-
chodna
( )
x
f ′
dla
x z przedziału otwartego
(
)
b
a,
, wtedy istnieje przynajmniej jeden
taki punkt
(
)
b
a
c
,
∈
, Ŝe
( )
0
=
′ c
f
Interpretację geometryczną twierdzenia Rolle’a pokazuje rysunek.
Rys. 3.1.6
Ilustracja twierdzenia Rolle’a: wewnątrz przedziału
b
a,
istnieje punkt
c,
w którym
( )
0
=
′ c
f
.
Warunek zerowania się pochodnej w punkcie wewnętrznym przedziału
(
)
b
a,
oznacza, Ŝe styczna w tym punkcie jest równoległa do osi odciętych, podobnie jak
styczna do paraboli w jej wierzchołku.
b
c
a
( )
( )
b
f
a
f
=
8
Zanim przejdziemy do omówienia dalszych twierdzeń dotyczących pochodnych
podamy definicję ekstremów funkcji.
Definicja 3.1.3
Mówimy, Ŝe funkcja
(
)
R
b
a
f
→
,
:
ma w punkcie
(
)
b
a
x
,
0
∈
maksimum lokal-
ne (względne), jeŜeli istnieje taka liczba rzeczywista
0
>
δ
, Ŝe
(
) (
)
b
a
x
x
,
,
0
0
⊂
+
−
δ
δ
oraz dla wszystkich
(
)
δ
δ
+
−
∈
0
0
,
x
x
x
spełniona jest nierówność:
( )
( )
0
x
f
x
f
≤
.
W punkcie
(
)
b
a
x
,
0
∈
funkcja
f ma minimum lokalne (względne), jeśli istnieje taka
liczba rzeczywista
0
>
δ
, Ŝe
(
) (
)
b
a
x
x
,
,
0
0
⊂
+
−
δ
δ
oraz dla wszystkich
(
)
δ
δ
+
−
∈
0
0
,
x
x
x
spełniona jest nierówność:
( )
( )
0
x
f
x
f
≥
Mówimy, Ŝe funkcja
f ma w jakimś punkcie ekstremum, jeŜeli ma w tym punk-
cie minimum lokalne lub maksimum lokalne.
Maksimum (minimum) lokalne nazywa się silnym, jeśli w podanych wyŜej nie-
równościach równość zachodzi tylko wtedy, gdy
0
x
x =
.
Przedział
(
) (
)
b
a
x
x
,
,
0
0
⊂
+
−
δ
δ
, występujący w powyŜszej definicji, nazywa
się otoczeniem punktu
x
0
. W wielu zastosowaniach praktycznych pojawia się potrzeba
znalezienia ekstremów jakiejś funkcji, gdyŜ mają one często konkretną i waŜną inter-
pretację. Jednak duŜo waŜniejsza moŜe okazać się znajomość maksimum lub mini-
mum globalnego, czyli największej lub najmniejszej wartości funkcji w całej dziedzi-
nie. Jednak to ostanie moŜe nie istnieć. Powrócimy do tego zagadnienia w przykładzie
3.4.2. Przypadek, gdy funkcja posiada maksimum lub minimum globalne podany był
w
twierdzeniu Weierstrassa.
Jednym z wniosków wynikających z twierdzenia Rolle’a jest sformułowane ni-
Ŝej twierdzenie.
Twierdzenie
(
Fermata)
JeŜeli funkcja
(
)
R
b
a
f
→
,
:
osiąga w punkcie
c dziedziny ekstremum i istnieje
pochodna w tym punkcie, to
( )
0
=
′ c
f
.
Twierdzenie to jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum (minimum lub
maksimum) funkcji. Jeszcze raz przypominamy, Ŝe z zerowania się pochodnej
( )
0
=
′ c
f
nie wynika, Ŝe w tym punkcie istnieje ekstremum. Twierdzenie mówi o
czymś odwrotnym, co moŜe być równieŜ odczytane w ten sposób, Ŝe jeśli
( )
0
≠
′ c
f
, to
w punkcie
c na pewno nie ma ekstremum. Punkty, w których zeruje się pierwsza po-
chodna nazywa się stacjonarnymi. Z twierdzenia Fermata wynika, Ŝe ekstremów nale-
Ŝy szukać tylko pomiędzy punktami stacjonarnymi. Powróćmy na chwilę do zagadnie-
nia znajdywania największej i najmniejszej wartości funkcji. Twierdzenie Weierstras-
sa nie mówiło jak takie wartości znaleźć. Okazuje się, Ŝe do ich zlokalizowania moŜna
wykorzystać twierdzenie Fermata. JeŜeli mamy do czynienia z funkcją róŜniczkowalną
9
określoną na przedziale domkniętym, która posiada ekstrema globalne, to znajdują się
one wśród ekstremów lokalnych lub w punktach końcowych dziedziny.
Bardzo waŜne twierdzenie, z którego wynika między innymi twierdzenie Rol-
le’a, zostało sformułowane przez Lagrange’a.
Twierdzenie
(
Lagrange’a)
JeŜeli funkcja
f jest określona i ciągła w przedziale domkniętym
b
a,
oraz jest
róŜniczkowalna w punktach przedziału otwartego
(
)
b
a,
, to istnieje taki punkt
(
)
b
a
c
,
∈
, Ŝe spełniona jest równość:
( )
( )
( )
c
f
a
b
a
f
b
f
′
=
−
−
Podane twierdzenie nazywa się niekiedy twierdzeniem o wartości średniej, bo-
wiem lewa strona równania jest przyrostem funkcji
( )
( )
a
f
b
f
−
podzielonym przez
długość przedziału
a
b − , na którym ten przyrost następuje. Jest to więc przyrost funk-
cji przypadający na jednostkę długości, a więc wartość średnia. Prawa strona równania
mówi natomiast, Ŝe owa wartość średnia jest równa współczynnikowi kierunkowemu
stycznej do wykresu funkcji w pewnym punkcie leŜącym wewnątrz przedziału
(
)
b
a,
.
Interpretację geometryczną pokazuje rysunek.
Rys. 3.1.7
Ilustracja twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej.
Styczna do wykresu w punkcie o odciętej
c (górna linia) jest równoległa do siecz-
nej przechodzącej przez punkty końcowe o odciętych
a i b. Równoległość prostych
oznacza, Ŝe mają one jednakowe współczynniki kierunkowe. Styczna ma współczyn-
nik równy
( )
c
f ′
, natomiast sieczna równy
( )
( )
a
b
a
f
b
f
−
−
, stąd teza twierdzenia Lagran-
ge’a.
3.2 Pochodne wyŜszych rzędów
JeŜeli mamy do czynienia z funkcją róŜniczkowalną, to moŜemy przyporząd-
kować jej pochodną, która teŜ jest pewną funkcją. Jeśli zapomnimy na chwilę, skąd się
ta funkcja wzięła i zastosujemy ponownie definicję 3.1.1, to otrzymamy pochodną
drugiego rzędu (potocznie mówi się: „drugą pochodną”):
a
c
b
( )
b
f
( )
c
f
( )
a
f
10
( )
(
)
( )
h
x
f
h
x
f
x
f
h
0
0
0
0
lim
′
−
+
′
=
′′
→
oczywiście, jeśli powyŜsza granica istnieje i jest skończona. Druga pochodna w sto-
sunku do pierwszej pochodnej ma takie same własności, jak pierwsza pochodna w od-
niesieniu do wyjściowej funkcji. Natomiast jej związek z wyjściową funkcją
f jest juŜ
bardziej skomplikowany i będzie o tym mowa później. Kontynuując powyŜsze rozu-
mowanie, przy załoŜeniach gwarantujących istnienie granic, moŜemy zdefiniować po-
chodne wyŜszych rzędów. I tak, dla pochodnej rzędu trzeciego mamy definicję:
( )
(
)
( )
h
x
f
h
x
f
x
f
h
0
0
0
0
lim
′′
−
+
′′
=
′′
′
→
W ogólności pochodna
n-tego rzędu wyraŜa się przez pochodną rzędu (n-1)-go:
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
h
x
f
h
x
f
x
f
n
n
h
n
0
1
0
1
0
0
lim
−
−
→
−
+
=
MoŜe zdarzyć się, Ŝe w jakimś punkcie istnieją pochodne do pewnego rzędu n i
ta ostatnia pochodna nie jest juŜ funkcją róŜniczkowalną w tym punkcie. Dalsze róŜ-
niczkowanie nie jest wówczas wykonalne. W innym przypadku mogą istnieć pochod-
ne dowolnie duŜego rzędu, o takiej funkcji mówimy, Ŝe jest róŜniczkowalna nieskoń-
czenie wiele razy.
Przykład 3.2.1
RozwaŜmy przykład obliczania pochodnych wyŜszych rzędów. Na początek
weźmy funkcję
( )
3
x
x
f
=
, korzystając ze wzoru podanego w tabeli z łatwością obli-
czamy pierwszą pochodną:
( )
( )
2
3
3x
x
x
f
=
′
=
′
. Przy obliczaniu kolejnych pochodnych,
oprócz wspomnianego wzoru, skorzystamy z własności pochodnej iloczynu funkcji
przez stałą (własność 2a w twierdzeniu o własnościach pochodnej funkcji). I tak, druga
pochodna jest równa:
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
f
6
2
3
3
3
2
2
=
⋅
=
′
=
′
=
′′
,
natomiast trzecia:
( ) ( )
( )
6
6
6
=
′
=
′
=
′′
′
x
x
x
f
.
Kolejna pochodna sprowadza się do róŜniczkowania funkcji stałej, a więc jest równa
zeru, podobnie jak wszystkie następne. Jest to więc przykład funkcji róŜniczkowalnej
nieskończenie wiele razy.
Innego pouczającego przykładu dostarcza funkcja:
( )
x
x
f
1
=
. JeŜeli zapiszemy
ją w postaci potęgowej
( )
1
−
= x
x
f
, to kolejne pochodne będziemy obliczali z tego sa-
mego wzoru, co i poprzednie pochodne . Mamy więc pierwszą pochodną:
11
( )
2
1
1
1
−
−
−
−
=
⋅
−
=
′
x
x
x
f
,
drugą:
( )
(
)
3
1
2
2
2
−
−
−
⋅
=
⋅
−
−
=
′′
x
x
x
f
,
i trzecią:
( )
(
)
4
1
3
6
3
2
−
−
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
=
′′
′
x
x
x
f
.
MoŜna w tym miejscu spróbować uogólnić rachunki i wypisać wzór na po-
chodną dowolnego rzędu. W tym celu naleŜy zauwaŜyć, Ŝe znaki kolejnych pochod-
nych zmieniają się, a mianowicie: pochodne parzyste mają znak plus, a nieparzyste –
znak minus. Prawidłowość taką moŜemy zapisać wzorem:
( )
n
1
−
. Pomijając znak,
współczynnik stojący przy zmiennej ma postać iloczynu kolejnych liczb naturalnych
zaczynającego się od jedynki, a kończącego się na liczbie równej rzędowi pochodnej.
Jak juŜ wiemy, iloczyn taki nazywa się silnią. ZauwaŜmy dodatkowo, Ŝe potęga
zmiennej jest o jeden większa niŜ rząd pochodnej. Zbierając wszystkie te spostrzeŜenia
razem moŜemy napisać wzór na pochodną n-tego rzędu:
( )
( )
(
)
1
!
1
+
−
−
=
n
n
n
x
n
f
lub w
równowaŜnej postaci:
( )
( ) ( )
1
n
x
!
1
+
−
=
n
x
f
n
n
.
Oczywiście, przeprowadzone rozumowanie nie jest dowodem, ale moŜna poka-
zać, Ŝe odgadnięty wzór rzeczywiście jest prawdziwy. RozwaŜany przykład ponownie
dotyczy funkcji nieskończenie razy róŜniczkowalnej, ale w odróŜnieniu od poprzed-
niego przypadku, tym razem kolejne pochodne, dowolnego rzędu, nie prowadzą do
funkcji stałej równej zeru. W szczególności chcąc znaleźć pochodną 10-go rzędu wy-
starczy podstawić do znalezionego wzoru
10
=
n
, w wyniku czego otrzymujemy:
( )
( )
11
10
10
!
10
1
x
f
−
=
. Obliczenie 10! jest dosyć uciąŜliwe, trzeba bowiem pomnoŜyć przez
siebie wszystkie liczby naturalne zaczynające się od 1, a kończące się na 10, dlatego
moŜemy wyraŜenie to pozostawić bez zmiany. PoniewaŜ
( )
1
1
10
=
−
, więc w efekcie
końcowym mamy:
( )
( )
11
10
!
10
x
x
f
=
. Podstawiając do znalezionego wzoru odpowiednie n
moŜemy od razu wypisać postać pochodnej, ale uwaga, silnia szybko staje się bardzo
duŜą liczbą, gdy wzrasta n, dlatego jej wartość moŜe być trudna do policzenia.
3.3 Wybrane zastosowania rachunku róŜniczkowego
Przejdziemy teraz do omówienia niektórych zastosowań pochodnych. Jednym z
najwaŜniejszych jest wzór Taylora. Pozwala on z jednej strony przybliŜać niekiedy
nawet bardzo skomplikowane funkcje wielomianami, a z drugiej strony daje narzędzie
do przedstawiania funkcji w postaci szeregu potęgowego.
12
Niech funkcja
R
b
a
f
→
,
:
ma w przedziale
(
)
b
a,
pochodne do rzędu n
włącznie, i są one funkcjami ciągłymi. Istnieje równieŜ pochodna rzędu n+1, ale nie
musi być ciągła. JeŜeli punkt
(
)
b
a
x
,
0
∈
, to w otoczeniu tego punktu funkcję f moŜna
przedstawić w postaci:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
x
r
x
x
n
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
n
n
+
−
+
+
−
′′
+
−
′
+
=
0
0
2
0
0
0
0
0
!
!
2
!
1
K
gdzie
( )
x
r
nazywa się resztą i między innymi spełnia warunek
( )
0
0
=
x
r
. Mówi ona o
tym na ile funkcja f, stojąca po lewej stronie, moŜe być przybliŜona wielomianem,
chociaŜ sama nie musi być wielomianem. Istnieje wiele wzorów na resztę, ale podamy
tzw. postać Lagrange’a:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
1
0
1
!
1
+
+
−
+
=
n
n
x
x
n
c
f
x
r
gdzie punkt c jest pewnym punktem zawartym pomiędzy x
0
i x. JeŜeli funkcja f jest
wielomianem stopnia n, to reszta jest równa zeru i szereg po prawej stronie kończy się
na wyrazie, w którym n jest stopniem wielomianu. Szczególną postacią wzoru Taylo-
ra, w którym
0
0
=
x
, jest szereg Maclaurina:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
r
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
n
n
+
+
+
′′
+
′
+
=
!
!
2
0
!
1
0
0
2
K
moŜna go oczywiście zapisać wtedy, gdy zero jest punktem wewnętrznym dziedziny
(wewnętrznym oznacza, Ŝe istnieje otoczenie zera zawarte w dziedzinie).
Wzór Taylora jest podstawą, na której opierają się wszelkie obliczenia przybli-
Ŝone, na przykład wykonywane przez kalkulatory. Kalkulator bowiem potrafi mnoŜyć,
dzielić, dodawać i odejmować, a więc obliczenie wartości dowolnej funkcji musi
sprowadzić do tych działań i robi to właśnie za pomocą wzoru Taylora. RozwaŜmy
funkcję
( )
x
e
x
f
=
, jest ona wprawdzie określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczy-
wistych, a nie na przedziale domkniętym, ale w tym przypadku nie przeszkadza to w
zastosowaniu wzoru Maclaurina. PoniewaŜ rozwaŜana funkcja ma tą przyjemną wła-
sność, Ŝe jej pochodna jest równa jej samej, więc z łatwością znajdujemy pochodne
dowolnego rzędu. Ich wartość w zerze wynosi
1
0
=
e
, stąd:
( )
x
r
x
n
x
x
x
e
n
x
+
+
+
+
+
+
=
!
1
!
3
1
!
2
1
!
1
1
1
3
2
K
JeŜeli
0
>
x
, to reszta ma postać:
(
)
1
!
1
+
+
n
c
x
n
e
, gdzie
x
c <
<
0
. MoŜna ją oszacować
zastępując
K
718
,
2
=
e
liczbą większą, na przykład 3:
( )
(
)
1
!
1
3
+
+
<
n
x
x
n
x
r
Otrzymane oszacowanie jest szczególnie wygodne wtedy, gdy chcemy obliczyć
wartość
x
e dla argumentu całkowitego. Warto w tym miejscu zdać sobie sprawę z fak-
tu, Ŝe najczęściej nie jest nam potrzebna ścisła wartość reszty, ale jedynie świadomość,
Ŝe jest ona mniejsza od ustalonej liczby rzutującej na dokładność obliczeń. Sama do-
kładność zaleŜy od ilości wyrazów w rozwinięciu Maclaurina, a więc od n. JeŜeli kal-
13
kulator ma policzyć
2
e
, to na przykład biorąc dziewięć wyrazów otrzymamy obliczaną
wartość róŜniącą się od jej ścisłej wartości nie więcej niŜ o:
( )
003
,
0
2 <
r
JeŜeli potrzebna jest większa dokładność, to naleŜy w szeregu Taylora lub Maclaurina
uwzględnić więcej wyrazów. Reszta ma bowiem tę własność, Ŝe maleje do zera wraz
ze wzrostem n. Gdy n dąŜy do nieskończoności i funkcja ma pochodne wszystkich
rzędów, to szereg staje się nieskończony. JeŜeli taka funkcja (nie koniecznie
x
e ) jest
sumą nieskończonego szeregu Taylora, to nazywamy ją funkcją analityczną. Pozosta-
jąc nadal przy funkcji
x
e i przechodząc w rozwaŜanym szeregu z n dąŜącym do nie-
skończoności dostajemy:
∑
∞
=
=
+
+
+
+
=
0
3
2
!
!
3
1
!
2
1
!
1
1
1
n
n
x
n
x
x
x
x
e
K
Podobnie jak w przykładzie z szeregiem geometrycznym, tak i teraz, musimy zbadać,
kiedy szereg jest zbieŜny. Okazuje się, Ŝe jego promień zbieŜności jest równy nieskoń-
czoności, a więc dziedzina funkcji zadanej szeregiem jest taka sama jak dziedzina
x
e .
Równość zachodzi więc dla wszystkich liczb rzeczywistych. RozwaŜany przykład po-
kazał, w jaki sposób moŜna funkcje przedstawiać w postaci sumy szeregu potęgowego
– tym sposobem jest rozwinięcie w szereg Taylora lub Maclaurina. Jednak jeszcze raz
podkreślamy, Ŝe takie przedstawienie, jeśli istnieje, nie musi być prawdziwe w całej
dziedzinie, przypadek funkcji eksponencjalnej
x
e jest raczej wyjątkiem. JeŜeli w po-
wyŜszym wzorze podstawimy w miejsce x jedynkę, to otrzymamy szereg często poja-
wiający się w literaturze, którego sumą jest liczba Eulera:
∑
∞
=
=
0
!
1
n
n
e
.
Innym zastosowaniem pochodnych jest reguła d’Hospitala, która pozwala obli-
czać granice nawet bardzo skomplikowanych funkcji. Niech funkcje f i g będą okre-
ślone na pewnym podzbiorze liczb rzeczywistych i mają pochodne w punkcie p nale-
Ŝącym do dziedziny rozwaŜanych funkcji. JeŜeli
( )
0
lim
=
→
x
f
p
x
i
( )
0
lim
=
→
x
g
p
x
oraz
( )
0
≠
′ p
g
, wówczas:
( )
( )
( )
( )
p
g
p
f
x
g
x
f
p
x
′
′
=
→
lim
.
Reguła brzmi dosyć niewinnie, ale ma bardzo powaŜne konsekwencje. Przede
wszystkim zauwaŜmy, Ŝe granica ilorazu nie daje się policzyć przez bezpośrednie pod-
stawienie do funkcji f i g punktu p, pomimo Ŝe kaŜda z tych funkcji jest w tym punk-
cie ciągła (co wynika z istnienia pochodnych). Otrzymalibyśmy bowiem wyraŜenie
0
0
,
które nie ma sensu. Z podanego wzoru wynika, Ŝe moŜna tę trudność ominąć licząc
pochodną funkcji stojącej w liczniku i w mianowniku. Zwracamy od razu uwagę, Ŝe
stosunek pochodnych nie ma nic wspólnego z pochodną ilorazu, bowiem ta ostatnia
wyraŜa się w bardziej skomplikowany sposób przez obie funkcje i ich pochodne. Po-
jawia się pytanie: Co zrobić, gdy dla pochodnych problem z zerowaniem się licznika i
mianownika powtarza się? OtóŜ okazuje się, Ŝe jeśli funkcje mają wyŜsze pochodne w
14
punkcie p, to procedurę obliczania pochodnych licznika i mianownika moŜna konty-
nuować, ale tylko wtedy, gdy w kaŜdym kroku pojawia się nieoznaczoność typu
0
0
.
JeŜeli po obliczeniu n-tej pochodnej otrzymamy
( )
( )
0
≠
p
g
n
, to powyŜszy wzór przy-
biera postać:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
g
p
f
x
g
x
f
n
n
p
x
=
→
lim
.
W sformułowanej regule d’Hospitala punkt p moŜna zastąpić nieskończonością.
Wtedy oczywiście nie moŜemy jej wstawić jako argumentu, ale moŜemy obliczyć gra-
nicę stosunku pochodnych (pierwszego lub jeśli trzeba i istnieją, to wyŜszych rzędów)
i jeśli istnieje, to jest równa granicy wyjściowego wyraŜenia:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
n
n
x
x
±∞
→
±∞
→
= lim
lim
W szczególnym przypadku wzór moŜe „zadziałać” juŜ dla
1
=
n
. Kolejnym rozszerze-
niem reguły d’Hospitala jest zastosowanie jej do nieoznaczoności typu
∞
∞
. Stosuje się
ją dokładnie tak samo, jak dla nieoznaczoności
0
0
, dlatego nie będziemy powtarzać
powyŜszych wzorów. Dwa wspomniane typy wyraŜeń nieoznaczonych nie są jedyny-
mi, jakie mogą się pojawić, ale inne moŜna sprowadzić do powyŜszych za pomocą
prostych przekształceń algebraicznych. Omówimy je krótko.
Nieoznaczoność typu
∞
⋅
0
moŜna przekształcić następująco:
( ) ( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
1
=
.
JeŜeli granicą
( )
x
g
jest nieskończoność, to granicą
( )
x
g
1
będzie zero i prawa strona
prowadzi do wyraŜenia typu
0
0
. MoŜna oczywiście wykonać nieco inne przekształce-
nie:
( ) ( )
( )
( )
x
f
x
g
x
g
x
f
1
=
prowadzące do nieoznaczoności
∞
∞
. Które z nich zastosować pozostaje do uznania
wykonującego obliczenia. PoniewaŜ w dalszym kroku trzeba liczyć pochodną licznika
i mianownika, to pierwszym kryterium powinno być to, w którym przypadku łatwiej
będzie obliczać pochodne.
Nieoznaczoność typu
∞
−
∞
sprowadza się do
0
0
za pomocą przekształcenia:
15
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
x
g
x
f
x
f
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
1
1
1
1
1
1
1
−
=
−
=
−
Łatwo sprawdzić, Ŝe wyraŜenie po prawej stronie ma potrzebny nam typ nieoznaczo-
ności. W tym miejscu naleŜy od razu zaznaczyć, Ŝe jeśli wyjściowe wyraŜenie dąŜy do
∞
+
∞
lub
∞
−
∞
−
, to jego granicą jest odpowiednio
∞
+
i
∞
−
, te ostatnie wyraŜenia
nie są bowiem nieoznaczonościami.
Nieoznaczoności typu
∞
1 ,
0
0 ,
0
∞ moŜna sprowadzić do poprzednich korzystając z
ciągłości funkcji logarytm (najczęściej uŜywa się logarytmu naturalnego). W tym celu
obliczamy logarytm wyraŜenia, którego granicę chcemy znaleźć. Otrzymamy wtedy
funkcję, która będzie miała nieoznaczoność typu
0
⋅
∞
i dalsze postępowanie było juŜ
omówione. Jednak po obliczeniu granicy z reguły d’Hospitala, powiedzmy, Ŝe jest ona
równa q, musimy obliczyć
q
e i to będzie szukana wartość.
Prowadzone rozwaŜania zilustrujemy przykładem.
Przykład 3.3.1
RozwaŜmy funkcję zadaną wzorem:
x
x
1
i spróbujmy obliczyć jej granice przy x
dąŜącym do nieskończoności. Podstawa potęgi zmierza do ∞, a wykładnik do 0, jest to
więc wyraŜenie nieoznaczone typu
0
∞ . Zgodnie z podaną procedurą obliczmy loga-
rytm naturalny, wówczas otrzymujemy:
x
x
x
x
ln
1
ln
1
=
. Skorzystaliśmy przy tym z wła-
sności logarytmu:
x
a
ln
ln
α
α
=
. Tym razem, przy x dąŜącym do nieskończoności, wy-
raŜenie
x
x
ln
1
ma nieoznaczoność typu
∞
⋅
0
. Ale wystarczy zapisać je w postaci:
x
x
x
x
ln
ln
1
=
,
aby mieć do czynienia z nieoznaczonością typu
∞
∞
.
Stosując w tym momencie regułę
d’Hospitala otrzymujemy:
(
)
( )
0
1
lim
1
1
lim
ln
lim
ln
lim
=
=
=
′
′
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Nie jest to jednak granica wyjściowego wyraŜenia
x
x
1
,
ale logarytmu z niego. Dlatego
obliczamy eksponens:
1
0
=
e
, co prowadzi do wyniku końcowego:
1
lim
1
=
∞
→
x
x
x
Zobaczmy co się stanie, gdybyśmy dokonali innego przekształcenia, prowadzącego do
nieoznaczoności
0
0
,
a mianowicie:
16
x
x
x
x
ln
1
1
ln
1
=
Pochodna licznika jest równa:
2
1
x
−
, natomiast mianownika:
(
)
x
x ⋅
−
2
ln
1
(proszę poli-
czyć ją samemu). W regule d’Hospitala trzeba obliczyć granicę ilorazu pochodnych,
łatwo zauwaŜyć, Ŝe będzie ona nadal typu
0
0
.
PoniewaŜ rozwaŜane funkcje moŜna
róŜniczkować dalej, to wydawałoby się, Ŝe moŜna kontynuować liczenie pochodnych.
Jednak okazuje się, Ŝe w wyniku tych obliczeń ciągle będziemy otrzymywali ten sam
typ nieoznaczoności. W takiej sytuacji naleŜy spróbować zmienić rodzaj przekształce-
nia, a wtedy doszlibyśmy do pierwszego sposobu, który jak widzimy dał poŜądany
wynik.
3.4. Badanie przebiegu zmienności funkcji
Zajmiemy się teraz najwaŜniejszym zastosowaniem rachunku róŜniczkowego
jakim jest badanie przebiegu zmienności funkcji. Często zdarza się, Ŝe znamy wzór
funkcji i potrzebny jest nam jej wykres, dlatego musimy znać wiele elementów jego
kształtu, a tym samym własności funkcji.
Zacznijmy od monotoniczności. Aby stwierdzić, czy funkcja jest rosnąca, czy
malejąca narysujmy fragment wykresu i zaznaczmy styczną. Oba przypadki ilustruje
rysunek.
Rys. 3.4. 1
Rysunek pokazuje w jaki sposób styczna do wykresu moŜe charakteryzo-
wać monotoniczność funkcji.
Okazuje się, Ŝe funkcję rosnącą (jeśli jest róŜniczkowalna) moŜna scharaktery-
zować, tym Ŝe styczna nachylona jest do osi odciętych pod kątem ostrym lub równym
zeru, a to oznacza, Ŝe jej współczynnik kierunkowy jest nieujemny. Z interpretacji
geometrycznej pochodnej wiemy, Ŝe współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu
funkcji w jakimś punkcie jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie. Wynika stąd,
Ŝe jeśli w pewnym obszarze dziedziny funkcja jest rosnąca, to jest w nim spełniona
nierówność:
( )
0
≥
′ x
f
. Zupełnie analogiczne rozumowanie prowadzi do wniosku, Ŝe
dla róŜniczkowalnej funkcji malejącej w jakimś obszarze zachodzi:
( )
0
≤
′ x
f
.
Kształt wykresu funkcji rosnącej moŜe przybierać dwie formy:
Kąt ostry
Kąt rozwarty
17
Rys. 3.4 2
Dwa róŜne „wygięcia” wykresu funkcji rosnącej.
Podobnie dla funkcji malejącej:
Rys. 3.4 3
Dwa róŜne „wygięcia” funkcji malejącej.
Pojawia się pytanie o to, jak rozróŜnić, z którym przypadkiem mamy do czy-
nienia. Okazuje się, Ŝe pomocna jest wówczas druga pochodna. Jednak zanim z niej
skorzystamy wprowadzimy nowe pojęcie. Zbiór (dla ustalenia uwagi niech będzie to
zbiór na płaszczyźnie) nazywa się wypukłym, jeŜeli odcinek łączący dwa dowolne
punkty tego zbioru jest całkowicie zawarty w tym zbiorze. Przykładami figur wypu-
kłych jest koło, prostokąt, trójkąt itp. Przyjrzyjmy się rysunkowi.
Rys. 3.4 4
Koło jako przykład figury wypukłej.
Gdziekolwiek byśmy nie umieścili punktów końcowych odcinka, to zawsze będzie on
całkowicie zawarty w kole. JeŜeli zbiór nie jest wypukły, to oznacza, Ŝe jest wklęsły.
Wtedy istnieją odcinki (nie kaŜdy, ale wystarczy przynajmniej jeden), które łączą
punkty zbioru i niektóre z jego punktów wewnętrznych leŜą poza zbiorem. Przykład
figury, która nie jest wypukła pokazuje poniŜszy rysunek.
18
Rys. 3.4 5
Pokazana figura nie jest wypukła, istnieje bowiem odcinek, którego końce
naleŜą do figury, ale część odcinka do niej nie naleŜy.
Z rysunku widać, Ŝe istnieją odcinki zawarte całkowicie w figurze, ale są rów-
nieŜ takie, których niektóre punkty do figury nie naleŜą (ta część odcinka została za-
znaczona grubszą linią), a to juŜ wystarcza aby figura był wklęsła. Powróćmy jednak
do wykresów funkcji. OtóŜ funkcja jest w jakimś obszarze dziedziny wypukła, jeśli
zbiór leŜący nad wykresem jest wypukły. W myśl tej definicji wykres musi mieć jako-
ściowy przebieg pokazany na rysunkach:
Rys. 3.4 6
Fragmenty wykresów funkcji wypukłych.
Na obu rysunkach funkcja jest wypukła, ale na pierwszym jest malejąca, a na drugim
rosnąca. Dla funkcji wklęsłej przyjmujemy definicję podobną do poprzedniej. Funkcja
jest w jakimś obszarze dziedziny wklęsła, jeśli zbór leŜący nad wykresem funkcji jest
wklęsły. MoŜna się teraz domyśleć, jak wygląda wykres funkcji wklęsłej.
Rys. 3.4. 7
Fragmenty wykresów funkcji wklęsłych wraz z przykładami odcinków,
które decydują o tym, Ŝe nie są to funkcje wypukłe.
19
Podobnie jak poprzednio pierwszy rysunek pokazuje fragment funkcji malejącej, a
drugi rosnącej. Narysowano równieŜ przykłady odcinków, które decydują o tym, Ŝe
mamy do czynienia z funkcjami wklęsłymi.
Po takim wstępie terminologicznym moŜemy przejść do zastosowań pochodnej
w celu rozstrzygnięcia, jaki charakter ma badana funkcja. Okazuje się, Ŝe jeśli w ja-
kimś obszarze funkcja dwukrotnie róŜniczkowalna jest wypukła, to dla argumentów z
tego zbioru zachodzi:
( )
0
≥
′′ x
f
, jeŜeli natomiast funkcja jest wklęsła, to spełniona jest
nierówność przeciwna:
( )
0
≤
′′ x
f
. Pojawia się pytanie: Co oznacza zerowanie się dru-
giej pochodnej
( )
0
=
′′ x
f
? OtóŜ punkt nazywa się punktem przegięcia, jeśli oddziela
część wykresu, w którym funkcja jest wypukła, od tej części wykresu, w którym jest
wklęsła. Dlatego zerowanie się drugiej pochodnej jest warunkiem koniecznym istnie-
nia punktu przegięcia, ale nie dostatecznym. Kryterium rozstrzygającym jest zmiana
charakteru funkcji – z wypukłej na wklęsłą lub odwrotnie, a więc zmiana znaku dru-
giej pochodnej przy „przejściu” przez punkt będący rozwiązaniem równania
( )
0
=
′′ x
f
(owo „przejście” będzie wyjaśnione za chwilę, przy okazji omawiania warunku dosta-
tecznego istnienia ekstremum) JeŜeli więc funkcja posiada punkty przegięcia, to nale-
Ŝy ich szukać wśród rozwiązań równania
( )
0
=
′′ x
f
, ale to nie oznacza, Ŝe rozwiązania
tego równania są punktami przegięcia. Do innego sposobu rozstrzygnięcia, czy w da-
nym punkcie istnieje punkt przegięcia, czy nie, powrócimy nieco później.
Rys. 3.4. 8
W punktach przegięcia funkcja zmienia się z wypukłej na wklęsłą lub z
wklęsłej na wypukłą.
Kolejnymi charakterystycznymi punktami, jakie moŜe posiadać wykres funkcji,
są ekstrema, czyli punkty, w których funkcja osiąga maksimum lub minimum lokalne.
Wcześniej sformułowany został warunek konieczny istnienia ekstremum (twierdzenie
Fermata)
( )
0
0
=
′ x
f
. Teraz zajmiemy się warunkiem dostatecznym. Lokalnie w pobli-
Ŝu maksimum wykres funkcji ma przebieg pokazany na rysunku.
x
0
20
Rys. 3.4. 9
Lokalny kształt wykresu w pobliŜu punktu, w którym funkcja ma maksi-
mum.
Okazuje się, Ŝe kryterium rozstrzygającym jest w tym przypadku zachowanie
się funkcji w otoczeniu maksimum. ZauwaŜmy mianowicie, Ŝe dla
0
x
x <
funkcja jest
rosnąca, a dla
0
x
x >
funkcja jest malejąca. Monotoniczność funkcji charakteryzowana
była znakiem pochodnej stąd, aby stwierdzić czy funkcja ma maksimum trzeba poka-
zać, Ŝe przy „przejściu” przez punkt x
0
(zmieniamy argumenty od wartości trochę
mniejszych od x
0
do wartości trochę większych od x
0
) pochodna zmienia znak z do-
datniego na ujemny.
Po powyŜszych spostrzeŜeniach łatwo jest juŜ sformułować warunek dostatecz-
ny istnienia minimum. W jego pobliŜu funkcja ma przebieg pokazany na rysunku.
Rys. 3.4. 10
Kształt wykresu w otoczeniu punktu, w którym funkcja osiąga minimum.
Tym razem dla
0
x
x <
funkcja jest malejąca, a dla
0
x
x >
rosnąca. MoŜemy więc
sformułować kryterium dostateczne istnienia minimum mówiąc, Ŝe przy „przejściu”
przez punkt x
0
pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni.
Oba przytoczone kryteria są rozstrzygające i naleŜy jest stosować kiedy się tyl-
ko da. Tym bardziej, Ŝe przy badaniu monotoniczności musimy zbadać znaki pochod-
nej, a wtedy dosyć często powyŜsze kryteria niejako sprawdzają się same. Innego roz-
strzygnięcia dostarcza druga pochodna. Najczęściej stosuje się ją wtedy, gdy nie inte-
resuje nas monotoniczność, a jedynie istnienie lub nieistnienie ekstremów. Zastosowa-
nie kryterium polega na spostrzeŜeniu, Ŝe w pobliŜu maksimum funkcja jest wklęsła, a
więc w tym punkcie druga pochodna jest ujemna. Natomiast w otoczeniu minimum
funkcja jest wypukła, a zatem w tym punkcie druga pochodna jest dodatnia. Podsu-
mowując: jeŜeli w punkcie x
0
spełnione są warunki:
( )
0
0
=
′ x
f
i
( )
0
0
<
′′ x
f
, to funkcja
osiąga w nim maksimum; jeŜeli natomiast zachodzą warunki:
( )
0
0
=
′ x
f
i
( )
0
0
>
′′ x
f
,
to w punkcie tym funkcja posiada minimum. Kryterium wykorzystujące drugą po-
chodną ma swoje uogólnienie w przypadku badania ekstremów funkcji kilku zmien-
nych. Jednak trzymając się nadal funkcji jednej zmiennej trzeba sobie zdać sprawę, Ŝe
badanie drugiej pochodnej moŜe nie dać rozstrzygnięcia. MoŜe się bowiem okazać, Ŝe
w badanym punkcie oprócz pierwszej pochodnej zeruje się równieŜ druga pochodna.
Problem moŜna rozstrzygnąć, jeŜeli funkcja jest odpowiednio wiele razy róŜniczko-
walna (istnieje pochodna dostatecznie duŜego rzędu). JeŜeli wszystkie pochodne funk-
x
0
21
cji f do rzędu
1
−
n
są w punkcie x
0
równe zeru:
( )
( )
(
)
( )
0
0
1
0
0
=
=
′′
=
′
−
x
f
x
f
x
f
n
K
,
natomiast pochodna rzędu n jest róŜna od zera
( )
( )
0
0
≠
x
f
n
, to mamy dwa przypadki:
1. jeŜeli n jest liczbą nieparzystą, to w x
0
funkcja ma punkt przegięcia,
2. jeŜeli n jest liczbą parzystą i
( )
( )
0
0
>
x
f
n
, to funkcja ma w x
0
minimum, jeśli nato-
miast
( )
( )
0
0
<
x
f
n
, to funkcja ma w tym punkcie maksimum.
ZauwaŜmy, Ŝe pojawił się równieŜ warunek dostateczny istnienia punktu przegię-
cia (pierwszy przypadek) odwołujący się do badania znaku pochodnej odpowiednio
wysokiego rzędu, w punkcie x
0
, a nie w jego otoczeniu.
Kolejnym szczegółem dotyczącym funkcji, jaki przydaje się przy badaniu prze-
biegu zmienności, jest istnienie tzw. asymptot. Pod pojęciem asymptoty ukośnej (jej
szczególnym przypadkiem jest asymptota pozioma) rozumieć będziemy prostą, do
której, mówiąc niezbyt ściśle, wykres funkcji zbliŜa się, gdy argumenty dąŜą do nie-
skończoności (plus lub minus nieskończoności). ZbliŜanie się oznacza, Ŝe róŜnica po-
między wartościami funkcji i wartościami funkcji liniowej (której wykresem ma być
asymptota) dąŜy do zera, gdy x dąŜy do nieskończoności. Oczywiście, takie określenie
wymaga, aby dla pewnego a w dziedzinie zawarty był przedział
(
)
+∞
,
a
, jeśli liczymy
asymptotę w +∞ i przedział
(
)
a
,
∞
−
, gdy wyznaczamy asymptotę w -∞. Równanie
asymptoty ukośnej zapisujemy w postaci kierunkowej:
m
x
k
y
+
⋅
=
. Współczynniki k
i m wyznaczamy z równań:
( )
x
x
f
k
x
±∞
→
= lim
,
( )
(
)
x
k
x
f
m
x
⋅
−
=
±∞
→
lim
Wykres funkcji posiada asymptotę, gdy istnieją powyŜsze granice i są skończone
(Ŝadna z nich nie moŜe być równa nieskończoności). WyraŜenia te jednocześnie za-
wierają przypadek argumentu dąŜącego do plus i do minus nieskończoności, ale naleŜy
rozpatrywać je oddzielnie, bowiem w jednym przypadku moŜe istnieć asymptota, a w
drugim nie, lub mogą istnieć obie, ale ich równania będą inne. JeŜeli tak właśnie jest,
to nazywamy je asymptotami jednostronnymi, w przeciwnym przypadku mamy do
czynienia z asymptotą dwustronną. Najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy k, i
jeśli jest skończony, to w drugim kroku obliczamy wyraz wolny m. JeŜeli jest on licz-
bą, to dopiero wtedy moŜemy stwierdzić, Ŝe wykres ma asymptotę ukośną. W szcze-
gólnym przypadku moŜe zajść:
0
=
k
, a to oznacza, Ŝe współczynnik m wyraŜa się
wzorem:
( )
x
f
m
x
±∞
→
= lim
. JeŜeli granica ta jest skończona, to równanie asymptoty ma
postać:
m
y =
− jest to prosta równoległa do osi odciętych, stąd nazwa asymptota po-
zioma. ZauwaŜmy, Ŝe wtedy współczynnik m jest granicą badanej funkcji przy x dąŜą-
cym do nieskończoności. PoniŜszy rysunek pokazuje przykład wykresu funkcji, która
posiada asymptotę ukośną.
22
Rys. 3.4 11
Przykład funkcji, której wykres posiada asymptotę ukośną jednostronną.
Innym przypadkiem asymptoty, której istnienia nie da się stwierdzić omówio-
nym przed chwilą sposobem, jest asymptota pionowa, bowiem równanie kierunkowe
prostej
m
x
k
y
+
⋅
=
nie opisuje prostej pionowej. Oczywiście, taka prosta musi nadal
mieć tę własność, Ŝe wykres zbliŜa się do niej, ale w tym przypadku argument będzie
dąŜył do skończonej wartości, a nie do nieskończoności. Prosta pionowa o równaniu
a
x = jest asymptotą pionową lewostronną, jeŜeli granica
( )
x
f
a
x
−
→
lim
funkcji f , przy x
dąŜącym do a, istnieje i jest równa ∞
+
lub ∞
−
. Analogicznie definiuje się asymptotę
pionową prawostronną – trzeba badać istnienie granicy prawostronnej
( )
x
f
a
x
+
→
lim
. JeŜeli
istnieje i jest równa
∞
+
lub ∞
−
, to funkcja f ma asymptotę pionową prawostronną o
równaniu
a
x = . Asymptota pionowa nazywa się dwustronną, jeśli jest jednocześnie
asymptotą prawostronną i lewostronną. MoŜe się zdarzyć, Ŝe moŜemy liczyć tylko
granicę lewostronną lub tylko granicę prawostronną, jeŜeli liczby większe od a nie
naleŜą do dziedziny, a w drugim przypadku do dziedziny nie naleŜą liczby mniejsze od
a. Takie szczególne przypadki nie przeszkadzają istnieniu asymptot pionowych jedno-
stronnych, warunkiem ich istnienia jest to, aby wspomniane granice były równe nie-
skończoności. PoniŜsze rysunki pokazują niektóre przypadki zachowania się funkcji w
pobliŜu asymptoty pionowej o równaniu
a
x = .
a
a
m
x
k
y
+
⋅
=
( )
( )
+∞
=
−∞
=
+
−
→
→
x
f
x
f
a
x
a
x
lim
lim
( )
( )
−∞
=
−∞
=
+
−
→
→
x
f
x
f
a
x
a
x
lim
lim
23
Rys. 3.4. 12
Charakterystyczne zachowania się wykresu funkcji w pobliŜu asymptoty
pionowej.
Badanie przebiegu zmienności funkcji wymaga kolejnego wykonywania obli-
czeń, które pozwolą wyciągnąć wnioski dotyczące kształtu wykresu i naszkicować go.
Kolejne kroki rachunkowe moŜna ująć w poniŜszy schemat:
1. Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji.
2. JeŜeli to moŜliwe, to staramy się wyznaczyć punkty przecięcia wykresu z osiami
układu współrzędnych. Przecięcie z osią odciętych znajdujemy rozwiązując rów-
nanie:
( )
0
=
x
f
(tutaj mogą pojawić się kłopoty natury technicznej), natomiast ob-
liczając wartość funkcji w zerze
( )
0
f
znajdujemy punkt przecięcia z osią rzęd-
nych, przy załoŜeniu, Ŝe
0
=
x
naleŜy do dziedziny.
3. Obliczamy granice funkcji na końcach przedziałów określoności. Mogą się w tym
miejscu pojawić granice jednostronne lub granice przy x dąŜącym do plus lub mi-
nus nieskończoności. Zgodnie z tym co zostało powiedziane na temat asymptot, juŜ
teraz da się stwierdzić, czy istnieją asymptoty pionowe i czy istnieje asymptota po-
zioma. W tym miejscu moŜna od razu rozstrzygnąć występowanie asymptoty uko-
śnej.
4. W następnym kroku obliczamy pochodną funkcji i wyznaczamy jej dziedzinę, któ-
ra moŜe, ale nie musi, być innym zbiorem niŜ dziedzina badanej funkcji.
5. Rozstrzygamy dla jakich argumentów funkcja jest rosnąca, a dla jakich malejąca,
rozwiązując nierówności:
( )
0
≥
′ x
f
i
( )
0
≤
′ x
f
.
6. Wyznaczamy punkty stacjonarne, tzn. takie, w których zeruje się pochodna:
( )
0
=
′ x
f
. Wśród tych punktów mogą być ekstrema, moŜna to rozstrzygnąć bada-
jąc znak pochodnej w ich otoczeniu. Jeśli zmienia ona znak, to w tych punktach
występuje ekstremum, jeśli nie zmienia znaku, to ekstremum nie ma. Pamiętajmy,
Ŝe jest to kryterium rozstrzygające, a więc kiedy się tylko da, to naleŜy je stosować.
7. Wyznaczenie drugiej pochodnej i jej dziedziny pozwala stwierdzić, w których
przedziałach funkcja jest wypukła (
( )
0
≥
′′ x
f
), a w których wklęsła (
( )
0
≤
′′ x
f
). W
tym miejscu rozstrzygamy, w których punktach spełniających równanie
( )
0
=
′′ x
f
istnieją punkty przegięcia (przypominamy, Ŝe jest to warunek konieczny, a nie do-
stateczny). W punktach tych wykres zmienia swój charakter z wklęsłego na wypu-
a
a
( )
( )
+∞
=
+∞
=
+
−
→
→
x
f
x
f
a
x
a
x
lim
lim
( )
( )
−∞
=
+∞
=
+
−
→
→
x
f
x
f
a
x
a
x
lim
lim
24
kły lub odwrotnie. Oznacza to, Ŝe przy „przejściu” z argumentami przez punkty
przegięcia druga pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni lub z dodatniego
na ujemny. RównieŜ druga pochodna moŜe dać odpowiedź na pytanie, czy w
punkcie stacjonarnym, znalezionym wcześniej, istnieje ekstremum. Jeśli w tym
punkcie druga pochodna jest dodatnia, to funkcja ma minimum, jeśli natomiast jest
ujemna, to w tym punkcie występuje maksimum.
8. Przy badaniu przebiegu zmienności funkcji określonej na przedziale domkniętym
b
a,
moŜe pojawić się problem znalezienia największej wartości funkcji. Do-
mkniętość przedziału odgrywa wtedy kluczową rolę, bowiem moŜemy obliczyć
wartości funkcji na końcach dziedziny:
( )
a
f
i
( )
b
f
, a następnie porównać je z
ekstremami znalezionymi za pomocą pochodnej. Spośród tak znalezionych liczb
wybieramy wartość największą i najmniejszą.
Przykład 3.4.1
Jako przykład zastosowania omówionego schematu zbadamy przebieg zmien-
ności funkcji:
( )
2
3
2
−
−
=
x
x
x
f
Ad1.
PoniewaŜ jest to funkcja wymierna (iloraz wielomianów), więc naturalną dzie-
dziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem miejsc zerowych mia-
nownika, mamy więc:
{ }
2
−
= R
X
.
Ad2.
Punkt przecięcia z osią rzędnych znajdujemy podstawiając w miejsce x zero,
stąd:
( )
2
3
0 =
f
, jest to więc punkt o współrzędnych
2
3
,
0
. Miejsca zerowe funkcji
spełniają równanie:
( )
0
=
x
f
, które sprowadza się do
0
3
2
=
−
x
. Rozkładając lewą
stronę na czynniki otrzymujemy:
(
)(
)
0
3
3
=
+
−
x
x
skąd odczytujemy rozwiązania
równania:
3
−
=
x
,
3
=
x
. Formalnie naleŜy sprawdzić, czy znalezione rozwiązania
naleŜą do dziedziny, oczywiście Ŝe tak.
Ad3.
PoniewaŜ dziedzina zapisuje się w postaci sumy zbiorów:
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
,
2
2
,
, więc
granicami przedziałów określoności są:
∞
±
oraz 2. Na początku obliczamy granice w
nieskończoności:
−
−
=
−
−
=
−
−
±∞
→
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
3
1
lim
2
1
3
1
lim
2
3
lim
2
2
2
2
ZauwaŜmy, Ŝe wyraŜenia w nawiasach dąŜą do 1. A więc granica
( )
2
3
2
−
−
=
x
x
x
f
zaleŜy od granicy funkcji równej x stojącej przed ułamkiem, ale taka funkcja ma w
nieskończoności granicę równą odpowiednio +∞, gdy x dąŜy do plus nieskończoności
i −∞, gdy x dąŜy do minus nieskończoności. W rezultacie otrzymujemy:
( )
+∞
=
+∞
→
x
f
x
lim
i
( )
−∞
=
−∞
→
x
f
x
lim
. JuŜ w tym miejscu moŜna wyciągnąć pierwszy wnio-
25
sek dotyczący asymptot, a mianowicie otrzymany wynik świadczy o tym, Ŝe badana
funkcja nie ma asymptot poziomych, gdyŜ granica funkcji w nieskończonościach nie
jest liczbą skończoną.
Przejdźmy teraz do granicy w punkcie
2
=
x
. Oczywiście naleŜy liczyć granice
jednostronne. ZauwaŜmy, Ŝe przy x dąŜącym do 2 granicą licznika jest 1. Wynik ten
uzyskujemy wstawiając w liczniku zamiast x liczbę 2. MoŜna tak zrobić, gdyŜ stoi tam
funkcja ciągła i określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, a więc granicę otrzymu-
jemy wstawiając za argument liczbę 2. Nieco gorzej jest z mianownikiem, nie moŜemy
podstawić w miejsce x liczby 2, gdyŜ wówczas wyraŜenie w mianowniku byłoby rów-
ne zeru, ale właśnie to spostrzeŜenie pozwala znaleźć szukane granice jednostronne.
Wynika bowiem z niego, Ŝe jeśli x dąŜy do 2 i licznik pozostaje liczbą, to iloraz dąŜy
do nieskończoności, bowiem liczba w mianowniku zbliŜa się do zera. JeŜeli zbliŜamy
się do 2 poprzez liczby mniejsze od 2 (granica lewostronna), to licznik jest dodatni
(bliski 1), a mianownik ujemny, gdyŜ ujemna jest róŜnica
0
2 <
−
x
, gdy
2
<
x
, a to
oznacza, Ŝe iloraz dąŜy do -∞. Zupełnie analogicznie moŜna uzasadnić, Ŝe granicą ilo-
razu będzie +∞, gdy x będzie dąŜyło do 2 poprzez liczby większe od 2. Wtedy licznik
nadal pozostaje dodatni (bliski 1), ale tym razem mianownik będzie dodatni, poniewaŜ
dodatnia będzie róŜnica
2
−
x
, gdy
2
>
x
. Mamy więc granice jednostronne:
( )
−∞
=
−
→
x
f
x
2
lim
i
( )
+∞
=
+
→
x
f
x
2
lim
. Otrzymany wynik świadczy równieŜ o tym, Ŝe prosta
o równaniu
2
=
x
jest asymptotą pionową.
Sprawdźmy, czy funkcja posiada asymptotę ukośną. W tym celu obliczmy gra-
nicę:
( )
(
)
1
2
1
3
1
lim
2
1
3
1
lim
2
3
lim
lim
2
2
2
2
2
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
±∞
→
±∞
→
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
,
skąd wynika, Ŝe jeśli asymptota ukośna istnieje (trzeba bowiem obliczyć wyraz wolny
w równaniu asymptoty), to jej współczynnik kierunkowy będzie równy
1
=
k
. Wyraz
wolny obliczamy ze wzoru:
( )
(
)
2
2
1
3
2
lim
2
1
3
2
lim
2
2
3
lim
2
3
lim
lim
2
=
−
−
=
=
−
−
=
−
+
−
=
−
−
−
=
⋅
−
=
±∞
→
±∞
→
±∞
→
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
k
x
f
m
x
x
x
x
x
Dla wyrazu wolnego, podobnie jak i dla współczynnika kierunkowego, wynik oblicza-
nia granicy nie zaleŜy od tego, czy x dąŜy do plus, czy minus nieskończoności. Ozna-
cza to, Ŝe znaleziona prosta
2
+
= x
y
jest asymptotą dwustronną. Wykres zbliŜa się do
niej zarówno wtedy, gdy argumenty stają się coraz większe (
+∞
→
x
), jaki i wtedy,
gdy stają się bardzo małe (
−∞
→
x
).
26
Ad4.
Obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na róŜniczkowanie ilorazu:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
1
3
2
2
2
2
3
2
3
2
3
−
+
−
=
=
−
⋅
−
−
−
⋅
=
−
′
−
⋅
−
−
−
⋅
′
−
=
′
−
−
=
′
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Widać, Ŝe dziedzina funkcji i jej pochodnej jest tym samym zbiorem, gdyŜ mianownik
ma zero tylko w
2
=
x
.
Ad5.
Monotoniczność funkcji badamy rozwiązując nierówności
( )
0
≥
′ x
f
i
( )
0
≤
′ x
f
.
ZauwaŜmy jednak, Ŝe mianownik pochodnej jest zawsze dodatni (nie moŜe być zerem
poniewaŜ
2
=
x
nie naleŜy do dziedziny), a więc znak ilorazu będzie zaleŜał jedynie
od znaku licznika. Licznik jest jednak trójmianem kwadratowym, którego pierwiast-
kami są:
1
1
=
x
i
3
2
=
x
PoniewaŜ współczynnik przy
2
x jest dodatni, więc natych-
miast mamy odpowiedź dotyczącą znaku licznika, a tym samym pochodnej
( )
x
f ′
. Gdy
(
)
∞
+
∪
∞
−
∈
,
3
1
,
x
to funkcja jest rosnąca, natomiast gdy
) (
3
,
2
2
,
1
∪
∈
x
, to funk-
cja jest malejąca.
Ad6.
Poprzedni punkt dał przy okazji odpowiedź, w których punktach dziedziny po-
chodna zeruje się, a mianowicie w pierwiastkach licznika, czyli dla
1
1
=
x
i
3
2
=
x
. Po
zbadaniu monotoniczności, rozstrzygnięcie czy w tych punktach są ekstrema staje się
bardzo proste. Dla
1
<
x
funkcja jest rosnąca, a dla
1
>
x
(ale blisko 1) funkcja jest
malejąca, a więc przy przejściu przez punkt
1
1
=
x
funkcja z rosnącej staje się malejąca
(pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny) – stąd wniosek, Ŝe w tym punkcie
występuje maksimum. Jego wartość obliczamy wstawiając do badanej funkcji
1
1
=
x
,
stąd
( )
2
1
max
=
= f
y
. Zupełnie podobnie rozstrzygamy o istnieniu minimum w punkcie
3
2
=
x
, gdzie funkcja z malejącej staje się rosnąca. W punkcie tym występuje mini-
mum i funkcja przyjmuje wartość:
( )
6
3
min
=
= f
y
. ZauwaŜmy, Ŝe wartość funkcji w
minimum jest większa niŜ w maksimum, nie jest to sytuacja rzadka. Pochodna pozwa-
la znaleźć ekstrema na podstawie lokalnego zachowania się funkcji. JeŜeli jest to mi-
nimum, tzn. Ŝe wartości funkcji w pobliŜu
3
2
=
x
są większe od 6, natomiast wartości
funkcji w pobliŜu maksimum są mniejsze od 2 i nic więcej.
Ad7.
W celu zbadania wypukłości i wklęsłości funkcji oraz istnienia punktów przegię-
cia obliczamy drugą pochodną. Podobnie jak poprzednio róŜniczkujemy iloraz:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
3
4
2
3
4
−
′
−
+
−
−
−
′
+
−
=
′
−
+
−
=
′′
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Szczegółowe rachunki czytelnik powinien wykonać sam traktując je jako proste ćwi-
czenie rachunkowe, wynik jest następujący:
( )
(
)
3
2
2
−
=
′′
x
x
f
27
Znak drugiej pochodnej jedynie zaleŜy od znaku mianownika. Z łatwością odczytuje-
my, Ŝe badana funkcja jest wypukła, gdy
(
)
+∞
∈
,
2
x
i wklęsła, gdy
(
)
2
,
∞
−
∈
x
.
W tym miejscu kończymy badanie przebiegu zmienności funkcji. Punkt 8 nie
wchodzi w grę, gdyŜ rozwaŜana funkcja nie jest określona na przedziale domkniętym.
Otrzymane wyniki wygodnie jest ująć w postaci tabeli.
x
-∞
1
2
3
+∞
( )
x
f
-∞
2
-∞ +∞
6
+∞
( )
x
f ′
+
0
—
—
0
+
( )
x
f ′′
+
—
max asymptota min
pionowa
Sporządzona tabela pozwala narysować wykres badanej funkcji.
Rys. 3.4. 13
Wykres funkcji
( )
2
3
2
−
−
=
x
x
x
f
.
PoniewaŜ w rozwaŜanym przykładzie nie mieliśmy okazji skorzystać ze wska-
zówek zawartych w punkcie 8, więc zilustrujemy go prostym przykładem, który jed-
nak oddaje sens największej lub najmniejszej wartości funkcji, jako czegoś innego niŜ
ekstremum lokalne. Ponadto pokazuje, jak waŜne jest to, Ŝe funkcja jest określona na
przedziale domkniętym.
Przykład 3.4.2
RozwaŜmy funkcję
( )
1
2
−
= x
x
f
, ale określoną na przedziale domkniętym
3
,
2
−
. PoniewaŜ jest to funkcja kwadratowa i współczynnik przy
2
x jest dodatni,
( )
x
f
2
1
3
6
2
+
= x
y
x
28
więc ma ona minimum w punkcie
0
=
x
równe
( )
1
0
min
−
=
= f
y
. W tak prostym przy-
padku moŜna obyć się bez zastosowania rachunku róŜniczkowego. W ogólności po-
winniśmy znaleźć punkty, w których zeruje się pierwsza pochodna i rozstrzygnąć, któ-
re z nich są punktami ekstremalnymi. Gdybyśmy rozwaŜali ten trójmian jako funkcję
określoną na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, to oczywiście nie miałby on
wartości największej. Jednak gdy dziedzina jest zbiorem domkniętym, to musimy ob-
liczyć wartości funkcji na końcach przedziału określoności, w rozwaŜanym przypadku
mamy:
(
)
3
2 =
−
f
,
( )
15
4 =
f
. Biorąc jeszcze pod uwagę wartość ekstremalną (w tym
przypadku minimum):
( )
1
0
−
=
f
widać, Ŝe najmniejszą wartością funkcji jest –1, a
największą 8. Dzięki temu, Ŝe dziedzina jest przedziałem domkniętym funkcja posiada
wartość największą. Opisany przykład ilustruje rysunek.
Rys. 3.4. 14
Przykład prostej funkcji kwadratowej, która obcięta do przedziału do-
mkniętego posiada wartość największą i najmniejszą.
W zbiorze liczb rzeczywistych wykres miałby swoje przedłuŜenie poza wartość
3 z lewej strony i poza wartość 8 z prawej strony, dlatego funkcja nie miałaby wartości
największej.
-1
8
3
3
-2