Wykład 18
Witold Obłoza
21 lutego 2011
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu
x
1
a
11
a
21
. . .
a
m1
+ x
2
a
12
a
22
. . .
a
m2
+ · · · + x
n
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
=
b
1
b
2
. . .
b
m
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu
x
1
a
11
a
21
. . .
a
m1
+ x
2
a
12
a
22
. . .
a
m2
+ · · · + x
n
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
=
b
1
b
2
. . .
b
m
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu
x
1
a
11
a
21
. . .
a
m1
+ x
2
a
12
a
22
. . .
a
m2
+ · · · + x
n
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
=
b
1
b
2
. . .
b
m
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· A
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· A
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· A
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· A
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· A
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 269
Rozwiązać układ równań:
x + 2y + z = 8
x + y + z = 6
2x + y + z = 7
.
W =
1
2
1
1
1
1
2
1
1
= 1
W
z
=
1
2
8
1
1
6
2
1
7
=
1
0
0
1
-1
-2
2
-3
-9
= 3
W
y
=
1
8
1
1
6
1
2
7
1
= 2
W
x
=
8
2
1
6
1
1
7
1
1
= 1
x =
W
x
W
= 1
x =
W
y
W
= 2
x =
W
z
W
= 3.
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 269
Rozwiązać układ równań:
x + 2y + z = 8
x + y + z = 6
2x + y + z = 7
.
W =
1
2
1
1
1
1
2
1
1
= 1
W
z
=
1
2
8
1
1
6
2
1
7
=
1
0
0
1
-1
-2
2
-3
-9
= 3
W
y
=
1
8
1
1
6
1
2
7
1
= 2
W
x
=
8
2
1
6
1
1
7
1
1
= 1
x =
W
x
W
= 1
x =
W
y
W
= 2
x =
W
z
W
= 3.
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 269
Rozwiązać układ równań:
x + 2y + z = 8
x + y + z = 6
2x + y + z = 7
.
W =
1
2
1
1
1
1
2
1
1
= 1
W
z
=
1
2
8
1
1
6
2
1
7
=
1
0
0
1
-1
-2
2
-3
-9
= 3
W
y
=
1
8
1
1
6
1
2
7
1
= 2
W
x
=
8
2
1
6
1
1
7
1
1
= 1
x =
W
x
W
= 1
x =
W
y
W
= 2
x =
W
z
W
= 3.
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 269
Rozwiązać układ równań:
x + 2y + z = 8
x + y + z = 6
2x + y + z = 7
.
W =
1
2
1
1
1
1
2
1
1
= 1
W
z
=
1
2
8
1
1
6
2
1
7
=
1
0
0
1
-1
-2
2
-3
-9
= 3
W
y
=
1
8
1
1
6
1
2
7
1
= 2
W
x
=
8
2
1
6
1
1
7
1
1
= 1
x =
W
x
W
= 1
x =
W
y
W
= 2
x =
W
z
W
= 3.
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 269
Rozwiązać układ równań:
x + 2y + z = 8
x + y + z = 6
2x + y + z = 7
.
W =
1
2
1
1
1
1
2
1
1
= 1
W
z
=
1
2
8
1
1
6
2
1
7
=
1
0
0
1
-1
-2
2
-3
-9
= 3
W
y
=
1
8
1
1
6
1
2
7
1
= 2
W
x
=
8
2
1
6
1
1
7
1
1
= 1
x =
W
x
W
= 1
x =
W
y
W
= 2
x =
W
z
W
= 3.
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 269
Rozwiązać układ równań:
x + 2y + z = 8
x + y + z = 6
2x + y + z = 7
.
W =
1
2
1
1
1
1
2
1
1
= 1
W
z
=
1
2
8
1
1
6
2
1
7
=
1
0
0
1
-1
-2
2
-3
-9
= 3
W
y
=
1
8
1
1
6
1
2
7
1
= 2
W
x
=
8
2
1
6
1
1
7
1
1
= 1
x =
W
x
W
= 1
x =
W
y
W
= 2
x =
W
z
W
= 3.
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 269
Rozwiązać układ równań:
x + 2y + z = 8
x + y + z = 6
2x + y + z = 7
.
W =
1
2
1
1
1
1
2
1
1
= 1
W
z
=
1
2
8
1
1
6
2
1
7
=
1
0
0
1
-1
-2
2
-3
-9
= 3
W
y
=
1
8
1
1
6
1
2
7
1
= 2
W
x
=
8
2
1
6
1
1
7
1
1
= 1
x =
W
x
W
= 1
x =
W
y
W
= 2
x =
W
z
W
= 3.
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 269
Rozwiązać układ równań:
x + 2y + z = 8
x + y + z = 6
2x + y + z = 7
.
W =
1
2
1
1
1
1
2
1
1
= 1
W
z
=
1
2
8
1
1
6
2
1
7
=
1
0
0
1
-1
-2
2
-3
-9
= 3
W
y
=
1
8
1
1
6
1
2
7
1
= 2
W
x
=
8
2
1
6
1
1
7
1
1
= 1
x =
W
x
W
= 1
x =
W
y
W
= 2
x =
W
z
W
= 3.
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 270
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(∗)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
i niech r rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {a
i
k
j
l
}
k, l∈Z
r
6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
a
i
1
j
1
x
j
1
+ a
i
1
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
1
j
r
x
j
r
= b
i
1
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
1
l
x
l
a
i
2
j
1
x
j
1
+ a
i
2
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
2
j
r
x
j
r
= b
i
2
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
2
l
x
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i
r
j
1
x
j
1
+ a
i
r
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
r
j
r
x
j
r
= b
i
r
−
P
a
i
l
x
l
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 270
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(∗)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
i niech r rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {a
i
k
j
l
}
k, l∈Z
r
6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
a
i
1
j
1
x
j
1
+ a
i
1
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
1
j
r
x
j
r
= b
i
1
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
1
l
x
l
a
i
2
j
1
x
j
1
+ a
i
2
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
2
j
r
x
j
r
= b
i
2
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
2
l
x
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i
r
j
1
x
j
1
+ a
i
r
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
r
j
r
x
j
r
= b
i
r
−
P
a
i
l
x
l
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 270
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(∗)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
i niech r rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {a
i
k
j
l
}
k, l∈Z
r
6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
a
i
1
j
1
x
j
1
+ a
i
1
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
1
j
r
x
j
r
= b
i
1
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
1
l
x
l
a
i
2
j
1
x
j
1
+ a
i
2
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
2
j
r
x
j
r
= b
i
2
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
2
l
x
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i
r
j
1
x
j
1
+ a
i
r
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
r
j
r
x
j
r
= b
i
r
−
P
a
i
l
x
l
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 270
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(∗)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
i niech r rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {a
i
k
j
l
}
k, l∈Z
r
6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
a
i
1
j
1
x
j
1
+ a
i
1
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
1
j
r
x
j
r
= b
i
1
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
1
l
x
l
a
i
2
j
1
x
j
1
+ a
i
2
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
2
j
r
x
j
r
= b
i
2
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
2
l
x
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i
r
j
1
x
j
1
+ a
i
r
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
r
j
r
x
j
r
= b
i
r
−
P
a
i
l
x
l
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay + 2z = a − 1
ax + y + 2z = 0
2x + y + az = 3 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
|A| =
1
a
2
a
1
2
2
1
a
=
1
a
2
a-2
0
2-a
2
1
a
= (a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay + 2z = a − 1
ax + y + 2z = 0
2x + y + az = 3 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
|A| =
1
a
2
a
1
2
2
1
a
=
1
a
2
a-2
0
2-a
2
1
a
= (a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay + 2z = a − 1
ax + y + 2z = 0
2x + y + az = 3 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
|A| =
1
a
2
a
1
2
2
1
a
=
1
a
2
a-2
0
2-a
2
1
a
= (a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay + 2z = a − 1
ax + y + 2z = 0
2x + y + az = 3 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
|A| =
1
a
2
a
1
2
2
1
a
=
1
a
2
a-2
0
2-a
2
1
a
= (a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay + 2z = a − 1
ax + y + 2z = 0
2x + y + az = 3 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
|A| =
1
a
2
a
1
2
2
1
a
=
1
a
2
a-2
0
2-a
2
1
a
= (a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay + 2z = a − 1
ax + y + 2z = 0
2x + y + az = 3 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
|A| =
1
a
2
a
1
2
2
1
a
=
1
a
2
a-2
0
2-a
2
1
a
= (a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay + 2z = a − 1
ax + y + 2z = 0
2x + y + az = 3 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
|A| =
1
a
2
a
1
2
2
1
a
=
1
a
2
a-2
0
2-a
2
1
a
= (a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay + 2z = a − 1
ax + y + 2z = 0
2x + y + az = 3 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
|A| =
1
a
2
a
1
2
2
1
a
=
1
a
2
a-2
0
2-a
2
1
a
= (a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3)
= (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
(a − 2)
1
a
2
1
0
-1
2
1
a
= (a − 2)
1
a
3
1
0
0
2
1
2+a
=
(2 − a)
a
3
1
2+a
= (2 − a)(a
2
+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).
Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.
Dla a = −3 mamy
rz A = rz
1
−3
2
−3
1
2
2
1
−3
= rz
1
0
0
−3
−8
8
2
7
−7
= 2, zaś
rz U = rz
1
−3
2
−4
−3
1
2
0
2
1
−3
6
= rz
1
0
0
0
−3
−8
8
−12
2
7
−7
16
=
UKŁADY RÓWNAŃ
= rz
1
0
0
−3
8
−12
2
−7
16
= 3.
Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 mamy rz A = rz
1
1
2
1
1
2
2
1
1
= 2
oraz
rz U = rz
1
1
2
0
1
1
2
0
2
1
1
2
= 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKŁADY RÓWNAŃ
= rz
1
0
0
−3
8
−12
2
−7
16
= 3.
Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 mamy rz A = rz
1
1
2
1
1
2
2
1
1
= 2
oraz
rz U = rz
1
1
2
0
1
1
2
0
2
1
1
2
= 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKŁADY RÓWNAŃ
= rz
1
0
0
−3
8
−12
2
−7
16
= 3.
Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 mamy rz A = rz
1
1
2
1
1
2
2
1
1
= 2
oraz
rz U = rz
1
1
2
0
1
1
2
0
2
1
1
2
= 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKŁADY RÓWNAŃ
= rz
1
0
0
−3
8
−12
2
−7
16
= 3.
Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 mamy rz A = rz
1
1
2
1
1
2
2
1
1
= 2
oraz
rz U = rz
1
1
2
0
1
1
2
0
2
1
1
2
= 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKŁADY RÓWNAŃ
= rz
1
0
0
−3
8
−12
2
−7
16
= 3.
Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 mamy rz A = rz
1
1
2
1
1
2
2
1
1
= 2
oraz
rz U = rz
1
1
2
0
1
1
2
0
2
1
1
2
= 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKŁADY RÓWNAŃ
= rz
1
0
0
−3
8
−12
2
−7
16
= 3.
Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 mamy rz A = rz
1
1
2
1
1
2
2
1
1
= 2
oraz
rz U = rz
1
1
2
0
1
1
2
0
2
1
1
2
= 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKŁADY RÓWNAŃ
= rz
1
0
0
−3
8
−12
2
−7
16
= 3.
Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 mamy rz A = rz
1
1
2
1
1
2
2
1
1
= 2
oraz
rz U = rz
1
1
2
0
1
1
2
0
2
1
1
2
= 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKŁADY RÓWNAŃ
= rz
1
0
0
−3
8
−12
2
−7
16
= 3.
Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 mamy rz A = rz
1
1
2
1
1
2
2
1
1
= 2
oraz
rz U = rz
1
1
2
0
1
1
2
0
2
1
1
2
= 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKŁADY RÓWNAŃ
= rz
1
0
0
−3
8
−12
2
−7
16
= 3.
Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 mamy rz A = rz
1
1
2
1
1
2
2
1
1
= 2
oraz
rz U = rz
1
1
2
0
1
1
2
0
2
1
1
2
= 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKŁADY RÓWNAŃ
Dla a = 2 mamy rz A = rz
1
2
2
2
1
2
2
1
2
= 2
oraz
rz U = rz
1
2
2
1
2
1
2
0
2
1
2
1
= rz
−1
1
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
= 3
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKŁADY RÓWNAŃ
Dla a = 2 mamy rz A = rz
1
2
2
2
1
2
2
1
2
= 2
oraz
rz U = rz
1
2
2
1
2
1
2
0
2
1
2
1
= rz
−1
1
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
= 3
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKŁADY RÓWNAŃ
Dla a = 2 mamy rz A = rz
1
2
2
2
1
2
2
1
2
= 2
oraz
rz U = rz
1
2
2
1
2
1
2
0
2
1
2
1
= rz
−1
1
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
= 3
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKŁADY RÓWNAŃ
Dla a = 2 mamy rz A = rz
1
2
2
2
1
2
2
1
2
= 2
oraz
rz U = rz
1
2
2
1
2
1
2
0
2
1
2
1
= rz
−1
1
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
= 3
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKŁADY RÓWNAŃ
Dla a = 2 mamy rz A = rz
1
2
2
2
1
2
2
1
2
= 2
oraz
rz U = rz
1
2
2
1
2
1
2
0
2
1
2
1
= rz
−1
1
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
= 3
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKŁADY RÓWNAŃ
Dla a = 2 mamy rz A = rz
1
2
2
2
1
2
2
1
2
= 2
oraz
rz U = rz
1
2
2
1
2
1
2
0
2
1
2
1
= rz
−1
1
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
= 3
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKŁADY RÓWNAŃ
Dla a = 2 mamy rz A = rz
1
2
2
2
1
2
2
1
2
= 2
oraz
rz U = rz
1
2
2
1
2
1
2
0
2
1
2
1
= rz
−1
1
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
= 3
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay = a
ax + y = 1
x + y = 2 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
|U | =
1
a
a
a
1
1
1
1
2-a
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay = a
ax + y = 1
x + y = 2 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
|U | =
1
a
a
a
1
1
1
1
2-a
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay = a
ax + y = 1
x + y = 2 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
|U | =
1
a
a
a
1
1
1
1
2-a
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay = a
ax + y = 1
x + y = 2 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
|U | =
1
a
a
a
1
1
1
1
2-a
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay = a
ax + y = 1
x + y = 2 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
|U | =
1
a
a
a
1
1
1
1
2-a
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
=
UKŁADY RÓWNAŃ
PRZYKŁAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
x + ay = a
ax + y = 1
x + y = 2 − a
.
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
|U | =
1
a
a
a
1
1
1
1
2-a
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
=
UKŁADY RÓWNAŃ
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
= (a − 1)
2
1
a
a
1
-1
-1
0
-1
-2
=
(a − 1)
2
1
a
-a
1
-1
1
0
-1
0
= (a − 1)
2
(a + 1)
Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKŁADY RÓWNAŃ
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
= (a − 1)
2
1
a
a
1
-1
-1
0
-1
-2
=
(a − 1)
2
1
a
-a
1
-1
1
0
-1
0
= (a − 1)
2
(a + 1)
Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKŁADY RÓWNAŃ
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
= (a − 1)
2
1
a
a
1
-1
-1
0
-1
-2
=
(a − 1)
2
1
a
-a
1
-1
1
0
-1
0
= (a − 1)
2
(a + 1)
Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKŁADY RÓWNAŃ
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
= (a − 1)
2
1
a
a
1
-1
-1
0
-1
-2
=
(a − 1)
2
1
a
-a
1
-1
1
0
-1
0
= (a − 1)
2
(a + 1)
Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKŁADY RÓWNAŃ
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
= (a − 1)
2
1
a
a
1
-1
-1
0
-1
-2
=
(a − 1)
2
1
a
-a
1
-1
1
0
-1
0
= (a − 1)
2
(a + 1)
Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKŁADY RÓWNAŃ
=
1
a
a
a-1
1-a
1-a
0
1-a
2(1-a)
= (a − 1)
2
1
a
a
1
-1
-1
0
-1
-2
=
(a − 1)
2
1
a
-a
1
-1
1
0
-1
0
= (a − 1)
2
(a + 1)
Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 273
Macierz A = {a
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
m
nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,
gdy dla i ∈ Z
n−1
i k ∈ Z
m−1
zachodzi implikacja
a
i j
= 0 dla j ∈ Z
k
⇒ a
i+1 j
= 0 dla j ∈ Z
k+1
TWIERDZENIE 274
Każdy układ równań
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 273
Macierz A = {a
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
m
nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,
gdy dla i ∈ Z
n−1
i k ∈ Z
m−1
zachodzi implikacja
a
i j
= 0 dla j ∈ Z
k
⇒ a
i+1 j
= 0 dla j ∈ Z
k+1
TWIERDZENIE 274
Każdy układ równań
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 273
Macierz A = {a
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
m
nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,
gdy dla i ∈ Z
n−1
i k ∈ Z
m−1
zachodzi implikacja
a
i j
= 0 dla j ∈ Z
k
⇒ a
i+1 j
= 0 dla j ∈ Z
k+1
TWIERDZENIE 274
Każdy układ równań
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
DEFINICJA 275
Niech V b
,
edzie p.w. a Λ : V −→ V odwzorowaniem liniowym.
Jeżeli
istnieje skalar λ i niezerowy wektor v ∈ V
takie, że Λv = λv to skalar λ
nazywamy wartości
,
a własn
,
a odwzorowania Λ,
a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania Λ odpowiadaj
,
acym wartości
własnej λ.
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
DEFINICJA 275
Niech V b
,
edzie p.w. a Λ : V −→ V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar λ i niezerowy wektor v ∈ V
takie, że Λv = λv to skalar λ
nazywamy wartości
,
a własn
,
a odwzorowania Λ,
a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania Λ odpowiadaj
,
acym wartości
własnej λ.
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
DEFINICJA 275
Niech V b
,
edzie p.w. a Λ : V −→ V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar λ i niezerowy wektor v ∈ V
takie, że Λv = λv to skalar λ
nazywamy wartości
,
a własn
,
a odwzorowania Λ,
a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania Λ odpowiadaj
,
acym wartości
własnej λ.
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
DEFINICJA 275
Niech V b
,
edzie p.w. a Λ : V −→ V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar λ i niezerowy wektor v ∈ V
takie, że Λv = λv to skalar λ
nazywamy wartości
,
a własn
,
a odwzorowania Λ,
a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania Λ odpowiadaj
,
acym wartości
własnej λ.
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
TWIERDZENIE 276
Niech V b
,
edzie p.w. o bazie v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) a A : V −→ V
odwzorowaniem liniowym o macierzy M
A
= {a
i j
}
i j∈Z
n
w bazie v.
Skalar λ jest wartości
,
a własn
,
a odwzorowania A wtw, gdy
det(M
A
− λI) = 0.
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
TWIERDZENIE 276
Niech V b
,
edzie p.w. o bazie v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) a A : V −→ V
odwzorowaniem liniowym o macierzy M
A
= {a
i j
}
i j∈Z
n
w bazie v.
Skalar λ jest wartości
,
a własn
,
a odwzorowania A wtw, gdy
det(M
A
− λI) = 0.
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
TWIERDZENIE 277
Niech A : V −→ V b
,
edzie odwzorowaniem liniowym, a skalary
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
r
b
,
ed
,
a wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadaj
,
acymi im odpowiednio wektorami własnymi
v
1
, v
2
, . . . , v
r
.
Jeżeli ∀i, j ∈ Z
k
i 6= j implikuje λ
i
6= λ
j
to wektory
v
1
, v
2
, . . . , v
r
s
,
a liniowo niezależne.
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
TWIERDZENIE 277
Niech A : V −→ V b
,
edzie odwzorowaniem liniowym, a skalary
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
r
b
,
ed
,
a wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadaj
,
acymi im odpowiednio wektorami własnymi
v
1
, v
2
, . . . , v
r
.Jeżeli ∀i, j ∈ Z
k
i 6= j implikuje λ
i
6= λ
j
to wektory
v
1
, v
2
, . . . , v
r
s
,
a liniowo niezależne.
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
TWIERDZENIE 278
Niech dim V = n i niech A : V −→ V b
,
edzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
b
,
ed
,
a wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadaj
,
acymi im odpowiednio wektorami własnymi v
1
, v
2
, . . . , v
n
.
Jeżeli ∀i, j ∈ Z
k
i 6= j implikuje λ
i
6= λ
j
to wektory v
1
, v
2
, . . . , v
n
stanowi
,
a baz
,
e p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) ma postać
λ
1
0
0
. . .
0
0
λ
2
0
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
. . .
λ
n
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
TWIERDZENIE 278
Niech dim V = n i niech A : V −→ V b
,
edzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
b
,
ed
,
a wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadaj
,
acymi im odpowiednio wektorami własnymi v
1
, v
2
, . . . , v
n
.
Jeżeli ∀i, j ∈ Z
k
i 6= j implikuje λ
i
6= λ
j
to wektory v
1
, v
2
, . . . , v
n
stanowi
,
a baz
,
e p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) ma postać
λ
1
0
0
. . .
0
0
λ
2
0
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
. . .
λ
n
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE
TWIERDZENIE 278
Niech dim V = n i niech A : V −→ V b
,
edzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
b
,
ed
,
a wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadaj
,
acymi im odpowiednio wektorami własnymi v
1
, v
2
, . . . , v
n
.
Jeżeli ∀i, j ∈ Z
k
i 6= j implikuje λ
i
6= λ
j
to wektory v
1
, v
2
, . . . , v
n
stanowi
,
a baz
,
e p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) ma postać
λ
1
0
0
. . .
0
0
λ
2
0
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
. . .
λ
n
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron