Granica i ci
ą
gło
ść
funkcji zespolonych
1/5
380 Granica i ci
ą
gło
ść
funkcji zespolonych
Definicja Cauchy’ego granicy funkcji
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
. Mówimy,
Ŝ
e element
C
b
∈
jest
granic
ą
funkcji
f
w punkcie
d
a
Ω
∈
(a wi
ę
c w punkcie skupienia zbioru
Ω
), gdy
ε
δ
δ
ε
<
−
⇒
<
−
Ω
∈
∀
>
∃
>
∀
|
)
(
|
|
|
}
{
\
0
0
b
z
f
a
z
a
z
.
Inaczej:
)
,
(
)
(
}
{
\
)
,
(
ε
δ
b
K
z
f
a
a
K
z
∈
⇒
Ω
∩
∈
Inaczej:
)
,
(
})
{
\
)
,
(
(
ε
δ
b
K
a
a
K
f
⊂
Ω
∩
.
Piszemy
b
x
f
a
z
=
→
)
(
lim
.
Uwaga
Funkcja
f
nie
musi by
ć
okre
ś
lona w punkcie
a
.
Definicja Heinego granicy funkcji
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
. Mówimy,
Ŝ
e element
C
b
∈
jest
granic
ą
funkcji
f
w punkcie
d
a
Ω
∈
(a wi
ę
c w punkcie skupienia zbioru
Ω
), gdy dla
dowolnego ci
ą
gu
)
(
n
z
elementów zbioru
}
{
\ a
Ω
b
z
f
a
z
n
n
→
⇒
→
)
(
.
C
C
Ω
f
a
b
)
(
n
x
f
•
•
•
•
•
n
x
•
C
C
Ω
f
a
b
ε
δ
Granica i ci
ą
gło
ść
funkcji zespolonych
2/5
Twierdzenie o równowa
Ŝ
no
ś
ci
Definicje Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji s
ą
równowa
Ŝ
ne.
Twierdzenie o jednoznaczno
ś
ci granicy
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
. Je
Ŝ
eli funkcja
f
ma granic
ę
w punkcie
d
a
Ω
∈
, to jest ona tylko jedna.
Dowody analogiczne, jak w przypadku funkcji rzeczywistych.
Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
g
f
→
Ω
:
,
posiadaj
ą
sko
ń
czone granice w punkcie
d
a
Ω
∈
.
Funkcja
g
f
+
posiada granic
ę
w punkcie
a
oraz
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
z
g
z
f
z
g
z
f
a
z
a
z
a
z
→
→
→
+
=
+
.
Funkcja
g
f
−
posiada granic
ę
w punkcie
a
oraz
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
z
g
z
f
z
g
z
f
a
z
a
z
a
z
→
→
→
−
=
−
.
Funkcja
g
f
⋅
posiada granic
ę
w punkcie
a
oraz
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
z
g
z
f
z
g
z
f
a
z
a
z
a
z
→
→
→
⋅
=
⋅
.
Je
ś
li
0
)
(
lim
≠
→
z
g
a
z
to funkcja
g
f
posiada granic
ę
w punkcie
a
oraz
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
z
g
z
f
z
g
z
f
a
z
a
z
a
z
→
→
→
=
.
Definicja Cauchy’ego ci
ą
gło
ś
ci funkcji w punkcie
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
. Mówimy,
Ŝ
e funkcja
f
jest
ci
ą
gła w punkcie
Ω
∈
a
, gdy
ε
δ
δ
ε
<
−
⇒
<
−
Ω
∈
∀
>
∃
>
∀
|
)
(
)
(
|
|
|
0
0
a
f
z
f
a
z
z
.
Inaczej:
)
),
(
(
)
(
)
,
(
ε
δ
a
f
K
x
f
a
K
x
∈
⇒
Ω
∩
∈
Inaczej:
)
),
(
(
)
)
,
(
(
ε
δ
a
f
K
a
K
f
⊂
Ω
∩
.
C
C
Ω
f
a
)
(a
f
ε
δ
Granica i ci
ą
gło
ść
funkcji zespolonych
3/5
Uwaga
Funkcja
f
jest zawsze ci
ą
gła w punktach izolowanych swojej dziedziny.
Rzeczywi
ś
cie, je
ś
li
d
a
Ω
Ω
∈
\
, to
∅
=
Ω
∩
}
{
\
)
,
(
a
a
K
δ
dla pewnego
0
>
δ
, a
st
ą
d
)
),
(
(
)
(
})
({
)
)
,
(
(
ε
δ
a
f
K
a
f
a
f
a
K
f
∈
=
=
Ω
∩
dla wszystkich
0
>
ε
.
Funkcja
f
jest ci
ą
gła w punkcie
d
a
Ω
∩
Ω
∈
skupienia swojej dziedziny wtedy
i tylko wtedy, gdy posiada granic
ę
w punkcie
a
oraz
).
(
)
(
lim
a
f
z
f
a
z
=
→
Definicja ci
ą
gło
ś
ci funkcji na zbiorze
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
. Mówimy,
Ŝ
e funkcja
f
jest
ci
ą
gła na zbiorze
Ω
, gdy jest ona ci
ą
gła w ka
Ŝ
dym punkcie
a
zbioru
Ω
.
Definicja Heinego ci
ą
gło
ś
ci funkcji w punkcie
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
. Mówimy,
Ŝ
e funkcja
f
jest
ci
ą
gła w punkcie
Ω
∈
a
, gdy dla dowolnego ci
ą
gu
)
(
n
z
elementów zbioru
Ω
)
(
)
(
a
f
z
f
a
z
n
n
→
⇒
→
.
Uwaga
Je
Ŝ
eli
f
jest ci
ą
gła na zbiorze
Ω
, to dla dowolnego ci
ą
gu
)
(
n
z
elementów
zbioru
Ω
zbie
Ŝ
nego do elementu zbioru
Ω
mamy
)
(lim
)
(
lim
n
n
z
f
z
f
=
.
Twierdzenie
W przestrzeniach metrycznych definicje Cauchy’ego i Heinego ci
ą
gło
ś
ci
funkcji s
ą
równowa
Ŝ
ne.
Twierdzenie o sumie, ró
Ŝ
nicy, iloczynie i ilorazie funkcji ci
ą
głych
Niech
C
⊂
Ω
i niech funkcje
C
g
f
→
Ω
:
,
b
ę
d
ą
ci
ą
głe w punkcie
Ω
∈
a
.
Funkcja
g
f
+
jest ci
ą
gła w punkcie
a
.
Funkcja
g
f
−
jest ci
ą
gła w punkcie
a
.
Funkcja
g
f
⋅
jest ci
ą
gła w punkcie
a
.
Je
ś
li
0
)
(
≠
a
g
to funkcja
g
f
jest ci
ą
gła w punkcie
a
.
C
C
Ω
f
a
)
(
a
f
)
(
n
z
f
•
•
•
•
•
n
x
•
Granica i ci
ą
gło
ść
funkcji zespolonych
4/5
)
(
Ω
f
Ω
C
f
g
h
Twierdzenie o ci
ą
gło
ś
ci zło
Ŝ
enia
Niech
C
⊂
Ω
,
C
f
→
Ω
:
i
C
f
g
→
Ω
)
(
:
. Je
Ŝ
eli funkcja
f
jest ci
ą
gła w punkcie
Ω
∈
a
i funkcja
g
jest ci
ą
gła w punkcie
)
(
a
f
, to funkcja
C
h
→
Ω
:
,
f
g
h
o
=
jest ci
ą
gła w punkcie
Ω
∈
a
.
Dowód
Je
Ŝ
eli
a
z
n
→
, to
)
(
)
(
a
f
z
f
n
→
, a st
ą
d
)
(
))
(
(
))
(
(
)
(
a
h
a
f
g
z
f
g
z
h
n
n
=
→
=
.
Wniosek
Je
Ŝ
eli funkcja
f
jest ci
ą
gła na
Ω
i funkcja
g
jest ci
ą
gła na
)
(
Ω
f
, to funkcja
C
h
→
Ω
:
,
f
g
h
o
=
jest ci
ą
gła na
Ω
.
Twierdzenie o obrazie zbioru spójnego
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
b
ę
dzie funkcj
ą
ci
ą
gł
ą
na
Ω
. Je
Ŝ
eli
Ω
⊂
A
jest
zbiorem spójnym w
Ω
, to zbiór
)
(
Ω
f
jest zbiorem spójnym w
C
.
Uwaga
Mówi
ą
c mniej formalnym j
ę
zykiem: „Funkcja ci
ą
gła nie rozrywa zbioru
spójnego na kilka kawałków”.
Twierdzenie o obrazie zbioru zwartego
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
b
ę
dzie funkcj
ą
ci
ą
gł
ą
na
Ω
. Je
Ŝ
eli
Ω
⊂
A
jest
zbiorem zwartym w
Ω
, to zbiór
)
(
Ω
f
jest zbiorem zwartym w
C
.
Definicja funkcji jednostajnie ci
ą
głej
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
b
ę
dzie funkcj
ą
ci
ą
gł
ą
na
Ω
. Mówimy,
Ŝ
e
funkcja
f
jest
jednostajnie ci
ą
gła na zbiorze
Ω
, gdy
ε
δ
δ
ε
<
−
⇒
<
−
Ω
∈
∀
>
∃
>
∀
|
)
(
)
(
|
|
|
,
0
0
2
1
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
x
x
.
Uwaga
Liczba
δ
zale
Ŝ
y tylko od liczby
ε
, a wi
ę
c nie zale
Ŝ
y od
Ŝ
adnego punktu
zbioru
Ω
.
Wniosek
Ka
Ŝ
da funkcja jednostajnie ci
ą
gła na zbiorze
Ω
jest równie
Ŝ
ci
ą
gła na
Ω
.
Granica i ci
ą
gło
ść
funkcji zespolonych
5/5
Twierdzenie Cantora
Niech
C
⊂
Ω
i niech
C
f
→
Ω
:
b
ę
dzie funkcj
ą
ci
ą
gł
ą
na
Ω
. Je
Ŝ
eli
Ω
⊂
A
jest
zbiorem zwartym w
Ω
, to NWSR:
f
jest funkcj
ą
ci
ą
gł
ą
na
Ω
,
f
jest funkcj
ą
jednostajnie ci
ą
gł
ą
na
Ω
.
Funkcje zdefiniowane na zb. zwartym
ci
ą
głe = jednostajnie ci
ą
głe
Funkcje
ci
ą
głe
jednostajnie ci
ą
głe