LISTA 5/ MATEMATYKA/ LOGISTYKA/ STUDIA NIESTACJONARNE

Ciągi liczbowe

1. Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie

2

1



a

i różnicy

3



r

. Wyznaczyć

a)

5

a

;

b)

13

a

;

c)

21

S

.

2. Dany jest ciąg arytmetyczny

n

a

w którym

1

7



a

i

9

11



a

.

a) Wyznaczyć pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

b) Sprawdzić czy liczby

7

a

,

8

a

,

11

a

tworzą ciąg geometryczny.

c) Wyznacz takie

n

aby suma

n

początkowych wyrazów tego ciągu miała wartość naj-

mniejszą.

3. Dany jest ciąg

n

a

o tej własności, że suma

n

początkowych jego wyrazów (dla każdej licz-

by naturalnej

n

) wynosi

)

7

(

2

1

2

n

n 

. Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Sprawdź czy jest

to ciąg arytmetyczny.

4. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby wiedząc, że suma pierwszej i

czwartej wynosi 36, a suma drugiej i trzeciej 24.

5. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 26, a różnica wyrazów

czwartego i pierwszego wynosi 52. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

6. Zbadać monotoniczność ciągów:

a)

1

1







n

n

a

n

;

b)

2

3

1

2







n

n

a

n

;

c)

1

2

3







n

n

a

n

; d)

3

2

1

2

2







n

n

a

n

;

e)

2

1

3

2







n

n

a

n

f)





1





n

n

a

n

;

g)

1

2







n

n

a

n

; h)

2

3

2

2







n

n

a

n

;

i)

2

5

3







n

n

a

;j)

1

3

2







n

n

a

k)





!

1

2





n

a

n

n

;

l)





!

2

3

1







n

a

n

n

;

ł)

 

n

n

a

1





.

7. Obliczyć granice ciągów:

a)





1

4





n

n

a

n

;

b)

1

4







n

n

a

n

; c)

2

3

2

3

2







n

n

a

n

;

d)

n

n

n

a

n







1

2

2

e)

2

1

2







n

n

a

n

;

f)

2

3

2

3

1

2

n

n

n

a

n







;

g)



 



5

3

8

1

1

3

3

n

n

n

a

n









;

h)

3

3

1

2

2

2







n

n

a

n

i)













4

3

2

3

7

2

2

1

3

n

n

n

n

a

n









;

j)

n

n

a

n







1

;

k)

n

n

a

n

3

1

3







;

l)

2

4

1 n

n

a

n







;

ł)

n

n

n

a

n

2

7

4

2







;

m)

n

n

n

n

a

3

2 



; n)

n

n

n

n

n

a

4

5

2







;

o)

n

n

n

a

3

5

1

















;

p)

3

5

2

1

1



















n

n

n

a

;

r)

n

n

n

n

a

2

3

5

3

















;

s)

n

n

n

n

a



















1

3

;

t)

5

2

1

2

3

n

n

n

a

n







 









u)

n

n

n

n

a

3

3

1



















;

w)

3

7

5

2





















n

n

n

n

a

;x)

3

2

5

3

5

4

n

n

n

a

n









 









.

Wskazówka do punktów o) – x):

1

lim 1

n

n

e

n



















;

lim 1

bn

ab

n

a

e

n



















dla każdych liczb rzeczywistych

a

i

b

Obowiązują dodatkowo zadania z książki Mariana Matłoki Zastosowanie matematyki

w ekonomii