Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej

prof. dr hab. Bogdan Maruszewski

pokój 408 BM

e-mail: [e-mail]

www: http://tm.am.put.poznan.pl

konsultacje: poniedziałek 11

00

− 12

00

Politechnika Poznańska

Instytut Mechaniki Stosowanej

Zakład Mechaniki Technicznej

Więzy

Jeśli rozważamy ruch układów nieswobodnych, należy określić ograniczenia
nałożone na ruch, czyli tzw. więzy.

Gdy układ n punktów jest ograniczony więzami, wówczas współrzędne
prostokątne tych punktów nie są od siebie niezależne i muszą spełniać
pewną ilość równań więzów:

f

ν

(x

1

, y

1

, z

1

, . . . , x

n

, y

n

, z

n

, t) ><= 0 ,

ν = 1, 2, . . . , k

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

2 / 43

Klasyfikacja więzów

skleronomiczne

–

reonomiczne

geometryczne

–

kinematyczne

jednostronne

–

dwustronne

holonomiczne

–

nieholonomiczne

idealne

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

3 / 43

Współrzędne uogólnione

Liczba wszystkich współrzędnych punktów jest równa 3n, ograniczeń jest k,
więc liczba niezależnych współrzędnych wynosi

s

= 3n − k

– liczba stopni swobody

Układ liniowo niezależnych od siebie współrzędnych (parametrów)
wystarczających do opisu ruchu nazywamy współrzędnymi uogólnionymi
q

1

, . . . , q

s

.

W związku z tym wszystkie współrzędne prostokątne układu n punktów
możemy przedstawić w postaci

x

i

= x

i

(q

1

, . . . , q

s

) ,

y

i

= y

i

(q

1

, . . . , q

s

) ,

z

i

= z

i

(q

1

, . . . , q

s

)

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

4 / 43

Przesunięcia przygotowane

Rozważmy nieswobodny punkt A, który musi pozostawać na pewnej
nieruchomej powierzchni.

Załóżmy pewne pomyślane przesunięcie elementarne tego punktu po
powierzchni zgodnie z więzami, oczywiście w płaszczyźnie stycznej do tej
powierzchni. Przesunięcie to nie jest rzeczywiste, więc nie możemy go
oznaczyć dr. Oznaczamy je przez δ r. Przesunięcie takie nazywamy
przesunięciem przygotowanym

.

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

5 / 43

Przesunięcia przygotowane

W układzie kartezjańskim

δ r = δ x i + δ y j + δ z k ,

gdzie δ x, δ y, δ z to wariacje współrzędnych. Wielkości te nie są od siebie
niezależne. Niech równanie więzów ma postać

f

(x, y, z) = 0 .

Po przesunięciu przygotowanym punkt będzie miał współrzędne

x

+ δ x, y + δ y, z + δ z

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

6 / 43

Przesunięcia przygotowane

Ponieważ z założenia przesunięcie to jest zgodne z więzami (punkt nie
opuszcza powierzchni), to muszą być spełnione równania

f

(x + δ x, y + δ y, z + δ z) = 0

oraz

f

(x + δ x, y + δ y, z + δ z) − f (x, y, z) = 0 .

Ostatnie wyrażenie to δ f , czyli

δ f =

∂ f

∂ x

δ x +

∂ f

∂ y

δ y +

∂ f

∂ z

δ z = 0

lub

grad f · δ r = 0 .

Równanie to oznacza, że δ r jest zawsze styczne do powierzchni.

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

7 / 43

Przesunięcia przygotowane – układ punktów

Dla układu n punktów mamy

f

ν

(x

1

, y

1

, z

1

, . . . , x

n

, y

n

, z

n

) = 0 ,

ν = 1, 2, . . . , k

δ r

i

= [δ x

i

, δ y

i

, δ z

i

]

i

= 1, 2, . . . , n

n

∑

i

=1



∂ f

ν

∂ x

i

δ x

i

+

∂ f

ν

∂ y

i

δ y

i

+

∂ f

ν

∂ z

i

δ z

i



= 0

lub

n

∑

i

=1

grad f

ν

· δ r

i

= 0 .

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

8 / 43

Wzory transformacyjne

Jeżeli teraz położenie układu rozpatrywać będziemy we wspórzędnych
uogólnionych, to zgodnie z

x

i

= x

i

(q

1

, . . . , q

s

) ,

y

i

= y

i

(q

1

, . . . , q

s

) ,

z

i

= z

i

(q

1

, . . . , q

s

)

r

i

= r

i

(q

1

, . . . , q

s

)

mamy s przesunięć przygotowanych δ q

1

, . . . , δ q

s

, a wzory transformacyjne

przyjmują następującą postać:

δ x

i

=

s

∑

j

=1

∂ x

i

∂ q

j

δ q

j

,

δ y

i

=

s

∑

j

=1

∂ y

i

∂ q

j

δ q

j

,

δ z

i

=

s

∑

j

=1

∂ z

i

∂ q

j

δ q

j

lub

δ r

i

=

s

∑

j

=1

∂ r

i

∂ q

j

δ q

j

.

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

9 / 43

Praca przygotowana

Załóżmy, że punktowi, na który działa siła P udzielamy przesunięcia δ r.
Wówczas pracę tej siły na tym przesunięciu

δ L = P· δ r

nazywamy pracą przygotowaną

δ L = Pδ s cos α ,

δ s = |δ r|

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

10 / 43

Praca przygotowana

Dla układu n punktów i n sił mamy

δ L =

n

∑

i

=1

δ L

i

=

n

∑

i

=1

P

i

· δ r

i

=

n

∑

i

=1

(P

ix

δ x

i

+ P

iy

δ y

i

+ P

iz

δ z

i

)

Dla układu punktów nieswobodnych dochodzi praca reakcji więzów

n

∑

i

=1

R

i

· δ r

i

Jeśli więzy są idealne, to

n

∑

i

=1

R

i

· δ r

i

= 0

(R

i

⊥ δ r

i

)

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

11 / 43

Praca przygotowana

Załóżmy teraz, że układ punktów znajduje się w równowadze.
Dla i-tego punktu mamy

P

i

+ R

i

= 0 .

Stąd

P

i

· δ r

i

+ R

i

· δ r

i

= 0 ,

a dla układu

n

∑

i

=1

P

i

· δ r

i

+

n

∑

i

=1

R

i

· δ r

i

= 0 .

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

12 / 43

Zasada prac przygotowanych

Twierdzenie

Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia równowagi w układzie
jest, by suma prac przygotowanych sił czynnych i reakcji więzów na
przesunięciach przygotowanych była równa zeru.

Dla więzów idealnych mamy

n

∑

i

=1

P

i

· δ r

i

= 0

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

13 / 43

Zasada prac przygotowanych – Przykład

P

1

δ s

1

− P

2

δ s

2

= 0

δ s

1

= aδ ϕ ,

δ s

2

= bδ ϕ

Stąd:

(P

1

a

− P

2

b

)δ ϕ = 0

Przy dowolnym δ ϕ 6= 0 mamy

P

1

a

− P

2

b

= 0 ,

czyli

P

1

P

2

=

b

a

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

14 / 43

Zasada prac przygotowanych

Można wykazać, że zasada prac przygotowanych jest równoważna
statycznym warunkom równowagi.
Załóżmy, że przemieszczenie dowolnego punktu bryły ma postać

δ r = δ r

0

+ δ ϕ

ϕ

ϕ × r

i

n

∑

i

=1

P

i

· δ r

i

=

n

∑

i

=1

P

i

· (δ r

0

+ δ ϕ

ϕ

ϕ × r

i

) = δ r

0

n

∑

i

=1

P

i

+

n

∑

i

=1

P

i

· (δ ϕ

ϕ

ϕ × r

i

) = 0 ,

czyli

δ r

0

n

∑

i

=1

P

i

+ δ ϕ

ϕ

ϕ ·

n

∑

i

=1

(r

i

× P

i

) = 0

Ponieważ r

i

i ϕ

ϕ

ϕ są dowolne, to

n

∑

i

=1

P

i

= 0

oraz

n

∑

i

=1

(r

i

× P

i

) = 0

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

15 / 43

Siły uogólnione

Praca przygotowana sił P

1

, P

2

, . . . , P

n

:

δ L =

n

∑

i

=1

(P

ix

δ x

i

+ P

iy

δ y

i

+ P

iz

δ z

i

) =

=

n

∑

i

=1

P

ix

s

∑

j

=1

∂ x

i

∂ q

j

δ q

j

+ P

iy

s

∑

j

=1

∂ y

i

∂ q

j

δ q

j

+ P

iz

s

∑

j

=1

∂ z

i

∂ q

j

δ q

j

!

Zmieniając kolejność sumowania, mamy:

δ L =

s

∑

j

=1

"

n

∑

i

=1



P

ix

∂ x

i

∂ q

j

+ P

iy

∂ y

i

∂ q

j

+ P

iz

∂ z

i

∂ q

j



#

|

{z

}

Q

j

– siła uogólniona

δ q

j

δ L =

s

∑

j

=1

Q

j

δ q

j

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

16 / 43

Siły uogólnione – Przykład

Wahadło fizyczne

δ L = P· δ r

A

= −Pl sin ϕδ ϕ

δ L = Q

ϕ

δ ϕ

Q

ϕ

= −Pl sin ϕ = −M

z

Siła uogólniona jest w tym przypadku momentem siły P względem osi
obrotu.

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

17 / 43

Zachowawcze pole sił

Układ poddany więzom idealnym znajduje się w zachowawczym polu sił

P

ix

= −

∂ V

∂ x

i

,

P

iy

= −

∂ V

∂ y

i

,

P

iz

= −

∂ V

∂ z

i

.

We współrzędnych uogólnionych

Q

j

= −

n

∑

i

=1



∂ V

∂ x

i

∂ x

i

∂ q

j

+

∂ V

∂ y

i

∂ y

i

∂ q

j

+

∂ V

∂ z

i

∂ z

i

∂ q

j



,

czyli

Q

j

= −

∂ V

∂ q

j

,

przy czym

V

= V(q

1

, q

2

, . . . , q

s

)

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

18 / 43

Równowaga w zachowawczym polu sił

Jeżeli układ ma znajdować się w położeniu równowagi, to

∂ V

∂ q

1

= 0 ,

∂ V

∂ q

2

= 0 ,

. . . ,

∂ V

∂ q

s

= 0 .

Twierdzenie

W położeniu równowagi układu materialnego poddanego więzom idealnym
i znajdującego się w zachowawczym polu sił energia potencjalna tego
układu spełnia warunki konieczne do istnienia ekstremum.

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

19 / 43

Ogólne równanie dynamiki analitycznej

Opierając sie na zasadzie d’Alemberta możemy każde zadanie z mechaniki
sprowadzić do równowagi sił czynnych i bezwładności. Korzystając z tego
i zasady prac przygotowanych, mamy

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

a

i

)· δ r

i

= 0 ,

czyli

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)· δ r

i

= 0 .

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

20 / 43

Ogólne równanie dynamiki analitycznej

W przypadku nieswoobodnego układu materialnego o więzach idealnych
suma prac przygotowanych sił czynnych i sił bezwładności na dowolnym
przemieszczeniu przygotowanym tego układu równa się zeru.

Ogólne równanie dynamiki analitycznej

przyjmuje postać:

n

∑

i

=1

h

(P

ix

− m

i

¨x

i

)δ x

i

+ (P

iy

− m

i

¨y

i

)δ y

i

+ (P

iz

− m

i

¨z

i

)δ z

i

i

= 0

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

21 / 43

Ogólne równanie dynamiki analitycznej – Przykład

Wyznaczyć przyspieszenia a

1

i a

2

:

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

22 / 43

Ponieważ nić jest nierozciągliwa, to

a

1

= a

2

= a .

Ogólne równanie dynamiki:

(m

1

g − m

1

a

1

)· δ r

1

+ (m

2

g − m

2

a

2

)· δ r

2

= 0

Oznaczmy

|δ r

1

| = |δ r

2

| = δ s

m

1

g· δ r

1

= m

1

gδ s sin α

m

2

g· δ r

2

= −m

2

gδ s sin β

m

1

a

1

· δ r

1

= m

1

aδ s

m

2

a

2

· δ r

2

= m

2

aδ s

Stąd

[(m

1

sin α − m

2

sin β )g − a(m

1

+ m

2

)] δ s = 0

(m

1

sin α − m

2

sin β )g − a(m

1

+ m

2

) = 0

czyli

a

= a

1

= a

2

= g

m

1

sin α − m

2

sin β

m

1

+ m

2

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

23 / 43

Opis ruchu układu nieswobodnego

Ogólne równanie dynamiki analitycznej razem z równaniami więzów
pozwala opisać ruch układu nieswobodnego, to znaczy































n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)· δ r

i

= 0

f

ν

(r

i

, t) = 0

n

∑

i

=1

grad f

ν

· δ r

i

= 0

Po wymnożeniu ostatniego równania przez λ

ν

i dodaniu do pierwszego

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

+ λ

ν

grad f

ν

)· δ r

i

= 0

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

24 / 43

Równania Lagrange’a I rodzaju

Ponieważ δ r

i

są dowolne, to

m

i

¨r

i

= P

i

+ λ

ν

grad f

ν

f

ν

(r

i

, t) = 0

λ

ν

to tzw. nieoznaczone mnożniki Lagrange’a.

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

25 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju

Ogólne równanie dynamiki analitycznej

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)· δ r

i

= 0

jest spełnione dla więzów idealnych

δ r

i

=

s

∑

j

=1

∂ r

i

∂ q

j

δ q

j

.

Pamiętamy, że

r

i

= r

i

(q

1

, . . . , q

s

, t)

oraz

q

j

= q

j

(t) .

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

26 / 43

Ponieważ δ q

j

są dowolne, można założyć, że tylko jedna wariacja δ q

j

6= 0.

Wówczas

δ r

i

=

∂ r

i

∂ q

j

δ q

j

.

i ogólne równanie będzie

"

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)·

∂ r

i

∂ q

j

#

δ q

j

= 0 .

Ponieważ δ q

j

jest dowolne, to

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)·

∂ r

i

∂ q

j

= 0 ,

czyli

n

∑

i

=1

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

n

∑

i

=1

P

i

·

∂ r

i

∂ q

j

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

27 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju

Oczywiście równań tych możemy ułożyc tyle, ile jest współrzędnych
uogólnionych.

Rozpisując prawą stronę, mamy

n

∑

i

=1

P

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

n

∑

i

=1



P

ix

∂ x

i

∂ q

j

+ P

iy

∂ y

i

∂ q

j

+ P

iz

∂ z

i

∂ q

j



= Q

j

.

Stąd

n

∑

i

=1

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

= Q

j

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

28 / 43

W tym miejscu wprowadzimy dwie tożsamości niezbędne do przekształcenia
lewej strony równania. Biorąc pod uwagę, że

r

i

= r

i

(q

1

, . . . , q

s

, t) ,

mamy

˙r

i

= v

i

=

∂ r

i

∂ q

1

˙q

1

+ . . . +

∂ r

i

∂ q

s

˙q

s

+

∂ r

i

∂ t

Wielkości ˙q

j

nazywamy prędkościami uogólnionymi.

Różniczkując tę równość względem konkretnego ˙q

j

, otrzymujemy pierwszą

z tożsamości:

∂ ˙

r

i

∂ ˙

q

j

=

∂ r

i

∂ q

j

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

29 / 43

Drugą tożsamość otrzymamy różniczkując

∂ r

i

∂ q

j

względem czasu:

d

dt



∂ r

i

∂ q

j



=

∂

2

r

i

∂ q

1

∂ q

j

˙q

1

+ . . . +

∂

2

r

i

∂ q

s

∂ q

j

˙q

s

+

∂

2

r

i

∂ t∂ q

j

Z drugiej strony różniczkując względem q

j

wyrażenie na ˙r

i

, mamy

∂ ˙

r

i

∂ q

j

=

∂

2

r

i

∂ q

j

∂ q

1

˙q

1

+ . . . +

∂

2

r

i

∂ q

j

∂ q

s

˙q

s

+

∂

2

r

i

∂ q

j

∂ t

Stąd

d

dt



∂ r

i

∂ q

j



=

∂ ˙

r

i

∂ q

j

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

30 / 43

Wykorzystując otrzymane tożsamości, mamy:

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

d

dt



m

i

˙r

i

·

∂ r

i

∂ q

j



− m

i

˙r

i

·

d

dt



∂ r

i

∂ q

j



m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

d

dt



m

i

˙r

i

·

∂ ˙

r

i

∂ ˙

q

j



− m

i

˙r

i

·

∂ ˙

r

i

∂ q

j

=

=

d

dt



∂

∂ ˙

q

j

 m

i

˙r

2

i

2



−

∂

∂ q

j

 m

i

˙r

2

i

2



.

Czyli dla całego układu

n

∑

i

=1

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

n

∑

i

=1

 d

dt



∂

∂ ˙

q

j

 m

i

v

2

i

2



−

∂

∂ q

j

 m

i

v

2

i

2



=

=

d

dt

"

∂

∂ ˙

q

j

n

∑

i

=1

m

i

v

2

i

2

!#

−

∂

∂ q

j

n

∑

i

=1

m

i

v

2

i

2

!

.

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

31 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju

Tak więc

n

∑

i

=1

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

d

dt



∂ T

∂ ˙

q

j



−

∂ T

∂ q

j

oraz

d

dt



∂ T

∂ ˙

q

j



−

∂ T

∂ q

j

= Q

j

Energia kinetyczna w ogólności jest zatem funkcją

T

= T(q

1

, . . . , q

s

, ˙q

1

, . . . , ˙q

s

, t) .

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

32 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju

W przypadku ruchu układu w potencjalnym polu sił mamy

Q

j

= −

∂ V

∂ q

j

,

czyli

d

dt



∂ T

∂ ˙

q

j



−

∂ T

∂ q

j

= −

∂ V

∂ q

j

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

33 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju

Wprowadzając funkcję

L

= T − V ,

gdzie

T

= T(˙q

1

, . . . , ˙q

s

) ,

V

= V(q

1

, . . . , q

s

) ,

mamy

d

dt



∂ (T − V )

∂ ˙

q

j



−

∂ (T − V )

∂ q

j

= 0 ,

czyli

d

dt



∂ L

∂ ˙

q

j



−

∂ L

∂ q

j

= 0

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

34 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju – Przykład 1

Wahadło matematyczne

s

= 1

q

1

= ϕ

Ogólna postać równania ruchu:

d

dt



∂ T

∂ ˙

ϕ



−

∂ T

∂ ϕ

= −

∂ V

∂ ϕ

Energia kinetyczna:

T

=

1

2

mv

2

=

1

2

ml

2

˙

ϕ

2

Stąd

∂ T

∂ ˙

ϕ

= ml

2

˙

ϕ ,

∂ T

∂ ϕ

= 0 ,

d

dt



∂ T

∂ ˙

ϕ



= ml

2

¨

ϕ

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

35 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju – Przykład 1

Jeżeli przyjmiemy, że w położeniu
równowagi ϕ = 0, to

V

= mgl(1 − cos ϕ)

oraz

∂ V

∂ ϕ

= mgl sin ϕ

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

36 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju – Przykład 1

Możemy też rozważyć pracę
przygotowaną siły ciężkości:

δ L = mgδ r cos



π

2

+ ϕ



,

δ r = lδ ϕ .

Stąd

δ L = mglδ ϕ sin ϕ ,

δ L = Qδ q = mgl sin ϕ δ ϕ ,

czyli

Q

= mgl sin ϕ = −

∂ V

∂ ϕ

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

37 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju – Przykład 1

Podstawiając do ogólnej postaci
równania Lagrange’a II rodzaju,
mamy:

ml

2

¨

ϕ = −mgl sin ϕ ,

co ostatecznie zapisujemy w postaci

¨

ϕ +

g

l

sin ϕ = 0

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

38 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju – Przykład 2

s

= 2

q

1

= ϕ ,

q

2

= ξ

Położenie i prędkość punktu A
w kartezjańskim układzie współrzędnych:

x

= ξ + l sin ϕ ,

˙x = ˙

ξ + l ˙

ϕ cos ϕ

y

= l cos ϕ ,

˙y = −l ˙

ϕ sin ϕ

Energia kinetyczna i potencjalna:

T

=

1

2

m

(˙x

2

+ ˙y

2

) =

=

1

2

m



l

2

˙

ϕ

2

+ ˙

ξ

2

+ 2l ˙

ϕ ˙

ξ cos ϕ



V

= −mgy +

1

2

cξ

2

= −mgl cos ϕ +

1

2

cξ

2

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

39 / 43

Równania Lagrange’a II rodzaju dla omawianego układu:

d

dt



∂ T

∂ ˙

ϕ



−

∂ T

∂ ϕ

= −

∂ V

∂ ϕ

d

dt



∂ T

∂ ˙

ξ



−

∂ T

∂ ξ

= −

∂ V

∂ ξ

Po obliczeniu poszczególnych pochodnych funkcji T i V otrzymujemy:

(

ml

2

¨

ϕ + ml ¨

ξ cos ϕ + mgl sin ϕ = 0

m ¨

ξ + ml ¨

ϕ cos ϕ − ml ˙

ϕ

2

sin ϕ + cξ = 0

Dla małego wychylenia ϕ mamy cos ϕ ≈ 1, sin ϕ ≈ ϕ, a równania ruchu
przyjmują postać











¨

ϕ +

1

l

¨

ξ +

g

l

ϕ = 0

¨

ξ + l ¨

ϕ +

c

m

ξ = 0

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

40 / 43

Energia kinetyczna układu materialnego

Jeśli chcemy stosować równania Lagrange’a, energię kinetyczną musimy
formułować w wielkościach uogólnionych. We współrzędnych
prostokątnych, przy zastosowaniu konwencji sumacyjnej, energia kinetyczna
ma postać

T

=

1

2

m

i

˙x

2
i

+ ˙y

2
i

+ ˙z

2
i

,

i

= 1, . . . , n

Współrzędne kartezjańskie są funkcjami q

j

i t. Stąd różniczkując x

i

, y

i

, z

i

względem t mamy

˙x

i

=

∂ x

i

∂ q

1

˙q

1

+

∂ x

i

∂ q

2

˙q

2

+ . . . +

∂ x

i

∂ q

s

˙q

s

+

∂ x

i

∂ t

=

∂ x

i

∂ q

j

˙q

j

+

∂ x

i

∂ t

,

˙y

i

=

∂ y

i

∂ q

1

˙q

1

+

∂ y

i

∂ q

2

˙q

2

+ . . . +

∂ y

i

∂ q

s

˙q

s

+

∂ y

i

∂ t

=

∂ y

i

∂ q

j

˙q

j

+

∂ y

i

∂ t

,

j

= 1, . . . , s

˙z

i

=

∂ z

i

∂ q

1

˙q

1

+

∂ z

i

∂ q

2

˙q

2

+ . . . +

∂ z

i

∂ q

s

˙q

s

+

∂ z

i

∂ t

=

∂ z

i

∂ q

j

˙q

j

+

∂ z

i

∂ t

.

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

41 / 43

Ogólna postać wyrażenia na energię kinetyczną

Wstawiając uzyskane składowe prędkości do energii, otrzymujemy

T

=

1

2

a

kl

˙q

k

˙q

l

+ b

k

˙q

k

+

1

2

c

0

gdzie:

a

kl

=

a

lk

= m

i



∂ x

i

∂ q

k

∂ x

i

∂ q

l

+

∂ y

i

∂ q

k

∂ y

i

∂ q

l

+

∂ z

i

∂ q

k

∂ z

i

∂ q

l



,

b

k

=

m

i



∂ x

i

∂ q

k

∂ x

i

∂ t

+

∂ y

i

∂ q

k

∂ y

i

∂ t

+

∂ z

i

∂ q

k

∂ z

i

∂ t



,

c

0

=

m

i

"



∂ x

i

∂ t



2

+



∂ y

i

∂ t



2

+



∂ z

i

∂ t



2

#

,

k

, l = 1, . . . , s

Z powyższych wzorów wynika, że

a

kl

= a

kl

(q

j

, t) ,

b

k

= b

k

(q

j

, t) ,

c

0

= c

0

(q

j

, t) .

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

42 / 43

Ogólna postać wyrażenia na energię kinetyczną

Gdy więzy, którym podlega układ, są skleronomiczne, wówczas x

i

, y

i

, z

i

nie zależą bezpośrednio od czasu:

∂ x

i

∂ t

=

∂ y

i

∂ t

=

∂ z

i

∂ t

= 0

oraz b

k

= 0, c

0

= 0. W takim przypadku

T

=

1

2

a

kl

˙q

k

˙q

l

to znaczy energia kinetyczna jest jednorodną formą kwadratową
prędkości uogólnionych ˙q

j

.

Bogdan Maruszewski

Mechanika analityczna

43 / 43