1

In

terp

olacja

funk

cjami

sklejan

ymi

1.1

Sform

ulo

w

anie

zadania

Przy

in

terp

olacji

Lagrange'a

lub

wymiernej

zaklada

sie,

ze

dana

funk

cja

f

przyblizana

jest

jedn

ym

wielo-

mianem

(funk

cja

wymierna)

na

calym

o

dcinku

[a;

b]

.

Przy

t

ym

zalozeniu

jedyna

mozliw

oscia

uzysk

ania

lepszego

przyblizenia

jest

zwiekszenie

stopnia

wielomian

u.

Nie

za

wsze

m

usi

to

jednak

dzialac.

W

tej

sytuacji

naturalne

jest

inne

sform

ulo

w

anie

zadania.

Niec

h

(
)

b

edzie

ukladem

punkto

w

x

0

;

x

1

;

:

:

:

;

x

N

dzielacyc

h

przedzial

[a;

b]

na

N

czesci,

tzn.

(
)

a

=

x

0

<

x

1

<

:

:

:

<

x

N

=

b

(1)

W

k

azdym

z

p

o

dprzedzialo

w

[x

i

;

x

i+1

]

przyblizam

y

f

wielomianem

ustalonego

(raczej

niskiego)

stop-

nia.

Czesto

istotne

jest,

ab

y

tak

sk

onstruo

w

ane

przyblizenie,

ktore

jest

wielomianem

(na

ogol

rozn

ym)

w

k

azdym

z

p

o

dprzedzialo

w

b

ylo

ciagle

wraz

z

o

dp

o

wiednimi

p

o

c

ho

dn

ymi

na

calym

o

dcinku

[a;

b].

F

unk

c-

jami

o

t

yc

h

wlasnosciac

h

sa

funkcje

sklejane

(ang.

spline).

Omo

wim

y

tu

wlasnosci

in

terp

olacyjn

yc

h

funk

cji

sklejanc

h

i

przedsta

wim

y

algorytm

ic

h

wyznaczania

dla

przypadku

funk

cji

stopnia

3.

1.2

F

unk

cje

sklejane

Denicja

F

unk

cje

rzeczywista

S

nazyw

am

y

funkcja

sklejana

stopnia

m

z

w

ezlami

(
)

a

=

x

0

<

x

1

<

:

:

:

<

x

N

=

b

(2)

jesli



w

k

azdym

przedziale

(x

i

1

;

x

i

)

dla

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

+

1

(x

1

=

inf

;

x

N

+1

=

+

inf

)

S

jest

wielomi-

anem

stopnia

nie

wyszego

niz

m,



S

i

jej

p

o

c

ho

dne

rzedu

1;

2;

:

:

:

;

m

1

sa

ciagle

na

calej

osi

rzeczywistej,

S

2

C

m

1

.

W

na

jprostszym

przypadku,

dla

m

=

1,

funk

cja

sklejana

jest

p

o

prostu

lamana.

Z

denicji

tej

wynik

a

ro

wniez,

ze

wielomian

y

sa

szczegoln

ym

przypadkiem

funk

cji

sklejan

yc

h.

Denicja

F

uk

cje

sklejana

stopnia

2m

1

z

w

ezlami

(
)

nazyw

am

y

natur

al

na

funk

cja

sklejana,

jesli

w

przedzialac

h

(

inf

;

x

0

)

i

(x

N

;

+

inf

)

dana

jest

wielomianami

m

1

(a

nie

2m

1).

Dalej

b

edziem

y

sie

za

jmo

w

ali

funk

cjami

sklejan

ymi

in

terp

olujacymi

dane

punkt

y

(x

i

;

y

i

),

tzn.

takimi,

ze

S

(x

i

)

=

y

i

dl

a

w

ez

l

ow

(
)

(3)

W

calej

klasie

funk

cji

sklejan

yc

h

zadanie

to

nie

jest

wyznaczone

jednoznacznie.

Wystarczy

jednak

ograniczyc

sie

do

naturaln

yc

h

funk

cji

sklejan

yc

h,

dla

ktoryc

h

jest

pra

wdziw

e

p

onizsze

t

wierdzenie.

Twierdzenie

Jezeli

w

ezly

x

i

sa

rozne

dla

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

oraz

1



m



N

+

1,

to

dla

do

w

oln

yc

h

w

artosci

y

i

istnieje

dokladnie

jedna

naturalna

funk

cja

sklejana

S

in

terp

olujaca

punkt

y

(x

i

;

y

i

),

tzn.

tak

a,

ze

S

(x

i

)

=

y

i

dla

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

.

Za

jmijm

y

sie

algorytmem

wyznaczania

naturalnej

in

terp

olacyjnej

funk

ci

sklejanej

S

stopnia

3.

Szuk

ana

funk

cje

mozem

y

przedsta

wic

w

k

azdym

z

p

o

dprzedzialo

w

w

p

ostaci

S

(x)

=

a

i

+

b

i

t

+

c

i

t

2

+

d

i

t

3

(4)

gdzie

t

=

x

x

i

dl

a

x

2

[x

i

;

x

i+1

);

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

1

(5)

Oczywiscie

a

i

=

S

(x

i

)

=

y

i

.

Do

wyznaczenia

p

ozosta

je

zatem

jeszcze

3N

wsp

olczynnik

o

w.

P

oniew

az

S;

S

0

;

S

00

ma

ja

b

yc

ciagle

w

w

ezlac

h

x

i

(i

=

1;

2;

:

:

:

;

N

1),

otrzymam

y

stad

3N

3

ro

wnania.

Brakujace

w

arunki

uzysk

am

y

z

zalozenia,

ze

S

jest

funk

cja

sklejana

naturalna.

Z

ciaglosci

S

00

w

w

ezlac

h

x

i

(i

=

1;

2;

:

:

:

;

N

1)

wynik

a

ja

ro

wnosci

2c

i+1

=

2c

i

+

6d

i

h

i

;

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

1

(6)

1

gdzie

h

i

=

x

i+1

x

i

a

2c

N

=

S

00

(x

N

0)

(7)

A

wiec

d

i

=

c

i+1

c

i

3h

i

;

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

1

(8)

Dalej,

z

ciaglosci

S

w

punktac

h

x

i

(i

=

1;

2;

:

:

:

;

N

)

i

w

arunku

in

terp

olacyjnego

S

(x

N

)

=

y

N

dosta

jem

y

dla

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

1

y

i+1

=

y

i

+

b

i

h

i

+

c

i

h

2

i

+

d

i

h

3

i

(9)

a

stad

i

ze

wzoru

(8)

b

i

=

y

i+1

y

i

h

i

h

i

3

(c

i+1

+

2c

i

);

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

1

(10)

W

reszcie

z

ciaglosci

S

0

w

w

ezlac

h

x

i

(i

=

1;

2;

:

:

:

;

N

1)

otrzym

ujem

y

b

i+1

=

b

i

+

2c

i

h

i

+

3d

i

h

2

i

;

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

2

(11)

P

o

dsta

wia

jac

w

miejsce

b

i

oraz

d

i

(11)

i

(8)

dosta

jem

y

p

o

przeksztalceniac

h

h

i

h

i

+

h

i+1

c



i

+

2c



i+1

+

h

i+1

h

i

+

h

i+1

c



i+2

=

(

y

i+2

y

i+1

h

i+1

y

i+1

y

i

h

i

)=(h

i

+

h

i+1

)

(12)

dla

i

=

0;

1;

:

:

:

;

N

2,

gdzie

c



i

=

c

i

3

.

Jesli

szuk

ana

funk

cja

jest

naturalna

funk

cja

sklejana,

to

S

00

(x

0

)

=

S

00

(x

N

)

=

0

i

stad

c



0

=

c



N

=

0.

A

zatem

znalezienie

wsp

olczynnik

o

w

(4)

spro

w

adza

sie

w

t

ym

przypadku

do

rozwiazania

ukladu

ro

wnan

linio

wyc

h

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

2

w

1

0

:

:

:

:

0

u

2

2

w

2

:

:

:

:

:

0

u

3

2

w

3

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

0

:

:

:

:

:

u

N

2

2

w

N

2

0

:

:

:

:

0

u

N

1

2

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

c



1

c



2

c



3

:

:

:

c



N

2

c



N

1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

v

1

v

2

v

3

:

:

:

v

N

2

v

N

1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

gdzie

u

i

=

h

i

1

h

i

1

+

h

i

;

w

i

=

h

i

h

i

1

+

h

i

;

v

i

=

(

y

i+1

y

i

h

i

y

i

y

i

1

h

i

1

)=(h

i

1

+

h

i

)

(13)

a

nastepnie

wyznaczenie

p

ozostalyc

h

wsp

olczynnik

o

w

szuk

anej

funk

cji

sklejanej

ze

wzoro

w

(8)

i

(11).

1.3

Rozwiazanie

ukladu

ro

wnan

Uklad

ro

wnan

liniwyc

h

t

ypu:

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

d

1

w

1

0

:

:

:

:

0

u

2

d

2

w

2

:

:

:

:

:

0

u

3

d

3

w

3

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

0

:

:

:

:

:

u

N

1

d

N

1

w

N

1

0

:

:

:

:

0

u

N

d

N

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

c

1

c

2

c

3

:

:

:

c

N

1

c

N

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

v

1

v

2

v

3

:

:

:

v

N

1

v

N

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

mozna

rozwiazac

w

bardzo

prost

y

sp

osob

p

oprzez

k

olejne

o

dejmo

w

anie

wierszy

w

celu

wy

elimino

w

a-

nia

k

olejn

yc

h

zmienn

yc

h.

T

o

znaczy:

o

d

drugiego

wiersza

nalezy

o

djac

pierwszy

przemnozon

y

przez

2

u

2

d

1

.

P

ozb

yw

am

y

sie

w

ten

sp

osob

zmiennej

c

1

z

drugiego

ro

wnania.

P

o

wtarza

jac

te

czynnosc

w

ostat-

nim

ro

wnaniu

otrzymam

y

ro

wnanie

na

c

N

.

Nastepnie

idac

do

gory

b

edziem

y

mogli

obliczyc

wszystkie

wsp

olczynniki

c

i

.

Algorytm

wyglada

nastepujaco:

f

or

i

=

2

to

n

do

v

[i]

=

v

[i]

v

[i

1]



u[i]

d[i

1]

d[i]

=

d[i]

w

[i

1]



u[i]

d[i

1]

u[i]

=

0:

f

or

i

=

n

dow

nto

1

do

c[i]

=

v

[i]

w

[i]



c[i

+

1]

d[i]

3