ALGEBRA LINIOWA
Literatura:
S.Kowalski „Algebra liniowa” – skrypt
Ci
ą
g ( sko
ń
czony )
Ci
ą
gi ( podwójne ) =: macierze
a
wk
w
Є
{ 1,2, ..... m } – wiersze
k
Є
{ 1,2, ..... n } – kolumny
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
a
x
8
5
1
macierz kwadratowa ( w = k )
DZIAŁANIA NA MACIERZACH
Dodawanie ( warunek równo
ś
ci wymiarów )
−
=
−
+
3
2
1
1
5
7
7
6
4
2
0
1
1
4
5
5
1
0
1
0
4
3
2
1
Macierz zerowa – wszystkie elementy równe 0 ( element metody dodawania )
Transponowanie macierzy ( A
T
) – zamiana wiersz na kolumny
=
0
3
4
2
5
1
0
4
5
3
2
1
T
( A + B )
T
= A
T
+ B
T
MNO
Ż
ENIE PRZEZ LICZBY
Liczba mno
ż
ona jest przez wszystkie elementy macierzy
[
] [
]
15
0
5
3
0
1
5
=
∗
(
αααα
* A )
T
=
αααα
T
* A
T
MNO
Ż
ENIE MACIERZY
−
=
+
+
+
+
−
+
−
+
+
+
=
−
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+
+
=
−
−
∗
−
12
4
3
4
4
0
8
0
0
4
6
1
4
0
2
2
2
*
2
1
*
0
2
*
4
0
*
1
2
*
0
1
*
4
2
*
3
1
*
1
2
*
2
0
*
3
2
*
1
1
*
2
2
0
1
2
2
1
2
0
4
3
1
2
−
−
=
+
+
−
+
+
−
−
+
+
=
−
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
=
−
∗
−
−
4
0
8
8
2
0
1
1
10
4
0
0
0
8
0
2
6
0
2
4
4
4
3
0
1
8
2
2
*
2
3
*
0
0
*
2
1
*
0
4
*
2
2
*
0
2
*
1
3
*
2
0
*
1
1
*
2
4
*
1
2
*
2
2
*
2
3
*
1
0
*
2
1
*
1
4
*
2
2
*
1
2
0
4
3
1
2
2
0
1
2
2
1
Definicja mno
ż
enia macierzy
n
m
n
w
w
m
C
B
A
∗
∗
∗
=
∗
wr
kw
r
k
r
k
kr
b
a
b
a
b
a
C
+
+
+
=
.....
2
2
1
1
Mno
ż
enie macierzy nie jest przemienne
A
B
B
A
∗
≠
∗
=
∗
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
∗
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
1
0
0
1
I
3
- macierz jednostkowa
3-go stopnia
Macierz jednostkowa
stopnia 2-go
A
I
A
m
n
=
∗
*
Stopie
ń
macierzy – ilo
ść
jedynek po przek
ą
tnej
A
A
I
w
m
n
=
∗
∗
(
)
T
T
T
n
w
w
m
A
B
B
A
∗
=
∗
∗
∗
(
)
BC
AC
C
B
A
+
=
∗
+
MACIERZE KWADRATOWE
Wyznacznik macierzy
[ ]
6
6
=
2
6
5
7
4
7
6
5
4
−
=
∗
−
∗
a
Schemat Sarrusa ( tylko do wyznaczników stopnia trzeciego )
(
) (
)
(
)
(
)
0
255
255
)
72
48
105
(
96
84
45
9
4
2
1
8
6
7
5
3
3
8
4
7
6
2
9
5
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=
−
=
+
+
−
+
+
=
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
−
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
=
Algorytm CHIO
0
36
36
6
6
12
3
12
6
6
3
7
3
9
1
7
2
8
1
4
3
6
1
4
2
5
1
9
7
3
1
8
7
2
1
6
4
3
1
5
4
2
1
1
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=
−
=
−
∗
−
−
−
∗
−
=
−
−
−
−
=
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
=
a
Rozwini
ę
cie Laplase’a
0
27
48
21
3
9
6
8
3
7
)
4
2
5
1
(
)
1
(
9
)
4
3
6
1
(
)
1
(
8
)
5
*
3
6
2
(
)
1
(
7
5
4
2
1
)
1
(
9
6
4
3
1
)
1
(
8
6
5
3
2
)
1
(
7
9
8
7
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
3
2
3
1
3
=
−
+
−
=
−
∗
+
−
∗
−
+
−
∗
=
∗
−
∗
−
+
∗
−
∗
−
+
−
∗
−
=
−
+
−
+
−
=
+
+
+
Algorytm CHIO
160
16
2560
16
256
2816
16
16
16
176
16
176
16
16
16
16
1
13
13
7
1
13
2
10
1
2
13
10
1
2
2
12
1
16
1
7
13
13
1
10
13
2
1
10
2
13
1
12
2
2
1
1
1
16
1
7
10
13
10
12
2
13
2
1
16
1
1
1
2
4
1
2
3
4
1
3
4
4
2
1
3
4
2
2
4
4
2
3
1
4
3
1
4
4
3
2
1
4
3
3
2
4
16
1
2
1
1
4
3
1
2
4
4
1
3
4
3
2
1
4
4
2
2
4
1
2
3
4
4
3
1
4
1
3
2
4
2
3
3
4
4
1
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
1
2
3
4
2
3
2
4
−
=
−
=
−
−
=
∗
−
−
∗
−
−
=
−
−
−
=
∗
−
∗
−
∗
−
−
∗
−
−
∗
−
∗
−
−
∗
−
−
∗
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∗
=
−
−
−
=
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
=
=
−
−
Wyznaczniki w arkuszach kalkulacyjnych
Excel
Berive
ZASTOSOWANIA
Odwracanie macierzy
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jej wyznacznik
jest ró
ż
ny od 0
0
det
≠
A
Wzór
T
A
A
=
−
det
1
1
determinanta
Macierz doł
ą
czona
A
d
, A
D
, adj A
[ ]
mn
ij
a
A
=
−
1
M
rs
– minor ( wyznacznik ) bez r-tego wiersza s-tej kolumny
0
8
8
)
8
0
0
(
)
0
2
6
(
)
2
2
2
3
1
0
0
1
1
(
)
0
0
2
1
1
2
2
1
3
(
det
,
2
1
0
0
1
2
1
2
3
=
−
=
+
+
−
+
+
=
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
−
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
=
=
A
A
A – macierz nie jest odwracalna ( det A = 0 )
8
0
8
)
0
0
0
(
)
0
2
6
(
)
2
2
0
3
0
1
0
1
1
(
)
0
0
0
1
1
2
2
1
3
(
det
,
2
1
0
0
1
2
1
0
3
=
−
=
+
+
−
+
+
=
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
−
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
=
=
B
B
B – macierz jest odwracalna (
0
det
≠
B
)
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
D
D
D
B
B
B
=
−
−
−
=
∗
−
∗
∗
−
∗
−
∗
−
∗
∗
−
∗
−
∗
−
∗
∗
−
∗
−
∗
−
∗
∗
−
∗
−
∗
−
∗
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
2
1
3
6
1
2
4
2
2
0
1
3
)
2
1
0
3
(
1
1
0
0
)
0
0
1
3
(
0
1
2
3
)
1
1
2
0
(
0
1
1
2
)
0
0
2
2
(
0
1
2
1
1
2
0
3
0
2
1
3
0
1
1
0
1
0
0
3
2
0
1
3
2
1
1
0
1
0
1
2
2
0
0
2
2
1
0
1
1
2
0
3
)
1
(
0
2
1
3
)
1
(
0
1
1
0
)
1
(
1
0
0
3
)
1
(
2
0
1
3
)
1
(
2
1
1
0
)
1
(
1
0
1
2
)
1
(
2
0
0
2
)
1
(
2
1
0
1
)
1
(
,
2
1
0
0
1
2
1
0
3
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
=
−
8
3
8
3
8
2
8
2
8
6
8
4
8
1
8
1
8
2
3
3
2
2
6
4
1
1
2
8
1
3
2
1
3
6
1
2
4
2
8
1
)
(
det
1
1
T
T
D
B
B
B
Sprawdzenie wyniku
I
B
B
=
∗
−
1
=
=
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
+
−
+
+
−
−
+
+
+
=
∗
+
∗
+
−
∗
−
∗
+
∗
+
∗
∗
+
−
∗
+
∗
∗
+
∗
+
−
∗
−
∗
+
∗
+
∗
∗
+
−
∗
+
∗
∗
+
∗
+
−
∗
−
∗
+
∗
+
∗
∗
+
−
∗
+
∗
=
−
−
−
∗
1
0
0
0
1
0
0
0
1
8
8
0
0
0
8
8
0
0
0
8
8
8
6
8
2
0
8
6
8
6
0
8
4
8
4
0
0
8
2
8
2
0
8
6
8
2
0
8
4
8
4
8
3
0
8
3
8
3
0
8
3
8
2
0
8
6
8
3
2
8
2
1
8
1
0
8
3
2
8
6
1
8
1
0
8
2
2
8
4
1
8
2
0
8
3
0
8
2
1
8
1
2
8
3
0
8
6
1
8
1
2
8
2
0
8
4
1
8
2
2
8
3
1
8
2
0
8
1
3
8
3
1
8
6
0
8
1
3
8
2
1
8
4
0
8
2
3
8
3
8
3
8
2
8
2
8
6
8
4
8
1
8
1
8
2
2
1
0
0
1
2
1
0
3
RÓWNANIA LINIOWE
2x-y=2 - wykresem jest prosta ( w R
2
)
2x+y+3z=5 – wykresem jest płaszczyzna ( w R
3
)
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
3
2
3
1
3
2
2
2
1
2
1
2
1
1
.......
.......
......
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
n
n
n
n
n
n
- wykresem jest płaszczyzna w ( R
n-1
)
Inny zapis ( macierzowy )
=
∗
3
2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
...
....
....
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
mn
m
m
n
n
1
1
∗
∗
∗
=
∗
m
n
n
m
B
X
A
- układ równa
ń
liniowych
[ ]
)
1
(
+
∗
n
m
AB
- macierz rozszerzona
Układy Cramera
−
=
+
+
−
=
+
−
=
+
+
2
4
4
5
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
=
−
2
5
1
*
4
1
4
2
1
1
1
1
1
3
2
1
x
x
x
- posta
ć
macierzowa
1
∗
∗
=
n
n
n
B
X
A
0
det
≠
A
- mam dwie metody
1. metoda wzorów Cramera
2. metoda wzorów macierzowych
3
2
5
)
4
2
4
(
)
1
8
4
(
det
,
4
1
4
2
1
1
1
1
1
=
−
=
+
+
−
−
+
+
−
=
−
=
A
A
−
−
=
4
1
2
2
1
5
1
1
1
1
A
- kolumn
ę
pierwsz
ą
zamieniamy kolumn
ą
wyrazów wolnych
3
det
1
=
A
macierz
główna
macierz
niewiadoma
kolumna
wyrazów
wolnych
wyrazy wolne
macierz kwadratowa
−
−
=
4
2
4
2
5
1
1
1
1
2
A
- kolumn
ę
drug
ą
zamieniamy kolumn
ą
wyrazów wolnych
6
4
4
20
1
))
2
(
8
20
(
det
2
=
−
+
−
−
−
+
+
−
=
A
−
−
−
=
4
2
4
5
1
1
1
1
1
3
A
- kolumn
ę
trzeci
ą
zamieniamy kolumn
ą
wyrazów wolnych
6
11
17
))
5
(
)
2
(
4
(
)
1
)
20
(
2
(
det
3
−
=
+
−
=
−
+
−
+
−
−
+
−
+
=
A
2
3
6
det
det
2
3
6
det
det
1
3
3
det
det
5
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
−
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
=
+
−
=
+
+
A
A
x
A
A
x
A
A
x
x
x
x
x
x
x
−
=
+
+
−
=
+
−
=
+
+
2
4
4
5
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
A
X
Odp
B
A
X
A
A
B
X
A
∗
=
∗
=
∗
∗
=
∗
−
−
−
1
1
1
:
Metoda macierzy odwrotnych
3
1
,
4
1
4
2
4
1
1
1
1
1
=
−
=
−
A
A
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
2
3
5
1
0
4
3
3
6
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
4
1
1
4
4
1
1
4
1
1
1
1
4
1
1
4
4
2
1
4
1
2
1
D
A
Wzory Cramera
−
=
4
1
4
2
4
1
1
1
1
A
−
−
−
−
=
−
2
3
5
1
0
4
3
3
6
3
1
1
A
−
=
−
=
+
−
+
−
+
−
=
−
−
∗
−
−
−
−
=
2
2
1
6
6
3
3
1
4
15
5
2
4
6
15
6
3
1
2
5
1
2
3
5
1
0
4
3
3
6
3
1
X
Eliminacja Gaussa
−
=
+
+
−
=
+
−
=
+
+
2
4
4
5
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Operacje elementowe
rs
E
- zamiana r-tego równania z s-tym
)
(
α
r
E
- r-te równanie pomno
ż
one przez
0
≠
α
)
(
,
α
s
r
E
- r-te równanie pomno
ż
one przez
α
dodajemy do s-tego
−
−
−
2
4
1
4
5
2
1
1
1
1
1
1
- macierz rozszerzona
Macierz wyst
ę
puje w postaci normalnej je
ż
eli:
−
pierwszy niezerowy element wiersza jest
−
je
ż
eli w kolumnie jest
to pozostałe elementy tej kolumny s
ą
zerami
−
przemieszcza si
ę
schodkowo w prawo
−
wiersze zerowe s
ą
po niezerowych
0
0
0
0
0
5
1
0
0
0
7
0
2
1
0
- macierz jest w postaci normalnej
→
−
→
−
−
→
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−
−
−
)
3
1
(
)
1
(
)
1
(
)
4
(
),
1
(
3
1
,
2
2
,
3
3
,
1
2
,
1
6
3
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
6
0
3
0
0
1
1
0
1
1
1
1
6
0
3
0
6
1
2
0
1
1
1
1
2
4
1
4
5
2
1
1
1
1
1
1
E
E
E
E
E
N
E
A
=
−
→
−
−
2
1
0
0
2
0
1
0
1
0
0
1
2
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
)
1
(
2
,
3
- posta
ć
normalna
=
=
=
3
2
1
3
2
1
x
x
x
Rz
ą
d macierzy
1. Liczba niezerowa wierszy w postaci normalnej tych macierzy
2.
⇔
=
K
A
w macierzy A istnieje niezerowy minor stopnia K oraz nie istniej
ą
niezerowe minory stopnia wy
ż
szego
2
det
,
3
6
4
5
3
1
2
4
2
−
=
−
−
A
Odp: rz
ą
d macierzy równy 3
Przykład:
0
4
7
5
1
4
7
2
5
6
,
6
4
7
5
3
1
4
7
4
2
5
3
=
−
−
−
=
−
−
−
−
B
- wszystkie macierze 3-go stopnia s
ą
zerowe
Odp: rz
ą
d macierzy = 2 rzB=2
Twierdzenie ( Konecker, Capelli)
Układ równa
ń
A*X=B ma rozwi
ą
zanie wtedy i tylko wtedy gdy
[ ]
AB
rzA
=
2000-09-15
Przestrzenie liniowe
K
R
- zbiór macierzy K=1 ( kolumnowy )
R
3
=
8
7
5
a
=
1
0
2
b
Macierz kolumnowa – wektor
C
b
a
=
=
+
=
+
19
14
16
3
0
6
16
14
10
3
2
- C jest kombinacj
ą
liniow
ą
wektorów a i b
skalary
)
,
( b
a
Lin
C
∈
wtedy i tylko wtedy gdy istniej
ą
liczby
α
i
β
takie,
ż
e
C
b
a
C
=
+
=
β
α
β
α
,
- współczynniki kombinacji
Przedstaw wektor
14
9
6
X
w postaci kombinacji liniowej wektorów
=
1
1
1
a
=
2
1
1
b
=
3
2
1
c
c
b
a
X
χ
β
α
+
+
=
+
+
=
3
2
1
2
1
1
1
1
1
14
9
6
χ
β
α
X
Przestrzenie z iloczynem skalarnym
n
n
n
n
y
x
y
x
y
x
y
y
y
x
x
x
+
+
+
=
L
M
o
M
2
2
1
1
det
2
1
2
1
1.
x
x
x
∗
=
- długo
ść
( norma )
2.
0
=
∗
⇔
⊥
y
x
y
x
- ortogonalno
ść
3.
(
)
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
=
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
G
3
2
3
1
3
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
,
,
,
L
L
L
K
( )
b
a
G
Pole
,
=
(
)
c
b
a
G
Obj
,
,
.
=
b
a
b
a
c
−
=
−
−
=
1
1
0
1
,
2
1
2
1
b
a
( )
3
2
2
2
1
0
1
10
4
1
4
1
26
3
2
2
10
,
=
∗
=
∗
=
+
−
+
=
∗
=
+
+
+
=
∗
=
=
∗
∗
∗
∗
=
b
b
a
b
b
a
a
a
b
b
a
b
b
a
a
a
b
a
G
Pole równe jest pierwiastkowi z wyznacznika
09
,
5
26
=
Ortogonalizacja bazy metod
ą
Gramma – Smidtha
(
)
k
b
b
b
b
B
,
,
,
,
3
2
1
K
=
- baza
−
=
=
=
1
1
1
1
,
1
0
0
1
,
1
0
2
1
3
2
1
b
b
b
C
ZY TO JEST BAZA
?
3
1
1
1
1
0
0
1
0
2
1
1
1
=
−
rz
( najwi
ę
kszy niezerowy minor macierzy )
Je
ż
eli rz
ą
d macierzy jest równy liczbie generatorów to jest to baza, je
ż
eli rz
ą
d
macierzy jest mniejszy od liczby generatorów to nie jest to baza.
Nowa baza ( ortogonalna )
(
)
3
2
1
,
,
O
O
O
=
ϕ
1. I wektor
O
1
wybieramy dowolnie spo
ś
ród wektorów bazy B. Np.
=
=
1
0
2
1
1
2
b
O
w kolumnach s
ą
generatory
2. II wektor O
2
okre
ś
la si
ę
nast
ę
puj
ą
co
2
1
2
2
O
b
O
α
+
=
z warunkiem
1
2
O
O
⊥
( ortogonalny )
(
)
0
0
1
1
1
2
1
2
=
+
⇔
=
O
O
b
O
O
o
o
α
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
1
O
O
O
O
b
b
O
O
O
O
O
b
∗
−
−
=
∗
−
=
o
o
o
α
−
=
=
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
=
1
0
2
1
3
1
1
0
0
1
6
1
0
4
1
1
0
2
1
1
0
2
1
2
1
0
0
1
1
0
2
1
1
0
0
1
2
1
1
1
2
O
O
O
O
b
o
o
o
o