- 1 -
2. PODSTAWOWE PRAWA I TWIERDZENIA
TEORII OBWODÓW
2.1. SCHEMAT IDEOWY OBWODU
Schematem ideowym obwodu (siecią) nazywamy graficzne przed-
stawienie obwodu , pokazujące kolejność i sposób połączeń jego ele-
mentów.
Wszystkim uwzględnionym w modelu parametrom układu odpowiadają określone
elementy, ich symbole graficzne oraz wartości, natomiast odcinki łączące elementy
traktujemy jako idealne przewodniki (nie rozpraszające i nie akumulujące energii).
Na schemacie wyróżniamy: gałęzie, węzły i oczka.
Gałąź obwodu
jest to układ zawierający jeden lub wiele dowolnie połą-
czonych elementów (zarówno pasywnych jak i aktywnych), posiadający
dwie wyprowadzone końcówki (zaciski) do połączenia z pozostałą czę-
ścią obwodu.
Gałąź jest więc dwójnikiem do opisu którego wystarczy znajomość
napięcia gałęziowego ug i prądu gałęziowego ig.
u
g
1
2
Gałąź obwodu
Końcówkom gałęzi często narzuca się kolejność, tzn. oznaczamy jed-
ną z nich jako pierwszą (1), która stanowi początek gałęzi a pozostałą jako
drugą (2), stanowiącą jej koniec.
- 2 -
Węzłem obwodu
nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi, do której jest
przyłączona jedna następna gałąź lub kilka gałęzi.
• Węzłem głównym obwodu nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi do
której dołączono co najmniej dwie inne gałęzie (w1 i w3). Zatem wę-
zeł główny (zwany potocznie węzłem), to taki punkt (zacisk) obwodu
w którym zbiegają się co najmniej trzy końcówki różnych gałęzi.
• Jeśli liczba zbiegających się w punkcie końcówek gałęzi jest równa
dwa, to punkt nazywamy węzłem pomocniczym. (w2).
w1
w2
w3
Ilustracja pojęcia węzła głównego i pomocniczego
Oczko obwodu
elektrycznego jest to zbiór połączonych ze sobą gałęzi
tworzących zamkniętą drogę dla prądu i posiadającą tę właściwość, że
po usunięciu dowolnej gałęzi oczka pozostałe gałęzie nie tworzą drogi
zamkniętej.
oczko
Ilustracja pojęcia oczka obwodu
- 3 -
UWAGA:
• obwodem prostym bądź obwodem nierozgałęzionym na-
zywamy obwód zawierający wyłącznie jedno oczko,
• obwodem złożonym lub inaczej rozgałęzionym nazywamy
obwód zawierający nie mniej niż dwa oczka.
Gałęzie obwodu mogą tworzyć połączenie:
szeregowe, równoległe, gwiazdowe lub wieloboczne (wielokątne).
¾
Układ połączeń nazywamy
szeregowym
, wtedy gdy w każdej gałęzi
układu występuje ten sam prąd elektryczny, tzn. o tej samej wartość
i zwrocie.
Połączenie szeregowe
¾
Układ połączeń nazywamy
równoległym
, wtedy gdy na każdej gałęzi
układu występuje to samo napięcie elektryczne, tzn. o tej samej war-
tość i zwrocie.
u
u
u
u
Połączenie równoległe
- 4 -
¾
Połączenie n gałęzi obwodu w taki sposób, że końce każdej z gałęzi
tworzą wspólny węzeł (zwany punktem zerowym), pozostałe zaś koń-
ce dołączone są do innych elementów obwodu nazywamy połącze-
niem
gwiazdowym
.
Szczególnym przypadkiem połączenia gwiazdowego przy n = 3 jest po-
łączenie w gwiazdę trójramienną.
¾
Połączenie gałęzi obwodu w figurę płaską, która ma n wierzchołków
i boki łączące każdy wierzchołek z wszystkimi pozostałymi, nazywa-
my połączeniem
wielokątnym
(wielobocznym).
Szczególnym przypadkiem połączenia wielokątnego przy n = 3 jest po-
łączenie w trójkąt.
1
3
0
2
3
2
1
a)
b)
Połączenie: a) gwiazdowe (gwiazda trójramienna),
b) wielokątne (trójkątowe)
- 5 -
2.2. PRAWA KIRCHHOFFA I ZASADA TELLEGENA
I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK)
Algebraiczna suma natężeń prądów we wszystkich gałę-
ziach dołączonych do jednego, dowolnie wybranego węzła
obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:
∑
=
=
∧
n
k
k
k
t
t
i
1
0
)
(
λ
(2.1)
gdzie:
λ
k
=
±1 (+ jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; - jeśli zwrot jest
przeciwny, od węzła)
b)
a)
( )
( ) ( )
( )
0
4
3
2
1
=
+
−
+
−
t
i
t
i
t
i
t
i
( )
( ) ( )
0
3
2
1
=
−
+
t
i
t
i
t
i
Ilustracja PPK: a) dla węzła, b) dla węzła jako obszaru
- 6 -
II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK)
Algebraiczna suma napięć na wszystkich elementach, two-
rzących dowolnie wybrane oczko obwodu, jest w każdej
chwili czasu równa zeru:
∑
=
=
∧
n
k
k
k
t
t
u
1
0
)
(
ν
(2.2)
gdzie:
ν
k
=
±1 (+ jeśli zwrot napięcia jest zgodny z przyjętym za dodatni kie-
runkiem obiegu oczka; - jeśli jest przeciwny)
( )
( )
( )
( )
( )
0
5
4
3
2
1
=
−
+
+
−
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
Ilustracja NPK
- 7 -
Zasada Tellegena
W każdym odosobnionym obwodzie (obwodzie nie wymie-
niającym energii z otoczeniem) skupionym suma mocy
chwilowych pobieranych przez wszystkie elementy obwodu
jest w każdej chwili czasu równa zeru:
∑
=
=
∧
n
k
k
t
t
p
1
0
)
(
(2.3)
Pamiętając, że w każdej chwili niektóre elementy obwodu faktycznie
pobierają moc (p
k
> 0) a inne ją faktycznie oddają (p
k
< 0) z powyższej za-
leżności wynika, iż:
suma mocy pobieranych przez elementy obwodu skupionego
jest w każdej chwili równa sumie mocy oddawanych przez po-
zostałe elementy obwodu.
Zasada Tellegena zwana jest także zasadą bilansu mocy.
Taki sam wniosek formułuje się w odniesieniu do energii pobranych
i oddanych przez elementy obwodu skupionego w dowolnym przedziale
czasu od t
1
do t
2
:
∑ ∫
∫ ∑
=
=
=
=
n
k
t
t
k
t
t
n
k
k
t
p
t
p
1
1
0
)
(
)
(
2
1
2
1
(2.4)
Oznacza to, że
w dowolnym przedziale czasu <t
1
,t
2
> suma energii pobranych
przez elementy obwodu skupionego jest równa sumie energii
oddanych przez pozostałe elementy obwodu.
Zasada Tellegena wyraża zatem także zasadą zachowania energii.
- 8 -
2.3.
ŁĄCZENIE SZEREGOWE I RÓWNOLEGŁE ELEMENTÓW
¾
ŁĄCZENIE REZYSTORÓW
• Połączenie szeregowe n rezystorów
i
R
i
R
i
R
i
R
i
R
u
u
u
u
n
k
k
n
n
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∑
=1
2
1
2
1
K
K
(2.5)
∑
=
=
n
k
k
R
R
1
(2.6)
• Połączenie równoległe n rezystorów
u
G
u
G
u
G
u
G
u
G
i
i
i
i
n
k
k
n
n
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∑
=1
2
1
2
1
K
K
(2.7)
∑
∑
=
=
=
=
n
k
k
n
k
k
R
R
G
G
1
1
1
1
lub
(2.8)
- 9 -
¾
ŁĄCZENIE CEWEK INDUKCYJNYCH
• Połączenie szeregowe n cewek indukcyjnych
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
u
u
u
u
n
n
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
=
+
+
+
=
+
+
+
=
K
K
2
1
2
1
(2.9)
i
L
i
L
i
L
i
L
i
L
n
k
k
n
=
=
+
+
+
=
∑
=1
2
1
K
Ψ
(2.10)
∑
=
=
n
k
k
L
L
1
(2.11)
• Połączenie równoległe n cewek indukcyjnych
.
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
=
=
=
=
⇒
=
=
=
=
=
n
n
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
u
K
K
2
1
2
1
(2.12)
L
L
L
L
L
i
i
i
i
n
k
k
n
n
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∑
=1
2
1
2
1
1
K
K
(2.13)
∑
=
=
n
k
k
L
L
1
1
1
(2.14)
- 10 -
¾
ŁĄCZENIE KONDENSATORÓW
• Połączenie szeregowe n kondensatorów
q
q
q
q
dt
dq
dt
dq
dt
dq
dt
dq
i
n
n
=
=
=
=
⇒
=
=
=
=
=
K
K
2
1
2
1
(2.15)
C
q
q
C
C
q
C
q
C
q
u
u
u
u
n
k
k
n
n
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∑
=1
2
1
2
1
1
K
K
(2.16)
∑
=
=
n
k
k
C
C
1
1
1
(2.17)
• Połączenie równoległe n kondensatorów
dt
dq
dt
dq
dt
dq
dt
dq
i
i
i
i
n
n
=
+
+
+
=
+
+
+
=
K
K
2
1
2
1
(2.18)
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
q
n
k
k
n
=
=
+
+
+
=
∑
=1
2
1
K
(2.19)
∑
=
=
n
k
k
C
C
1
(2.20)
- 11 -
¾
ŁĄCZENIE IDEALNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIA
• Połączenie szeregowe n idealnych źródeł napięcia
∑
=
=
n
k
k
u
u
1
0
0
(2.21)
• Połączenie równoległe n idealnych źródeł napięcia jest możliwe
(z uwagi na równość definicyjną (1.24)) tylko w przypadku szcze-
gólnym, gdy wszystkie siły elektromotoryczne są jednakowe
.
n
k
u
u
k
,
,
2
,
1
0
0
K
=
=
(2.22)
- 12 -
¾
ŁĄCZENIE IDEALNYCH ŹRÓDEŁ PRĄDU
• Połączenie szeregowe n idealnych źródeł prądu jest możliwe
(z uwagi na równość definicyjną (1.25)) tylko w przypadku szcze-
gólnym, gdy wszystkie wydajności prądowe są jednakowe
n
k
i
i
k
Z
Z
,
,
2
,
1 K
=
=
(2.23)
• Połączenie równoległe n idealnych źródeł prądu
∑
=
=
n
k
k
Z
Z
i
i
1
(2.24)
- 13 -
2.4.
TWIERDZENIA VASCHY’EGO
I twierdzenie Vaschy’ego
W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie
zmianie, jeżeli do każdej gałęzi dołączonej do dowolnego
węzła włączy się szeregowo idealne, jednakowe o tym sa-
mym zwrocie względem węzła, źródła napięcia.
Uwaga:
• równanie wynikające z PPK dla
przykładowo wyróżnionego węzła
nie ulega zmianie po włączeniu
źródeł napięciowych,
• równanie napięciowe dla dowolnie
wybranego oczka, w którym wy-
stąpi wyróżniony węzeł, będzie
dodatkowo zawierało dwa napięcia
u
0
o przeciwnych znakach.
II twierdzenie Vaschy’ego
W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie
zmianie, jeżeli do każdej gałęzi wybranego oczka włączy się
równolegle idealne, jednakowe o tym samym zwrocie
względem obiegu oczka, źródła prądu.
Uwaga:
• równania wynikające z PPK dla
każdego z węzłów przykładowo
rozpatrywanego oczka, będą za-
wierały dodatkowo dwa prądy
iz o
przeciwnych znakach.
• równanie napięciowe przykładowo
wybranego oczka nie ulegnie
zmianie po włączeniu idealnych
źródeł prądowych
.
- 14 -
2.5.
ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI OBWODÓW
Często pożądaną rzeczą jest:
• zredukowanie obwodu do prostszej postaci (bardziej zwartej)
lub
• przekształcenie obwodu do innej postaci,
które jest równoważne z obwodem wyjściowym.
Dwa układy są równoważne z punktu widzenia ich zacisków, je-
żeli zależności między napięciami i prądami związanymi z tymi
zaciskami są w obu układach identyczne
Przykład:
transfiguracja trójników pasywnych
1
3
2
3
2
1
R
1
R
2
R
3
R
12
R
23
R
31
>
<
Dany
trójkąt szukamy gwiazdy Dana
gwiazda szukamy trójkąta
31
23
12
12
31
1
R
R
R
R
R
R
+
+
=
31
23
12
23
12
2
R
R
R
R
R
R
+
+
=
31
23
12
31
23
3
R
R
R
R
R
R
+
+
=
3
2
1
2
1
12
R
R
R
R
R
R
+
+
=
1
3
2
3
2
23
R
R
R
R
R
R
+
+
=
2
1
3
1
3
31
R
R
R
R
R
R
+
+
=
- 15 -
2.6.
ŹRÓDŁA RZECZYWISTE
Z zależności (1.24) oraz (1.25) wynika teoretyczna możliwość odda-
wania przez takie źródła do obwodu dowolnie dużej mocy chwilowej. Aby
uniknąć tej rozbieżności z rzeczywistością uwzględnia się straty występu-
jące w każdym realnym elemencie źródłowym. Prowadzi to do pojęcia
źródła rzeczywistego
.
UWAGA:
rozważamy źródła rzeczywiste dla obwodów prądu stałego
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO
NAPIĘCIA
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO
PRĄDU
jest elementem o równaniu:
I
R
U
U
w
−
=
0
(2.25)
U
0
– siła elektromotoryczna źródła
R
W
– rezystancja wewnętrzna źródła
jest elementem o równaniu:
U
G
I
I
w
Z
−
=
(2.26)
I
Z
– wydajność prądowa źródła
G
W
– konduktancja wewnętrzna źródła
Traktuje się je jako połączenie sze-
regowe idealnego źródła napięcia i
rezystora
R
W
. G
dy
R
W
=0 otrzymuje
się idealne źródło napięciowe.
Traktuje się je jako połączenie
równoległe idealnego źródła prądu
i rezystora
R
W
. Gdy
R
W
=
∞ (G
W
=0)
otrzymuje się idealne źródło prą-
dowe.
Źródła te są równoważne
,
gdy ich rezystancje wewnętrzne są sobie równe i gdy
Z
W
I
R
U
=
0
- 16 -
2.7.
TWIERDZENIE THEVENINA I TWIERDZENIE NORTONA
DLA OBWODÓW PRĄDU STAŁEGO
Twierdzenie Thevenina
(o zastępczym źródle/generatorze napięciowym)
Dowolny aktywny dwójnik rezystancyjny klasy SLS można
zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem napięcio-
wym o napięciu źródłowym U
0
i rezystancji wewnętrznej
R
W
, przy czym:
- napięcie źródłowe U
0
jest równe napięciu na rozwartych
zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego U
SJ
)
- rezystancja wewnętrzna R
W
, jest równa rezystancji za-
stępczej (rezystancji wejściowej R
AB
) dwójnika pasywne-
go (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w
wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich
autonomicznych źródeł energii (zastąpieniu idealnych
źródeł napięcia zwarciami a idealnych źródeł prądowych
rozwarciami).
DA
A
B
A
B
A
B
DA
A
B
DP
Wyznaczenie: oraz
- 17 -
Twierdzenie Nortona
(o zastępczym źródle/generatorze prądowym)
Dowolny aktywny dwójnik rezystancyjny klasy SLS można
zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem prądowym o
prądzie źródłowym I
Z
i konduktancji wewnętrznej G
W
, przy
czym:
- prąd źródłowy I
Z
jest równy prądowi płynącemu przez
zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia I
SZ
)
- konduktancja wewnętrzna G
W
, jest równa konduktancji
zastępczej (konduktancji wejściowej G
AB
) dwójnika pa-
sywnego (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu
w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszyst-
kich autonomicznych źródeł energii (zastąpieniu ideal-
nych źródeł napięcia zwarciami a idealnych źródeł prą-
dowych rozwarciami).
DA
A
B
A
B
DA
A
B
DP
Wyznaczenie: oraz
A
B
- 18 -
2.8. DOPASOWANIE OBCIĄŻENIA DO ŹRÓDŁA
MOCE W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO
Zgodnie z definicją ogólną (1.4) wszystkie moce w obwodach prądu
stałego są stałymi funkcjami czasu.
W odniesieniu do obwodu rezystancyjnego prądu stałego zasada Tel-
legena (2.3) przyjmuje postać:
∑
=
=
n
k
k
P
1
0
(2.27)
gdzie
k
k
k
I
U
P
=
jest mocą pobieraną przez
k-ty element obwodu
Pamiętając, że niektóre elementy obwodu faktycznie pobierają moc
(
P
k
> 0) a inne ją faktycznie oddają (
P
k
< 0) z powyższej zależności wyni-
ka, że:
suma mocy pobieranych przez elementy obwodu jest równa
sumie mocy oddawanych przez pozostałe elementy obwodu.
Mówimy, że w obwodzie spełniony jest bilans mocy.
- 19 -
SPRAWNOŚĆ ŹRÓDEŁ
¾
SPRAWNOŚĆ RZECZYWISTEGO ŹRÓDŁA NAPIĘCIA
Rozpatrujemy rzeczywiste źródło napięcia
RŹN o napięciu źródłowym
U
0
i rezystancji wewnętrznej
R
W
obciążone dwójnikiem o rezystancji
R
obc
.
RŹN
Obc.
Z obwodem tym związane są na-
stępujące moce:
P
CU
- moc całkowita (moc od-
dawana przez idealne źró-
dło napięcia do obwodu);
P
strU
- moc tracona (moc pobie-
rana przez rezystancję
wewnętrzną źródła);
P
uż
- moc użyteczna (moc po-
bierana przez obciążenie,
inaczej moc oddawana
przez
RŹN do Obc.)
Sprawność rzeczywistego źródła napięcia, definiuje się jako:
0
U
U
P
P
CU
uż
u
=
=
η
(2.28)
Ponieważ, zgodnie z zasadą Tellegena:
uż
strU
CU
P
P
P
+
=
(2.29)
obc
W
obc
uż
strU
uż
u
R
R
R
P
P
P
+
=
+
=
η
(2.30)
1
0,5
- 20 -
¾
SPRAWNOŚĆ RZECZYWISTEGO ŹRÓDŁA PRĄDU
Rozpatrujemy rzeczywiste źródło prądu
RŹP o prądzie źródłowym I
Z
i konduktancji wewnętrznej
G
W
obciążone dwójnikiem o konduktancji
G
obc
Obc.
RŹP
Z obwodem tym związane są na-
stępujące moce:
P
CI
- moc całkowita (moc od-
dawana przez idealne źró-
dło prądu do obwodu);
P
strI
- moc tracona (moc pobie-
rana przez konduktancję
wewnętrzną źródła);
P
uż
- moc użyteczna (moc po-
bierana przez obciążenie,
inaczej moc oddawana
przez
RŹP do Obc.)
Sprawność rzeczywistego źródła prądu, definiuje się jako:
Z
CI
uż
i
I
I
P
P
=
=
η
(2.31)
Ponieważ, zgodnie z zasadą Tellegena:
uż
strI
CI
P
P
P
+
=
(2.32)
obc
W
obc
uż
strI
uż
i
G
G
G
P
P
P
+
=
+
=
η
obc
W
W
i
R
R
R
+
=
η
(2.33)
1
0,5
- 21 -
WARUNEK DOPASOWANIA
Problem uzyskania wysokiej sprawności przekazywania energii nie
zawsze jest problemem najbardziej istotnym.
W układach elektrycznych pierwszoplanowym jest problem uzy-
skania maksymalnej mocy pobieranej przez odbiornik. Uzyskanie
tego efektu nazywamy
DOPASOWANIEM
.
¾
WARUNEK DOPASOWANIA DO ŹRÓDŁA NAPIĘCIA
Rozpatrujemy ponownie rzeczywiste źródło napięcia współpracujące z
obciążeniem. Zakładamy, że parametry źródła
U
0
> 0 i
R
W
> 0 są znane.
Pytanie:
Jaka powinna być wartość rezystancji obciążenia
R
obc
> 0 aby
w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc
P
uż
=
P
użMAX
?
W tym celu uzależniamy moc
P
uż
wydzieloną w obciążeniu od rezy-
stancji
R
obc
:
(
)
2
2
0
2
W
obc
obc
obc
uż
R
R
R
U
R
I
P
+
=
=
(2.34)
Obliczając pochodną tej funkcji względem
R
obc
i przyrównując ją do zera
otrzymujemy równanie:
(
)
(
)
0
3
2
0
=
+
−
=
W
obc
obc
W
obc
uż
R
R
R
R
U
dR
dP
(2.35)
którego jedynym rozwią-
zaniem spełniającym przy-
jęte założenie jest:
W
obc
R
R
=
(2.36)
Równość tę nazywamy
warunkiem dopasowania
- 22 -
¾
WARUNEK DOPASOWANIA DO ŹRÓDŁA PRĄDU
Rozpatrujemy ponownie rzeczywiste źródło prądu współpracujące z
obciążeniem. Zakładamy, że parametry źródła
I
Z
> 0 i
G
W
> 0 są znane.
Pytanie:
Jaka powinna być wartość konduktancji obciążenia
G
obc
> 0 aby
w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc
P
uż
=
P
użMAX
?
W tym celu uzależniamy moc P
uż
wydzieloną w obciążeniu od kon-
duktancji
G
obc
. Ponieważ napięcie na obciążeniu
W
obc
Z
G
G
I
U
+
=
(2.37)
stąd moc wydzielona w obciążeniu
(
)
2
2
2
W
obc
obc
Z
obc
uż
G
G
G
I
G
U
P
+
=
=
(2.38)
Obliczając pochodną tej funkcji względem
G
obc
i przyrównując ją do zera
otrzymujemy równanie:
(
)
(
)
0
3
2
=
+
−
=
W
obc
obc
W
Z
obc
uż
G
G
G
G
I
dG
dP
(2.39)
którego jedynym rozwią-
zaniem spełniającym przy-
jęte założenie jest:
W
obc
G
G
=
(2.40)
Równość tę nazywamy
warunkiem dopasowania
- 23 -
PODSUMOWANIE
Obwód, w którym dwójnik aktywny (DA) jest połączony z dwójni-
kiem pasywnym (DP) – można zastąpić obwodem równoważnym.
A
B
A
B
A
B
DA
DP
UWAGA:
Przy tej samej mocy użytecznej, moce wytwarzane przez źródła
w zależności od przyjętego schematu zastępczego są różne, a za-
tem i ich sprawności są różne i zachodzi między nimi związek
(wynikający z równań 2.30 i 2.33):
1
=
+
i
u
η
η
(2.41)