- 1 -

2. PODSTAWOWE PRAWA I TWIERDZENIA

TEORII OBWODÓW

2.1. SCHEMAT IDEOWY OBWODU

Schematem ideowym obwodu (siecią) nazywamy graficzne przed-
stawienie obwodu , pokazujące kolejność i sposób połączeń jego ele-
mentów.

Wszystkim uwzględnionym w modelu parametrom układu odpowiadają określone
elementy, ich symbole graficzne oraz wartości, natomiast odcinki łączące elementy
traktujemy jako idealne przewodniki (nie rozpraszające i nie akumulujące energii).

Na schemacie wyróżniamy: gałęzie, węzły i oczka.

Gałąź obwodu

jest to układ zawierający jeden lub wiele dowolnie połą-

czonych elementów (zarówno pasywnych jak i aktywnych), posiadający
dwie wyprowadzone końcówki (zaciski) do połączenia z pozostałą czę-
ścią obwodu.

Gałąź jest więc dwójnikiem do opisu którego wystarczy znajomość

napięcia gałęziowego ug i prądu gałęziowego ig.

u

g

1

2

Gałąź obwodu

Końcówkom gałęzi często narzuca się kolejność, tzn. oznaczamy jed-

ną z nich jako pierwszą (1), która stanowi początek gałęzi a pozostałą jako
drugą (2), stanowiącą jej koniec.

- 2 -

Węzłem obwodu

nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi, do której jest

przyłączona jedna następna gałąź lub kilka gałęzi.

• Węzłem głównym obwodu nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi do

której dołączono co najmniej dwie inne gałęzie (w1 i w3). Zatem wę-
zeł główny (zwany potocznie węzłem), to taki punkt (zacisk) obwodu
w którym zbiegają się co najmniej trzy końcówki różnych gałęzi.

• Jeśli liczba zbiegających się w punkcie końcówek gałęzi jest równa

dwa, to punkt nazywamy węzłem pomocniczym. (w2).

w1

w2

w3

Ilustracja pojęcia węzła głównego i pomocniczego

Oczko obwodu

elektrycznego jest to zbiór połączonych ze sobą gałęzi

tworzących zamkniętą drogę dla prądu i posiadającą tę właściwość, że
po usunięciu dowolnej gałęzi oczka pozostałe gałęzie nie tworzą drogi
zamkniętej.

oczko

Ilustracja pojęcia oczka obwodu

- 3 -

UWAGA:

• obwodem prostym bądź obwodem nierozgałęzionym na-

zywamy obwód zawierający wyłącznie jedno oczko,

• obwodem złożonym lub inaczej rozgałęzionym nazywamy

obwód zawierający nie mniej niż dwa oczka.

Gałęzie obwodu mogą tworzyć połączenie:

szeregowe, równoległe, gwiazdowe lub wieloboczne (wielokątne).

¾

Układ połączeń nazywamy

szeregowym

, wtedy gdy w każdej gałęzi

układu występuje ten sam prąd elektryczny, tzn. o tej samej wartość
i zwrocie.

Połączenie szeregowe

¾

Układ połączeń nazywamy

równoległym

, wtedy gdy na każdej gałęzi

układu występuje to samo napięcie elektryczne, tzn. o tej samej war-
tość i zwrocie.

u

u

u

u

Połączenie równoległe

- 4 -

¾

Połączenie n gałęzi obwodu w taki sposób, że końce każdej z gałęzi

tworzą wspólny węzeł (zwany punktem zerowym), pozostałe zaś koń-
ce dołączone są do innych elementów obwodu nazywamy połącze-
niem

gwiazdowym

.

Szczególnym przypadkiem połączenia gwiazdowego przy n = 3 jest po-
łączenie w gwiazdę trójramienną.

¾

Połączenie gałęzi obwodu w figurę płaską, która ma n wierzchołków

i boki łączące każdy wierzchołek z wszystkimi pozostałymi, nazywa-
my połączeniem

wielokątnym

(wielobocznym).

Szczególnym przypadkiem połączenia wielokątnego przy n = 3 jest po-
łączenie w trójkąt.

1

3

0

2

3

2

1

a)

b)

Połączenie: a) gwiazdowe (gwiazda trójramienna),

b) wielokątne (trójkątowe)

- 5 -

2.2. PRAWA KIRCHHOFFA I ZASADA TELLEGENA

I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK)

Algebraiczna suma natężeń prądów we wszystkich gałę-
ziach dołączonych do jednego, dowolnie wybranego węzła
obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:

∑

=

=

∧

n

k

k

k

t

t

i

1

0

)

(

λ

(2.1)

gdzie:

λ

k

=

±1 (+ jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; - jeśli zwrot jest

przeciwny, od węzła)

b)

a)

( )

( ) ( )

( )

0

4

3

2

1

=

+

−

+

−

t

i

t

i

t

i

t

i

( )

( ) ( )

0

3

2

1

=

−

+

t

i

t

i

t

i

Ilustracja PPK: a) dla węzła, b) dla węzła jako obszaru

- 6 -

II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK)

Algebraiczna suma napięć na wszystkich elementach, two-
rzących dowolnie wybrane oczko obwodu, jest w każdej
chwili czasu równa zeru:

∑

=

=

∧

n

k

k

k

t

t

u

1

0

)

(

ν

(2.2)

gdzie:

ν

k

=

±1 (+ jeśli zwrot napięcia jest zgodny z przyjętym za dodatni kie-

runkiem obiegu oczka; - jeśli jest przeciwny)

( )

( )

( )

( )

( )

0

5

4

3

2

1

=

−

+

+

−

t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

Ilustracja NPK

- 7 -

Zasada Tellegena

W każdym odosobnionym obwodzie (obwodzie nie wymie-
niającym energii z otoczeniem) skupionym suma mocy
chwilowych pobieranych przez wszystkie elementy obwodu
jest w każdej chwili czasu równa zeru:

∑

=

=

∧

n

k

k

t

t

p

1

0

)

(

(2.3)

Pamiętając, że w każdej chwili niektóre elementy obwodu faktycznie

pobierają moc (p

k

> 0) a inne ją faktycznie oddają (p

k

< 0) z powyższej za-

leżności wynika, iż:

suma mocy pobieranych przez elementy obwodu skupionego
jest w każdej chwili równa sumie mocy oddawanych przez po-
zostałe elementy obwodu.

Zasada Tellegena zwana jest także zasadą bilansu mocy.

Taki sam wniosek formułuje się w odniesieniu do energii pobranych

i oddanych przez elementy obwodu skupionego w dowolnym przedziale
czasu od t

1

do t

2

:

∑ ∫

∫ ∑

=

=

=

=

n

k

t

t

k

t

t

n

k

k

t

p

t

p

1

1

0

)

(

)

(

2

1

2

1

(2.4)

Oznacza to, że

w dowolnym przedziale czasu <t

1

,t

2

> suma energii pobranych

przez elementy obwodu skupionego jest równa sumie energii
oddanych przez pozostałe elementy obwodu.

Zasada Tellegena wyraża zatem także zasadą zachowania energii.

- 8 -

2.3.

ŁĄCZENIE SZEREGOWE I RÓWNOLEGŁE ELEMENTÓW

¾

ŁĄCZENIE REZYSTORÓW

• Połączenie szeregowe n rezystorów

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

u

u

u

u

n

k

k

n

n

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

∑

=1

2

1

2

1

K

K

(2.5)

∑

=

=

n

k

k

R

R

1

(2.6)

• Połączenie równoległe n rezystorów

u

G

u

G

u

G

u

G

u

G

i

i

i

i

n

k

k

n

n

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

∑

=1

2

1

2

1

K

K

(2.7)

∑

∑

=

=

=

=

n

k

k

n

k

k

R

R

G

G

1

1

1

1

lub

(2.8)

- 9 -

¾

ŁĄCZENIE CEWEK INDUKCYJNYCH

• Połączenie szeregowe n cewek indukcyjnych

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

u

u

u

u

n

n

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

=

+

+

+

=

+

+

+

=

K

K

2

1

2

1

(2.9)

i

L

i

L

i

L

i

L

i

L

n

k

k

n

=

=

+

+

+

=

∑

=1

2

1

K

Ψ

(2.10)

∑

=

=

n

k

k

L

L

1

(2.11)

• Połączenie równoległe n cewek indukcyjnych

.

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

=

=

=

=

⇒

=

=

=

=

=

n

n

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

u

K

K

2

1

2

1

(2.12)

L

L

L

L

L

i

i

i

i

n

k

k

n

n

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

∑

=1

2

1

2

1

1

K

K

(2.13)

∑

=

=

n

k

k

L

L

1

1

1

(2.14)

- 10 -

¾

ŁĄCZENIE KONDENSATORÓW

• Połączenie szeregowe n kondensatorów

q

q

q

q

dt

dq

dt

dq

dt

dq

dt

dq

i

n

n

=

=

=

=

⇒

=

=

=

=

=

K

K

2

1

2

1

(2.15)

C

q

q

C

C

q

C

q

C

q

u

u

u

u

n

k

k

n

n

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

∑

=1

2

1

2

1

1

K

K

(2.16)

∑

=

=

n

k

k

C

C

1

1

1

(2.17)

• Połączenie równoległe n kondensatorów

dt

dq

dt

dq

dt

dq

dt

dq

i

i

i

i

n

n

=

+

+

+

=

+

+

+

=

K

K

2

1

2

1

(2.18)

u

C

u

C

u

C

u

C

u

C

q

n

k

k

n

=

=

+

+

+

=

∑

=1

2

1

K

(2.19)

∑

=

=

n

k

k

C

C

1

(2.20)

- 11 -

¾

ŁĄCZENIE IDEALNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIA

• Połączenie szeregowe n idealnych źródeł napięcia

∑

=

=

n

k

k

u

u

1

0

0

(2.21)

• Połączenie równoległe n idealnych źródeł napięcia jest możliwe

(z uwagi na równość definicyjną (1.24)) tylko w przypadku szcze-
gólnym, gdy wszystkie siły elektromotoryczne są jednakowe

.

n

k

u

u

k

,

,

2

,

1

0

0

K

=

=

(2.22)

- 12 -

¾

ŁĄCZENIE IDEALNYCH ŹRÓDEŁ PRĄDU

• Połączenie szeregowe n idealnych źródeł prądu jest możliwe

(z uwagi na równość definicyjną (1.25)) tylko w przypadku szcze-
gólnym, gdy wszystkie wydajności prądowe są jednakowe

n

k

i

i

k

Z

Z

,

,

2

,

1 K

=

=

(2.23)

• Połączenie równoległe n idealnych źródeł prądu

∑

=

=

n

k

k

Z

Z

i

i

1

(2.24)

- 13 -

2.4.

TWIERDZENIA VASCHY’EGO

I twierdzenie Vaschy’ego

W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie
zmianie, jeżeli do każdej gałęzi dołączonej do dowolnego
węzła włączy się szeregowo idealne, jednakowe o tym sa-
mym zwrocie względem węzła, źródła napięcia.

Uwaga:

• równanie wynikające z PPK dla

przykładowo wyróżnionego węzła
nie ulega zmianie po włączeniu
źródeł napięciowych,

• równanie napięciowe dla dowolnie

wybranego oczka, w którym wy-
stąpi wyróżniony węzeł, będzie
dodatkowo zawierało dwa napięcia
u

0

o przeciwnych znakach.

II twierdzenie Vaschy’ego

W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie
zmianie, jeżeli do każdej gałęzi wybranego oczka włączy się
równolegle idealne, jednakowe o tym samym zwrocie
względem obiegu oczka, źródła prądu.

Uwaga:

• równania wynikające z PPK dla

każdego z węzłów przykładowo
rozpatrywanego oczka, będą za-
wierały dodatkowo dwa prądy

iz o

przeciwnych znakach.

• równanie napięciowe przykładowo

wybranego oczka nie ulegnie
zmianie po włączeniu idealnych
źródeł prądowych

.

- 14 -

2.5.

ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI OBWODÓW

Często pożądaną rzeczą jest:

• zredukowanie obwodu do prostszej postaci (bardziej zwartej)

lub

• przekształcenie obwodu do innej postaci,

które jest równoważne z obwodem wyjściowym.

Dwa układy są równoważne z punktu widzenia ich zacisków, je-
żeli zależności między napięciami i prądami związanymi z tymi
zaciskami są w obu układach identyczne

Przykład:

transfiguracja trójników pasywnych

1

3

2

3

2

1

R

1

R

2

R

3

R

12

R

23

R

31

>

<

Dany

trójkąt szukamy gwiazdy Dana

gwiazda szukamy trójkąta

31

23

12

12

31

1

R

R

R

R

R

R

+

+

=

31

23

12

23

12

2

R

R

R

R

R

R

+

+

=

31

23

12

31

23

3

R

R

R

R

R

R

+

+

=

3

2

1

2

1

12

R

R

R

R

R

R

+

+

=

1

3

2

3

2

23

R

R

R

R

R

R

+

+

=

2

1

3

1

3

31

R

R

R

R

R

R

+

+

=

- 15 -

2.6.

ŹRÓDŁA RZECZYWISTE

Z zależności (1.24) oraz (1.25) wynika teoretyczna możliwość odda-

wania przez takie źródła do obwodu dowolnie dużej mocy chwilowej. Aby
uniknąć tej rozbieżności z rzeczywistością uwzględnia się straty występu-
jące w każdym realnym elemencie źródłowym. Prowadzi to do pojęcia
źródła rzeczywistego

.

UWAGA:

rozważamy źródła rzeczywiste dla obwodów prądu stałego

RZECZYWISTE ŹRÓDŁO

NAPIĘCIA

RZECZYWISTE ŹRÓDŁO

PRĄDU

jest elementem o równaniu:

I

R

U

U

w

−

=

0

(2.25)

U

0

– siła elektromotoryczna źródła

R

W

– rezystancja wewnętrzna źródła

jest elementem o równaniu:

U

G

I

I

w

Z

−

=

(2.26)

I

Z

– wydajność prądowa źródła

G

W

– konduktancja wewnętrzna źródła

Traktuje się je jako połączenie sze-
regowe idealnego źródła napięcia i
rezystora

R

W

. G

dy

R

W

=0 otrzymuje

się idealne źródło napięciowe.

Traktuje się je jako połączenie
równoległe idealnego źródła prądu
i rezystora

R

W

. Gdy

R

W

=

∞ (G

W

=0)

otrzymuje się idealne źródło prą-
dowe.

Źródła te są równoważne

,

gdy ich rezystancje wewnętrzne są sobie równe i gdy

Z

W

I

R

U

=

0

- 16 -

2.7.

TWIERDZENIE THEVENINA I TWIERDZENIE NORTONA
DLA OBWODÓW PRĄDU STAŁEGO

Twierdzenie Thevenina

(o zastępczym źródle/generatorze napięciowym)

Dowolny aktywny dwójnik rezystancyjny klasy SLS można
zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem napięcio-
wym o napięciu źródłowym U

0

i rezystancji wewnętrznej

R

W

, przy czym:

- napięcie źródłowe U

0

jest równe napięciu na rozwartych

zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego U

SJ

)

- rezystancja wewnętrzna R

W

, jest równa rezystancji za-

stępczej (rezystancji wejściowej R

AB

) dwójnika pasywne-

go (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w
wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich
autonomicznych źródeł energii (zastąpieniu idealnych
źródeł napięcia zwarciami a idealnych źródeł prądowych
rozwarciami).

DA

A

B

A

B

A

B

DA

A

B

DP

Wyznaczenie: oraz

- 17 -

Twierdzenie Nortona

(o zastępczym źródle/generatorze prądowym)

Dowolny aktywny dwójnik rezystancyjny klasy SLS można
zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem prądowym o
prądzie źródłowym I

Z

i konduktancji wewnętrznej G

W

, przy

czym:

- prąd źródłowy I

Z

jest równy prądowi płynącemu przez

zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia I

SZ

)

- konduktancja wewnętrzna G

W

, jest równa konduktancji

zastępczej (konduktancji wejściowej G

AB

) dwójnika pa-

sywnego (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu
w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszyst-
kich autonomicznych źródeł energii (zastąpieniu ideal-
nych źródeł napięcia zwarciami a idealnych źródeł prą-
dowych rozwarciami).

DA

A

B

A

B

DA

A

B

DP

Wyznaczenie: oraz

A

B

- 18 -

2.8. DOPASOWANIE OBCIĄŻENIA DO ŹRÓDŁA

MOCE W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO

Zgodnie z definicją ogólną (1.4) wszystkie moce w obwodach prądu

stałego są stałymi funkcjami czasu.

W odniesieniu do obwodu rezystancyjnego prądu stałego zasada Tel-

legena (2.3) przyjmuje postać:

∑

=

=

n

k

k

P

1

0

(2.27)

gdzie

k

k

k

I

U

P

=

jest mocą pobieraną przez

k-ty element obwodu

Pamiętając, że niektóre elementy obwodu faktycznie pobierają moc

(

P

k

> 0) a inne ją faktycznie oddają (

P

k

< 0) z powyższej zależności wyni-

ka, że:

suma mocy pobieranych przez elementy obwodu jest równa
sumie mocy oddawanych przez pozostałe elementy obwodu.

Mówimy, że w obwodzie spełniony jest bilans mocy.

- 19 -

SPRAWNOŚĆ ŹRÓDEŁ

¾

SPRAWNOŚĆ RZECZYWISTEGO ŹRÓDŁA NAPIĘCIA

Rozpatrujemy rzeczywiste źródło napięcia

RŹN o napięciu źródłowym

U

0

i rezystancji wewnętrznej

R

W

obciążone dwójnikiem o rezystancji

R

obc

.

RŹN

Obc.

Z obwodem tym związane są na-
stępujące moce:
P

CU

- moc całkowita (moc od-

dawana przez idealne źró-
dło napięcia do obwodu);

P

strU

- moc tracona (moc pobie-

rana przez rezystancję
wewnętrzną źródła);

P

uż

- moc użyteczna (moc po-

bierana przez obciążenie,
inaczej moc oddawana
przez

RŹN do Obc.)

Sprawność rzeczywistego źródła napięcia, definiuje się jako:

0

U

U

P

P

CU

uż

u

=

=

η

(2.28)

Ponieważ, zgodnie z zasadą Tellegena:

uż

strU

CU

P

P

P

+

=

(2.29)

obc

W

obc

uż

strU

uż

u

R

R

R

P

P

P

+

=

+

=

η

(2.30)

1

0,5

- 20 -

¾

SPRAWNOŚĆ RZECZYWISTEGO ŹRÓDŁA PRĄDU

Rozpatrujemy rzeczywiste źródło prądu

RŹP o prądzie źródłowym I

Z

i konduktancji wewnętrznej

G

W

obciążone dwójnikiem o konduktancji

G

obc

Obc.

RŹP

Z obwodem tym związane są na-
stępujące moce:
P

CI

- moc całkowita (moc od-

dawana przez idealne źró-
dło prądu do obwodu);

P

strI

- moc tracona (moc pobie-

rana przez konduktancję
wewnętrzną źródła);

P

uż

- moc użyteczna (moc po-

bierana przez obciążenie,
inaczej moc oddawana
przez

RŹP do Obc.)

Sprawność rzeczywistego źródła prądu, definiuje się jako:

Z

CI

uż

i

I

I

P

P

=

=

η

(2.31)

Ponieważ, zgodnie z zasadą Tellegena:

uż

strI

CI

P

P

P

+

=

(2.32)

obc

W

obc

uż

strI

uż

i

G

G

G

P

P

P

+

=

+

=

η

obc

W

W

i

R

R

R

+

=

η

(2.33)

1

0,5

- 21 -

WARUNEK DOPASOWANIA

Problem uzyskania wysokiej sprawności przekazywania energii nie

zawsze jest problemem najbardziej istotnym.

W układach elektrycznych pierwszoplanowym jest problem uzy-
skania maksymalnej mocy pobieranej przez odbiornik. Uzyskanie
tego efektu nazywamy

DOPASOWANIEM

.

¾

WARUNEK DOPASOWANIA DO ŹRÓDŁA NAPIĘCIA

Rozpatrujemy ponownie rzeczywiste źródło napięcia współpracujące z

obciążeniem. Zakładamy, że parametry źródła

U

0

> 0 i

R

W

> 0 są znane.

Pytanie:

Jaka powinna być wartość rezystancji obciążenia

R

obc

> 0 aby

w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc

P

uż

=

P

użMAX

?

W tym celu uzależniamy moc

P

uż

wydzieloną w obciążeniu od rezy-

stancji

R

obc

:

(

)

2

2

0

2

W

obc

obc

obc

uż

R

R

R

U

R

I

P

+

=

=

(2.34)

Obliczając pochodną tej funkcji względem

R

obc

i przyrównując ją do zera

otrzymujemy równanie:

(

)

(

)

0

3

2

0

=

+

−

=

W

obc

obc

W

obc

uż

R

R

R

R

U

dR

dP

(2.35)

którego jedynym rozwią-
zaniem spełniającym przy-
jęte założenie jest:

W

obc

R

R

=

(2.36)

Równość tę nazywamy

warunkiem dopasowania

- 22 -

¾

WARUNEK DOPASOWANIA DO ŹRÓDŁA PRĄDU

Rozpatrujemy ponownie rzeczywiste źródło prądu współpracujące z

obciążeniem. Zakładamy, że parametry źródła

I

Z

> 0 i

G

W

> 0 są znane.

Pytanie:

Jaka powinna być wartość konduktancji obciążenia

G

obc

> 0 aby

w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc

P

uż

=

P

użMAX

?

W tym celu uzależniamy moc P

uż

wydzieloną w obciążeniu od kon-

duktancji

G

obc

. Ponieważ napięcie na obciążeniu

W

obc

Z

G

G

I

U

+

=

(2.37)

stąd moc wydzielona w obciążeniu

(

)

2

2

2

W

obc

obc

Z

obc

uż

G

G

G

I

G

U

P

+

=

=

(2.38)

Obliczając pochodną tej funkcji względem

G

obc

i przyrównując ją do zera

otrzymujemy równanie:

(

)

(

)

0

3

2

=

+

−

=

W

obc

obc

W

Z

obc

uż

G

G

G

G

I

dG

dP

(2.39)

którego jedynym rozwią-
zaniem spełniającym przy-
jęte założenie jest:

W

obc

G

G

=

(2.40)

Równość tę nazywamy

warunkiem dopasowania

- 23 -

PODSUMOWANIE

Obwód, w którym dwójnik aktywny (DA) jest połączony z dwójni-

kiem pasywnym (DP) – można zastąpić obwodem równoważnym.

A

B

A

B

A

B

DA

DP

UWAGA:

Przy tej samej mocy użytecznej, moce wytwarzane przez źródła
w zależności od przyjętego schematu zastępczego są różne, a za-
tem i ich sprawności są różne i zachodzi między nimi związek
(wynikający z równań 2.30 i 2.33):

1

=

+

i

u

η

η

(2.41)