Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”
WETI, kierunek AiR, 2 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Obliczyć całkę
Z Z
V
Z
z
2
e
√
x
2
+y
2
dxdydz,
gdzie bryła V ograniczona jest powierzchnią x
2
+ y
2
= 4 i płaszczyznami z = 1, z = 3, y = x,
y =
√
3x. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych uogólnionych.
2. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
Z
K
y
2
dx + x
2
dy,
gdzie K jest krzywą o równaniu (x − 1)
2
+ y
2
= 1 zorientowaną dodatnio. Wykonać odpowiedni
rysunek.
[2p.] b) Wyznaczyć rotację pola wektorowego ~
W =
"
xy
2
,
x
yz
, z
q
y
3
#
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania
2(xe
−y
− 1)dx + (e
y
− x
2
e
−y
)dy = 0
spełniającą warunek początkowy y(3) = 0.
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie y
0
= −
4x
2
+ 3xy + y
2
4y
2
+ 3xy + x
2
jest równaniem różniczkowym jednorodnym.
4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y
00
− 6y
0
+ 9y = xe
3x
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj
a)
∞
X
n=1
3
2n
n
n
2
(n + 2)
n
2
b)
∞
X
n=1
(−1)
n+1
√
n
3
+ 1
[2p.] c) Zbadać z definicji zbieżność szeregu
∞
X
n=1
n
√
3 −
n+1
√
3
.
6. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) = ln(2 + x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x
0
= 1. Podać
przedział zbieżności otrzymanego szeregu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Funkcja f (x) = x(π − x) dla x ∈ (0, π) posiada rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera postaci
f (x) =
∞
X
n=1
4
πn
3
[1 − (−1)
n
] sin nx.
W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu
∞
X
n=1
(−1)
n−1
(2n − 1)
3
.