Metoda Elementów Skończonych

Kraków 2008

Metoda Elementów Skończonych

- rys historyczny,
- analiza skończenie elementowa,
- metoda elementów skończonych,
- adaptacyjna metoda elementów

skończonych,
- Zastosowania MES.

Metoda Elementów Skończonych

- Lata 50te – zastosowanie MES w mechanice konstrukcji
- Lata 60te – rozszerzenie obszarów zastosowań na problemy
nieliniowe, zmienne w czasie itp.
- Lata 70te – matematyczna teoria MES
- Lata 80te – adaptacyjna MES
- Lata 90te – MES w zagadnieniach wielkiej skali

Rys historyczny

Metoda Elementów Skończonych

- Analiza konstrukcji (i innych układów, systemów) za pomocą
elementów skończonych,
- podział konstrukcji na podsystemy (elementy),
- opis stanu i zachowania podsystemu za pomocą zbiorów
parametrów,
- macierzowy zapis zależności pomiędzy zbiorami parametrów
dla pojedynczego podsystemu,
- agregacja (złożenie) globalnego układu równań z
pojedynczych zależności macierzowych, na podstawie
odpowiednich praw i zasad.

Analiza skończenie elementowa

Metoda Elementów Skończonych

- Podejście FEA (Finite Element Analysis) bazuje na
zasadach dyskretnych:

- tworzenie macierzy sztywności dla pojedynczego elementu,
- agregacja elementowych macierzy sztywności w

pojedynczy układ algebraicznych równań liniowych,
- Unika analizy matematycznej,
- Jest równoważne szczególnym przypadkom metody
elementów skończonych (Finite Element Method).

Analiza skończenie elementowa

Metoda Elementów Skończonych

- Analiza skończenie elementowa jest do dziś stosowana w
wielu obszarach mechaniki konstrukcji,
- Metodologia rozwiązywania bardziej złożonych problemów
(nieliniowych, zmiennych w czasie) także daje się przedstawić
w ujęciu macierzowym,
- Analiza elementowa ustąpiła miejsca w powszechnym użyciu
bardziej elastycznej i rygorystycznej matematycznie metodzie
elementów skończonych.

Analiza skończenie elementowa

Metoda Elementów Skończonych

- MES jest metodą aproksymacji (poprzez dyskretyzację)
równań różniczkowych cząstkowych
- Trzy podstawowe elementy metodologii rozwiązania danego
problemu za pomocą MES to:

- sformułowanie słabe (wariacyjne, całkowe) zagadnienia

różniczkowego,

- podział obszaru obliczeniowego na elementy,
- przyjęcie w obszarze prostych funkcji bazowych jako

podstawy aproksymacji

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

- Rozwiązanie problemu za pomocą MES prowadzi do
uzyskania rozwiązania przybliżonego,
- W oparciu o postać rozwiązywanego problemu, cechy
geometryczne elementów i własności przestrzeni aproksymacji
można z góry oszacować błąd rozwiązania MES,
- niestety oszacowanie wyraża się za pomocą nieznanego
rozwiązania dokładnego (mimo to jest istotne dla ustalenia
zbieżności metody, jej optymalności i do jej porównania z
innymi aproksymacjami tego samego problemu)

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

Etapy rozwiązywania problemu:

1. Analizowany obszar dzieli się myślowo na pewną skończoną
liczbę geometrycznie prostych elementów, tzw. elementów
skończonych.

2. Zakłada się, że te połączone są ze sobą w skończonej liczbie
punktów znajdujących się na obwodach. Najczęściej są to
punkty narożne. Noszą one nazwę węzłów. Poszukiwane
wartości wielkości fizycznych stanowią podstawowy układ
niewiadomych.

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

Etapy rozwiązywania problemu:

3. Obiera się pewne funkcje jednoznacznie określające rozkład
analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów
skończonych, w zależności od wartości tych wielkości
fizycznych w węzłach. Funkcje te noszą nazwę funkcji
węzłowych lub funkcji kształtu.

4. Równania różniczkowe opisujące badane zjawisko
przekształca się, poprzez zastosowanie tzw. Funkcji wagowych,
do równań metody elementów skończonych. Są to równania
algebraiczne.

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

5. Na podstawie równań metody elementów skończonych
przeprowadza się asemblację układu równań, tzn. oblicza się
wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz
odpowiadające im wartości prawych stron. Jeżeli rozwiązywane
zadanie jest niestacjonarne, to w obliczaniu wartości prawych
stron wykorzystuje się dodatkowo warunki początkowe. Liczba
równań w układzie jest równa liczbie węzłów przemnożonych
przez liczbę stopni swobody węzłów, tzn. liczbę niewiadomych
występujących w pojedynczym węźle.

6. Do tak utworzonego układu równań wprowadza się warunki
brzegowe. Wprowadzenie tych warunków następuje poprzez
wykonanie

odpowiednich

modyfikacji

macierzy

współczynników układu równań oraz wektora prawych stron.

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

Etapy rozwiązywania problemu:

7. Rozwiązuje się układ równań otrzymując wartości
poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach.

8. W zależności od typu rozwiązywanego problemu, lub
potrzeb, oblicza się dodatkowe wielkości. 9. Jeżeli zadanie jest
niestacjonarne, to czynności opisane w pkt. 5, 6, 7 i 8 powtarza
się aż do momentu spełnienia warunku zakończenia obliczeń.
Może to być np. określona wartość wielkości fizycznej w
którymś z węzłów, czas przebiegu zjawiska lub jakiś inny
parametr.

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

Programy komputerowe, w których stosowana jest metoda
elementów skończonych składają się z 3 części:

1. preprocesora, w którym budowane jest zadanie do
rozwiązania,
2. procesora, czyli części obliczeniowej,
3. postprocesora, służącego do graficznej prezentacji
uzyskanych wyników.

Dla użytkowników tych programów najbardziej pracochłonnym
i czasochłonnym etapem rozwiązywania zadania jest podział na
elementy skończone w preprocesorze. Niewłaściwy podział na
elementy skończone powoduje uzyskanie błędnych wyników.

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

Definicja:

Element skończony jest prostą figurą geometryczną (płaską lub
przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty
zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacyjne (węzłowe,
kształtu) służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w
jego wnętrzu i na jego bokach. Węzły znajdują się w
wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również
umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły
znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest
nazywany

elementem

liniowym

(ponieważ

funkcje

interpolacyjne są wtedy liniowe). W pozostałych przypadkach
mamy do czynienia z elementami wyższych rzędów.

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

Definicja:

Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji
interpolacyjnych (funkcji kształtu). Liczba funkcji kształtu w
pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego
węzłów. Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w
węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły jeden, a
pozostałych węzłach przyjmowały wartość zero.

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

- Postać oszacowania błędu MES wskazuje na możliwość
zwiększania dokładności aproksymacji poprzez:

- zmniejszanie rozmiarów elementów,
- podnoszenie stopnia aproksymacji.

- Ideą adaptacyjnej MES (AMES) jest dokonywanie
powyższych zmian lokalnie, w oparciu o lokalną analizę błędu.

Adaptacyjna Metoda Elementów
Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

- Celem adaptacyjnej MES jest optymalizacja procesu
aproksymacji, tzn.

- uzyskanie założonego poziomu dokładności,
- najmniejszym kosztem obliczeniowym (za pomocą

najmniejszej liczby stopni swobody).
- Adaptacyjna MES posługuje się lokalnymi oszacowaniami
błędu, tak aby przeprowadzać poprawę aproksymacji tylko tam,
gdzie jest ona najbardziej wskazana.

Adaptacyjna Metoda Elementów
Skończonych

Metoda Elementów Skończonych

- Zastosowanie adaptacji i chęć uzyskania wysokiej dokładności
obliczeń prowadzą do symulacji z wielkimi liczbami stopni
swobody (ponad milion),
- W celu rozwiązania tak dużych problemów konieczne jest:

- stosowanie efektywnych algorytmów (o optymalnej

złożoności obliczeniowej),

- wykorzystanie równoległych systemów komputerowych

(komputerów wieloprocesorowych i klastrów)

MES w zagadnieniach wielkiej skali

Metoda Elementów Skończonych

- Opracowanie modelu matematycznego zjawiska,
- Utworzenie modelu numerycznego MES,

- sformułowanie słabe problemu,
- techniki szacowania błędu,

- Dobór algorytmów,

- całkowanie numeryczne,
- rozwiązanie układów równań liniowych,
- inne (dyskretyzacja czasowa, sprzężenia, nieliniowości),

- Implementacja,

- struktury danych,
- realizacja równoległa.

Etapy realizacji symulacji MES

Metoda Elementów Skończonych

- Modelowanie geometryczne,
- Generacja siatki,
- Podział siatki,
- Rozwiązywanie układów równań liniowych,
- Wizualizacja wyników.

Programy wspomagające symulacje MES

Metoda Elementów Skończonych

- MES znalazła zastosowanie w rozmaitych dziedzinach nauki i
inżynierii

do

aproksymacji

podstawowych

równań

różniczkowych fizyki matematycznej:

- mechanika ciała odkształcalnego – równania teorii

sprężystości i plastyczności

- mechanika płynów – równania NavieraStokesa
- akustyka – równania falowe
- elektromagnetyzm – równania Maxwella
- fizyka atomowa – równania Schrödingera
- i wiele innych

Obszary zastosowań MES

Metoda Elementów Skończonych

- Istnieje bardzo wiele komercyjnych i publicznie dostępnych
programów MES,
- Niektóre są programami ogólnego przeznaczenia, inne stosują
techniki specyficzne dla konkretnych dziedzin zastosowań,
- Porami różnią się także stopniem zintegrowania realizacji
poszczególnych etapów symulacji MES,
- Oprócz programów MES istnieje także wiele programów
wspomagających obliczenia MES (generatory siatek, programy
wizualizacji itp.).

Programy MES

Metoda Elementów Skończonych

- Modelowanie implantów,

- stawy,
- szczęka,

- Modelowanie pól fizycznych wewnątrz ciała,

- elektryczne,
- elektromagnetyczne,
- akustyczne,

- Modelowanie tkanek,

- kości,
- mięśnie,
- skóra,

- Modelowanie przepływu krwi.

Zastosowanie MES w medycynie

Metoda Elementów Skończonych

- Interakcja MES z innymi technikami symulacji,
- Interakcja programów obliczeniowych z aparaturą pomiarową
i wizualizacyjną,
- Wirtualne projektowanie,
- Walidacja modeli i weryfikacja narzędzi,
- Problemy wieloskalowe,
- Metody probabilistyczne,
- Zagadnienia wielkiej skali,
- Zastosowanie w biomedycynie.

Wyzwania stojące przed MES

Metoda Elementów Skończonych

Literatura:

- Krzysztof Banaś, “Metoda Elementów Skończonych”,
Seminarium BIT CM UJ, 17 maja 2006
- tematyczne strony www