Kolokwium II z Metod Numerycznych r. ak. 2005/2006

1. Dana jest funkcja

f

 x=e

x

−3x

2

, określona na przedziale (-1,0).

(a) Wykazać, że pierwiastek równania

f

 x =0

na ww. przedziale można wyznaczyć metodą

“reguła falsi”. Posługując się tą metodą, wyznaczyć drugie przybliżenie tego pierwiastka.
Oszacować maksymalny błąd drugiego przybliżenia. (4 punkty)

(b) Wyznaczyć drugie przybliżenie pierwiastka równania

f

 x =0

na przedziale (-1,0),

korzystając z metody Newtona. (2 punkty)

2. Wykazać, że metoda różnicowa (k=2), dana wzorem

y

n+1

= y

n

0.5 h 3 y '

n

− y '

n-1



jest absolutnie stabilna dla hλ → 0. Czy metoda ta jest zbieżna?
Uwaga: h jest krokiem całkowania, λ jest wartością własną równania liniowego dy/dx=λy.
(3 punkty)

3. Czy metoda różnicowa (k=2), dana wzorem

y

n+1

=−4 y

n

5 y

n-1

h 4 y '

n

−2 y'

n-1



jest zbieżna? (2 punkty)

4. Skonstruować jednoparametrową rodzinę metod Rungego – Kutty trzeciego rzędu w następu-

jących przypadkach:
(a) α

2

= 0

(b) α

3

= 0,

w obu przypadkach przyjmując w

3

jako parametr swobodny. (4 punkty)

Uwaga: Przy ocenie będzie brany wynik liczbowy, nie tylko poprawność użytego wzoru.