13. Rodzaje zbie»no±ci ci¡gów funkcyjnych

‚w. 13.1 W ka»dej z topologii: L

∞

, L

1

, L

2

,

wedªug miary oraz prawie wsz¦dzie, zbada¢

zbie»no±¢ poni»szych ci¡gów funkcyjnych okre±lonych na przestrzeni ([0, 1], B

[0,1]

, l

[0,1]

)

1. f

n

(x) := n

2/3

1

[0,1/n]

(x),

2. f

n

(x) := 1

[{

P

n
k=1

1/2

[log2 k]

},{

P

n+1
k=1

1/2

[log2 k]

}]

(x),

gdzie {·} oznacza cz¦±¢ uªamkow¡,

za± [·] cz¦±¢ caªkowit¡,

3. f

n

(x) := sin(

x
n

),

4. f

n

(x) := (1 − x/n)

n

.

‚w. 13.2 Pokaza¢, »e je±li ci¡g funkcyjny zbiega do f w normie L

1

i do g w normie L

2

,

to f = g prawie wsz¦dzie.

‚w. 13.3 Poda¢ przykªad ci¡gu funkcji nale»¡cych do L

2

([0, 1], B

[0,1]

, l

[0,1]

)

zbie»nego prawie

wsz¦dzie do 0, ale rozbie»nego w L

2

([0, 1], B

[0,1]

, l

[0,1]

).