Wykład 3

Funkcje zespolone

3.1

Funkcje zmiennej zespolonej

Jeśli znamy regułe

‘

przypisuja

‘

ca

‘

liczbie zespolonej z liczbe

‘

zespolona

‘

w to

mówimy, że w jest funkcja

‘

z, co zapisujemy

w = f (z) .

(3.1)

Jeśli według tej regułu jednej liczbie z odpowiada jedna liczba w to mamy
funkcje

‘

jednowartościowa

‘

. Jeżeli jednej wartości z odpowiada wiele war-

tości w to otrzymujemy funkcje

‘

wielowartościowa

‘

. Ponieważ w = u + iv

jest liczba

‘

zespolona

‘

, która zależy od liczby zespolonej z = x + iy to

f (z) = u(x, y) + i v(x, y) .

(3.2)

Mówimy, że funkcja u to cze

‘

ść rzeczywista

‘

funkcji f , natomiast v to jej

cze

‘

ść urojona

.

Przykład:
Dla f (z) = z

2

mamy

w = z

2

= (x + iy)

2

= (x

2

− y

2

) + 2ixy

Sta

‘

d

u(x, y) = x

2

− y

2

v(x, y) = 2xy .

1

Jeżeli ograniczamy sie

‘

tylko do pewnego podzbioru płaszczyzny zespo-

lonej D ⊂ C, z której działa funkcja to D nazywamy dziedzina

‘

funkcji f .

Wtedy

R = f (D)

(3.3)

to obraz dziedziny poprzez funkcje

‘

f . Zwykle staramy sie

‘

określić funkcje

‘

na całej płaszczyźnie zespolonej z wyja

‘

tkiem punktów, w których wartość

funkcji jest nieskończona lub nieokreślona. Na przykład

f (z) =

1

1 + z

(3.4)

jest nieskończona w punkcie z = −1.

Przykład:
Funkcja w = z

2

z dziedzina

‘

D

D = {z = (x,y); x ­ 0, y ­ 0}

odwzorowuje pierwsza

‘

ćwiartke

‘

płaszczyzny zespolonej w górna

‘

pół-

płaszczyzne

‘

R = {w = (u,v); −∞ < u < ∞, v ­ 0}.

3.2

Pot¸

ega całkowita liczby zespolonej

Liczbe

‘

zespolona

‘

można podnieść do pote

‘

gi całkowitej n, korzystaja

‘

c ze

wzoru

z

n

= (re

iφ

)

n

= r

n

e

inφ

(3.5)

Otrzymujemy w ten sposób funkcje

‘

pote

‘

gowa

‘

o wykładniku natutalnym

f (z) = z

n

(3.6)

Dla z = e

iφ

otrzymujemy wzór de Moivre’a

(cos φ + i sin φ)

n

= cos(nφ) + i sin(nφ)

(3.7)

Możemy przy jego pomocy wyprowadzić wzory trygonometryczne na wielo-
krotność ka

‘

ta, na przykład

(cos φ + i sin φ)

2

= (cos

2

φ − sin

2

φ) + i (2 sin φ cos φ) = cos(2φ) + i sin(2φ)

i sta

‘

d

cos(2φ) = cos

2

φ − sin

2

φ

(3.8)

sin(2φ) = 2 sin φ cos φ .

(3.9)

2

Przykład:
Policzmy

(1 + i)

100

= (

√

2 e

iπ/4

)

100

= (

√

2)

100

(e

iπ/4

)

100

= 2

50

e

25πi

= −2

50

.

3.3

Pierwiastki liczby zespolonej

Zdefiniujemy n-ty pierwiastek liczby zespolonej korzystaja

‘

c ze wzoru

n

√

z = z

1/n

=



r e

iφ



1/n

=



r e

i(φ+2πk)



1/n

(3.10)

gdzie k ∈ Z. Sta

‘

d ostateczny wzór

n

√

z = r

1/n

exp



i (φ + 2πk)

n



(3.11)

Dla k = 0, 1, . . . , (n −1) otrzymujemy n różnych pierwiastków. Sta

‘

d funk-

cja

f (z) =

n

√

z

(3.12)

jest wielowartościowa, tzn. tej samej wartości z odpowiada n różnych
wartości pierwiastka.

Przykład
Obliczmy trzeci pierwiastek z jedynki

3

√

1 = e

2πk i/3

,

k = 0, 1, 2

(3.13)

i sta

‘

d trzy pierwiastki

z

1

= 1

z

2

= e

2π i/3

= −

1
2

+

√

3

2

i

z

3

= e

4π i/3

= −

1
2

−

√

3

2

i .

(3.14)

3

3.4

Funkcje trygonometryczne

Z równań

e

iy

= cos y + i sin y

(3.15)

e

−iy

= cos y − i sin y

(3.16)

wyliczymy cosinus i sinus zmiennej rzeczywistej y

cos y =

e

iy

+ e

−iy

2

,

sin y =

e

iy

− e

−iy

2i

.

(3.17)

Zaste

‘

puja

‘

c y zmienna

‘

zespolona

‘

z, otrzymujemy jako definicje

cos z =

e

iz

+ e

−iz

2

sin z =

e

iz

− e

−iz

2i

(3.18)

Funkcje te sa

‘

określone na całej płaszczyźnie zespolonej. W przeciwieństwie

do argumentu zespolonego moduł zespolonych funkcji trygonometrycznych
nie jest ograniczony

, gdyż dla y → ± ∞ znajdujemy

|cos(iy)| =







e

i(iy)

+ e

−i(iy)

2







=

e

−y

+ e

y

2

→ ∞.

Funkcje tangens i cotangens zdefiniowane sa

‘

w naste

‘

puja

‘

cy sposób

tg z =

sin z

cos z

,

ctg z =

cos z

sin z

.

(3.19)

Łatwo udowodnić, że dla argumentu zepolonego wcia

‘

ż słuszna jest toż-

samość

cos

2

z + sin

2

z = 1 .

(3.20)

Ponadto, cosinus jest funkcja

‘

parzysta

‘

, natomiast sinus nieparzysta

‘

cos(−z) = cos z ,

sin(−z) = −sin(z).

(3.21)

Przykład
Policzmy

cos(5i) =

1
2

(e

−5

+ e

5

) .

4

3.5

Funkcje hiperboliczne

Definiuje sie

‘

funkcje hiperboliczne określone na całej płaszczyźnie zespolonej

cosh z =

e

z

+ e

−z

2

sinh z =

e

z

− e

−z

2

.

(3.22)

Zachodzi dla nich

cosh

2

z − sinh

2

z = 1 .

(3.23)

Podobnie jak dla funkcji trygonometrycznych, cosh jest funkcja

‘

parzysta

‘

,

natomiast sinh jest funkcja

‘

nieparzysta

‘

:

cosh(−z) = cosh z

(3.24)

sinh(−z) = −sinhz .

(3.25)

W analogii do funkcji trygonometrycznych defniujemy również tangens

i cotangens hiperboliczny

tgh z =

sinh z

cosh z

,

ctgh z =

cosh z

sinh z

.

(3.26)

Przykład
Policzmy

cosh(iπ) =

e

iπ

+ e

−iπ

2

= cos π = 1

sinh(iπ) =

e

iπ

− e

−iπ

2

= i sin π = 0 .

Przykład ten ilustruje prosty zwia

‘

zek pomie

‘

dzy funkcjami hiperbolicz-

nymi i trygonometrycznymi

cosh(iz) = cos z

sinh(iz) = i sin z .

(3.27)

5

3.6

Logarytm zmiennej zespolonej

Logarytm zmiennej zespolonej z 6= 0 definiuje sie

‘

jako funkcje

‘

odwrotna

‘

do

funkcji wykładniczej,

w = ln z ,

<=>

e

w

= z

(3.28)

Sta

‘

d wynika

e

ln z

= z

(3.29)

Ze wzgle

‘

du na okresowość funkcji wykładniczej

e

w

= e

w+2πk i

(3.30)

logarytm jest funkcja

‘

wieloznaczna

‘

dla k ∈ Z. Tej samej wartości z odpo-

wiada wie

‘

c nieskończenie wiele wartości logarytmu

ln z = w + 2πk i .

(3.31)

Dla postaci biegunowej z = |z|e

iφ

otrzymujemy

ln z = ln |z| + i(φ + 2πk)

(3.32)

gdyż

e

ln z

= e

ln |z| + i(φ + 2πk)

= e

ln |z|

e

i(φ + 2πk)

= |z|e

iφ

= z .

Wartości logarytmu dla ustalonego n nazywamy gałe

‘

zia

‘

logarytmu

.

Przykład

ln 1 = ln |1| + i(0 + 2πn) = 2πni

ln(−1) = ln| − 1| + i(π + 2πn) = iπ + 2πni

ln(i) = ln e

iπ/2

= ln |e

iπ/2

| + i(π/2 + 2πn) = i(π/2 + 2πni)

ln(1 + i) = ln



√

2 e

iπ/4



= ln

√

2 + i (π/4 + 2πn i) .

6

Logarytm jest określony na całej płaszczyźnie zespolonej z wyja

‘

tkiem

dowolnej półprostej o pocza

‘

tku w punkcie z = 0 zwanej cie

‘

ciem

. Zwykle

wybiera sie

‘

ja

‘

wzdłuż ujemnej półosi rzeczywistej. Wtedy gała

‘

ź główna lo-

garytmu jest zdefiniowana dla ka

‘

ta

−π < φ ¬ π .

(3.33)

Wartość logarytmu wykazuje skok przy przejściu przez cie

‘

cie. Tak wie

‘

c dla

liczb rzeczywistych mniejszych od zera mamy tuż powyżej cie

‘

cia

ln z = ln |z| + iπ ,

(3.34)

a wykonuja

‘

c pełny obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymujemy

tuż poniżej cie

‘

cia

ln z = ln |z| − iπ .

Nie można wie

‘

c określić jednoznacznie wartości funkcji wzdłuż cie

‘

cia. Mo-

żemy natomiast rozważyć sytuacje

‘

, w której po wykonaniu pełnego obrotu

przechodzimy na inny płat Riemanna płaszczyzny zespolonej. Logarytm
jest wtedy funkcja

‘

jednoznaczna

‘

, określona

‘

na nieskończonej rodzinie takich

płatów.

Pocza

‘

tek cie

‘

cia w punkcie z = 0 nazywamy punktem rozgałe

‘

zienia

.

Przy jego obiegu wartość funkcji nie wraca do wartości wyjściowej wykazuja

‘

c

niecia

‘

głość (skok).

1. Z definicji logarytmu i własności eksponenty otrzymujemy

e

ln(z

1

·z

2

)

= z

1

· z

2

= e

ln z

1

e

ln z

2

= e

ln z

1

+ ln z

2

.

Tak wec logarytm iloczynu to suma logarytmów z dokładnościa

‘

do

czynnika 2πk i

ln(z

1

· z

2

) = ln z

1

+ ln z

1

+ 2πk i

(3.35)

2. Podobnie, ze wzgle

‘

du na

e

ln(z

1

/z

2

)

=

z

1

z

2

=

e

ln z

1

e

ln z

2

= e

ln z

1

− ln z

2

,

otrzymujemy

ln



z

1

z

2



= ln z

1

− lnz

1

+ 2πk i

(3.36)

7

3. Policzmy jeszcze dla całkowitego n

e

ln(z

n

)

= z

n

=



e

ln z



n

= e

n ln z

i sta

‘

d

ln(z

n

) = n ln z + 2πk i

(3.37)

3.7

Pot¸

ega zespolona

Operacje

‘

podnoszenia do zespolonej pote

‘

gi w przy zespolonej podstawie

z 6= 0 definiujemy w naste

‘

puja

‘

cy sposób

z

w

= e

w ln z

(3.38)

W wyniku funkcja

f (z) = z

w

(3.39)

jest wielowartościowa

‘

ze wzgle

‘

du na wyste

‘

puja

‘

cy w definicji logarytm. W

zwia

‘

zku z tym nie sa

‘

ogólnie słuszne

relacje znane z przypadku rzeczy-

wistego

z

w

z

u

6= z

w+u

(z

1

z

2

)

w

6= z

w

1

z

w

2

(z

w

)

u

6= z

wu

.

(3.40)

Przykład

1. Policzmy

1

i

= e

i ln 1

= e

i{(0+2πni)}

= e

−2πn

.

(3.41)

Otrzymaliśmy nieskończenie wiele wartości dla n ∈ Z. Dla

i

1/2

= e

(ln i)/2

= e

i(π/2+2πn)/2

= e

iπ/4

e

iπn

= ±

1

√

2

(1 + i)

mamy tylko dwie wartości.

2. Korzystaja

‘

c z wyniku (3.41) znajdujemy

(1

i

)

i

=



e

−2πn



i

= e

i ln e

−

2πn

= e

i {−2πn+2πk i}

= e

−2πn i−2πk

,

gdzie k, n ∈ Z. Podczas, gdy

1

i·i

= 1

−1

= e

− ln 1

= e

−2πni

6= (1

i

)

i

.

8