Wykład 3
Funkcje zespolone
3.1
Funkcje zmiennej zespolonej
Jeśli znamy regułe
‘
przypisuja
‘
ca
‘
liczbie zespolonej z liczbe
‘
zespolona
‘
w to
mówimy, że w jest funkcja
‘
z, co zapisujemy
w = f (z) .
(3.1)
Jeśli według tej regułu jednej liczbie z odpowiada jedna liczba w to mamy
funkcje
‘
jednowartościowa
‘
. Jeżeli jednej wartości z odpowiada wiele war-
tości w to otrzymujemy funkcje
‘
wielowartościowa
‘
. Ponieważ w = u + iv
jest liczba
‘
zespolona
‘
, która zależy od liczby zespolonej z = x + iy to
f (z) = u(x, y) + i v(x, y) .
(3.2)
Mówimy, że funkcja u to cze
‘
ść rzeczywista
‘
funkcji f , natomiast v to jej
cze
‘
ść urojona
.
Przykład:
Dla f (z) = z
2
mamy
w = z
2
= (x + iy)
2
= (x
2
− y
2
) + 2ixy
Sta
‘
d
u(x, y) = x
2
− y
2
v(x, y) = 2xy .
1
Jeżeli ograniczamy sie
‘
tylko do pewnego podzbioru płaszczyzny zespo-
lonej D ⊂ C, z której działa funkcja to D nazywamy dziedzina
‘
funkcji f .
Wtedy
R = f (D)
(3.3)
to obraz dziedziny poprzez funkcje
‘
f . Zwykle staramy sie
‘
określić funkcje
‘
na całej płaszczyźnie zespolonej z wyja
‘
tkiem punktów, w których wartość
funkcji jest nieskończona lub nieokreślona. Na przykład
f (z) =
1
1 + z
(3.4)
jest nieskończona w punkcie z = −1.
Przykład:
Funkcja w = z
2
z dziedzina
‘
D
D = {z = (x,y); x 0, y 0}
odwzorowuje pierwsza
‘
ćwiartke
‘
płaszczyzny zespolonej w górna
‘
pół-
płaszczyzne
‘
R = {w = (u,v); −∞ < u < ∞, v 0}.
3.2
Pot¸
ega całkowita liczby zespolonej
Liczbe
‘
zespolona
‘
można podnieść do pote
‘
gi całkowitej n, korzystaja
‘
c ze
wzoru
z
n
= (re
iφ
)
n
= r
n
e
inφ
(3.5)
Otrzymujemy w ten sposób funkcje
‘
pote
‘
gowa
‘
o wykładniku natutalnym
f (z) = z
n
(3.6)
Dla z = e
iφ
otrzymujemy wzór de Moivre’a
(cos φ + i sin φ)
n
= cos(nφ) + i sin(nφ)
(3.7)
Możemy przy jego pomocy wyprowadzić wzory trygonometryczne na wielo-
krotność ka
‘
ta, na przykład
(cos φ + i sin φ)
2
= (cos
2
φ − sin
2
φ) + i (2 sin φ cos φ) = cos(2φ) + i sin(2φ)
i sta
‘
d
cos(2φ) = cos
2
φ − sin
2
φ
(3.8)
sin(2φ) = 2 sin φ cos φ .
(3.9)
2
Przykład:
Policzmy
(1 + i)
100
= (
√
2 e
iπ/4
)
100
= (
√
2)
100
(e
iπ/4
)
100
= 2
50
e
25πi
= −2
50
.
3.3
Pierwiastki liczby zespolonej
Zdefiniujemy n-ty pierwiastek liczby zespolonej korzystaja
‘
c ze wzoru
n
√
z = z
1/n
=
r e
iφ
1/n
=
r e
i(φ+2πk)
1/n
(3.10)
gdzie k ∈ Z. Sta
‘
d ostateczny wzór
n
√
z = r
1/n
exp
i (φ + 2πk)
n
(3.11)
Dla k = 0, 1, . . . , (n −1) otrzymujemy n różnych pierwiastków. Sta
‘
d funk-
cja
f (z) =
n
√
z
(3.12)
jest wielowartościowa, tzn. tej samej wartości z odpowiada n różnych
wartości pierwiastka.
Przykład
Obliczmy trzeci pierwiastek z jedynki
3
√
1 = e
2πk i/3
,
k = 0, 1, 2
(3.13)
i sta
‘
d trzy pierwiastki
z
1
= 1
z
2
= e
2π i/3
= −
1
2
+
√
3
2
i
z
3
= e
4π i/3
= −
1
2
−
√
3
2
i .
(3.14)
3
3.4
Funkcje trygonometryczne
Z równań
e
iy
= cos y + i sin y
(3.15)
e
−iy
= cos y − i sin y
(3.16)
wyliczymy cosinus i sinus zmiennej rzeczywistej y
cos y =
e
iy
+ e
−iy
2
,
sin y =
e
iy
− e
−iy
2i
.
(3.17)
Zaste
‘
puja
‘
c y zmienna
‘
zespolona
‘
z, otrzymujemy jako definicje
cos z =
e
iz
+ e
−iz
2
sin z =
e
iz
− e
−iz
2i
(3.18)
Funkcje te sa
‘
określone na całej płaszczyźnie zespolonej. W przeciwieństwie
do argumentu zespolonego moduł zespolonych funkcji trygonometrycznych
nie jest ograniczony
, gdyż dla y → ± ∞ znajdujemy
|cos(iy)| =
e
i(iy)
+ e
−i(iy)
2
=
e
−y
+ e
y
2
→ ∞.
Funkcje tangens i cotangens zdefiniowane sa
‘
w naste
‘
puja
‘
cy sposób
tg z =
sin z
cos z
,
ctg z =
cos z
sin z
.
(3.19)
Łatwo udowodnić, że dla argumentu zepolonego wcia
‘
ż słuszna jest toż-
samość
cos
2
z + sin
2
z = 1 .
(3.20)
Ponadto, cosinus jest funkcja
‘
parzysta
‘
, natomiast sinus nieparzysta
‘
cos(−z) = cos z ,
sin(−z) = −sin(z).
(3.21)
Przykład
Policzmy
cos(5i) =
1
2
(e
−5
+ e
5
) .
4
3.5
Funkcje hiperboliczne
Definiuje sie
‘
funkcje hiperboliczne określone na całej płaszczyźnie zespolonej
cosh z =
e
z
+ e
−z
2
sinh z =
e
z
− e
−z
2
.
(3.22)
Zachodzi dla nich
cosh
2
z − sinh
2
z = 1 .
(3.23)
Podobnie jak dla funkcji trygonometrycznych, cosh jest funkcja
‘
parzysta
‘
,
natomiast sinh jest funkcja
‘
nieparzysta
‘
:
cosh(−z) = cosh z
(3.24)
sinh(−z) = −sinhz .
(3.25)
W analogii do funkcji trygonometrycznych defniujemy również tangens
i cotangens hiperboliczny
tgh z =
sinh z
cosh z
,
ctgh z =
cosh z
sinh z
.
(3.26)
Przykład
Policzmy
cosh(iπ) =
e
iπ
+ e
−iπ
2
= cos π = 1
sinh(iπ) =
e
iπ
− e
−iπ
2
= i sin π = 0 .
Przykład ten ilustruje prosty zwia
‘
zek pomie
‘
dzy funkcjami hiperbolicz-
nymi i trygonometrycznymi
cosh(iz) = cos z
sinh(iz) = i sin z .
(3.27)
5
3.6
Logarytm zmiennej zespolonej
Logarytm zmiennej zespolonej z 6= 0 definiuje sie
‘
jako funkcje
‘
odwrotna
‘
do
funkcji wykładniczej,
w = ln z ,
<=>
e
w
= z
(3.28)
Sta
‘
d wynika
e
ln z
= z
(3.29)
Ze wzgle
‘
du na okresowość funkcji wykładniczej
e
w
= e
w+2πk i
(3.30)
logarytm jest funkcja
‘
wieloznaczna
‘
dla k ∈ Z. Tej samej wartości z odpo-
wiada wie
‘
c nieskończenie wiele wartości logarytmu
ln z = w + 2πk i .
(3.31)
Dla postaci biegunowej z = |z|e
iφ
otrzymujemy
ln z = ln |z| + i(φ + 2πk)
(3.32)
gdyż
e
ln z
= e
ln |z| + i(φ + 2πk)
= e
ln |z|
e
i(φ + 2πk)
= |z|e
iφ
= z .
Wartości logarytmu dla ustalonego n nazywamy gałe
‘
zia
‘
logarytmu
.
Przykład
ln 1 = ln |1| + i(0 + 2πn) = 2πni
ln(−1) = ln| − 1| + i(π + 2πn) = iπ + 2πni
ln(i) = ln e
iπ/2
= ln |e
iπ/2
| + i(π/2 + 2πn) = i(π/2 + 2πni)
ln(1 + i) = ln
√
2 e
iπ/4
= ln
√
2 + i (π/4 + 2πn i) .
6
Logarytm jest określony na całej płaszczyźnie zespolonej z wyja
‘
tkiem
dowolnej półprostej o pocza
‘
tku w punkcie z = 0 zwanej cie
‘
ciem
. Zwykle
wybiera sie
‘
ja
‘
wzdłuż ujemnej półosi rzeczywistej. Wtedy gała
‘
ź główna lo-
garytmu jest zdefiniowana dla ka
‘
ta
−π < φ ¬ π .
(3.33)
Wartość logarytmu wykazuje skok przy przejściu przez cie
‘
cie. Tak wie
‘
c dla
liczb rzeczywistych mniejszych od zera mamy tuż powyżej cie
‘
cia
ln z = ln |z| + iπ ,
(3.34)
a wykonuja
‘
c pełny obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymujemy
tuż poniżej cie
‘
cia
ln z = ln |z| − iπ .
Nie można wie
‘
c określić jednoznacznie wartości funkcji wzdłuż cie
‘
cia. Mo-
żemy natomiast rozważyć sytuacje
‘
, w której po wykonaniu pełnego obrotu
przechodzimy na inny płat Riemanna płaszczyzny zespolonej. Logarytm
jest wtedy funkcja
‘
jednoznaczna
‘
, określona
‘
na nieskończonej rodzinie takich
płatów.
Pocza
‘
tek cie
‘
cia w punkcie z = 0 nazywamy punktem rozgałe
‘
zienia
.
Przy jego obiegu wartość funkcji nie wraca do wartości wyjściowej wykazuja
‘
c
niecia
‘
głość (skok).
1. Z definicji logarytmu i własności eksponenty otrzymujemy
e
ln(z
1
·z
2
)
= z
1
· z
2
= e
ln z
1
e
ln z
2
= e
ln z
1
+ ln z
2
.
Tak wec logarytm iloczynu to suma logarytmów z dokładnościa
‘
do
czynnika 2πk i
ln(z
1
· z
2
) = ln z
1
+ ln z
1
+ 2πk i
(3.35)
2. Podobnie, ze wzgle
‘
du na
e
ln(z
1
/z
2
)
=
z
1
z
2
=
e
ln z
1
e
ln z
2
= e
ln z
1
− ln z
2
,
otrzymujemy
ln
z
1
z
2
= ln z
1
− lnz
1
+ 2πk i
(3.36)
7
3. Policzmy jeszcze dla całkowitego n
e
ln(z
n
)
= z
n
=
e
ln z
n
= e
n ln z
i sta
‘
d
ln(z
n
) = n ln z + 2πk i
(3.37)
3.7
Pot¸
ega zespolona
Operacje
‘
podnoszenia do zespolonej pote
‘
gi w przy zespolonej podstawie
z 6= 0 definiujemy w naste
‘
puja
‘
cy sposób
z
w
= e
w ln z
(3.38)
W wyniku funkcja
f (z) = z
w
(3.39)
jest wielowartościowa
‘
ze wzgle
‘
du na wyste
‘
puja
‘
cy w definicji logarytm. W
zwia
‘
zku z tym nie sa
‘
ogólnie słuszne
relacje znane z przypadku rzeczy-
wistego
z
w
z
u
6= z
w+u
(z
1
z
2
)
w
6= z
w
1
z
w
2
(z
w
)
u
6= z
wu
.
(3.40)
Przykład
1. Policzmy
1
i
= e
i ln 1
= e
i{(0+2πni)}
= e
−2πn
.
(3.41)
Otrzymaliśmy nieskończenie wiele wartości dla n ∈ Z. Dla
i
1/2
= e
(ln i)/2
= e
i(π/2+2πn)/2
= e
iπ/4
e
iπn
= ±
1
√
2
(1 + i)
mamy tylko dwie wartości.
2. Korzystaja
‘
c z wyniku (3.41) znajdujemy
(1
i
)
i
=
e
−2πn
i
= e
i ln e
−
2πn
= e
i {−2πn+2πk i}
= e
−2πn i−2πk
,
gdzie k, n ∈ Z. Podczas, gdy
1
i·i
= 1
−1
= e
− ln 1
= e
−2πni
6= (1
i
)
i
.
8