1
x
z
y
OPIS RUCHU
Wektor położenia, promień wodzący
0
Równanie ruchu
( )
( )
( )
( )
ˆ
ˆ
ˆ
r t
x t
x
y t
y
z t
z
=
⋅ +
⋅ +
⋅
Eliminując z tych równań czas otrzymujemy
równanie toru
z = F (x, y)
r
( )
t
r
r
=
( )
( )
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
x t
x t x
y t
y t y
z t
z t z
=
=
=
z
z
y
y
x
x
r
ˆ
ˆ
ˆ
⋅
+
⋅
+
⋅
=
2
PRĘDKOŚĆ
Prędkość średnia
2
1
2
1
r
r
r
r
v
t
t
t
−
∆
=
=
−
∆
prędkość średnia punktu
w czasie
1
2
t
t
t
−
=
∆
Prędkość
(prędkość chwilowa)
∆t → 0
dt
r
d
t
r
v
t
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
dr
v
dt
=
ˆ
ˆ
ˆ
dx
dy
dz
v
x
y
z
dt
dt
dt
=
+
+
prędkość jest zawsze
styczna do toru
3
PRZYSPIESZENIE
Przyspieszenie średnie
2
1
2
1
sr
v
v
v
a
t
t
t
−
∆
=
=
−
∆
Przyspieszenie
∆t → 0
dt
v
d
t
v
a
t
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
dv
a
dt
=
ˆ
ˆ
ˆ
y
x
z
dv
dv
dv
a
x
y
z
dt
dt
dt
=
⋅ +
⋅ +
⋅
2
2
d r
a
dt
=
2
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
d x
d y
d z
a
x
y
z
dt
dt
dt
=
⋅ +
⋅ +
⋅
4
dt
v
d
a
=
SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA
Przyspieszenie ma składowe
a
x
, a
y
i
a
z
oraz
a
s
i
a
n
n
s
a
a
a
+
=
przyspieszenie styczne do toru, opisujące zmiany
wartości prędkości
dt
dv
a
s
=
v - wartość prędkości
przyspieszenie normalne, prostopadłe do toru –
opisujące zmiany kierunku prędkości
2
ρ
v
a
n
=
ρ
- promień krzywizny toru.
a
n
a
s
5
CAŁKA NIEOZNACZONA - FUNKCJA
FUNKCJĄ PIERWOTNĄ
danej funkcji f(x) nazywamy funkcję F(x) taką, że
F’(x) = f(x)
Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do
stałej
F
1
(x) = F(x) + C
1
CAŁKA NIEOZNACZONA
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
)
(
)
(
f(x)dx
- wyrażenie podcałkowe
6
CAŁKI NIEOZNACZONE
Wzory na całkowanie można otrzymać przez
odwrócenie wzorów na różniczkowanie:
( )
1
n
n
d
x
nx
dx
−
=
1
1
1
+
+
=
∫
m
m
x
m
dx
x
)
ln(
1
x
dx
x
=
∫
x
xdx
cos
sin
−
=
∫
x
xdx
sin
cos
=
∫
x
x
e
dx
e
=
∫
1
i
0
dla
ln
≠
>
=
∫
a
a
a
a
dx
a
x
x
•
Reguły całkowania:
∫
∫
=
dx
x
f
a
dx
x
f
a
)
(
)
(
∫
∫
∫
∫
−
+
=
−
+
wdx
vdx
udx
dx
w
v
u
)
(
7
CAŁKA OZNACZONA - LICZBA
(a,b) dzielimy na n przedziałów
∆
x
i
= x
i
-
x
i -1
wewnątrz każdego przedziału wybieramy punkt
ξ
i
∑
∫
=
→
→
∆
∆
=
n
i
i
i
n
x
b
a
x
f
dx
x
f
i
1
0
0
)
(
lim
)
(
ξ
Jeżeli istnieje granica i nie zależy od wyboru punktów x
i
i
ξ
i
,
to nazywamy ją całką oznaczoną.
f(x)dx
- wyrażenie
podcałkowe
a - dolna granica
b - górna granica
x - zmienna całowania
8
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
∫
∫
−
=
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
0
)
(
=
∫
a
a
dx
x
f
∫
∫
∫
+
=
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
∫
∫
⋅
=
⋅
b
a
b
a
dx
x
f
c
dx
x
f
c
)
(
)
(
[
]
∫
∫
∫
∫
−
+
=
−
+
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
w
dx
x
v
dx
x
u
dx
x
w
x
v
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
9
TWIERDZENIE O WARTOŚCI
ŚREDNIEJ
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale (a, b) to
istnieje punkt
ξ
taki, że
)
(
)
(
)
(
ξ
f
a
b
dx
x
f
b
a
⋅
−
=
∫
f(
ξ
) - wartość średnia f(x) w przedziale (a, b)
PODSTAWOWE TWIERDZENIE
RACHUNKU CAŁKOWEGO
Je
ż
eli
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
)
(
)
(
to
( )
( )
( )
( )
b
b
a
a
f x dx
F b
F a
F x
=
−
≡
∫
10
r
x
ˆ
PRZYKŁADY RUCHU
1. Ruch prostoliniowy
Wybieramy układ współrzędnych tak, aby
,
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
ˆ
(1)
ˆ
ˆ
(2)
ˆ
ˆ
(3)
r t
x t
x
dx
v t
x
v t
x
dt
dv
a t
x
a t
x
dt
=
⋅
=
⋅ =
⋅
=
⋅ =
⋅
dx
v
dt
dv
a
dt
→
=
→
=
i zajmujemy się tylko wartościami funkcji x(t), v(t) i a(t)
•
ze wzoru (2)
dx = v
⋅
dt
→
( )
∫
∫
=
t
t
t
x
x
vdt
dx
0
0
0
0
t
t
x
x
vdt
=
+
∫
( )
0
0
x
x t
=
•
ze wzoru (3)
dv = a
⋅
dt
→
0
0
( )
v t
t
v
t
d v
a d t
=
∫
∫
0
0
t
t
v
v
adt
=
+
∫
( )
0
0
v
v t
=
11
(
)
0
0
t
t
v
x
x
−
+
=
∫
+
=
t
t
vdt
x
x
0
0
RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNY
a = 0, v = const.
12
(
)
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
at
t
v
x
x
dt
at
v
x
vdt
x
x
at
v
adt
v
v
t
t
t
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
a = const. oraz t
0
= 0
13
PRZYKŁADY RUCHU
2.
Ruch krzywoliniowy
dt
r
d
v
=
r
d
dt
v
=
∫
∫
=
)
(
)
0
(
0
t
r
r
t
r
d
dt
v
)
0
(
)
(
0
r
t
r
dt
v
t
−
=
∫
∫
+
=
t
dt
v
r
t
r
0
0
)
(
dt
v
d
a
=
v
d
dt
a
=
∫
∫
=
)
(
)
0
(
0
t
v
v
t
v
d
dt
a
)
0
(
)
(
0
v
t
v
dt
a
t
−
=
∫
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
14
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
.
const
a
=
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
t
a
v
v
+
=
0
∫
+
=
t
dt
v
r
t
r
0
0
)
(
(
)
∫
+
+
=
t
dt
t
a
v
r
t
r
0
0
0
)
(
( )
∫
∫
+
+
=
t
t
dt
t
a
dt
v
r
t
r
0
0
0
0
)
(
∫
∫
+
+
=
t
t
tdt
a
dt
v
r
t
r
0
0
0
0
)
(
2
0
0
2
1
t
a
t
v
r
r
+
+
=
15
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
.
const
a
=
t
a
v
v
+
=
0
2
0
0
2
1
t
a
t
v
r
r
+
+
=
Wektory prędkości i przyspieszenia nie muszą być
równoległe.
Wektor prędkości leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez
wektory a i v
0
i przechodzącej przez punkt zdefiniowany
przez wektor r
0.
Ruch odbywający się ze stałym przyspieszeniem jest ruchem
płaskim. Torem ruchu jest w ogólnym przypadku parabola.
Przykładem takiego ruchu jest ruch w pobliżu powierzchni
ziemi ze stałym przyspieszeniem, czyli tzw. "rzut ukośny”
.
const
g
=
16
y
g
a
ˆ
⋅
−
=
( )
( )
2
0
0
0
0
0
0
0
2
1
sin
cos
gt
t
v
y
t
y
t
v
t
x
v
v
v
v
y
x
y
x
−
⋅
+
=
⋅
=
=
⋅
=
θ
θ
gt
v
v
v
v
y
y
x
x
−
=
=
0
0
PRZYKŁAD - RZUT UKOŚNY
Równania te opisują jednoznacznie ruch ciała.
Eliminując z nich czas można wyznaczyć tor punktu, y(x) –
jest nim parabola
Podstawiając y(τ) = 0 można określić czas trwania ruchu τ ,
Wartość x w chwili
τ
,
x(τ) daje zasięg.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
19 Pojecie i opis ruchu falowego (2)
Fizyka 1 3 opis ruchu pochodne
FW2a opis ruchu 07
Opis ruchu
Fizyka 1 3 opis ruchu pochodne
FM2 opis ruchu
05 Opis ruchu & Rownanie energi Nieznany (2)
Pełny klasyczny i kwantowy opis ruchu w wirującej pułapce harmonicznej
FM2 opis ruchu
02 - Opis ruchu, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, FIZA
wyklad04, kinematyka, opis ruchu
Wykl Mechanika Budowli 15 Opis Ruchu Drgania Wlasne Tlumione
FM2 opis ruchu(1)
Fizyka opis ruchu całki
Kinematyka opis ruchu
19 Pojecie i opis ruchu falowego (2)
więcej podobnych podstron