1
x
z
y
OPIS RUCHU
Wektor położenia, promień wodzący
0
Równanie ruchu
( )
( )
( )
( )
ˆ
ˆ
ˆ
r t
x t
x
y t
y
z t
z
=
⋅ +
⋅ +
⋅
Eliminując z tych równań czas otrzymujemy
równanie toru
z = F (x, y)
r
( )
t
r
r
=
( )
( )
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
x t
x t x
y t
y t y
z t
z t z
=
=
=
z
z
y
y
x
x
r
ˆ
ˆ
ˆ
⋅
+
⋅
+
⋅
=
2
PRĘDKOŚĆ
Prędkość średnia
2
1
2
1
r
r
r
r
v
t
t
t
−
∆
=
=
−
∆
prędkość średnia punktu
w czasie
1
2
t
t
t
−
=
∆
Prędkość
(prędkość chwilowa)
∆t → 0
dt
r
d
t
r
v
t
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
dr
v
dt
=
ˆ
ˆ
ˆ
dx
dy
dz
v
x
y
z
dt
dt
dt
=
+
+
prędkość jest zawsze
styczna do toru
3
PRZYSPIESZENIE
Przyspieszenie średnie
2
1
2
1
sr
v
v
v
a
t
t
t
−
∆
=
=
−
∆
Przyspieszenie
∆t → 0
dt
v
d
t
v
a
t
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
dv
a
dt
=
ˆ
ˆ
ˆ
y
x
z
dv
dv
dv
a
x
y
z
dt
dt
dt
=
⋅ +
⋅ +
⋅
2
2
d r
a
dt
=
2
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
d x
d y
d z
a
x
y
z
dt
dt
dt
=
⋅ +
⋅ +
⋅
4
dt
v
d
a
=
SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA
Przyspieszenie ma składowe
a
x
, a
y
i
a
z
oraz
a
s
i
a
n
n
s
a
a
a
+
=
przyspieszenie styczne do toru, opisujące zmiany
wartości prędkości
dt
dv
a
s
=
v - wartość prędkości
przyspieszenie normalne, prostopadłe do toru –
opisujące zmiany kierunku prędkości
2
ρ
v
a
n
=
ρ
- promień krzywizny toru.
a
n
a
s
5
CAŁKA NIEOZNACZONA - FUNKCJA
FUNKCJĄ PIERWOTNĄ
danej funkcji f(x) nazywamy funkcję F(x) taką, że
F’(x) = f(x)
Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do
stałej
F
1
(x) = F(x) + C
1
CAŁKA NIEOZNACZONA
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
)
(
)
(
f(x)dx
- wyrażenie podcałkowe
6
CAŁKI NIEOZNACZONE
Wzory na całkowanie można otrzymać przez
odwrócenie wzorów na różniczkowanie:
( )
1
n
n
d
x
nx
dx
−
=
1
1
1
+
+
=
∫
m
m
x
m
dx
x
)
ln(
1
x
dx
x
=
∫
x
xdx
cos
sin
−
=
∫
x
xdx
sin
cos
=
∫
x
x
e
dx
e
=
∫
1
i
0
dla
ln
≠
>
=
∫
a
a
a
a
dx
a
x
x
•
Reguły całkowania:
∫
∫
=
dx
x
f
a
dx
x
f
a
)
(
)
(
∫
∫
∫
∫
−
+
=
−
+
wdx
vdx
udx
dx
w
v
u
)
(
7
CAŁKA OZNACZONA - LICZBA
(a,b) dzielimy na n przedziałów
∆
x
i
= x
i
-
x
i -1
wewnątrz każdego przedziału wybieramy punkt
ξ
i
∑
∫
=
→
→
∆
∆
=
n
i
i
i
n
x
b
a
x
f
dx
x
f
i
1
0
0
)
(
lim
)
(
ξ
Jeżeli istnieje granica i nie zależy od wyboru punktów x
i
i
ξ
i
,
to nazywamy ją całką oznaczoną.
f(x)dx
- wyrażenie
podcałkowe
a - dolna granica
b - górna granica
x - zmienna całowania
8
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
∫
∫
−
=
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
0
)
(
=
∫
a
a
dx
x
f
∫
∫
∫
+
=
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
∫
∫
⋅
=
⋅
b
a
b
a
dx
x
f
c
dx
x
f
c
)
(
)
(
[
]
∫
∫
∫
∫
−
+
=
−
+
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
w
dx
x
v
dx
x
u
dx
x
w
x
v
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
9
TWIERDZENIE O WARTOŚCI
ŚREDNIEJ
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale (a, b) to
istnieje punkt
ξ
taki, że
)
(
)
(
)
(
ξ
f
a
b
dx
x
f
b
a
⋅
−
=
∫
f(
ξ
) - wartość średnia f(x) w przedziale (a, b)
PODSTAWOWE TWIERDZENIE
RACHUNKU CAŁKOWEGO
Je
ż
eli
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
)
(
)
(
to
( )
( )
( )
( )
b
b
a
a
f x dx
F b
F a
F x
=
−
≡
∫
10
r
x
ˆ
PRZYKŁADY RUCHU
1. Ruch prostoliniowy
Wybieramy układ współrzędnych tak, aby
,
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
ˆ
(1)
ˆ
ˆ
(2)
ˆ
ˆ
(3)
r t
x t
x
dx
v t
x
v t
x
dt
dv
a t
x
a t
x
dt
=
⋅
=
⋅ =
⋅
=
⋅ =
⋅
dx
v
dt
dv
a
dt
→
=
→
=
i zajmujemy się tylko wartościami funkcji x(t), v(t) i a(t)
•
ze wzoru (2)
dx = v
⋅
dt
→
( )
∫
∫
=
t
t
t
x
x
vdt
dx
0
0
0
0
t
t
x
x
vdt
=
+
∫
( )
0
0
x
x t
=
•
ze wzoru (3)
dv = a
⋅
dt
→
0
0
( )
v t
t
v
t
d v
a d t
=
∫
∫
0
0
t
t
v
v
adt
=
+
∫
( )
0
0
v
v t
=
11
(
)
0
0
t
t
v
x
x
−
+
=
∫
+
=
t
t
vdt
x
x
0
0
RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNY
a = 0, v = const.
12
(
)
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
at
t
v
x
x
dt
at
v
x
vdt
x
x
at
v
adt
v
v
t
t
t
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
a = const. oraz t
0
= 0
13
PRZYKŁADY RUCHU
2.
Ruch krzywoliniowy
dt
r
d
v
=
r
d
dt
v
=
∫
∫
=
)
(
)
0
(
0
t
r
r
t
r
d
dt
v
)
0
(
)
(
0
r
t
r
dt
v
t
−
=
∫
∫
+
=
t
dt
v
r
t
r
0
0
)
(
dt
v
d
a
=
v
d
dt
a
=
∫
∫
=
)
(
)
0
(
0
t
v
v
t
v
d
dt
a
)
0
(
)
(
0
v
t
v
dt
a
t
−
=
∫
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
14
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
.
const
a
=
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
t
a
v
v
+
=
0
∫
+
=
t
dt
v
r
t
r
0
0
)
(
(
)
∫
+
+
=
t
dt
t
a
v
r
t
r
0
0
0
)
(
( )
∫
∫
+
+
=
t
t
dt
t
a
dt
v
r
t
r
0
0
0
0
)
(
∫
∫
+
+
=
t
t
tdt
a
dt
v
r
t
r
0
0
0
0
)
(
2
0
0
2
1
t
a
t
v
r
r
+
+
=
15
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
.
const
a
=
t
a
v
v
+
=
0
2
0
0
2
1
t
a
t
v
r
r
+
+
=
Wektory prędkości i przyspieszenia nie muszą być
równoległe.
Wektor prędkości leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez
wektory a i v
0
i przechodzącej przez punkt zdefiniowany
przez wektor r
0.
Ruch odbywający się ze stałym przyspieszeniem jest ruchem
płaskim. Torem ruchu jest w ogólnym przypadku parabola.
Przykładem takiego ruchu jest ruch w pobliżu powierzchni
ziemi ze stałym przyspieszeniem, czyli tzw. "rzut ukośny”
.
const
g
=
16
y
g
a
ˆ
⋅
−
=
( )
( )
2
0
0
0
0
0
0
0
2
1
sin
cos
gt
t
v
y
t
y
t
v
t
x
v
v
v
v
y
x
y
x
−
⋅
+
=
⋅
=
=
⋅
=
θ
θ
gt
v
v
v
v
y
y
x
x
−
=
=
0
0
PRZYKŁAD - RZUT UKOŚNY
Równania te opisują jednoznacznie ruch ciała.
Eliminując z nich czas można wyznaczyć tor punktu, y(x) –
jest nim parabola
Podstawiając y(τ) = 0 można określić czas trwania ruchu τ ,
Wartość x w chwili
τ
,
x(τ) daje zasięg.