Lista nr 6

GP, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2011/12.

Wektory. Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany.

1. Narysowa´

c wektor ~

OP = 2~i + 3~j + 6~

k i obliczy´

c jego d lugo´

s´

c oraz wyznaczy´

c k

,

aty, kt´

ore tworzy ten wektor z osiami uk ladu

wsp´

o lrz

,

ednych (sprawdzi´

c za pomoc

,

a wzoru cos

2

α + cos

2

β + cos

2

γ = 1).

2. Pewien wektor tworzy z osiami OX i OZ k

,

aty 45

o

i 60

o

. Obliczy´

c jego k

,

at wzgl

,

edem osi OY.

3. Zbudowa´

c r´

ownoleg lobok na wektorach ~

OA = ~i + ~j, ~

OB = ~

k − 3~j oraz obliczy´

c d lugo´

sci jego przek

,

atnych.

4. Zbudowa´

c r´

ownoleg lobok na wektorach ~a = 2~j + ~

k i ~b = ~i + 2~

k oraz obliczy´

c jego pole i wysoko´

s´

c.

5. Obliczy´

c k

,

aty w ∆ABC o wierzcho lkach: A(2, −1, 3), B(1, 1, 1), C(0, 0, 5).

6. Wykona´

c dzia lanie: (2~i − ~j) ◦ ~j + (~j − 2~

k) ◦ ~

k + (~i − 2~

k)

2

.

7. Obliczy´

c pole tr´

ojk

,

ata o wierzcho lkach: A(7, 3, 4), B(1, 0, 6), C(4, 5, −2).

8. Wykona´

c dzia lania i upro´

sci´

c wyra˙zenia:

a) ~i × (~j + ~

k) − ~j × (~i + ~

k) + ~

k × (~i + ~j + ~

k),

b) 2~i ◦ (~j × ~

k) + 3~j ◦ (~i × ~

k) + 4~

k ◦ (~i × ~j).

9. Zbudowa´

c czworo´

scian o wierzcho lkach O(0, 0, 0), A(5, 2, 0), B(2, 5, 0), C(1, 2, 4) i obliczy´

c jego obj

,

eto´

s´

c, pole ´

sciany ABC

oraz wysoko´

s´

c czworo´

scianu opuszczon

,

a na t

,

e ´

scian

,

e.

10. Sprawdzi´

c, czy punkty A(2, −1, −1), B(1, 2, 1), C(2, 3, 0) i D(5, 0, −6) le˙z

,

a w jednej p laszczy´

znie.