Egzamin z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 01.02.2013
Zestaw A
Zad. 1. Dwie osoby umówiły się na spotkanie między godzinami 17-tą a 18-tą. Osoba, która przyjdzie pierwsza czeka
na drugą co najwyżej 40 minut, a potem odchodzi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spotkanie dojdzie do skutku.
Zad. 2. Do 4 pustych wagonów metra wsiadło losowo 6 osób. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden
wagon będzie pusty.
Zad. 3. Z talii 8 kart, wśród których są 4 króle i 4 asy, wybieramy losowo 2 karty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
wśród wybranych kart będą 2 króle, jeśli wiadomo, że wybrano co najmniej jednego króla.
Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
tym.
poza
,
0
,
2
1
gdy
,
2
,
1
0
gdy
,
x
x
x
x
x
f
Obliczyć
4
1
1
X
P
.
Zad. 5. Odporność na rozerwanie próbek pewnego materiału jest zmienną losową o rozkładzie normalnym,
ze średnią 6 i odchyleniem standardowym 2. Próbkę materiału uważa się za bardzo wytrzymałą, jeśli jej odporność
na rozerwanie przekracza 8. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że:
a) losowo wybrana próbka materiału będzie bardzo wytrzymała na rozerwanie,
b) przynajmniej jedna z trzech niezależnie wybranych próbek materiału będzie bardzo wytrzymała na rozerwanie.
Zad. 6. Wiadomo, że X ma standardowy rozkład normalny. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zm. losowej
X
Y
2
.
Zad. 7. Wiadomo, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem
0
oraz, że
27
/
26
3
X
P
.
Wyznaczyć: a) parametr
, b) wartość oczekiwaną zm. losowej
5
6
X
Y
, c) wariancję zm. losowej
5
6
X
Y
.
Zad. 8. Dwuwymiarowa zmienna losowa
Y
X ,
ma rozkład skokowy podany w tabeli:
X Y
- 2
0
3
2
3/11
1/11
2/11
5
1/11
3/11
1/11
Wyznaczyć: a) rozkład zmiennej losowej
2
X
Y
, b) wariancję zmiennej losowej
2
X
Y
.
Zad. 9. Wykonać następujące polecenia:
a) Niech
i
B
(
3
,
2
,
1
i
) oznacza zdarzenie, że w i-tym rzucie monetą otrzymamy reszkę. Za pomocą działań na
zdarzeniach
i
B
zapisać zdarzenie, że otrzymano dokładnie jedną reszkę w trzech rzutach monetą;
b) Dane są 3 zdarzenia:
C
B
A
,
,
. Wypisać wszystkie warunki, przy których zdarzenia
C
B
A
,
,
są niezależne;
c) Co nazywamy czwartym momentem zwykłym zmiennej losowej X ? Podać, jak obliczamy go dla zmiennej losowej
typu ciągłego przy danej gęstości f ;
d) Wiadomo, że X ma rozkład normalny o średniej 4 i odchyleniu standardowym 2 . Wyznaczyć
4
X
P
.
Odpowiedź uzasadnić;
e) Podać definicję poziomu istotności testu;
f) Wiadomo, że przy weryfikacji, na poziomie istotności 0,1, pewnej hipotezy zerowej H
0
, otrzymano p-wartość testu
równą 0,15. Zweryfikować na tej podstawie hipotezę H
0
. Odpowiedź uzasadnić;
g) Na podstawie wyników pomiarów pierwszej cechy dla 12 wybranych elementów pierwszej populacji i wyników
pomiarów drugiej cechy dla 10 wybranych elementów drugiej populacji, przeprowadzamy, na poziomie istotności
0,1, test na równość średnich tych cech, przy założeniu, że obie cechy mają w rozważanych populacjach rozkłady
normalne. Wyznaczyć wartość krytyczną tego testu;
h) Wyznaczyć p-wartość testu z pkt. g), jeśli wiadomo, że wartość statystyki testowej dla tego testu wyniosła 1,064.
Egzamin z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 01.02.2013
Zestaw B
Zad. 1. Dwie osoby umówiły się na spotkanie między godzinami 18-tą a 19-tą. Osoba, która przyjdzie pierwsza czeka
na drugą co najwyżej 20 minut, a potem odchodzi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spotkanie dojdzie do skutku.
Zad. 2. Do 4 pustych wagonów metra wsiadło losowo 7 osób. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden
wagon będzie pusty.
Zad. 3. Z talii 8 kart, wśród których są 4 króle i 4 asy, wybieramy losowo 2 karty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
wśród wybranych kart będą 2 króle, jeśli wiadomo, że wśród wybranych kart jest czarny król.
Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
tym.
poza
,
0
,
3
2
gdy
,
3
,
2
1
gdy
,
1
x
x
x
x
x
f
Obliczyć
2
1
2
X
P
.
Zad. 5. Odporność na rozerwanie próbek pewnego materiału jest zmienną losową o rozkładzie normalnym,
ze średnią 7 i odchyleniem standardowym 4. Próbkę materiału uważa się za bardzo wytrzymałą, jeśli jej odporność
na rozerwanie przekracza 9. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że:
a) losowo wybrana próbka materiału będzie bardzo wytrzymała na rozerwanie,
b) przynajmniej jedna z trzech niezależnie wybranych próbek materiału będzie bardzo wytrzymała na rozerwanie.
Zad. 6. Wiadomo, że X ma standardowy rozkład normalny. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zm. losowej
X
Y
3
.
Zad. 7. Wiadomo, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem
0
oraz, że
4
/
3
2
X
P
.
Wyznaczyć: a) parametr
, b) wartość oczekiwaną zm. losowej
4
7
X
Y
, c) wariancję zm. losowej
4
7
X
Y
.
Zad. 8. Dwuwymiarowa zmienna losowa
Y
X ,
ma rozkład skokowy podany w tabeli:
X Y
- 4
0
2
3
2/11
2/11
1/11
4
1/11
3/11
2/11
Wyznaczyć: a) rozkład zmiennej losowej
4
X
Y
, b) wariancję zmiennej losowej
4
X
Y
.
Zad. 9. Wykonać następujące polecenia:
a) Niech
i
B
(
3
,
2
,
1
i
) oznacza zdarzenie, że w i-tym rzucie monetą otrzymamy reszkę. Za pomocą działań na
zdarzeniach
i
B
zapisać zdarzenie, że w trzech rzutach monetą liczba reszek jest większa od liczby orłów;
b) Podać definicję niezależności zdarzeń
B
A ,
oraz warunek niezależności, który z tej definicji wynika;
c) Co nazywamy trzecim momentem centralnym zmiennej losowej X ? Podać, jak obliczamy go dla zmiennej losowej
typu ciągłego przy danej gęstości f i wartości oczekiwanej m ;
d) Wiadomo, że X ma rozkład normalny o średniej 6 i odchyleniu standardowym 3 . Wyznaczyć
3
X
P
.
Odpowiedź uzasadnić;
e) Podać definicję mocy testu;
f) Wiadomo, że przy weryfikacji, na poziomie istotności 0,05, pewnej hipotezy zerowej H
0
, otrzymano p-wartość testu
równą 0,035. Zweryfikować na tej podstawie hipotezę H
0
. Odpowiedź uzasadnić;
g) Na podstawie wyników pomiarów pierwszej cechy dla 10 wybranych elementów pierwszej populacji i wyników
pomiarów drugiej cechy dla 14 wybranych elementów drugiej populacji, przeprowadzamy, na poziomie istotności
0,1, test na równość średnich tych cech, przy założeniu, że obie cechy mają w rozważanych populacjach rozkłady
normalne. Wyznaczyć wartość krytyczną tego testu;
h) Wyznaczyć p-wartość testu z pkt. g), jeśli wiadomo, że wartość statystyki testowej dla tego testu wyniosła 2,4055.
ODPOWIEDZI DO ZADAŃ
Odpowiedzi do zadań z zestawu A:
Zad. 1:
9
8
; Zad. 2:
6
6
6
4
1
4
4
2
6
4
3
4
; Zad. 3:
11
3
B
A
P
; Zad. 4:
16
7
; Zad. 5: a)
16
,
0
1
1
, b)
4
,
0
84
,
0
1
3
;
Zad. 6:
,
0
gdy
,
1
2
2
,
0
gdy
,
0
t
t
t
t
F
Y
;
0
gdy
,
2
1
,
0
gdy
,
0
4
/
2
t
e
t
t
f
t
Y
Zad. 7: a)
3
ln
, b)
5
3
ln
6
EY
, c)
2
2
3
ln
36
Y
D
;
Zad. 8: a)
j
y
2
0
3
2
X
y
Y
P
j
2
/
1
6
/
1
3
/
1
b)
5
0
5
2
2
2
2
2
2
2
X
y
Y
E
X
y
Y
E
X
y
Y
D
j
j
j
;
Zad. 9: a)
3
'
2
'
1
'
3
2
'
1
'
3
'
2
1
B
B
B
B
B
B
B
B
B
,
b)
B
P
A
P
B
A
P
,
C
P
A
P
C
A
P
,
C
P
B
P
C
B
P
,
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
,
c)
4
EX
- czwarty moment zwykły zmiennej losowej X ; dla zmiennej losowej typu ciągłego
dx
x
f
x
EX
4
4
,
d)
0
4
X
P
, bo rozkład normalny jest rozkładem ciągłym, a dla rozkładów ciągłych
0
c
X
P
, gdy c - stała,
e) trzeba zajrzeć do wykładu, f) p-wartość = 0,15 > 0,1 = poziom istotności
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
,
g)
7247
,
1
20
;
1
,
0
t
, h) p-wartość = 0,3, bo
20
;
3
,
0
064
,
1
t
t
emp
.
Odpowiedzi do zadań z zestawu B:
Zad. 1:
9
5
; Zad. 2:
7
7
7
4
1
4
4
2
6
4
3
4
; Zad. 3:
7
3
B
A
P
; Zad. 4:
4
3
; Zad. 5: a)
31
,
0
2
1
1
, b)
67
,
0
69
,
0
1
3
;
Zad. 6:
,
0
gdy
,
1
3
2
,
0
gdy
,
0
t
t
t
t
F
Y
;
0
gdy
,
2
3
2
,
0
gdy
,
0
18
/
2
t
e
t
t
f
t
Y
Zad. 7: a)
2
ln
, b)
4
2
ln
7
EY
, c)
2
2
2
ln
49
Y
D
;
Zad. 8: a)
j
y
4
0
2
4
X
y
Y
P
j
6
/
1
2
/
1
3
/
1
b)
4
0
4
4
4
4
2
2
2
2
X
y
Y
E
X
y
Y
E
X
y
Y
D
j
j
j
;
Zad. 9: a)
3
2
'
1
3
'
2
1
'
3
2
1
3
2
1
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
,
b)
B
P
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
, gdy
0
B
P
,
c)
3
m
X
E
(gdzie
EX
m
) - trzeci moment centralny zm. los. X ; dla zm. los. typu ciągłego
dx
x
f
m
x
m
X
E
3
3
,
d)
0
3
X
P
, bo rozkład normalny jest rozkładem ciągłym, a dla rozkładów ciągłych
0
c
X
P
, gdy c - stała,
e) trzeba zajrzeć do wykładu, f) p-wartość = 0,035 < 0,05 = poziom istotności
odrzucamy H
0
,
g)
7171
,
1
22
;
1
,
0
t
, h) p-wartość = 0,025, bo
22
;
025
,
0
4055
,
2
t
t
emp
.