Linie wpływu – belka. Oprac. R.N., korekta P.K.

1

OBLICZENIA

LINIE WPŁYWU REAKCJI

I. Linia wpływu H

A

1. P= ī A-F

0≤x≤22

∑X=0
H

A

(x)=0

LwH

A

=0[-]

II. Linia wpływu R

F

1. P= ī F-E

0≤x≤8

∑M(E)=0
-8R

F

(x)+(8-x)P=0

R

F

(x)=(8-x)/8

Lw R

F

=(8-x)/8 [-]

2. P= ī E-A

8<x≤22

∑M(E)=0
R

F

(x)=0

Lw R

F

=0 [-]

III. Linia wpływu R

E

1. P= ī F-E

0≤x≤8

∑M(F)=0
8R

E

(x)-(x)P=0

R

E

(x)=x/8

Lw R

E

=x/8 [-]

2. P= ī E-A

8<x≤22

∑M(F)=0
R

E

(x)=0

Lw R

E

=0 [-]

IV. Linia wpływu R

D

1. P= ī F-E

0≤x≤8

∑M(C)=0
6R

E

(x)-2R

D

(x)=0

R

D

(x)=3R

E

(x)

Lw R

D

=3 Lw R

E

[-]

2. P= ī E-C

8<x≤14

∑M(C)=0
-2R

D

(x)+(14-x)P=0

R

D

(x)=(14-x)/2

Lw R

D

=(14-x)/2 [-]

3. P= ī C-A

14<x≤22

∑M(C)=0
R

D

(x)=0

Lw R

D

=0 [-]

Linie wpływu – belka. Oprac. R.N., korekta P.K.

2

V. Linia wpływu R

C

1. P= ī F-E

0≤x≤8

∑M(D)=0
2R

C

(x)+4R

E

(x)=0

R

C

(x)= -2R

E

(x)

Lw R

C

= -2 Lw R

E

[-]

2. P= ī E-C

8<x≤14

∑M(D)=0
2R

C

(x)-(x-12)P=0

R

C

(x)=(x-12)/2

Lw R

C

=(x-12)/2 [-]

3. P= ī C-A

14<x≤22

∑M(D)=0
R

C

(x)=0

Lw R

C

=0 [-]

VI. Linia wpływu R

B

1. P= ī F-C

0≤x≤14

∑M(A)=0
8R

C

(x)-6R

B

(x)=0

R

B

(x)= 8/6 R

C

(x)

Lw R

B

= 8/6 Lw R

C

[-]

2. P= ī C-A

14<x≤22

∑M(A)=0
-6R

B

(x)+(22-x)P=0

R

B

(x)=(22-x)/6

Lw R

B

=(22-x)/6 [-]

VII. Linia wpływu R

A

1. P= ī F-C

0≤x≤14

∑M(B)=0
6R

A

(x)+2R

C

(x)=0

R

A

(x)= -1/3 R

C

(x)

Lw R

A

= -1/3 Lw R

C

[-]

2. P= ī C-A

14<x≤22

∑M(B)=0
6R

A

(x)+(16-x)P=0

R

A

(x)=(x-16)/6

Lw R

A

=(x-16)/6 [-]

Linie wpływu – belka. Oprac. R.N., korekta P.K.

3

LINIE WPŁYWU SIŁ PRZEKROJOWYCH

I. Linia wpływu Qα

1. P= ī F-α

0≤x≤18

Qα(x)= R

A

(x)

Lw

Qα= Lw R

A

[-]

Lw Qα(18) = 1/3

2. P= ī A-α

18<x≤22

Qα(x)= R

A

(x) - P

Qα(x)= R

A

(x) - 1

Lw

Qα= Lw R

A

-1 [-]

II. Linia wpływu Mα

1. P= ī F-α

0≤x≤18

Mα(x)= 4 R

A

(x)

Lw

Mα= 4 Lw R

A

[m]

2. P= ī A-α

18<x≤22

Mα(x)= 4R

A

(x) - (x-18)P

Lw

Mα= - Lw R

A

- (x-18) [m]

Linie wpływu – belka. Oprac. R.N., korekta P.K.

4

NAJNIEKORZYSTNIEJSZE POŁOŻENIE UKŁADU SIŁ

Dla siły przekrojowej Mα

1.

Wypadkowa układu sił

–

wypadkowa obciążenia ciągłego:

5 [m] * 8 [kN/m] = 40 [kN]

–

położenie wypadkowej:

Σ M(A) = 0 => 40x – 4(0.5-x) = 0

x = 0.0455

2.

Najniekorzystniejsze położenie układu sił

Mα max

1. Wypadkowa układu działa na linii

wpływu o maksymalnej wartości, siła
skupiona po prawej stronie obciążenia.

2. Wypadkowa układu działa na linii

wpływu o maksymalnej wartości, siła
skupiona po lewej stronie obciążenia.

3. Siła skupiona działa na linii wpływu o

maksymalnej wartości, większa część
obciążenia ciągłego (o długości 3)
umieszczona na prawo od linii wpływu
8/3.
Nie musimy rozważać analogicznego
przypadku z częścią obciążenia ciągłego
o dł 3 na lewo od linii wpływu 8/3,
ponieważ widać z wykresu że krzywa
łącząca linie wpływu jest pod większym
kątem nachylenia do osi belki (wartości
szybciej maleją).

Linie wpływu – belka. Oprac. R.N., korekta P.K.

5

Przypadek 1

4. Obciążenie ciągłe ułożone w ten sposób, aby na obu końcach

obciążenia ciągłego linie wpływu miały równe wartości (a=b).
Siła skupiona na lewo w odległości 2 (czyli de facto na prawo)
od linii wpływu 8/3.
Analogicznie jak w
przypadku 3. nie musimy
rozważać sytuacji z siłą
skupioną na prawo od Lw
8/3.

Linie wpływu – belka. Oprac. R.N., korekta P.K.

6

Przypadek 2

Przypadek 3

a=

1
3



8− y  b=

2
3



4−x

x y=5 ⇒ x=

5
3

y=

10

3

Przypadek 4

1.

2.

3.

4.

=

Położenie najmniej korzystne w przypadku 4.

Mα min

1. Obciążenie ciągłe ułożone w ten sposób, aby na

obu końcach obciążenia ciągłego linie wpływu
miały równe wartości. Zauważamy że wykres linii
wpływu jest symetryczny dla x należących
(10;16) względem linii wyznaczającej minimum,
więc obciążenie ciągłe układamy tak, aby jego oś
symetrii pokryła się z osią symetrii wykresu. Z
symetryczności wykresu widzimy też, że nie ma
znaczenia po której stronie obciążenia ciągłego
przyłożymy siłę skupioną.

2. Siła skupiona działa na linii wpływu o

najmniejszej wartości.

3. Wypadkowa układu obciążeń działa na linii

wpływu o najmniejszej wartości.

Linie wpływu – belka. Oprac. R.N., korekta P.K.

7



8[2.5455⋅0.96971/2⋅2.5455⋅8/3−0.9697]=91.4133[kNm]

M



max

=

4⋅2.51528[2.4545⋅1.84851 /2⋅2.4545⋅8/3−1.8485]

M



max

=

4⋅2.36378[2.5455⋅1.81821/2⋅2.5455⋅8/3−1.8182]



8[2.4545⋅1.03031/2⋅2.4545⋅8/3−1.0303]=91.4165[kNm]

M



max

=

4⋅8

3



8

3⋅5

3



1⋅3

2

⋅

8
3

−

5

3



2⋅4

3



1⋅2

2

⋅

8
3

−

4
3

=

89.3333[kNm]

M



max

=

4⋅23

9



8⋅[

5⋅1

3

⋅

8−

10

3



1
2

⋅

5⋅

8
3

−

1
3

⋅

8−

10

3

]

94.6667[kNm]

Przypadek 1

Przypadek 2

1.

M



min

=−[

4⋅1

8⋅1⋅4⋅2⋅2

2⋅3

−

8⋅2⋅1⋅1⋅1

2⋅2⋅3

]=−

24 [kNm]

2.

M



min

=−[

4⋅4

3



8⋅2⋅1⋅4⋅4

2⋅3

−

8⋅1⋅1⋅2

2⋅3

]=−

45.3333[ kNm]

3.

M



min

=−[

4⋅2

3

⋅

2−0.4545

8⋅1⋅2⋅4⋅2

2⋅3

]

−[

−

8⋅1⋅2⋅0.5455

2

2⋅3

−

8⋅1⋅2⋅0.4545

2

2⋅3

]=−

8.1103 [kNm]

Położenie najmniej korzystne w przypadku 2.

Linie wpływu – belka. Oprac. R.N., korekta P.K.

8

Przypadek 3