MECHANIKA BUDOWLI  

 

Wykład 6:  

LINIE WPŁYWU 

Prowadzący: dr inż. Wojciech Zielichowski-Haber 

Linie wpływu  

Plan wykładu 

1. Informacje ogólne na temat linii wpływu 
2. Linie wpływu belek i ram SW 
3. Linie wpływu kratownic SW 
4. Metoda kinematyczna wyznaczania lini wpływu belek 
5. Obwiednia sił przekrojowych 

 

Linie wpływu  

Informacje ogólne nt. linii wpływu 

 Rodzaje obciążeń oddziaływujących na konstrukcję:   
• obciążenia stałe np. ciężar własny, wyposażenie etc.  
 -> wyznaczamy siły wewnętrzne klasycznie 
• obciążenie zmienne,  których położenie może ulegać zmianie. np. 

obciążenia  użytkowe, technologiczne etc.  

-> wyznaczamy siły wewnętrzne używając lini wpływu 

 
 

 
  

 

 

Linie wpływu  

Informacje ogólne nt. linii wpływu 

• Wyznaczyczenie ekstremalnych wielkości statycznych w 

przypadku obciążeń zmiennych w zależnośc od ich usytuowania. 

• Zagadnienie praktyczne statyki budowli jest wyznaczenie linii 

wpływu wielkości statycznych, które pozwalają rozwiązywać 
problemy związane ze zmiennością położenia obciążenia.  

 

 

Linie wpływu  

Informacje ogólne nt. linii wpływu 

 Linią wpływu wielkości statycznej Z (reakcji R; sił przekrojowych M, V, N; 

przemieszczeń y,φ) nazywamy wykres funkcji  

 

              

ilustrujący zależność wielkości Z  

 

 

 

 

      

od położenia czynnej siły  

 

 

 

 

  

jednostkowej P=1 na  

 

 

 

 

          

ustalonym torze tej siły.  
 

• Przyjmuje się, że siła  

 

 

 

 

    

jednostkowa P=1 jest pionowa  

 

 

 

 

        

w stosunku od osi pręta  

     (chyba, że ustalono inaczej).  
• Linią przerywaną zaznacza się tor „jazdy” przesuwania się siły. 

 

 

Linie wpływu  

Informacje ogólne nt. linii wpływu 

• Można wyznaczać linie wpływu od jednostkowego momentu, ale nie będzie 

to przedmiotem niniejszego wykładu.  

 Linia wpływu może dotyczyć: 
• momentu zginającego, siły tnace i osiowej w rozpatrywanym przekroju, 
• reakcji na rozpatrywanej podporze, 
• przemieszczenia rozpatrywanego węzła i obrotu rozpatrywanego pręta. 
 Wymiar rzędnych linii wpływu ustalamy następująco:  

 
 

Siła jednostkowa P=1kN to: 

LwM=[kNm]/[kN]=[m] 

LwV=LwN=LwR=[kN]/[kN]=[-] 

 Stosuje się dwie metody wyznaczania linii wpływu:  
1) statyczną, 
2) kinematyczną.  

 

Linie wpływu  

Informacje ogólne nt. linii wpływu 

  Twierdzenie: 

dla układów statycznie wyznaczalnych wielkość statyczna jest liniową 
funkcją położenia siły jednostkowej dla ustalonej tarczy.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

Linie wpływu  

Informacje ogólne nt. linii wpływu 

 Z powyższego wynika twierdzenie:  

Linie wpływu wielkości statycznej dla ustrojów statycznie wyznaczalnych 
składają się z odcinków prostych.  

 

 

Linie wpływu  

Informacje ogólne nt. linii wpływu 

 

Wniosek nr1  

Linia wpływu wielkości statycznej dla każdej tarczy ustroju 
statycznie wyznaczalnego jest odcinkiem prostej.  

 

 

Linie wpływu  

Informacje ogólne nt. linii wpływu 

 

Wniosek nr2 

Dla każdej tarczy wystarczy wyznaczyć dwie rzędne linii wpływu 
dla dwóch różnych położeń siły jednostkowej.  
Rzędne te z reguły wyznaczamy w pewnych punktach 
charakterystycznych dla danego ustroju.  

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Przykład nr1. LW belki swobodnie podpartej 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Linię wpływu wyznaczać będziemy wyznaczając rzędne w 

charakterystycznych punktach.  

 Wyznaczenie LW momentu zgniającego 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

 Wyznaczenie LW siły tnącej 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

 Wniosek nr1  
Dla momentu w miejscu przekroju linia wpływu ma załamanie.  
 
 Wniosek 2  
Dla siły tnącej linia wpływu ma skok, a dwie sąsiednie gałęzie są 
równoległe. 

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Przykład. Wspornik 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

LW momentów i sił tnących mają cechy charakterystyczne jak załamanie dla 
momentu i skok dla siły tnącej. 

 

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Przykład. Belka z łyżwą 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dla momentu LW ma załamanie rzędnych w przekroju α-α, a dla sił 
tnących odpowiednio skok.  

 

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Przykład – metoda statyczna i kinematyczna  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.  

 

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Przykład – metoda statyczna i kinematyczna  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

 

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Przypadek, gdy obciążenie nie działa bezpośrednio na daną belkę 

Obciążenie jest przekazywane w sposób pośredni np. belki główne, dla 
których chcemy wyznaczyć linie wpływu obciążenie może być przekazywane 
poprzez podłużnice i poprzecznie.  

 
• Wyznaczając LW momentu i siły tnącej dla belki w ten sposób, że 

wyznaczamy linię wpływu jakby siła poruszała się bezpośrednio po 
belce, a następnie uwzględniamy fakt,  że jest przekazywana 
pośrednio przez belki poprzeczne.  

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Przykład 

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Położenie pośrednie i bezpośrednie  

Linie wpływu 

Linie wpływu belek i ram SW 

• Przykład nr: Algorytm  
postępowania: belka z  
dodatkowym wspornikiem.  
1) wyznaczamy LW  
jakby wspornika nie było, 
1) uwzględnimy do jakiego 
miejsca jest ważna każda  
tarcza. 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu kratownic SW 

• Kratownice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

 

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu kratownic SW 

• Kratownice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

 

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu kratownic SW 

• Kratownice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

 

 

 

Linie wpływu 

Linie wpływu kratownic SW 

• Kratownice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

 

 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

• W przypadku obciążeń zmiennych działających na konstrukcje 

znajomość  linii wpływu wielkośc statycznej Z pozwala w łatwy 
sposób wyznaczyć wielkości Z od danego programu obciążenia.  

• W obciążeniu zmiennym wyróżniamy siły skupione i obciążenie 

rozłożone. 

 
  

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

• Częstym zadaniem jest wyznaczenie wartości ekstremalnych 

wielkości Z, a więc Zmax i Zmin dla maksymalnego i minimalnego 
programu obciążeń, przy czym musimy uwzględniać  fakt, że siły 
skupione w obciążeniu zmiennym mogą mieć różne położenie, 
obciążenie rozłożone może być  przerywane, a więc występować na 
pewnych fragmentach konstrukcji co oznacza, że występuje ono 
tylko na pewnych odcinkach, a może także wcale nie występować. 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

• Linie wpływu szczególnie mają znaczenie przy wyznaczaniu 

obwiedni sił przekrojowych (momentów, sił tnących, sił osiowych) 
dla zadanego programu obciążeń.  

 
• Wyznaczenie wielkości Z od sił skupionych i rozłożonych, 

wykorzystując LW Z.  

Sposób postępowania: 
1. Wyznaczenie LW Z od siły P=1 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

• Siła skupiona 

 
 
 
 
 
 

• Grupa sił skupionych 

  

 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

• Obciążenie równomiernie rozłożone 

 
 
 
 
 

• Obciążenie dowolnie rozłożone 

 

 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

• Obciążenie zmienne równomiernie rozłożone moz e być przerywane, 

a więc występować  na pewnych odcinkach.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Obciążenie zmienne oddzielnie obciąża rzędne dodatnie i oddzielnie 

rzędne ujemne. 

 
 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

• Problem: jak ustawic siły skupione, aby otrzymać wielkości 

ekstremalne. Najważniejsza zasada  jest, aby jedną siłę skupioną  
(przeważnie największą) ustawic w miejscu rzędnej ekstremalnej.  

 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

 Przykład: Obliczyć reakcje Ra 

 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

 Obliczyć Mc-c i Tc-c 

 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

 Niekorzystne położenie obciążenia 

 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

 Przykład:  
Wyznaczenie obwiedni momentów dla belki dwuprzęsłowej dla danego 
programu obciążenia.  
Obciążenie stałe wynosi q=2kN/m, obciążenie zmienne składa się z 
dwóch sił skupionych P1=P2=P=6kN i obciążenia równomiernie 
rozłożonego p=4kN/m.  

 

 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

 Przykład:  
Wyznaczenie obwiedni momentów dla belki dwuprzęsłowej dla danego 
programu obciążenia.  
Obciążenie stałe wynosi q=2kN/m, obciążenie zmienne składa się z 
dwóch sił skupionych P1=P2=P=6kN i obciążenia równomiernie 
rozłożonego p=4kN/m.  

 

 

Linie wpływu  

Obwiednia sił 

Linie wpływu  

Obwiednia sił 

Linie wpływu 

Obwiednia sił przekrojowych 

• Obwiednia momentów zginających