1
Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 19
Zadania zamknięte
Numer
zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
1.
D.
7
14
2
0
6
2
)
2
(
4
=
=
=
−
+
−
⋅
m
m
m
2
C.
Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe, gdy wyróŜnik
trójmianu jest równy .
0
6
6
36
)
9
)(
1
(
4
2
2
−
=
∪
=
−
=
−
−
−
=
∆
m
m
m
m
dla
6
=
m
9
6
)
(
2
−
+
−
=
x
x
x
f
Największą wartość funkcja przyjmuje dla argumentu
.
2a
b
x
−
=
3
2
6
=
−
−
=
x
dla
6
−
=
m
9
6
)
(
2
−
−
−
=
x
x
x
f
3
2
6
−
=
−
=
x
3.
A.
1
2
2
1
1
2
2
1
4
1
2
1
4
1
2
2
4
4
−
−
−
=
=
−
+
=
−
+
4.
C.
5
5
2
2
)
1
(
−
+
=
−
−
−
+
=
−
b
a
b
a
b
a
W
5
0
5
=
+
=
−
+
b
a
b
a
Suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą nieparzystą, jeŜeli jedna z
tych liczb jest parzysta, a druga nieparzysta.
5.
C.
h – wysokość walca
2
r
h
h
r
r
3
4
3
4
2
3
=
=
π
π
6.
B.
5
3
5
3
3
5
9
)
3
5
(
9
5
5
3
5
9
5
5
)
5
(
3
9
5
2
2
=
−
+
=
−
+
=
+
−
−
+
+
−
=
=
−
−
+
⋅
+
−
=
−
−
+
+
−
x
x
x
7.
D.
Dla
0
>
x
1
1
1
1
<
⇔
<
⇔
<
x
x
x
x
– sprzeczność.
Dla
0
<
x
1
1
1
1
<
−
⇔
<
−
⇔
<
x
x
x
x
– nierówność jest spełniona
przez kaŜdą liczbę całkowitą mniejszą od 0 , jest nieskończenie
wiele takich liczb.
8.
A.
Z podobieństwa odpowiednich trójkątów.
CD
x
=
3
2
2
10
4
=
⇒
+
=
x
x
9.
C.
h – wysokość trójkąta
a
2 – długość podstawy trójkąta
3
30
tg
=
a
h
3
3
1
a
h
a
h
=
⇒
=
3
3
4
2
2
1
=
⋅
ah
3
3
4
=
ah
4
2
2
4
3
3
4
3
2
=
=
=
=
⋅
a
a
a
a
a
4
– liczba całkowita większa od 2
10.
C.
a
– długość boku sześcianu
3
3
a
– długość przekątnej sześcianu o boku
a
3
3
3
=
=
a
a
2
a
– długość przekątnej podstawy sześcianu
6
2
3
2
=
⋅
=
a
11.
C.
Wykresem jest parabola o wierzchołku
).
,
0
(
b
Jeśli
0
>
a
to
0
<
b
– ramiona paraboli skierowane są ku górze,
wierzchołek paraboli leŜy pod prostą
0
=
y
.
Jeśli
0
<
a
to
0
>
b
– ramiona paraboli są skierowane do dołu,
wierzchołek paraboli leŜy nad prostą
0
=
y
. W kaŜdym przypadku
są dwa punkty wspólne paraboli i prostej
0
=
y
.
12.
B.
m
w
m
w
=
=
3
log
3
x
m
=
9
log
w
x
x
m
3
9
9
=
=
2
3
3
2
w
x
w
x
=
=
13.
A.
50
4
100
8
100
80
100
10
)
(
=
=
⋅
=
A
P
14.
D.
0
5
5
=
+
−
−
y
x
1
5
1
5
0
1
5
−
=
+
−
=
−
=
−
−
x
y
x
y
y
x
1
5
1
5
5
+
−
=
−
=
−
x
y
x
y
Współczynnik kierunkowy jednej prostej jest równy
5
1
−
, a drugiej
5 – proste są więc prostopadłe, czyli przecinają się pod kątem o
mierze
90 .
15.
D.
32
5
9
+
=
x
y
4
9
160
5
160
5
9
160
9
5
−
=
−
=
+
=
y
x
y
x
x
y
50
9
160
122
5
=
−
⋅
=
x
16.
B.
0
1
2
4
2
2
=
+
−
+
−
y
y
x
x
2
2
2
2
2
2
)
1
(
)
2
(
0
4
)
1
2
(
)
4
4
(
=
−
+
−
=
−
+
−
+
+
−
y
x
y
y
x
x
Ś
rodek okręgu:
)
1
,
2
(
, promień: 2 .
Punkt A leŜy wewnątrz koła ograniczonego okręgiem.
17.
B.
Trójkąty AEC i AEB są równoramienne.
α
=
∠
=
∠
ACE
EAC
β
=
∠
=
∠
BAE
EBA
90
=
+
=
∠
β
α
BAC
– trójkąt prostokątny
18.
C.
n
n
n
n
a
a
)
1
(
)
1
(
1
1
−
−
−
=
−
+
+
dla
n
nieparzystych
2
)
1
(
1
1
=
−
−
=
−
+
n
n
a
a
dla
n
parzystych
2
1
1
1
−
=
−
−
=
−
+
n
n
a
a
19.
D.
1
1
2
2
)
1
(
)
1
(
2
)
(
5
5
5
5
5
−
=
+
−
−
=
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
K
– wielomian
piątego stopnia.
20.
A.
2
2
2
2
1
sin
1
cos
sin
a
−
=
=
+
α
α
α
α
α
α
cos
sin
tg
=
1
1
1
1
tg
2
2
2
2
2
2
2
−
=
−
=
−
=
a
a
a
a
a
a
α
21.
B.
5050
1
5050
9
4
9
5
100
2
100
1
)
4
(
,
0
)
5
(
,
0
100
99
...
3
2
1
=
=
+
⋅
+
=
+
+
+
+
+
+
5
22.
D.
15
,
,
5 x
– ciąg arytmetyczny
Z własności ciągu arytmetycznego:
10
2
5
15
=
+
=
x
.
20
,
10
,
y
– ciąg geometryczny
Z własności ciągu geometrycznego:
.
5
,
20
100
,
20
10
2
=
=
=
y
y
y
23.
C.
36
3
)
(
,
36
2
)
(
=
=
B
P
A
P
b
a
<
24.
D.
Np. dla
1
=
n
kaŜda z liczb
1
7
+
n
,
1
+
n
n
,
1
9
−
n
jest parzysta
1
10
−
n
– cyfrą jedności tej liczby, dla kaŜdego
+
∈
N
n
jest 9 –
zatem jest to liczba nieparzysta.
25.
A.
r
– promień stoŜka
h
– wysokość stoŜka
Wysokość trójkąta będącego przekrojem osiowym stoŜka dzieli go
na dwa trójkąty przystające prostokątne. Wysokość podzieliła teŜ
kąt o mierze
120 na dwa kąty – kaŜdy o mierze
60 . Kąt o mierze
60 leŜy naprzeciw boku odpowiadającego promieniowi.
3
5
2
3
10
60
sin
10
0
=
=
=
r
r
r
5
10
2
1
10
60
cos
=
=
=
h
h
h
3
5
3
5
=
=
h
r
Zadania otwarte
6
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązania
Liczba
punktów
Określenie promienia okręgu: 6 i przekątnej kwadratu:
6
2
.
1
26.
Obliczenie pola kwadratu:
12
6
2
6
2
2
1
=
⋅
⋅
=
P
.
1
Określenie liczby sukienek niebieskich:
.
14
20
%
70
=
⋅
1
27.
Obliczenie prawdopodobieństwa:
20
14
.
1
UłoŜenie nierówności:
s
km – odległość, w jakiej naleŜy wybudować hotele,
30
2
,
0
1
2
,
0
1
≤
−
+
+
s
s
.
1
28.
Rozwiązanie nierówności i podanie odpowiedzi:
.
4
,
14
,
30
8
,
0
2
,
1
≤
≤
+
s
s
s
Hotele będzie dzieliła odległość nie większa niŜ
4
,
14 km.
1
Zapisanie odpowiedniego wzoru na obliczenie pola powierzchni
blatu:
Blat stołu składa się z części prostokątnej o wymiarach 2 m na
1 m i dwóch części w kształcie półkoli o promieniu 5
,
0 m (czyli
koła o promieniu 5
,
0 m).
2
)
5
,
0
(
1
2
π
+
⋅
=
P
.
1
29.
Obliczenie pola:
785
,
2
785
,
0
2
14
,
3
25
,
0
2
25
,
0
2
=
+
=
⋅
+
≈
+
=
π
P
(m
2
).
Pole powierzchni serwetki wynosi ok.
785
,
2
m
2
.
1
Przekształcenie wyraŜenia wymiernego:
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
cos
sin
sin
cos
sin
sin
sin
1
1
sin
1
=
−
+
=
−
=
−
α
α
α
α
α
α
α
α
α
.
1
30.
Wykorzystanie związku między sinusem, cosinusem i tangensem
tego samego kąta ostrego:
α
α
α
α
2
2
2
tg
tg
1
sin
cos
−
=
=
.
1
7
Obliczenie promienia koła:
6
,
12
2
=
=
r
r
π
π
.
1
Obliczenie miar kątów trójkąta i zauwaŜenie, Ŝe jest to trójkąt
prostokątny:
.
30
,
180
3
2
=
=
+
+
x
x
x
x
Miary kątów:
90
,
60
,
30
.
1
ZauwaŜenie, Ŝe środek okręgu leŜy na połowie
przeciwprostokątnej i obliczenie długości przeciwprostokątnej: 12 .
1
Obliczenie długości przyprostokątnych:
3
6
,
6
.
1
31.
Obliczenie pola trójkąta:
3
18
3
6
6
2
1
=
⋅
⋅
=
P
.
1
Obliczenie długości krawędzi
a
podstawy:
4
,
6
2
3
=
=
a
a
(cm).
1
Określenie kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny
podstawy: kąt między wysokością ściany bocznej a wysokością
h
jednego z sześciu trójkątów równobocznych, na które moŜna
podzielić podstawę.
1
Obliczenie wysokości
h trójkąta leŜącego w podstawie:
3
2
2
3
4
2
3
=
=
=
a
h
(cm).
1
Obliczenie tangensa kąta:
3
3
3
3
2
6
tg
=
=
=
α
.
1
Obliczenie miary kąta:
60
=
α
.
1
32.
Obliczenie objętości ostrosłupa:
3
48
6
4
4
3
6
3
1
2
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
V
(cm
3
).
1
33.
Zilustrowanie sytuacji przedstawionej w zadaniu za pomocą
drzewka lub skorzystanie z reguły mnoŜenia oraz określenie liczby
zdarzeń sprzyjających zdarzeniu
'
A :
A – wśród wybranych kwiatów jest przynajmniej jedna Ŝółta róŜa
'
A – wśród wybranych kwiatów nie ma ani jednej Ŝółtej róŜy
380
19
20
=
⋅
.
1
8
Określenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu
'
A :
132
11
12
=
⋅
.
1
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do
A :
95
33
380
132
)
(
'
=
=
A
P
.
1
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
A :
95
62
95
33
1
)
(
=
−
=
A
P
.
1