1

Odpowiedzi i schematy oceniania

Arkusz 19

Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

1.

D.

7

14

2

0

6

2

)

2

(

4

=

=

=

−

+

−

⋅

m

m

m

2

C.

Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe, gdy wyróżnik

trójmianu jest równy .

0

6

6

36

)

9

)(

1

(

4

2

2

−

=

∪

=

−

=

−

−

−

=

∆

m

m

m

m

dla

6

=

m

9

6

)

(

2

−

+

−

=

x

x

x

f

Największą wartość funkcja przyjmuje dla argumentu

.

2a

b

x

−

=

3

2

6

=

−

−

=

x

dla

6

−

=

m

9

6

)

(

2

−

−

−

=

x

x

x

f

3

2

6

−

=

−

=

x

3.

A.

1

2

2

1

1

2

2

1

4

1

2

1

4

1

2

2

4

4

−

−

−

=

=

−

+

=















−

+

4.

C.

5

5

2

2

)

1

(

−

+

=

−

−

−

+

=

−

b

a

b

a

b

a

W

5

0

5

=

+

=

−

+

b

a

b

a

Suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą nieparzystą, jeżeli jedna z

tych liczb jest parzysta, a druga nieparzysta.

5.

C.

h – wysokość walca

2

r

h

h

r

r

3

4

3

4

2

3

=

=

π

π

6.

B.

5

3

5

3

3

5

9

)

3

5

(

9

5

5

3

5

9

5

5

)

5

(

3

9

5

2

2

=

−

+

=

−

+

=

+

−

−

+

+

−

=

=

−

−

+

⋅

+

−

=

−

−

+

+

−

x

x

x

7.

D.

Dla

0

>

x

1

1

1

1

<

⇔

<

⇔

<

x

x

x

x

– sprzeczność.

Dla

0

<

x

1

1

1

1

<

−

⇔

<

−

⇔

<

x

x

x

x

– nierówność jest spełniona

przez każdą liczbę całkowitą mniejszą od 0 , jest nieskończenie

wiele takich liczb.

8.

A.

Z podobieństwa odpowiednich trójkątów.

CD

x

=

3

2

2

10

4

=

⇒

+

=

x

x

9.

C.

h – wysokość trójkąta

a

2 – długość podstawy trójkąta

3

30

tg

=

a

h

3

3

1

a

h

a

h

=

⇒

=

3

3

4

2

2

1

=

⋅

ah

3

3

4

=

ah

4

2

2

4

3

3

4

3

2

=

=

=

=

⋅

a

a

a

a

a

4

– liczba całkowita większa od 2

10.

C.

a

– długość boku sześcianu

3

3

a

– długość przekątnej sześcianu o boku

a

3

3

3

=

=

a

a

2

a

– długość przekątnej podstawy sześcianu

6

2

3

2

=

⋅

=

a

11.

C.

Wykresem jest parabola o wierzchołku

).

,

0

(

b

Jeśli

0

>

a

to

0

<

b

– ramiona paraboli skierowane są ku górze,

wierzchołek paraboli leży pod prostą

0

=

y

.

Jeśli

0

<

a

to

0

>

b

– ramiona paraboli są skierowane do dołu,

wierzchołek paraboli leży nad prostą

0

=

y

. W każdym przypadku

są dwa punkty wspólne paraboli i prostej

0

=

y

.

12.

B.

m

w

m

w

=

=

3

log

3

x

m

=

9

log

w

x

x

m

3

9

9

=

=

2

3

3

2

w

x

w

x

=

=

13.

A.

50

4

100

8

100

80

100

10

)

(

=

=

⋅

=

A

P

14.

D.

0

5

5

=

+

−

−

y

x

1

5

1

5

0

1

5

−

=

+

−

=

−

=

−

−

x

y

x

y

y

x

1

5

1

5

5

+

−

=

−

=

−

x

y

x

y

Współczynnik kierunkowy jednej prostej jest równy

5

1

−

, a drugiej

5 – proste są więc prostopadłe, czyli przecinają się pod kątem o

mierze

90 .

15.

D.

32

5

9

+

=

x

y

4

9

160

5

160

5

9

160

9

5

−

=

−

=

+

=

y

x

y

x

x

y

50

9

160

122

5

=

−

⋅

=

x

16.

B.

0

1

2

4

2

2

=

+

−

+

−

y

y

x

x

2

2

2

2

2

2

)

1

(

)

2

(

0

4

)

1

2

(

)

4

4

(

=

−

+

−

=

−

+

−

+

+

−

y

x

y

y

x

x

Ś

rodek okręgu:

)

1

,

2

(

, promień: 2 .

Punkt A leży wewnątrz koła ograniczonego okręgiem.

17.

B.

Trójkąty AEC i AEB są równoramienne.

α

=

∠

=

∠

ACE

EAC

β

=

∠

=

∠

BAE

EBA

90

=

+

=

∠

β

α

BAC

– trójkąt prostokątny

18.

C.

n

n

n

n

a

a

)

1

(

)

1

(

1

1

−

−

−

=

−

+

+

dla

n

nieparzystych

2

)

1

(

1

1

=

−

−

=

−

+

n

n

a

a

dla

n

parzystych

2

1

1

1

−

=

−

−

=

−

+

n

n

a

a

19.

D.

1

1

2

2

)

1

(

)

1

(

2

)

(

5

5

5

5

5

−

=

+

−

−

=

+

−

+

−

=

x

x

x

x

x

x

K

– wielomian

piątego stopnia.

20.

A.

2

2

2

2

1

sin

1

cos

sin

a

−

=

=

+

α

α

α

α

α

α

cos

sin

tg

=

1

1

1

1

tg

2

2

2

2

2

2

2

−

=

−

=

−

=

a

a

a

a

a

a

α

21.

B.

5050

1

5050

9

4

9

5

100

2

100

1

)

4

(

,

0

)

5

(

,

0

100

99

...

3

2

1

=

=

+

⋅

+

=

+

+

+

+

+

+

5

22.

D.

15

,

,

5 x

– ciąg arytmetyczny

Z własności ciągu arytmetycznego:

10

2

5

15

=

+

=

x

.

20

,

10

,

y

– ciąg geometryczny

Z własności ciągu geometrycznego:

.

5

,

20

100

,

20

10

2

=

=

=

y

y

y

23.

C.

36

3

)

(

,

36

2

)

(

=

=

B

P

A

P

b

a

<

24.

D.

Np. dla

1

=

n

każda z liczb

1

7

+

n

,

1

+

n

n

,

1

9

−

n

jest parzysta

1

10

−

n

– cyfrą jedności tej liczby, dla każdego

+

∈

N

n

jest 9 –

zatem jest to liczba nieparzysta.

25.

A.

r

– promień stożka

h

– wysokość stożka

Wysokość trójkąta będącego przekrojem osiowym stożka dzieli go

na dwa trójkąty przystające prostokątne. Wysokość podzieliła też

kąt o mierze

120 na dwa kąty – każdy o mierze

60 . Kąt o mierze

60 leży naprzeciw boku odpowiadającego promieniowi.

3

5

2

3

10

60

sin

10

0

=

=

=

r

r

r

5

10

2

1

10

60

cos

=

=

=

h

h

h

3

5

3

5

=

=

h

r

Zadania otwarte

6

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązania

Liczba

punktów

Określenie promienia okręgu: 6 i przekątnej kwadratu:

6

2

.

1

26.

Obliczenie pola kwadratu:

12

6

2

6

2

2

1

=

⋅

⋅

=

P

.

1

Określenie liczby sukienek niebieskich:

.

14

20

%

70

=

⋅

1

27.

Obliczenie prawdopodobieństwa:

20

14

.

1

Ułożenie nierówności:

s

km – odległość, w jakiej należy wybudować hotele,

30

2

,

0

1

2

,

0

1

≤

−

+

+

s

s

.

1

28.

Rozwiązanie nierówności i podanie odpowiedzi:

.

4

,

14

,

30

8

,

0

2

,

1

≤

≤

+

s

s

s

Hotele będzie dzieliła odległość nie większa niż

4

,

14 km.

1

Zapisanie odpowiedniego wzoru na obliczenie pola powierzchni

blatu:

Blat stołu składa się z części prostokątnej o wymiarach 2 m na

1 m i dwóch części w kształcie półkoli o promieniu 5

,

0 m (czyli

koła o promieniu 5

,

0 m).

2

)

5

,

0

(

1

2

π

+

⋅

=

P

.

1

29.

Obliczenie pola:

785

,

2

785

,

0

2

14

,

3

25

,

0

2

25

,

0

2

=

+

=

⋅

+

≈

+

=

π

P

(m

2

).

Pole powierzchni serwetki wynosi ok.

785

,

2

m

2

.

1

Przekształcenie wyrażenia wymiernego:

2

2

2

2

2

2

2

2

sin

cos

sin

sin

cos

sin

sin

sin

1

1

sin

1













=

−

+

=

−

=

−

α

α

α

α

α

α

α

α

α

.

1

30.

Wykorzystanie związku między sinusem, cosinusem i tangensem

tego samego kąta ostrego:

α

α

α

α

2

2

2

tg

tg

1

sin

cos

−

=













=













.

1

7

Obliczenie promienia koła:

6

,

12

2

=

=

r

r

π

π

.

1

Obliczenie miar kątów trójkąta i zauważenie, że jest to trójkąt

prostokątny:

.

30

,

180

3

2

=

=

+

+

x

x

x

x

Miary kątów:

90

,

60

,

30

.

1

Zauważenie, że środek okręgu leży na połowie

przeciwprostokątnej i obliczenie długości przeciwprostokątnej: 12 .

1

Obliczenie długości przyprostokątnych:

3

6

,

6

.

1

31.

Obliczenie pola trójkąta:

3

18

3

6

6

2

1

=

⋅

⋅

=

P

.

1

Obliczenie długości krawędzi

a

podstawy:

4

,

6

2

3

=

=

a

a

(cm).

1

Określenie kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny

podstawy: kąt między wysokością ściany bocznej a wysokością

h

jednego z sześciu trójkątów równobocznych, na które można

podzielić podstawę.

1

Obliczenie wysokości

h trójkąta leżącego w podstawie:

3

2

2

3

4

2

3

=

=

=

a

h

(cm).

1

Obliczenie tangensa kąta:

3

3

3

3

2

6

tg

=

=

=

α

.

1

Obliczenie miary kąta:

60

=

α

.

1

32.

Obliczenie objętości ostrosłupa:

3

48

6

4

4

3

6

3

1

2

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

V

(cm

3

).

1

33.

Zilustrowanie sytuacji przedstawionej w zadaniu za pomocą

drzewka lub skorzystanie z reguły mnożenia oraz określenie liczby

zdarzeń sprzyjających zdarzeniu

'

A :

A – wśród wybranych kwiatów jest przynajmniej jedna żółta róża

'

A – wśród wybranych kwiatów nie ma ani jednej żółtej róży

380

19

20

=

⋅

.

1

8

Określenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu

'

A :

132

11

12

=

⋅

.

1

Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do

A :

95

33

380

132

)

(

'

=

=

A

P

.

1

Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia

A :

95

62

95

33

1

)

(

=

−

=

A

P

.

1