Analiza funkcjonalna

Wykªad 4

Podstawy topologii

1. W przestrzeni metrycznej mo»emy rozwa»a¢ poj¦cie zbie»no±ci:

Denicja 1. Ci¡g (x

n

)

z przestrzeni metrycznej X jest zbie»ny do granicy x ∈ X, gdy

d(x

n

, x) → 0

.

Inaczej, lim

n

x

n

→ x

, gdy dla ka»dego  > 0 istnieje takie n

0

, »e dla ka»dego n ≥

n

0

mamy x

n

∈ K



(x)

. To sformuªowanie mo»e by¢ ªatwo uogólnione na wi¦ksz¡ klas¦

przestrzeni - wspomnimy o nich krótko pó¹niej

Denicja 2. Punkt x jest punktem skupienia ci¡gu (x

n

)

, gdy (x

n

)

ma podci¡g zbie»ny do

x

. Inaczej, x jest punktem skupienia, gdy dla ka»dego  > 0 istnieje takie n, »e x

n

∈ K



(x)

.

Przykªady:

1. Ci¡g f

n

(x) =

1

n

x

jest zbie»ny w C([0, 1]) do funkcji stale równej zero.

2. Ci¡g f

n

(x) = x

n

nie jest zbie»ny w C([0, 1]), ale jest zbie»ny w przestrzeni L

1

(λ)

.

Metryka pozwala te» na rozwa»anie ci¡gªo±ci funkcji.

Denicja 3. Niech X i Y b¦d¡ przestrzeniami metrycznymi.

Funkcja f : X → Y jest ci¡gªa, gdy dla ka»dego x ∈ X i ka»dego ci¡gu (x

n

)

zbie»nego

do x w X zachodzi lim

n

f (x

n

) = f (x)

.

Funkcja dwóch zmiennych f : X × X → Y jest ci¡gªa, gdy dla dowolnych punktów x,y

i ci¡gów (x

n

)

, (y

n

)

zbie»nych odpowiednio do x i y w X zachodzi lim

n

f (x

n

, y

n

) = f (x, y)

.

Twierdzenie 1. W przestrzeni unormowanej dziaªania dodawania wektorów i mno»enia

wektora przez liczb¦ s¡ ci¡gªe (w normie tej przestrzeni).

Denicja 4. Ci¡g (x

n

)

speªnia warunek Cauchy'ego (jest ci¡giem Cauchy'ego, ci¡giem

podstawowym), gdy dla ka»dego  > 0 istnieje takie n

0

, »e dla ka»dej pary liczb naturalnych

m, n > n

0

zachodzi

d(x

m

, x

n

) < .

Ci¡g x

n

=

1

n

jest ci¡giem Cauchy'ego, ale jego zbie»no±¢ zale»y od przestrzeni w jakiej

chcemy go rozwa»a¢. Jest zbie»ny w R i w [0, 1], ale nie jest zbie»ny w (0, 1).

Denicja 5. Przestrze« metryczna (X, d) jest zupeªna (lub metryka d jest zupeªna), gdy

ka»dy ci¡g Cauchy'ego jest zbie»ny.

Wiele wa»nych twierdze« jest wa»nych tylko w przestrzeniach zupeªnych! Spor¡ cz¦±¢

wykªadu zajmie teoria przestrzeni Banacha.

Denicja 6. Przestrze« Banacha to zupeªna przestrze« unormowana (tzn. taka, »e me-

tryka zadana przez norm¦ jest zupeªna).

1

2. Poj¦cia topologiczne

W przestrzeni metrycznej zbiór U jest otwarty, gdy dla ka»dego x ∈ U istnieje  > 0

taki, »e K(x, ) ⊂ U. Kule otwarte s¡ otwarte. Kule domkni¦te zazwyczaj nie s¡ otwarte.

Zbiór F jest domkni¦ty, gdy jego dopeªnienie jest zbiorem otwartym. Kule domkni¦te s¡

zbiorami domkni¦tymi.

Je±li A jest dowolnym zbiorem w przestrzeni metrycznej, to x ∈ A jest jego punk-

tem wewn¦trznym, gdy istnieje  > 0 taki, »e K(x, ) ⊂ A. Zbiór wszystkich punktów

wewn¦trznych A nazywa si¦ wn¦trzem A i oznaczany jest przez int A. Zbiór U jest otwarty

wtedy i tylko wtedy, gdy skªada si¦ wyª¡cznie z punktów wewn¦trznych lub inaczej, gdy
intU = U

.

2