3. Funkce
117
3.4. Kvadratické funkce
Kvadratickou funkcí rozumíme každou funkci na množině
R , která je dána ve tvaru
c
bx
ax
y
+
+
=
2
, kde
{ }
R
,
;
0
R
∈
−
∈
c
b
a
.
Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Obor hodnot se liší podle zadání.
Řešený příklad
• Sestrojte graf funkce
2
x
y
=
.
Řešení
Grafem kvadratické funkce je parabola.Vrchol paraboly je bod
[ ]
0
,
0
V
. Další body určíme tabulkou:
x
1
1
− 2
2
−
2
x
y
=
1
1
4
4
Všechny paraboly, které mají
1
=
a
, mají stejnou velikost, liší se pouze umístěním vzhledem k osám.
Podívejme se nyní na grafy funkcí, které mají různé hodnoty
a
.
2
x
y
=
2
3x
y
−
=
2
x
y
−
=
2
4
1
x
y
−
=
2
2x
y
=
2
5x
y
=
2
2
1
x
y
=
2
10
1
x
y
=
Tabulku hodnot pro
2
x
y
=
máme u prvního příkladu. Sestavíme tabulky pro další funkce.
x
1
1
−
2
2
−
2
2x
y
=
2
2
8
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
x
y
y=x
2
3. Funkce
118
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0
x
y
x
2
-x
2
-3x
2
2x
2
1
2
x
2
1
10
x
2
-
1
4
x
2
5x
2
x
1
1
−
2
2
−
2
3x
y
−
=
3
−
3
−
12
−
12
−
x
1
1
−
2
2
−
2
5x
y
=
5
5
20
20
x
1
1
−
2
2
−
2
x
y
−
=
1
−
1
−
4
−
4
−
Pokud je
0
>
a
, je parabola otevřená ve směru kladné osy
y
, pokud je
0
<
a
, je parabola otevřená ve
směru záporné osy
y
. Je-li
1
>
a
, pak se parabola zúží vzhledem k
2
x
y
=
. Je-li
1
<
a
, pak se
parabola rozšíří.
Funkce není prostá, je-li
0
>
a
, pak funkce na intervalu
(
)
V
x
,
∞
−
klesá a na
(
)
∞
,
V
x
roste, ve
vrcholu
[
]
V
V
y
x
V
,
má funkce minimum. Je-li
0
<
a
, pak funkce na intervalu
(
)
V
x
,
∞
−
roste a na
(
)
∞
,
V
x
klesá, ve vrcholu
[
]
V
V
y
x
V
,
má funkce maximum.
3. Funkce
119
Řešený příklad
• Sestrojte graf funkce
1
2
−
= x
y
.
Řešení
Máme dvě možnosti, jak sestrojit graf funkce
1
2
−
= x
y
.
1. Pomocí průsečíků s osou x
Rovnice osy
x
je
0
=
y
. Vyřešíme tedy rovnici
1
0
2
−
= x
. Kořeny jsou
1
,
1
2
1
=
−
=
x
x
. Protože
parabola je souměrná podle své osy, která je kolmá k ose
x
, jsou body
1
,
1
2
1
=
−
=
x
x
také podle této
osy souměrné a osa paraboly je osa úsečky
2
1
x
x
. Její rovnice je
0
=
x
. Vrchol paraboly na této ose
leží a jeho první souřadnice je tedy
0
=
V
x
. Druhou souřadnici vypočteme dosazením
0
=
V
x
do
rovnice paraboly
1
2
−
= x
y
:
1
−
=
V
y
. Vrchol má souřadnice
[
]
1
,
0
−
V
. Protože
1
=
a
, posuneme
graf paraboly
2
x
y
=
tak, aby procházela body
1
,
1
2
1
=
−
=
x
x
a vrcholem
[
]
1
,
0
−
V
.
Pozn. Jestliže nám kořeny nevyjdou (diskriminant je záporný) musíme zvolit jiný postup.
2. Doplněním na čtverec získáme souřadnice vrcholu paraboly.
Vrcholová rovnice paraboly má tvar
(
)
2
v
V
x
x
a
y
y
−
=
−
.
[
]
V
V
y
x
V
,
jsou souřadnice vrcholu.
Převedeme zadanou rovnici na tento tvar:
2
1 x
y
=
+
. Vrcholová rovnice má tvar
( )
2
1
x
y
=
−
−
a
vrchol má souřadnice
[
]
1
,
0
−
V
. Protože je
1
=
a
, posuneme graf funkce
2
x
y
=
o
1
v záporném
smyslu osy
y
.
-1
-2
-3
-4
1
2
3
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
-1
-2
-3
-4
1
2
3
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
y=x
2
-1
3. Funkce
120
Řešený příklad
• Sestrojte graf funkce
x
x
y
.
4
2
+
=
.
Řešení
1. Pomocí průsečíků s osou x
Vyřešíme tedy rovnici
x
x
.
4
0
2
+
=
. Kořeny jsou
4
,
0
2
1
−
=
= x
x
.
Protože parabola je souměrná podle své osy, která je kolmá k ose
x
, jsou body
4
,
0
2
1
−
=
= x
x
také
podle této osy souměrné a osa paraboly je osa úsečky
2
1
x
x
. Její rovnice je
2
−
=
x
. Vrchol paraboly
na této ose leží a jeho první souřadnice je tedy
2
−
=
V
x
. Druhou souřadnici vypočteme dosazením
2
−
=
V
x
do rovnice paraboly
x
x
y
.
4
2
+
=
:
4
−
=
V
y
. Vrchol má souřadnice
[
]
4
,
2
−
−
V
. Protože
1
=
a
, posuneme graf paraboly
2
x
y
=
tak, aby procházela body
4
,
0
2
1
−
=
= x
x
a vrcholem
[
]
4
,
2
−
−
V
.
2. Doplněním na čtverec získáme souřadnice vrcholu paraboly.
Vrcholová rovnice paraboly má tvar
(
)
2
v
V
x
x
a
y
y
−
=
−
.
[
]
V
V
y
x
V
,
jsou souřadnice vrcholu.
Převedeme zadanou rovnici na tento tvar:
4
.
4
4
2
+
+
=
+
x
x
y
. Vrcholová rovnice má tvar
( )
( )
(
)
2
2
4
−
−
=
−
−
x
y
a souřadnice vrcholu jsou
[
]
4
,
2
−
−
V
. Protože je
1
=
a
, posuneme graf
funkce
2
x
y
=
o
4
v záporném smyslu osy
y
a o
2
v záporném smyslu osy
x
.
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
-1
-2
-3
-4
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
-1
-2
-3
-4
1
2
0
x
y
y=x
2
+4.x
3. Funkce
121
Řešený příklad
• Sestrojte graf funkce
6
4
2
2
−
−
=
x
x
y
.
Řešení
1. Pomocí průsečíků s osou x
Vyřešíme tedy rovnici
6
4
2
0
2
−
−
=
x
x
. Kořeny jsou
1
,
3
2
1
−
=
= x
x
.
Protože parabola je souměrná podle své osy, která je kolmá k ose
x
, jsou body
1
,
3
2
1
−
=
= x
x
také
podle této osy souměrné a osa paraboly je osa úsečky
2
1
x
x
. Její rovnice je
1
=
x
. Vrchol paraboly na
této ose leží a jeho první souřadnice je tedy
1
=
V
x
. Druhou souřadnici vypočteme dosazením
1
=
V
x
do rovnice paraboly
6
4
2
2
−
−
=
x
x
y
:
8
−
=
V
y
. Vrchol má souřadnice
[ ]
8
,
1
−
V
. Protože
2
=
a
,
posuneme graf paraboly
2
2x
y
=
tak, aby procházela body
1
,
3
2
1
−
=
= x
x
a vrcholem
[ ]
8
,
1
−
V
.
2. Doplněním na čtverec získáme souřadnice vrcholu paraboly.
Vrcholová rovnice paraboly má tvar
(
)
2
v
V
x
x
a
y
y
−
=
−
.
[
]
V
V
y
x
V
,
jsou souřadnice vrcholu.
Převedeme zadanou rovnici na tento tvar:
(
)
1
.
2
2
8
2
+
−
=
+
x
x
y
. Vrcholová rovnice má tvar
( ) (
)
2
1
2
8
−
=
−
−
x
y
a souřadnice vrcholu jsou
[ ]
8
,
1
−
V
. Protože je
2
=
a
, posuneme graf funkce
2
2x
y
=
o
8
v záporném smyslu osy
y
a o
1
v kladném smyslu osy
x
.
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
2
0
x
y
y=2.x
2
-4.x-6
3. Funkce
122
Řešený příklad
• Sestrojte graf funkce
x
x
y
3
2
+
−
=
.
Řešení
1. Pomocí průsečíků s osou x
Vyřešíme tedy rovnici
x
x
3
0
2
+
−
=
. Kořeny jsou
0
,
3
2
1
=
= x
x
.
Protože parabola je souměrná podle své osy, která je kolmá k ose
x
, jsou body
0
,
3
2
1
=
= x
x
také
podle této osy souměrné a osa paraboly je osa úsečky
2
1
x
x
. Její rovnice je
5
,
1
=
x
. Vrchol paraboly
na této ose leží a jeho první souřadnice je tedy
5
,
1
=
V
x
. Druhou souřadnici vypočteme dosazením
5
,
1
=
V
x
do rovnice paraboly
x
x
y
3
2
+
−
=
:
25
,
2
=
V
y
. Vrchol má souřadnice
[
]
25
,
2
;
5
,
1
V
.
Protože
1
−
=
a
, posuneme graf paraboly
2
x
y
−
=
tak, aby procházela body
0
,
3
2
1
=
= x
x
a
vrcholem
[
]
25
,
2
;
5
,
1
V
.
2. Doplněním na čtverec získáme souřadnice vrcholu paraboly.
Vrcholová rovnice paraboly má tvar
(
)
2
v
V
x
x
a
y
y
−
=
−
.
[
]
V
V
y
x
V
,
jsou souřadnice vrcholu.
Převedeme zadanou rovnici na tento tvar:
(
)
25
,
2
.
2
25
,
2
2
+
−
−
=
−
x
x
y
. Vrcholová rovnice má tvar
(
)
2
5
,
1
25
,
2
−
−
=
−
x
y
a souřadnice vrcholu jsou
[
]
25
,
2
;
5
,
1
V
. Protože je
1
−
=
a
, posuneme graf
funkce
2
x
y
−
=
o
25
,
2
v kladném smyslu osy
y
a o
5
,
1
v kladném smyslu osy
x
.
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
1
0
x
y
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
1
0
x
y
y=-x
2
+3.x
3. Funkce
123
Úlohy k řešení
Úloha 3.5.
Sestrojte graf funkce.
a)
3
4
2
+
−
=
x
x
y
b)
2
2
2
+
−
=
x
x
y
c)
9
6
2
+
+
=
x
x
y
♦
Úloha 3.6.
Sestrojte graf funkce.
a)
x
x
y
2
2
1
2
+
=
b)
4
6
3
2
−
−
=
x
x
y
♦
Úloha 3.7.
Sestrojte graf funkce.
a)
2
2
+
−
−
=
x
x
y
b)
9
8
2
2
−
+
−
=
x
x
y
♦
3. Funkce
124
Výsledky
3.5.
a)
b)
c)
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
y=x
2
+6.x+9
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
y=x
2
-2.x+2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
y=x
2
-4.x+3
3. Funkce
125
3.6.
a)
b)
3.7.
a)
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
4
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
4
0
x
y
y=
1
2
.x
2
+2.x
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
0
x
y
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
0
x
y
y=-x
2
-x+2
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
0
x
y
y=3x
2
-6.x-4
3. Funkce
126
b)
-1
-2
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
2
0
x
y
-1
-2
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
2
0
x
y
y=-2x
2
+8.x-9