3. Funkce

117

3.4. Kvadratické funkce

Kvadratickou funkcí rozumíme každou funkci na množině

R , která je dána ve tvaru

c

bx

ax

y

+

+

=

2

, kde

{ }

R

,

;

0

R

∈

−

∈

c

b

a

.

Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Obor hodnot se liší podle zadání.

Řešený příklad

• Sestrojte graf funkce

2

x

y

=

.

Řešení

Grafem kvadratické funkce je parabola.Vrchol paraboly je bod

[ ]

0

,

0

V

. Další body určíme tabulkou:

x

1

1

− 2

2

−

2

x

y

=

1

1

4

4

Všechny paraboly, které mají

1

=

a

, mají stejnou velikost, liší se pouze umístěním vzhledem k osám.

Podívejme se nyní na grafy funkcí, které mají různé hodnoty

a

.

2

x

y

=

2

3x

y

−

=

2

x

y

−

=

2

4

1

x

y

−

=

2

2x

y

=

2

5x

y

=

2

2

1

x

y

=

2

10

1

x

y

=

Tabulku hodnot pro

2

x

y

=

máme u prvního příkladu. Sestavíme tabulky pro další funkce.

x

1

1

−

2

2

−

2

2x

y

=

2

2

8

8

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

x

y

y=x

2

3. Funkce

118

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

1

2

3

0

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

1

2

3

0

x

y

x

2

-x

2

-3x

2

2x

2

1
2

x

2

1

10

x

2

-

1
4

x

2

5x

2

x

1

1

−

2

2

−

2

3x

y

−

=

3

−

3

−

12

−

12

−

x

1

1

−

2

2

−

2

5x

y

=

5

5

20

20

x

1

1

−

2

2

−

2

x

y

−

=

1

−

1

−

4

−

4

−

Pokud je

0

>

a

, je parabola otevřená ve směru kladné osy

y

, pokud je

0

<

a

, je parabola otevřená ve

směru záporné osy

y

. Je-li

1

>

a

, pak se parabola zúží vzhledem k

2

x

y

=

. Je-li

1

<

a

, pak se

parabola rozšíří.

Funkce není prostá, je-li

0

>

a

, pak funkce na intervalu

(

)

V

x

,

∞

−

klesá a na

(

)

∞

,

V

x

roste, ve

vrcholu

[

]

V

V

y

x

V

,

má funkce minimum. Je-li

0

<

a

, pak funkce na intervalu

(

)

V

x

,

∞

−

roste a na

(

)

∞

,

V

x

klesá, ve vrcholu

[

]

V

V

y

x

V

,

má funkce maximum.

3. Funkce

119

Řešený příklad

• Sestrojte graf funkce

1

2

−

= x

y

.

Řešení

Máme dvě možnosti, jak sestrojit graf funkce

1

2

−

= x

y

.

1. Pomocí průsečíků s osou x

Rovnice osy

x

je

0

=

y

. Vyřešíme tedy rovnici

1

0

2

−

= x

. Kořeny jsou

1

,

1

2

1

=

−

=

x

x

. Protože

parabola je souměrná podle své osy, která je kolmá k ose

x

, jsou body

1

,

1

2

1

=

−

=

x

x

také podle této

osy souměrné a osa paraboly je osa úsečky

2

1

x

x

. Její rovnice je

0

=

x

. Vrchol paraboly na této ose

leží a jeho první souřadnice je tedy

0

=

V

x

. Druhou souřadnici vypočteme dosazením

0

=

V

x

do

rovnice paraboly

1

2

−

= x

y

:

1

−

=

V

y

. Vrchol má souřadnice

[

]

1

,

0

−

V

. Protože

1

=

a

, posuneme

graf paraboly

2

x

y

=

tak, aby procházela body

1

,

1

2

1

=

−

=

x

x

a vrcholem

[

]

1

,

0

−

V

.

Pozn. Jestliže nám kořeny nevyjdou (diskriminant je záporný) musíme zvolit jiný postup.

2. Doplněním na čtverec získáme souřadnice vrcholu paraboly.

Vrcholová rovnice paraboly má tvar

(

)

2

v

V

x

x

a

y

y

−

=

−

.

[

]

V

V

y

x

V

,

jsou souřadnice vrcholu.

Převedeme zadanou rovnici na tento tvar:

2

1 x

y

=

+

. Vrcholová rovnice má tvar

( )

2

1

x

y

=

−

−

a

vrchol má souřadnice

[

]

1

,

0

−

V

. Protože je

1

=

a

, posuneme graf funkce

2

x

y

=

o

1

v záporném

smyslu osy

y

.

-1

-2

-3

-4

1

2

3

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

0

x

y

-1

-2

-3

-4

1

2

3

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

0

x

y

y=x

2

-1

3. Funkce

120

Řešený příklad

• Sestrojte graf funkce

x

x

y

.

4

2

+

=

.

Řešení

1. Pomocí průsečíků s osou x

Vyřešíme tedy rovnici

x

x

.

4

0

2

+

=

. Kořeny jsou

4

,

0

2

1

−

=

= x

x

.

Protože parabola je souměrná podle své osy, která je kolmá k ose

x

, jsou body

4

,

0

2

1

−

=

= x

x

také

podle této osy souměrné a osa paraboly je osa úsečky

2

1

x

x

. Její rovnice je

2

−

=

x

. Vrchol paraboly

na této ose leží a jeho první souřadnice je tedy

2

−

=

V

x

. Druhou souřadnici vypočteme dosazením

2

−

=

V

x

do rovnice paraboly

x

x

y

.

4

2

+

=

:

4

−

=

V

y

. Vrchol má souřadnice

[

]

4

,

2

−

−

V

. Protože

1

=

a

, posuneme graf paraboly

2

x

y

=

tak, aby procházela body

4

,

0

2

1

−

=

= x

x

a vrcholem

[

]

4

,

2

−

−

V

.

2. Doplněním na čtverec získáme souřadnice vrcholu paraboly.

Vrcholová rovnice paraboly má tvar

(

)

2

v

V

x

x

a

y

y

−

=

−

.

[

]

V

V

y

x

V

,

jsou souřadnice vrcholu.

Převedeme zadanou rovnici na tento tvar:

4

.

4

4

2

+

+

=

+

x

x

y

. Vrcholová rovnice má tvar

( )

( )

(

)

2

2

4

−

−

=

−

−

x

y

a souřadnice vrcholu jsou

[

]

4

,

2

−

−

V

. Protože je

1

=

a

, posuneme graf

funkce

2

x

y

=

o

4

v záporném smyslu osy

y

a o

2

v záporném smyslu osy

x

.

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1

2

3

-1

-2

-3

-4

1

2

0

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1

2

3

-1

-2

-3

-4

1

2

0

x

y

y=x

2

+4.x

3. Funkce

121

Řešený příklad

• Sestrojte graf funkce

6

4

2

2

−

−

=

x

x

y

.

Řešení

1. Pomocí průsečíků s osou x

Vyřešíme tedy rovnici

6

4

2

0

2

−

−

=

x

x

. Kořeny jsou

1

,

3

2

1

−

=

= x

x

.

Protože parabola je souměrná podle své osy, která je kolmá k ose

x

, jsou body

1

,

3

2

1

−

=

= x

x

také

podle této osy souměrné a osa paraboly je osa úsečky

2

1

x

x

. Její rovnice je

1

=

x

. Vrchol paraboly na

této ose leží a jeho první souřadnice je tedy

1

=

V

x

. Druhou souřadnici vypočteme dosazením

1

=

V

x

do rovnice paraboly

6

4

2

2

−

−

=

x

x

y

:

8

−

=

V

y

. Vrchol má souřadnice

[ ]

8

,

1

−

V

. Protože

2

=

a

,

posuneme graf paraboly

2

2x

y

=

tak, aby procházela body

1

,

3

2

1

−

=

= x

x

a vrcholem

[ ]

8

,

1

−

V

.

2. Doplněním na čtverec získáme souřadnice vrcholu paraboly.

Vrcholová rovnice paraboly má tvar

(

)

2

v

V

x

x

a

y

y

−

=

−

.

[

]

V

V

y

x

V

,

jsou souřadnice vrcholu.

Převedeme zadanou rovnici na tento tvar:

(

)

1

.

2

2

8

2

+

−

=

+

x

x

y

. Vrcholová rovnice má tvar

( ) (

)

2

1

2

8

−

=

−

−

x

y

a souřadnice vrcholu jsou

[ ]

8

,

1

−

V

. Protože je

2

=

a

, posuneme graf funkce

2

2x

y

=

o

8

v záporném smyslu osy

y

a o

1

v kladném smyslu osy

x

.

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

1

2

0

x

y

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

1

2

0

x

y

y=2.x

2

-4.x-6

3. Funkce

122

Řešený příklad

• Sestrojte graf funkce

x

x

y

3

2

+

−

=

.

Řešení

1. Pomocí průsečíků s osou x

Vyřešíme tedy rovnici

x

x

3

0

2

+

−

=

. Kořeny jsou

0

,

3

2

1

=

= x

x

.

Protože parabola je souměrná podle své osy, která je kolmá k ose

x

, jsou body

0

,

3

2

1

=

= x

x

také

podle této osy souměrné a osa paraboly je osa úsečky

2

1

x

x

. Její rovnice je

5

,

1

=

x

. Vrchol paraboly

na této ose leží a jeho první souřadnice je tedy

5

,

1

=

V

x

. Druhou souřadnici vypočteme dosazením

5

,

1

=

V

x

do rovnice paraboly

x

x

y

3

2

+

−

=

:

25

,

2

=

V

y

. Vrchol má souřadnice

[

]

25

,

2

;

5

,

1

V

.

Protože

1

−

=

a

, posuneme graf paraboly

2

x

y

−

=

tak, aby procházela body

0

,

3

2

1

=

= x

x

a

vrcholem

[

]

25

,

2

;

5

,

1

V

.

2. Doplněním na čtverec získáme souřadnice vrcholu paraboly.

Vrcholová rovnice paraboly má tvar

(

)

2

v

V

x

x

a

y

y

−

=

−

.

[

]

V

V

y

x

V

,

jsou souřadnice vrcholu.

Převedeme zadanou rovnici na tento tvar:

(

)

25

,

2

.

2

25

,

2

2

+

−

−

=

−

x

x

y

. Vrcholová rovnice má tvar

(

)

2

5

,

1

25

,

2

−

−

=

−

x

y

a souřadnice vrcholu jsou

[

]

25

,

2

;

5

,

1

V

. Protože je

1

−

=

a

, posuneme graf

funkce

2

x

y

−

=

o

25

,

2

v kladném smyslu osy

y

a o

5

,

1

v kladném smyslu osy

x

.

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

1

0

x

y

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

1

0

x

y

y=-x

2

+3.x

3. Funkce

123

Úlohy k řešení

Úloha 3.5.

Sestrojte graf funkce.
a)

3

4

2

+

−

=

x

x

y

b)

2

2

2

+

−

=

x

x

y

c)

9

6

2

+

+

=

x

x

y

♦

Úloha 3.6.

Sestrojte graf funkce.

a)

x

x

y

2

2

1

2

+

=

b)

4

6

3

2

−

−

=

x

x

y

♦

Úloha 3.7.

Sestrojte graf funkce.
a)

2

2

+

−

−

=

x

x

y

b)

9

8

2

2

−

+

−

=

x

x

y

♦

3. Funkce

124

Výsledky

3.5.

a)

b)

c)

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1

2

3

4

5

6

7

0

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1

2

3

4

5

6

7

0

x

y

y=x

2

+6.x+9

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

0

x

y

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

0

x

y

y=x

2

-2.x+2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

0

x

y

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

0

x

y

y=x

2

-4.x+3

3. Funkce

125

3.6.

a)

b)

3.7.

a)

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1

2

3

-1

-2

-3

1

2

3

4

0

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1

2

3

-1

-2

-3

1

2

3

4

0

x

y

y=

1
2

.x

2

+2.x

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

0

x

y

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

0

x

y

y=-x

2

-x+2

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1

2

0

x

y

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1

2

0

x

y

y=3x

2

-6.x-4

3. Funkce

126

b)

-1

-2

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

1

2

0

x

y

-1

-2

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

1

2

0

x

y

y=-2x

2

+8.x-9