K

iedy w pogodnà noc spoglàdamy w niebo, odnosimy
wra˝enie, ˝e si´gamy wzrokiem w nieskoƒczonoÊç.
Rozk∏ad gwiazd i galaktyk zdaje si´ bezkresny. Na-

wet przestrzeƒ pomi´dzy nimi wype∏nia Êwiat∏o, co widaç,
jeÊli tylko popatrzymy przez dostatecznie czu∏y teleskop. Oczy-
wiÊcie obj´toÊç obserwowanej przestrzeni ograniczona jest
wiekiem WszechÊwiata i pr´dkoÊcià Êwiat∏a. Ale gdybyÊmy
czekali d∏u˝ej, czy nie da∏oby si´ zajrzeç jeszcze dalej i odkryç
nowe galaktyki i zjawiska?

Byç mo˝e nie. Niewykluczone, ˝e pozornie nieskoƒczony

WszechÊwiat zwodzi nas jak w gabinecie luster. W rzeczywi-
stoÊci mo˝e byç skoƒczony. Kto wie, czy z∏udzenie nieskoƒczo-
noÊci to nie skutek opasania przestrzeni przez Êwiat∏o – praw-
dopodobnie nawet wi´cej ni˝ jeden raz – co prowadzi do po-
wstawania wielokrotnych obrazów poszczególnych galaktyk.
Nasza w∏asna Droga Mleczna nie jest zapewne wyjàtkiem.

56 Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1999

Czy przestrzeƒ jest skoƒczona?

Zdrowy rozsàdek podpowiada,

˝e WszechÊwiat jest nieskoƒczony.

A mo˝e tylko sprawia

takie wra˝enie i tak

naprawd´ jest skoƒczony?

Wkrótce pomiary

raz na zawsze

rozstrzygnà ten

odwieczny problem

Jean-Pierre Luminet,

Glenn D. Starkman

i Jeffrey R. Weeks

„PUD¸O NIESKO¡CZONOÂCI” pozwala

wyobraziç sobie skoƒczony wszechÊwiat
sprawiajàcy wra˝enie nieskoƒczonego. Za-
wiera ono tylko trzy kule, jednak˝e umiesz-
czone na jego Êcianach zwierciad∏a dajà nie-
skoƒczonà liczb´ obrazów. OczywiÊcie w
realnym WszechÊwiecie nie ma Êcian, od któ-
rych Êwiat∏o by si´ odbija∏o. Zamiast tego
wielokrotne obrazy tych samych obiektów
mogà powstawaç, w miar´ jak promienie
Êwietlne obiegajà wielokrotnie WszechÊwiat.
Badajàc uk∏ad tych powtarzajàcych si´ obra-
zów, astronomowie próbujà odgadnàç praw-
dziwy kszta∏t i rozmiary WszechÊwiata.

Choç wydaje si´ to szalone, na niebie mogà istnieç repliki
Ziemi z wczeÊniejszych okresów. Z up∏ywem czasu astrono-
mowie mogliby wi´c obserwowaç ewolucj´ galaktyk i wy-
patrywaç nowych mira˝y. Zobaczyliby wszystko.

SkoƒczonoÊç bàdê nieskoƒczonoÊç WszechÊwiata to jeden

z najstarszych problemów filozofii. Powszechnym nieporozu-
mieniem jest przekonanie, ˝e zosta∏ on ju˝ rozstrzygni´ty na
korzyÊç tej drugiej ewentualnoÊci. Rozumowanie takie, cz´-
sto powtarzane w podr´cznikach, opiera si´ na nieuzasad-
nionych wnioskach wyciàganych z ogólnej teorii wzgl´dno-
Êci Einsteina. Zgodnie z nià przestrzeƒ jest dynamicznym
oÊrodkiem mogàcym zakrzywiaç si´ na jeden z trzech spo-
sobów, zale˝nie od rozk∏adu zawartej w nim materii i ener-
gii. Poniewa˝ tkwimy w przestrzeni, nie potrafimy bezpo-
Êrednio zauwa˝yç tego odkszta∏cenia; odczuwamy je jako
przyciàganie grawitacyjne i geometryczne odkszta∏cenie ob-
razów. Aby okreÊliç, która z trzech geometrii odpowiada na-
szemu WszechÊwiatowi, astronomowie wyznaczali g´stoÊç
materii i energii w kosmosie. Obecnie wydaje si´, ˝e jest ona
za ma∏a, by zmusiç przestrzeƒ do zamkni´cia si´ w sobie –
przyj´cia „sferycznej” geometrii. A zatem przestrzeƒ musi
mieç albo znajomà geometri´ euklidesowà takà jak geome-
tria p∏aszczyzny, albo geometri´ „hiperbolicznà” odpowia-

Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1999 57

BRYAN CHRISTIE

dajàcà geometrii powierzchni siod∏a [ilu-
stracja z prawej]. Na pierwszy rzut oka
taki wszechÊwiat rozciàga∏by si´ w nie-
skoƒczonoÊç.

WszechÊwiat mo˝e jednak byç sferycz-

ny, ale tak du˝y, ˝e obserwowalna jego
cz´Êç wydaje si´ euklidesowa, podobnie
jak niewielki fragment powierzchni Zie-
mi – p∏aski. Problem polega na tym, ˝e
teoria wzgl´dnoÊci jest teorià czysto lo-
kalnà. Pozwala ona przewidzieç krzy-
wizn´ ka˝dego niewielkiego fragmentu
przestrzeni – jego geometri´ – na pod-
stawie zawartej w nim materii i energii.
Ani teoria wzgl´dnoÊci, ani standardo-
we obserwacje kosmologiczne nie wyja-
Êniajà, w jaki sposób te elementy obj´to-
Êci dopasowujà si´ do siebie, nadajàc
WszechÊwiatowi globalny kszta∏t – jego
topologi´. Trzy mo˝liwe geometrie
WszechÊwiata sà zgodne z wieloma ró˝-
nymi topologiami. Na przyk∏ad teoria
wzgl´dnoÊci opisywa∏aby zarówno to-
rus (obiekt w kszta∏cie obwarzanka), jak
i p∏aszczyzn´ tymi samymi równaniami,
chocia˝ torus jest skoƒczony, a p∏aszczy-
zna nieskoƒczona. OkreÊlenie topologii
wymaga teorii fizycznej wykraczajàcej
poza teori´ wzgl´dnoÊci.

Zwykle przyjmuje si´, ˝e podobnie jak

p∏aszczyzna wszechÊwiat jest jednospój-
ny, co oznacza, ˝e istnieje tylko jedna dro-
ga, po której Êwiat∏o dociera od êród∏a
do obserwatora. Jednospójny euklideso-
wy wszechÊwiat rzeczywiÊcie by∏by nie-
skoƒczony. WszechÊwiat mo˝e jednak byç „wielospójny”, po-
dobnie jak torus, i wtedy istnieje wiele ró˝nych dróg Êwiat∏a.
Widzàc wielokrotne obrazy ka˝dej z galaktyk, obserwator ∏a-
two doszed∏by do mylnego przekonania, ˝e sà to obrazy odle-
g∏ych galaktyk w nieskoƒczonej przestrzeni, podobnie jak widz
w gabinecie luster ma wra˝enie, ˝e obserwuje wielki t∏um.

Wielospójna przestrzeƒ to nie wymys∏ matematyków. Jest

ona nawet preferowana przez niektóre teorie unifikacji od-
dzia∏ywaƒ fundamentalnych w przyrodzie i nie pozostaje
w sprzecznoÊci z ˝adnymi obserwacjami. W ciàgu kilku ostat-
nich lat badania kosmicznej topologii wr´cz rozkwit∏y. Spo-
dziewamy si´, ˝e nowe obserwacje wkrótce przyniosà osta-
teczne rozstrzygni´cie.

Wygodna skoƒczonoÊç

Wielu kosmologów uwa˝a, ˝e WszechÊwiat jest skoƒczony.

Takie przekonanie wynika cz´Êciowo po prostu z wygody:
umys∏ ludzki ∏atwiej ogarnia skoƒczonoÊç ni˝ nieskoƒczo-
noÊç. Sà jednak równie˝ dwie linie rozumowania naukowe-
go, które stawiajà na skoƒczonoÊç. Pierwsza wià˝e si´ z do-
Êwiadczeniem myÊlowym zaproponowanym przez Isaaca
Newtona, a zrewidowanym przez George’a Berkeleya i
Ernsta Macha. Zastanawiajàc si´, skàd bierze si´ bezw∏ad-
noÊç, Newton wyobrazi∏ sobie dwa wiadra cz´Êciowo nape∏-
nione wodà. Pierwsze stoi i powierzchnia wody w nim jest
p∏aska. Drugie natomiast szybko wiruje, a powierzchnia wo-
dy jest w nim wkl´s∏a. Dlaczego?

Naiwnà odpowiedzià jest przywo∏anie si∏y odÊrodkowej. Bo

skàd drugie wiadro wie, ˝e si´ obraca? W szczególnoÊci – co
definiuje uk∏ad inercjalny, w stosunku do którego drugie wia-

dro si´ obraca, a pierwsze nie? Odpowiedê Berkeleya i Macha
brzmi, ˝e ca∏a materia we WszechÊwiecie zbiorowo stanowi
uk∏ad odniesienia. Pierwsze wiadro spoczywa w stosunku
do odleg∏ych galaktyk, dlatego powierzchnia wody w nim
pozostaje p∏aska. Drugie obraca si´ wzgl´dem tych galaktyk
i dlatego powierzchnia wody jest w nim wkl´s∏a. Gdyby od-
leg∏e galaktyki nie istnia∏y, nie by∏oby powodu, by przedk∏a-
daç jeden uk∏ad odniesienia nad drugi. Powierzchnia wody
w obu wiadrach powinna wówczas pozostawaç p∏aska; nie
potrzebna by∏aby ˝adna si∏a doÊrodkowa utrzymujàca rota-
cj´. Mówiàc krótko, nie by∏oby bezw∏adnoÊci. Mach wywnio-
skowa∏, ˝e bezw∏adnoÊç cia∏a jest proporcjonalna do iloÊci
materii we WszechÊwiecie. Nieskoƒczony WszechÊwiat wy-
wo∏ywa∏by nieskoƒczonà bezw∏adnoÊç. Nic nie mog∏oby si´
poruszaç.

Oprócz argumentu Macha mamy wst´pne wyniki kwanto-

wej kosmologii, usi∏ujàcej opisaç, w jaki sposób WszechÊwiat
spontanicznie wy∏oni∏ si´ z nicoÊci. Niektóre z tych teorii prze-
widujà, ˝e jest bardziej prawdopodobne powstanie wszech-
Êwiata o ma∏ej obj´toÊci ni˝ o du˝ej. Prawdopodobieƒstwo
powstania nieskoƒczonego wszechÊwiata by∏oby równe zeru
[patrz: Jonathan J. Halliwell, „Kosmologia kwantowa i stwo-
rzenie WszechÊwiata”; Âwiat Nauki, luty 1992]. Mówiàc ogól-
nie, jego energia by∏aby nieskoƒczona i ˝adne kwantowe fluk-
tuacje nie zdo∏a∏yby go wytworzyç.

Historycznie rzecz bioràc, idea skoƒczonego WszechÊwia-

ta napotyka∏a w∏asne ograniczenie: pozornà koniecznoÊç brze-
gu. Arystoteles twierdzi∏, ˝e WszechÊwiat jest skoƒczony,
gdy˝ brzeg jest konieczny, by wyznaczaç absolutny uk∏ad
odniesienia, który by∏ istotny w tym Êwiatopoglàdzie. Jego
krytycy pytali, co dzieje si´ na granicy. Ka˝dy brzeg ma dru-

58 Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1999

EUKLIDESOWA

HIPERBOLICZNA

SFERYCZNA

LOKALNIE GEOMETRIA PRZESTRZENI mo˝e byç euklidesowa, sferyczna lub hiper-
boliczna. Tylko takie mo˝liwoÊci sà zgodne z obserwowanà symetrià kosmosu w wiel-
kich skalach. Na euklidesowej p∏aszczyênie suma kàtów w trójkàcie wynosi dok∏adnie
180°, na powierzchni sferycznej jest zawsze wi´ksza od 180°, a na powierzchni hiperbolicz-
nej (czyli siod∏owej) – zawsze mniejsza od 180°. Lokalna geometria okreÊla, w jaki spo-
sób poruszajà si´ cia∏a. Nie opisuje jednak, jak poszczególne elementy obj´toÊci si´ ∏àczà,
nadajàc wszechÊwiatowi jego globalny kszta∏t.

BRYAN CHRISTIE

gà stron´. Dlaczego wi´c nie przedefiniowaç „wszechÊwia-
ta” tak, by zawiera∏ te˝ to, co istnieje po drugiej stronie? W po-
∏owie XIX wieku rozwiàza∏ t´ zagadk´ niemiecki matematyk
Georg F. B. Riemann. Jako model kosmosu zaproponowa∏ hi-
persfer´ – trójwymiarowà powierzchni´ czterowymiarowej
kuli, tak jak zwyk∏a sfera jest dwuwymiarowà powierzchnià
trójwymiarowej kuli. By∏ to pierwszy przyk∏ad przestrzeni,
która choç skoƒczona, nie jest ograniczona brzegiem.

Wcià˝ mo˝na jednak zapytaç, co znajduje si´ na zewnàtrz

WszechÊwiata? Takie postawienie kwestii sugeruje, ˝e osta-
teczna fizyczna rzeczywistoÊç musi byç euklidesowà prze-
strzenià o pewnym wymiarze. Czyli zak∏ada, ˝e jeÊli prze-
strzeƒ jest hipersferà, to owa hipersfera musi byç zanurzona
w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej, umo˝liwia-
jàcej spojrzenie na nià z zewnàtrz. Natura nie musi jednak
spe∏niaç tego warunku. By∏oby ca∏kowicie dopuszczalne, ˝e
wszechÊwiat jest hipersferà, a mimo to nie siedzi w ˝adnej
przestrzeni o wi´kszej liczbie wymiarów. Trudno by∏oby wy-
obraziç sobie taki obiekt, przywykliÊmy bowiem do oglàda-
nia kszta∏tów z zewnàtrz. Nie ma jednak koniecznoÊci istnie-
nia „zewn´trza”.

Do koƒca XIX wieku matematycy odkryli liczne przyk∏ady

skoƒczonych przestrzeni pozbawionych brzegów. Niemiecki
astronom Karl Schwarzschild zwróci∏ na to uwag´ swoim ko-
legom w 1900 roku. W pos∏owiu do artyku∏u w Vierteljahr-
schrift der astronomischen Gesellschaft rzuci∏ wyzwanie:

„Wyobraêcie sobie, ˝e w wyniku niezwykle g∏´bo-

kich badaƒ astronomicznych okazuje si´, i˝ w ogrom-
nych skalach ca∏y WszechÊwiat wype∏niony jest niezli-
czonymi identycznymi kopiami naszej Drogi Mlecznej,
˝e nieskoƒczona przestrzeƒ mo˝e byç podzielona na
szeÊciany, z których ka˝dy zawiera kopi´ naszej Dro-
gi Mlecznej. Czy naprawd´ upieralibyÊmy si´ wtedy

przy za∏o˝eniu o nieskoƒczenie wielu identycznych
kopiach tego samego Êwiata?... CzulibyÊmy si´ o wie-
le lepiej, przyjmujàc, ˝e te powtórki sà pozorne, ˝e
w rzeczywistoÊci przestrzeƒ ma szczególne w∏asno-
Êci spójnoÊci, tak i˝ opuszczajàc jeden z szeÊcianów
przez jego Êcian´, natychmiast wnikamy weƒ z po-
wrotem przez innà Êcian´.”

Przyk∏ad ten ilustruje, w jaki sposób mo˝na z przestrzeni

euklidesowej zbudowaç torus. W dwóch wymiarach zacznij-
my od kwadratu i uto˝samijmy przeciwleg∏e boki – tak jak
to si´ dzieje w wielu grach wideo, w których pojazd kosmicz-
ny znikajàcy po prawej stronie ekranu natychmiast pojawia
si´ po lewej. Gdy pominiemy kwesti´ uto˝samienia brzegów,
przestrzeƒ pozostaje taka, jaka by∏a przedtem. Sumy kàtów
w trójkàtach wynoszà 180°, wiàzki równoleg∏e nigdy si´ nie
przecinajà itp. – wszystkie znane regu∏y geometrii euklide-
sowej zostajà zachowane. Na pierwszy rzut oka przestrzeƒ
wyglàda na nieskoƒczonà dla tych, którzy jà zamieszkujà,
nie ma bowiem ograniczenia na to, jak daleko mogà si´gaç
obserwacje. Nie podejmujàc podró˝y dooko∏a wszechÊwiata
i ponownego napotkania tych samych obiektów, za∏oga stat-
ku kosmicznego nie by∏aby w stanie stwierdziç, ˝e jest to to-
rus [ilustracja poni˝ej]. W trzech wymiarach zaczynamy od
kostki szeÊciennej i sklejamy ze sobà przeciwleg∏e boki, uzy-
skujàc 3-torus.

Euklidesowy 2-torus, pomijajàc lukier na powierzchni, jest

topologicznie równowa˝ny powierzchni obwarzanka. Nie-
stety, euklidesowy torus zagina si´ jedynie w wyobraêni. Nie
mo˝e si´ on zmieÊciç w naszej trójwymiarowej przestrzeni
euklidesowej. Obwarzanki mogà, poniewa˝ wygi´cie nada-
∏o im sferycznà geometri´ na zewn´trznej cz´Êci powierzch-
ni, a hiperbolicznà na wewn´trznej. Bez tego zakrzywienia
nie da∏oby si´ ich oglàdaç z zewnàtrz.

1

2

3

PRZESTRZE¡ W KSZTA¸CIE OBWARZANKA, w∏aÊciwie bardziej znana jako euklidesowy 2-to-
rus, jest p∏askim kwadratem, którego przeciwleg∏e boki sà po∏àczone

(1). Wszystko, co przekracza

któràÊ z kraw´dzi, wy∏ania si´ ponownie z przeciwnej kraw´dzi. Choç taka powierzchnia nie mo-
˝e istnieç wewnàtrz naszej trójwymiarowej przestrzeni, odkszta∏conà jej wersj´ uzyskamy, skleja-
jàc razem gór´ i dó∏

(2) i wyginajàc powsta∏y w ten sposób cylinder w pierÊcieƒ (3). Obserwatorom

z galaktyki przedstawionej kolorem czerwonym przestrzeƒ wyda si´ nieskoƒczona, poniewa˝ li-
nia, wzd∏u˝ której patrzà, nigdy si´ nie koƒczy

(poni˝ej). Âwiat∏o wys∏ane z ˝ó∏tej galaktyki mo˝e

do nich dotrzeç wieloma ró˝nymi drogami, dlatego zobaczà wi´cej ni˝ jeden jej obraz. Euklideso-
wy 3-torus powstaje z szeÊcianu, a nie z prostokàta.

BRYAN CHRISTIE

Kiedy Albert Einstein opublikowa∏ w 1917 roku pierwszy

relatywistyczny model wszechÊwiata, na globalny kszta∏t wy-
bra∏ hipersfer´ Riemanna. W owym czasie topologia prze-
strzeni by∏a goràcym tematem. Rosyjski matematyk Aleksan-
der Friedmann szybko uogólni∏ model Einsteina. Modele
Friedmanna dopuszcza∏y ekspansj´ wszechÊwiata i przestrzeƒ
hiperbolicznà. Jego równania sà nadal rutynowo stosowane
przez kosmologów. Friedmann podkreÊla∏, ˝e jego równania
modelu hiperbolicznego odnoszà si´ zarówno do skoƒczo-
nych, jak i do nieskoƒczonych wszechÊwiatów. Jest to uwaga
tym bardziej zdumiewajàca, ˝e w owym czasie nie znano
skoƒczonych przestrzeni hiperbolicznych.

OÊmiorako

Ze wszystkich zagadnieƒ kosmicznej topologii zapewne

najtrudniej wyobraziç sobie, w jaki sposób przestrzeƒ hiper-
boliczna mo˝e byç skoƒczona. Dla uproszczenia rozwa˝my
najpierw dwuwymiarowy wszechÊwiat. Post´pujmy podob-
nie jak podczas konstrukcji 2-torusa, ale zacznijmy od po-
wierzchni hiperbolicznej. Wytnijmy z niej oÊmiokàt foremny
i uto˝samijmy przeciwleg∏e boki. W ten sposób cokolwiek
opuÊci oÊmiokàt, przechodzàc przez jeden z boków, wy∏oni
si´ z przeciwleg∏ego boku. Zamiast tego mo˝na sobie wy-
obraziç oÊmiokàtny ekran gry Asteroidy
[ilustracja z prawej]. Powstaje w ten spo-
sób wielospójny wszechÊwiat, topolo-
gicznie równowa˝ny preclowi o dwóch
oczkach. Obserwator znajdujàcy si´
w Êrodku oÊmiokàta zobaczy swój wi-
zerunek w oÊmiu ró˝nych kierunkach.
B´dzie mia∏ z∏udzenie nieskoƒczonej
przestrzeni hiperbolicznej, mimo ˝e
w rzeczywistoÊci wszechÊwiat jest skoƒ-
czony. Podobne konstrukcje sà mo˝liwe
i w trzech wymiarach, choç trudniej je
zobrazowaç. Nale˝y wyciàç z trójwymia-
rowej przestrzeni hiperbolicznej wielo-
Êciennà bry∏´ i skleiç pary le˝àcych na-
przeciw siebie Êcian, tak by ka˝dy obiekt
opuszczajàcy bry∏´ przez jednà ze Êcian
powraca∏ do niej w odpowiednim punk-
cie przeciwnej Êciany.

Kàty oÊmioboku zas∏ugujà na uwa˝-

ne rozwa˝enie. Na p∏aszczyênie kàty
wieloboku nie zale˝à od jego rozmiarów.
Zarówno w du˝ym, jak i ma∏ym oÊmio-
boku foremnym kàty tworzone przez
boki majà po 135°. Na zakrzywionej po-
wierzchni zale˝à jednak od rozmiarów.
Na powierzchni kuli rosnà wraz z wie-
lobokiem, natomiast na powierzchni hi-
perbolicznej malejà.

Taka konstrukcja wymaga oÊmiobo-

ku o kàtach akurat po 45°, tak by po
uto˝samieniu przeciwleg∏ych boków
i spotkaniu si´ oÊmiu wierzcho∏ków
w jednym punkcie boki sklei∏y si´ ze so-
bà, a suma kàtów wynios∏a 360°. Ta sub-
telnoÊç wyjaÊnia, dlaczego taka kon-
strukcja jest niemo˝liwa w przypadku
p∏askiego oÊmiokàta. W geometrii eu-
klidesowej osiem wierzcho∏ków o roz-
wartoÊci 135° nie mo˝e si´ spotkaç w jed-
nym punkcie. Dwuwymiarowy wszech-
Êwiat utworzony przez uto˝samienie

przeciwleg∏ych boków oÊmiokàta musi byç hiperboliczny.
Topologia dyktuje geometri´.

Rozmiar wieloboku lub wieloÊcianu jest mierzony w stosun-

ku do jedynej istotnej skali w przestrzeni: promienia krzywi-
zny. Sfera na przyk∏ad mo˝e mieç dowolne rozmiary fizycz-
ne (powiedzmy w metrach), ale jej powierzchnia zawsze
wyniesie 4

π razy kwadrat jej promienia, czyli 4π radiany kwa-

dratowe. Ta sama zasada odnosi si´ do topologii hiperbolicz-
nej, dla której równie˝ da si´ zdefiniowaç promieƒ krzywizny.
Najbardziej zwarta topologia hiperboliczna, odkryta przez
jednego z nas (Weeksa) w 1985 roku, mo˝e byç zbudowana
poprzez uto˝samienie par Êcian osiemnastoÊcianu. Jej obj´-
toÊç wynosi oko∏o 0.94 radiana szeÊciennego. Inne topologie
powstajà z wieloÊcianów o wi´kszej liczbie Êcian.

WszechÊwiat mo˝na równie˝ mierzyç w radianach. Wyni-

ki ró˝norodnych obserwacji astronomicznych zgodnie wska-
zujà, ˝e Êrednia g´stoÊç materii we WszechÊwiecie stanowi
zaledwie jednà trzecià tego, co potrzebne, by przestrzeƒ by-
∏a euklidesowa. A zatem albo dope∏nienie stanowi sta∏a ko-
smologiczna [patrz: Lawrence M. Krauss, „Kosmologiczna
antygrawitacja”; Âwiat Nauki, marzec br.], albo WszechÊwiat
ma geometri´ hiperbolicznà o promieniu krzywizny 18 mld
lat Êwietlnych. W tym ostatnim przypadku obserwowalna
cz´Êç WszechÊwiata mia∏aby obj´toÊç 180 radianów szeÊcien-

60 Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1999

SEGMENT 1

SEGMENT 2

SKO¡CZONA PRZESTRZE¡ HIPERBOLICZNA powstaje z oÊmiokàta, którego przeciw-
leg∏e Êciany zosta∏y uto˝samione. Cokolwiek przekracza któràÊ z kraw´dzi, wy∏ania si´
na przeciwleg∏ej

(u góry z lewej). Topologicznie przestrzeƒ oktagonalna jest równowa˝na

preclowi o dwóch dziurach

(u góry z prawej). Obserwatorzy ˝yjàcy na powierzchni po-

strzegaliby nieskoƒczonà oktagonalnà sieç galaktyk. Taka sieç mo˝e byç naniesiona jedy-
nie na rozmaitoÊci hiperbolicznej – dziwnej, powyginanej powierzchni, na której otocze-
nie ka˝dego punktu ma geometri´ siod∏a

(na dole).

BRYAN CHRISTIE; èród∏o: JEFFREY R. WEEKS

nych – wystarczajàco du˝o, by pomieÊciç niemal 200 wieloÊcia-
nów Weeksa. Innymi s∏owy, jeÊli WszechÊwiat ma topologi´
Weeksa, to jego obj´toÊç jest równa zaledwie 0.5% tej, którà
wydaje si´ mieç. Przestrzeƒ rozszerza si´ równomiernie, pro-
porcje si´ nie zmieniajà, dlatego topologia pozostaje sta∏a.

W rzeczywistoÊci niemal wszystkie topologie wymagajà

geometrii hiperbolicznej. W dwóch wymiarach skoƒczona
przestrzeƒ euklidesowa musi mieç topologi´ 2-torusa albo
butelki Kleina. W trzech wymiarach mo˝liwe jest tylko 10
skoƒczonych przestrzeni euklidesowych, konkretnie: 3-torus
i dziewi´ç prostych jego odmian, powsta∏y na przyk∏ad przez
sklejenie przeciwleg∏ych Êcian, z jednoczesnym obrotem o jed-
nà czwartà lub odbiciem zamiast prostego uto˝samienia. Dla
porównania: istnieje nieskoƒczenie wiele mo˝liwych topolo-
gii skoƒczonego trójwymiarowego wszechÊwiata hiperbo-
licznego. Ich bogata struktura wcià˝ jest przedmiotem inten-
sywnych badaƒ [patrz: William P. Thurston i Jeffrey R. Weeks,
„The Mathematics of Three-Dimensional Manifolds”; Scienti-
fic American, lipiec 1984].

Kosmiczne kryszta∏y

Mimo tylu mo˝liwoÊci kosmologowie w latach dwudzie-

stych nie byli w stanie okreÊliç bezpoÊrednio topologii Wszech-
Êwiata i w koƒcu przestali si´ interesowaç tym problemem. La-
ta 1930–1990 to ciemne wieki w historii tego problemu.
Wi´kszoÊç podr´czników astronomii, powo∏ujàc si´ wzajem-
nie na siebie, g∏osi∏a, ˝e WszechÊwiat musi byç albo hipersfe-
rà, albo nieskoƒczonà przestrzenià euklidesowà, albo nie-
skoƒczonà przestrzenià hiperbolicznà. Inne topologie w
du˝ym stopniu uleg∏y zapomnieniu. W bie˝àcym dziesi´cio-
leciu zainteresowanie problemem od˝y∏o. W ostatnich trzech
latach opublikowano z grubsza tyle samo artyku∏ów na te-
mat kosmicznej topologii, co w poprzedzajàcym osiemdzie-
si´ciu. A najbardziej ekscytujàce jest to, ˝e wreszcie kosmolo-
gowie potrafià wyznaczyç topologi´ na podstawie obserwacji.

Najprostszym sposobem sprawdzenia topologii jest zba-

danie rozk∏adu galaktyk. JeÊli sà one roz∏o˝one w prostokàt-
nej sieci, a obraz tej samej galaktyki powtarza si´ w odpo-
wiednich punktach sieci, to WszechÊwiat ma topologi´
3-torusa. Inne rozk∏ady ujawniajà bardziej skomplikowane

topologie. Niestety, poszukiwanie takich wzorów w rozk∏a-
dzie galaktyk jest trudne, poniewa˝ obrazy galaktyki odpo-
wiada∏yby innym epokom w jej historii. Astronomowie mu-
sieliby umieç rozpoznaç t´ samà galaktyk´ pomimo zmian
w jej wyglàdzie czy przemieszczeƒ w stosunku do sàsiednich
galaktyk. W ciàgu ostatnich 25 lat badacze, m.in. Dmitrij So-
ko∏ow z Uniwersytetu Moskiewskiego, Wiktor Szwarcman
z Rosyjskiej Akademii Nauk, J. Richard Gott III z Princeton
University i Helio V. Fagundes z Institute for Theoretical Phy-
sics w São Paulo, poszukiwali powtarzajàcych si´ obrazów
wÊród galaktyk po∏o˝onych w odleg∏oÊciach do miliarda lat
Êwietlnych od Ziemi i znajdowali je.

Inni badacze – na przyk∏ad Boudewijn F. Roukema z Mi´-

dzyuniwersyteckiego OÊrodka Astronomii i Astrofizyki w Pu-
ne w Indiach – poszukiwali wielokrotnych obrazów wÊród
kwazarów. Poniewa˝ te obiekty uwa˝ane sà za jasne, gdy˝ –
jak si´ przypuszcza – zasilajà je po∏o˝one w jàdrach galaktyk
czarne dziury, to powtarzajàce si´ ich uk∏ady mog∏yby byç
widoczne z du˝ych odleg∏oÊci. Obserwatorzy zidentyfikowali
wszystkie skupiska czterech lub wi´cej kwazarów. Badajàc
relacje przestrzenne w ka˝dym skupisku, sprawdzali, czy
któraÊ z par skupisk mo˝e byç w istocie tym samym skupi-
skiem oglàdanym z dwóch ró˝nych kierunków. Roukema
znalaz∏ dwa przypadki odpowiadajàce tym kryteriom. Nie
muszà one jednak byç statystycznie znaczàce.

Roland Lehoucq i Mark Lachi•ze-Rey z OÊrodka Badaƒ

Astrofizycznych w Saclay we Francji wraz z jednym z nas
(Luminetem) starali si´ obejÊç problem uto˝samiania galak-
tyk w inny sposób. WymyÊliliÊmy metod´ kosmicznej kry-
stalografii, która w euklidesowym wszechÊwiecie pozwala
rozpoznaç wzór statystycznie, bez koniecznoÊci rozró˝nia-
nia konkretnych galaktyk jako swoich wielokrotnych obra-
zów. JeÊli obrazy galaktyk powtarzajà si´ okresowo, to histo-
gram wszystkich odleg∏oÊci pomi´dzy galaktykami powinien
wykazaç maksima przy pewnych odleg∏oÊciach odpowiada-
jàcych prawdziwym rozmiarom WszechÊwiata. Na razie nie
zauwa˝yliÊmy ˝adnego wzoru [ilustracja powy˝ej], ale mo˝e
mieliÊmy zbyt ma∏o danych dotyczàcych galaktyk po∏o˝o-
nych dalej ni˝ dwa miliardy lat Êwietlnych od nas. Sloan
Digital Sky Survey (przeglàd nieba b´dàcy wynikiem wspó∏-
pracy amerykaƒsko-japoƒskiej, majàcy dostarczyç trójwymia-
rowej mapy du˝ej cz´Êci WszechÊwiata) zapewni wi´kszy
zbiór danych do takich badaƒ.

Wreszcie kilka innych grup badawczych zamierza ustaliç

topologi´ WszechÊwiata, pos∏ugujàc si´ mikrofalowym pro-
mieniowaniem t∏a – s∏abà poÊwiatà pozosta∏à po epoce, w któ-
rej pierwotna plama z Wielkiego Wybuchu zrekombinowa∏a,
tworzàc gaz z∏o˝ony z wodoru i helu. Promieniowanie to jest
zadziwiajàco równomiernie roz∏o˝one; jego temperatura i na-
t´˝enie sà takie same we wszystkich cz´Êciach nieba z do-
k∏adnoÊcià do niemal jednej cz´Êci na 100 000. Wyst´pujà jed-
nak pewne fluktuacje odkryte w 1991 roku przez satelit´
Cosmic Background Explorer (COBE). Mówiàc w przybli˝e-
niu: t∏o mikrofalowe odpowiada fluktuacjom g´stoÊci we
wczesnym WszechÊwiecie, które w koƒcu doprowadzi∏y do
powstania gwiazd i galaktyk [patrz: P. James E. Peebles, Da-
vid N. Schramm, Edwin L. Turner i Richard G. Kron, „Ewo-
lucja WszechÊwiata”; Âwiat Nauki, grudzieƒ 1994].

Metoda kó∏ek

Fluktuacje te sà kluczem do rozwiàzania wielu problemów

kosmologicznych, w tym i topologii. Fotony mikrofalowe
docierajàce do nas w jakimÊ momencie rozpocz´∏y swà w´-
drówk´ w przybli˝eniu w tej samej chwili i w tej samej od-
leg∏oÊci od Ziemi. A zatem ich punkty startowe tworzà sfe-

Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1999 61

5

4

3

2

1

0

0

2.5

ODLEG¸OÂå W PARACH (MILIARDY LAT ÂWIETLNYCH)

LICZBA PAR (TYSIÑCE)

5

2.5

0

0

5

ODLEG¸OÂCI pomi´dzy gromadami galaktyk nie zachowujà roz-
k∏adu oczekiwanego w przypadku skoƒczonego, wielospójnego
wszechÊwiata, a mówiàc konkretnie – nie wykazujà wyraênych
maksimów odpowiadajàcych prawdziwym rozmiarom kosmosu
(wstawka). Autorzy zbadali jednak tylko te gromady, które le˝à
w odleg∏oÊci nie wi´kszej ni˝ jakieÊ 2 mld lat Êwietlnych od Ziemi.
W wi´kszych skalach WszechÊwiat mo˝e byç zamkni´ty.

BRYAN CHRISTIE; èród∏o: JEAN-PIERRE LUMINET

r´, zwanà powierzchnià ostatniego rozproszenia. Ziemia le-
˝y w jej Êrodku. Tak jak du˝y kawa∏ek papieru zajdzie na
siebie, gdy nawiniemy go na kij od szczotki, tak powierzch-
nia ostatniego rozproszenia przetnie si´ sama z sobà, jeÊli
jest dostatecznie du˝a, by nawinàç si´ wokó∏ ca∏ego Wszech-
Êwiata. Przeci´cie sfery z samà sobà jest po prostu okr´giem
w przestrzeni.

Patrzàc na ten okràg z Ziemi, astronomowie dostrzegliby

dwa okr´gi na niebie o identycznym rozk∏adzie fluktuacji
temperatury. Te dwa okr´gi sà naprawd´ tym samym okr´-
giem w przestrzeni, tylko oglàdanym z dwóch ró˝nych kie-
runków [ilustracja poni˝ej]. Sà one analogiczne do wielokrot-
nych obrazów Êwiecy w pokoju wy∏o˝onym lustrami, z
których ka˝de odbija Êwiec´ z innej strony.

Dwaj z nas (Starkman i Weeks), pracujàc z Davidem N.

Spergelem i Neilem J. Cornishem z Princeton, majà nadziej´
na odnalezienie takich par okr´gów. Pi´kno tej metody po-
lega na tym, ˝e nie zale˝y ona od niepewnoÊci wspó∏czesnej
kosmologii. Opiera si´ ona na za∏o˝eniu, ˝e przestrzeƒ ma
sta∏à krzywizn´, ale nie czyni ˝adnych za∏o˝eƒ co do g´stoÊci
materii, geometrii przestrzeni czy wyst´powania sta∏ej ko-
smologicznej. G∏ówny problem polega na odszukaniu okr´-
gów pomimo wszystkich tych czynników odkszta∏cajàcych
ich obraz. Na przyk∏ad tworzàce si´ galaktyki wywierajà
zmienne przyciàganie grawitacyjne, oddzia∏ujàce na promie-
niowanie podczas jego drogi na Ziemi´. Wywo∏uje to zmia-
n´ jego energii.

Niestety, COBE nie by∏ w stanie rozdzieliç

struktur w skalach kàtowych mniejszych ni˝
10°. Co wi´cej, nie zidentyfikowa∏ konkret-
nych goràcych i zimnych plam. Z ca∏à pew-
noÊcià móg∏ jedynie stwierdziç, ˝e niektóre
z fluktuacji sà realnymi zjawiskami, a nie efek-
tami instrumentalnymi. Od tamtej pory zbu-
dowano przyrzàdy o lepszej zdolnoÊci roz-
dzielczej i wi´kszej czu∏oÊci. Za pomocà
niektórych ju˝ prowadzi si´ obserwacje z po-
wierzchni Ziemi lub z platform wynoszonych
przez balony. Te obserwacje nie obejmujà jed-
nak ca∏ego nieba. Zasadnicze znaczenie b´dà
mia∏y badania wykonane za pomocà budo-
wanej przez NASA sondy Microwave Aniso-
tropy Probe (MAP), której start jest prze-
widywany na koniec tego roku, a tak˝e
konstruowanego przez European Space Agen-
cy satelity Planck, którego wystrzelenie plano-
wane jest na rok 2007.

Wzgl´dne po∏o˝enia pasujàcych do siebie

okr´gów, o ile takowe zostanà odnalezione,
ujawnià topologi´ WszechÊwiata. JeÊli roz-
miar powierzchni ostatniego rozproszenia le-
dwo wystarcza, by obj´∏a ona ca∏y Wszech-
Êwiat, to przetnie si´ ona sama z sobà, tworzàc
jedynie najbli˝sze topologiczne obrazy. JeÊli
jest wi´ksza, obejmie rozleglejszy obszar
i przetnie bardziej oddalone obrazy. JeÊli po-
wierzchnia ostatniego rozproszenia jest do-
statecznie du˝a, to mo˝emy si´ spodziewaç
setek, a nawet tysi´cy par okr´gów [ilustracja
na sàsiedniej stronie]. Danych b´dzie a˝ za wie-
le. Najwi´kszy okràg ca∏kowicie okreÊli topo-
logi´ przestrzeni, a tak˝e po∏o˝enia i orienta-
cje mniejszych okr´gów. Dzi´ki temu mo˝na
b´dzie pos∏u˝yç si´ kryterium wewn´trznej
zgodnoÊci wzorów w celu sprawdzenia po-
prawnoÊci wniosków topologicznych, a tak˝e

poprawnoÊci danych dotyczàcych mikrofalowego promie-
niowania t∏a.

Inne zespo∏y majà odmienne pomys∏y na wykorzystanie

danych. John D. Barrow i Janna J. Levin z University of Sus-
sex, Emory F. Bunn z Bates College oraz Evan Scannapieco
i Joseph I. Silk z University of California w Berkeley zamierza-
jà bezpoÊrednio badaç rozk∏ad goràcych i zimnych plam.
Przeprowadzili ju˝ symulacje rozk∏adu promieniowania mi-
krofalowego dla ró˝nych topologii. Mno˝àc temperatur´ wy-
znaczonà w ka˝dym kierunku przez temperatur´ we wszyst-
kich pozosta∏ych kierunkach wygenerowali ogromnà cztero-
wymiarowà map´, zwanà zwykle dwupunktowà funkcjà ko-
relacyjnà. Mapa ta s∏u˝y do iloÊciowego porównywania to-
pologii. J. Richard Bond, Dmitry Pogosyan i Tarun Soura-
deep z Canadian Institute for Theoretical Astrophysics sto-
sujà podobne techniki do danych pochodzàcych z satelity
COBE. Mo˝e si´ to okazaç wystarczajàco dok∏adne w przypad-
ku identyfikacji najmniejszych przestrzeni hiperbolicznych.

Oprócz natychmiastowej satysfakcji intelektualnej odkrycie

topologii WszechÊwiata mia∏oby g∏´bokie znaczenie dla fizy-
ki. Choç teoria wzgl´dnoÊci niczego nie mówi o topologii, no-
we i bardziej ogólne teorie, nad którymi obecnie si´ pracuje,
powinny pozwalaç przewidywaç topologi´, a przynajmniej
przypisywaç prawdopodobieƒstwa ró˝nym mo˝liwoÊciom.
Te teorie sà konieczne, by zrozumieç dzia∏anie grawitacji w naj-
wczeÊniejszych momentach Wielkiego Wybuchu, kiedy wa˝-

62 Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1999

ZIEMIA

ZIEMIA

OBIEGAJÑC KOSMOS,
Êwiat∏o tworzy na niebie
wzory. Wszelkie Êwia-
t∏o docierajàce do nas z
okreÊlonej odleg∏oÊci lub
po okreÊlonym czasie –
takie jak kosmiczne mi-
krofalowe promieniowa-
nie t∏a pozosta∏e po Wiel-
kim Wybuchu – repre-
zentuje sfer´. JeÊli ta
sfera jest wi´ksza ni˝
WszechÊwiat, to przetnie
si´ sama ze sobà, wyzna-
czajàc okràg. Ten sk∏ada
si´ z punktów, które wi-
dzimy dwukrotnie: z le-
wej i z prawej

(z prawej).

Dwuwymiarowà analo-
già jest okràg∏y plaster
opatrunkowy, naklejony
wokó∏ palca

(powy˝ej).

BRYAN CHRISTIE; èród∏o: JEFFREY WEEKS

Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1999 63

Informacje o autorach

JEAN-PIERRE LUMINET, GLENN D. STARKMAN i

JEFFREY R. WEEKS twierdzà, i˝ cieszy ich, ˝e mogà ˝yç

w dobie rozkwitu zainteresowaƒ kosmologicznà topologià.

Teraz bowiem naukowcy wspólnie pokonujà bariery po-

mi´dzy dyscyplinami i ˝adne pytanie nie wydaje si´ g∏u-

pie. Luminet, który zajmuje si´ badaniami czarnych dziur

w Observatoire de Paris, napisa∏ wiele ksià˝ek o nauce

i poezji, a tak˝e wspó∏pracowa∏ z kompozytorem Gérar-

dem Griseyem przy przedstawieniu Le Noir de l’Etoile.

Starkman przez szeÊç lat pracowa∏ w Institute for Advan-

ced Study w Princeton w New Jersey, a nast´pnie w Cana-

dian Institute for Theoretical Astrophysics w Toronto.

Obecnie zatrudniony jest w Case Western Reserve Uni-

versity w Cleveland. Weeks – jedyny w tej trójce mate-

matyk – zrezygnowa∏ z posady w Ithaca College, by zajàç

si´ swym nowo narodzonym synem. Na prace nad opro-

gramowaniem badawczym otrzyma∏ grant z National

Science Foundation.

Literatura uzupe∏niajàca

BIBLIOTEKA BABEL.

Jorge Luis Borges, Fikcje; PIW, 1972. Tekst w j´zyku hiszpaƒ-

skim dost´pny w Internecie pod adresem muni2000.com /BABEL/biblba-

be.htm

COSMIC TOPOLOGY.

Marc Lachi•ze-Rey i Jean-Pierre Luminet, Physics Reports, vol.

254, nr 3, ss. 135-214, III/1995. Preprint dost´pny w Internecie pod adresem

xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9605010

POETRY OF THE UNIVERSE.

Robert Osserman; Anchor Books, 1995.

CIRCLES IN THE SKY; FINDING TOPOLOGY WITH THE MICROWAVE BACKGROUND RADIATION.

Neil J. Cornish, David N. Spergel i Glenn D. Starkman, Classical and Quantum

Gravity, vol. 15, nr 9, ss. 2657-2670, IX/1998. Preprint dost´pny pod adresem

xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/9801212.

RECONSTRUCTING THE GLOBAL TOPOLOGY OF THE UNIVERSE FROM THE COSMIC

MICROWAVE BACKGROUND.

Jeffrey R. Weeks, Classical and Quantum Gravity, vol.15,

nr 9, ss.2599-2604, IX/1998. Preprint dost´pny pod adresem xxx.lanl.gov/

abs/astro-ph/9802012

Bezp∏atne oprogramowanie do badania topologii mo˝na otrzymaç pod adre-

sem www.geom.umn.edu/software/download lub www.northnet.org/

weeks

ne by∏y efekty kwantowo-mechaniczne [patrz: Bryce S. DeWitt,
„Quantum Gravity”; Scientific American, grudzieƒ 1983]. Teo-
rie Wszystkiego, takie jak teoria strun, sà w powijakach i nie po-
zwalajà jeszcze wysuwaç sprawdzalnych przewidywaƒ. W koƒ-
cu jednak kandydujàce teorie pozwolà sprecyzowaç prze-
widywania co do topologii WszechÊwiata.

Dotychczasowe wysi∏ki zmierzajàce do unifikacji fizyki do-

prowadzi∏y do wy∏onienia si´ dziedziny kwantowej kosmo-
logii. Trzy g∏ówne hipotezy dotyczàce narodzin WszechÊwia-
ta wysuwajà – kolejno – Andreii Linde ze Stanford University,
Alexander Vilenkin z Tufts University i Stephen W. Hawking
z University of Cambridge. Jedna z najistotniejszych ró˝nic po-
mi´dzy nimi dotyczy tego, czy obj´toÊç nowo narodzonego
WszechÊwiata by∏a bardzo du˝a (propozycje Lindego i Vi-
lenkina), czy bardzo ma∏a (propozycja Hawkinga). Badania to-
pologii byç mo˝e pozwolà rozstrzygnàç te kwestie.

JeÊli obserwacje wyka˝à, ˝e WszechÊwiat jest skoƒczony, za-

pewne uda si´ rozwiàzaç najwa˝niejszà zagadk´ kosmolo-
gii: wielkoskalowà jednorodnoÊç WszechÊwiata. Potrzeba
wyjaÊnienia tej jednorodnoÊci doprowadzi∏a do powstania
teorii inflacji, lecz ostatnio teoria ta przechodzi kryzys. Jej
standardowa wersja przewiduje bowiem, ˝e WszechÊwiat

jest euklidesowy, a to wydaje si´ sprzeczne z obserwowanà g´-
stoÊcià materii. Ten problem sk∏oni∏ teoretyków do postula-
tu istnienia ukrytych form energii i modyfikacji teorii inflacji
[patrz: Martin A. Bucher i David N. Spergel, „Inflacja we
WszechÊwiecie o ma∏ej g´stoÊci”; Âwiat Nauki, marzec br.].
Innym mo˝liwym rozwiàzaniem jest WszechÊwiat jeszcze
mniejszy, ni˝ si´ wydaje. JeÊli to prawda, to inflacja mog∏a
si´ zakoƒczyç, jeszcze zanim nada∏a przestrzeni geometri´
euklidesowà, ale wcià˝ by∏a wystarczajàca, by uczyniç
WszechÊwiat jednorodnym. Igor Y. Sokolov z University of
Toronto i inni dzi´ki danym z COBE wykluczyli ewentual-
noÊç, i˝ WszechÊwiat ma topologi´ 3-torusa. Mo˝liwe jednak,
˝e przestrzeƒ jest hiperboliczna.

Od najdawniejszych czasów we wszystkich kulturach na ca-

∏ym Êwiecie ludzie zadawali sobie pytania, jak powsta∏
WszechÊwiat i czy jest skoƒczony, czy te˝ nie. Dopiero w tym
stuleciu po∏àczenie wiedzy matematycznej i dok∏adnych ob-
serwacji umo˝liwi∏o cz´Êciowe rozwiàzanie pierwszej z tych
zagadek. Poczàtek nast´pnego stulecia mo˝e przynieÊç od-
powiedê na drugie pytanie.

T∏umaczy∏

Stanis∏aw Bajtlik

JEFFREY R. WEEKS

W TRZECH MO˚LIWYCH WSZECHÂWIATACH – du˝ym, Êrednim i ma∏ym

(górny rzàd) powsta∏yby charakterystyczne wzory w rozk∏a-

dzie kosmicznego mikrofalowego promieniowania t∏a, jak to uwidoczniono na zamieszczonych symulacjach

(dolny rzàd). Ka˝dy z tych

wszechÊwiatów ma topologi´ 3-torusa i zosta∏ pokazany szeÊciokrotnie w celu wyobra˝enia regularnej sieci, którà zobaczy∏by obserwa-
tor. W du˝ym WszechÊwiecie powierzchnia, z której pochodzà fotony mikrofalowego promieniowania t∏a, nie pokry∏aby si´ i nie wytwo-
rzy∏by si´ ˝aden charakterystyczny wzór. We wszechÊwiecie Êredniej wielkoÊci sfera przecina∏aby si´ sama ze sobà raz w ka˝dym kierun-
ku. Mo˝na si´ przekonaç, ˝e Êledzàc rozk∏ad kolorów na Êrodkowym okr´gu w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, na lewej
pó∏kuli dostrze˝emy t´ samà sekwencj´ barw, co post´pujàc w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara na pó∏kuli prawej.
Wreszcie w ma∏ym wszechÊwiecie sfera przecina si´ ze sobà wielokrotnie. Prowadzi to do powstania skomplikowanego wzoru.