Lista zada nr 2
1)
Po okre lonej trasie je dzi n=5 autobusów. Awarie poszczególnych autobusów s zdarzeniami niezale nymi i
prawdopodobie stwo awarii ka dego z autobusów w ci gu okre lonego odcinka czasu jest 0,2. Niech X oznacza liczb
autobusów, które w ci gu rozwa anego czasu uległy awarii (autobus, który uległ awarii nie jest naprawiany). Znale
rozkład zmiennej losowej X i dystrybuant F(x). Obliczy F(0), F(1), F(2,5).
2)
Robotnik obsługuje cztery jednakowe warsztaty funkcjonuj ce automatycznie i niezale nie od siebie. Prawdopo-
dobie stwo, e w ci gu godziny warsztat b dzie wymagał zaj cia si nim wynosi 0,9. Niech zmienna losowa X b dzie
liczb warsztatów, które w ci gu godziny wymagały interwencji robotnika. Wyznaczy rozkład prawdopodobie stwa i
dystrybuant zmiennej losowej X. Obliczy prawdopodobie stwo, e w ci gu godziny:
a)
aden z warsztatów nie b dzie wymagał interwencji robotnika
b)
dokładnie jeden warsztat b dzie wymagał interwencji robotnika
c)
liczba warsztatów wymagaj cych interwencji b dzie wi ksza od 2
d)
Znale najbardziej prawdopodobn liczb warsztatów wymagaj cych interwencji robotnika.
3)
Prawdopodobie stwo trafienia do celu w jednym strzale jest równe 0,2. Niech X oznacza liczb strzałów celnych w
wykonanej serii czterech niezale nych strzałów. Znale rozkład i dystrybuant zmiennej losowej X. Obliczy prawdo-
podobie stwo, e liczba strzałów celnych b dzie nie mniejsza ni 2.
4)
Dziesi ciu abonentów mo e poł czy si z sieci telefoniczn za pomoc lokalnej centrali dysponuj cej n liniami. Ka dy
z abonentów zajmuje lini rednio 12 minut na godzin . Zakładaj c, e zamówienia s dokonywane niezale nie od siebie,
obliczy jaka jest minimalna liczba linii wystarczaj ca na to, by w losowo wybranej chwili z prawdopodobie stwem 0,99
obsłu y wszystkie zgłoszenia.
5)
Prawdopodobie stwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu po przeprowadzeniu czterech do wiadcze według
schematu Bernoulliego jest równe 0,5904. Obliczy prawdopodobie stwo sukcesu w pojedynczym do wiadczeniu.
6)
Ze zbioru {1,...,N} losujemy bez zwracania kolejno liczby. Warto ci zmiennej losowej jest numer tego losowania, w
którym b dzie po raz pierwszy wylosowana liczba wi ksza od ustalonej liczby k, 1< k < N. Wyznaczy rozkład X.
7)
Prawdopodobie stwo P(A)>0. Kolejne niezale ne do wiadczenia powtarzane s do momentu, gdy po raz pierwszy
zrealizuje si zdarzenie A. Warto ci zmiennej losowej X jest numer tego do wiadczenia, po którym zaprzestaje si
wykonywania dalszych do wiadcze . Wyznaczy rozkład X.
8)
Drut o długo ci L poddawany jest próbie wytrzymało ciowej na rozci ganie. Prawdopodobie stwo, e drut p knie w
odległo ci wi kszej od m od jego lewego ko ca wynosi (L – m)/L. Ustalmy m (0<m<L). Jakie jest prawdopodobie stwo,
e w ród n próbek znajdzie si dokładnie k takich, które p kn w odległo ci wi kszej od m od lewego ko ca?
9)
W ksi ce 500 – stronicowej jest 50 bł dów drukarskich. Obliczy prawdopodobie stwo tego, e na losowo wybranej
stronie znajduj si co najmniej trzy bł dy.
10)
Przeprowadzono niezale ne sprawdziany niezawodno ci trzech przyrz dów. Prawdopodobie stwa, e poszczególne
przyrz dy odmówi działania, równe s odpowiednio p
1
, p
2
, p
3
. Dowie , e warto oczekiwana liczby niesprawnych
przyrz dów równa jest p
1
+ p
2
+ p
3
.
11)
Zdarzenia losowe A
1
, ..., A
n
, s wzajemnie niezale ne, ich prawdopodobie stwa s dodatnie. Warto ci zmiennej losowej
X jest liczba tych zdarze spo ród A
1
, ..., A
n
, które s obserwowane w pojedynczym do wiadczeniu. Wyznaczy rozkład
prawdopodobie stwa zmiennej losowej X. Wyznaczy prawdopodobie stwo, e w jednym do wiadczeniu zostanie
zaobserwowane chocia jedno spo ród wymienionych zdarze , czyli wyliczy P({X
≥ 1}).
12)
Strzelec trafia do celu jednym strzałem z prawdopodobie stwem 0,2.
a)
Jakie jest prawdopodobie stwo, ze trafi on nie mniej ni dwa razy przy 10 niezale nych strzałach?
b)
Znale prawdopodobie stwo warunkowe przynajmniej dwóch trafie , je eli wiadomo, e strzelec trafił ju
przynajmniej raz.
13)
Dwaj koszykarze maj wykona po trzy rzuty karne, przy czym prawdopodobie stwo zdobycia punktu w pojedynczym
rzucie karnym wynosi 0,6 dla pierwszego gracza i 0,7 dla drugiego. Obliczy prawdopodobie stwo, e:
a)
obaj zdob d równ liczb punktów;
b)
pierwszy zdob dzie wi cej punktów ni drugi.
14)
Automat produkuje w ci gu jednego cyklu produkcyjnego 10 detali. Prawdopodobie stwo, e dowolnie wybrany detal
oka e si wadliwy równe jest 0,01. Po ilu cyklach prawdopodobie stwo wyprodukowania co najmniej jednego wadliwego
detalu b dzie nie mniejsze ni 0,8?
15)
Reguły gry s nast puj ce: gracz po wpłaceniu kwoty pieni nej w wysoko ci a zł wchodzi do gry. Gra polega na
wykonywaniu niezale nych rzutów monet . Je eli orzeł po raz pierwszy wypadnie w k-tym rzucie to gracz wygrywa q
k
zł.
Warto ci zmiennej losowej X jest wysoko wygranej. Dla jakiej warto ci q mamy równo E(X)=a? W takim przypadku
mówimy, e gra jest sprawiedliwa. Obliczy q przy a=1000 zł.
16)
Niezale ne zmienne losowe X i Y maj nast puj ce rozkłady:
5
,
0
})
1
X
({
P
,
5
,
0
})
1
X
({
P
=
=
=
−
=
25
,
0
})
5
Y
({
P
,
25
,
0
})
3
Y
({
P
,
5
,
0
})
1
Y
({
P
=
=
=
=
=
=
Niech
XY
Z
,
1
Y
X
2
Z
2
1
=
+
+
=
. Obliczy : E(Z
2
), E(Z
1
), D
2
(Z
2
).
17)
Zmienna losowa X przyjmuje warto ci 1,2,3,... z prawdopodobie stwami p
k
=P{X=k}. Liczby p
k
tworz ci g
geometryczny o ilorazie q. Dobra tak pierwszy wyraz p
1
tego ci gu i iloraz q, aby E(X)=10.
18)
Zmienna losowa skokowa X przyjmuje warto ci x
1
i x
2
,
2
1
x
x
≠
, z prawdopodobie stwami odpowiednio równymi p i
(1 – p),
1
p
0
≤
≤
. Udowodni , e je li
)
X
(
D
2
= 0, to p(1 – p) = 0.
19)
Sprawdzamy niezawodno wyrobów. Prawdopodobie stwo, e wynik sprawdzianu dla dowolnie wybranego wyrobu
b dzie pozytywny, wynosi 0,8. Proces sprawdzania zostaje zako czony po napotkaniu pierwszego wyrobu o negatywnym
wyniku sprawdzianu. Obliczy rozkład, warto oczekiwan i wariancj liczby sprawdzonych wyrobów.
20)
Z odcinka [0,L] losuje si w sposób niezale ny dwie liczby x, y.
Wyznaczy dystrybuant zmiennej losowej X, gdy
a)
X jest równe min{x,y}
b)
X jest równe x-y .
21)
Z kwadratu o boku a losowany jest punkt. Warto ci zmiennej losowej X jest odległo od najbli szego boku. Wyznaczy
rozkład X (dystrybuant i g sto ).
22)
Sprawdzi , e funkcja H(x) okre lona w nast puj cy sposób:
π
≥
π
<
≤
−
<
=
2
x
dla
1
2
x
0
dla
x
cos
1
0
x
dla
0
)
x
(
H
jest dystrybuant pewnej zmiennej losowej X.
Obliczy prawdopodobie stwa nast puj cych zdarze :{X
≤ 1}, {X > 0}, {X = 0,5}, {0,5 ≤ X ≤ 2}.
23)
Wyznaczy stał A tak, aby funkcja dana ni ej była g sto ci pewnej zmiennej losowej X.
<
≥
=
1
x
dla
0
1
x
dla
x
A
)
x
(
f
4
Wyznaczy P({X>-2}).
.
24)
Zmienna losowa X ma rozkład o g sto ci :
≤
≤
−
<
≤
=
tym
poza
0
2
x
1
dla
x
2
1
x
0
dla
x
)
x
(
f
a)
naszkicowa wykres funkcji f(x),
b)
wyznaczy dystrybuant F(x) i naszkicowa jej wykres,
c)
obliczy E(X), D
2
(X).
25)
Polecenia jak wy ej dla funkcji
≤
≤
−
=
wpp
0
4
x
2
3
cx
)
x
(
f
26)
Dane s dystrybuanty zmiennych losowych typu ci głego. Wyznaczy g sto ci. Nast pnie policzy warto ci oczekiwane i
drugi moment zwykły tych zmiennych losowych
≥
−
<
=
>
≤
≤
−
π
+
−
<
=
−
0
x
dla
e
1
0
x
dla
0
)
x
(
F
3
x
dla
1
3
x
3
dla
3
x
sin
arc
1
5
,
0
3
x
dla
0
)
x
(
F
x
27)
Dla jakich warto ci parametrów a, b funkcja
>
≤
≤
−
⋅
+
−
<
=
1
x
dla
1
1
x
1
dla
x
sin
arc
b
a
1
x
dla
0
)
x
(
F
jest dystrybuant zmiennej losowej typu ci głego.
28)
Wyznacz stał a tak, aby funkcja
>
≤
<
−
−
≤
=
a
x
dla
1
a
x
1
dla
x
1
1
2
1
x
dla
0
)
x
(
F
była dystrybuant zmiennej losowej typu ci głego.
29)
Wyznaczy warto oczekiwan i wariancj dla zmiennej losowej o rozkładzie:
a)
warto
-1
0
1
2
prawdopodobie stwo
0,2
0,1
0,2
0,5
b)
{
}
,...
3
,
2
,
1
k
,
k
X
P
k
2
1
=
=
=
30)
Wyznaczy warto oczekiwan i wariancj dla zmiennych losowych o rozkładach:
>
≤
=
>
≤
=
−
0
x
dla
e
2
0
x
dla
0
)
x
(
f
1
x
dla
x
3
1
x
dla
0
)
x
(
f
x
2
4
31)
Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelk :
x
k
-2
-1
0
2
3
p
k
0,1
0,5
0,1
0,2
0,1
Wyznaczy rozkład zmiennych losowych Y=4X+1, Z=X
2
-4.
32)
Rozkład prawdopodobie stwa ocen z egzaminu studentów II roku pewnej uczelni jest nast puj cy:
Ocena
2
3
4
5
Prawdopodobie stwo
?
0,4
0,2
?
Wiadomo, e warto oczekiwana tak okre lonej zmiennej wynosi 2,95. Obliczy P({X=2}) oraz P({X=5}). Wyznaczy i
przedstawi graficznie dystrybuant tego rozkładu. Obliczy ilu studentów spo ród 200 zdaj cych otrzyma z egzaminu
ocen co najmniej dobr .
33)
Promie koła jest zmienn losow R o g sto ci prawdopodobie stwa
<
≥
=
−
0
r
0
0
r
e
)
r
(
f
r
. Znale g sto
prawdopodobie stwa g(s) zmiennej losowej S:=
πR
2
.
34)
Wyznaczy rozkład zmiennych losowych Y=2X
3
, S=e
X
, gdy X ma rozkład o g sto ci:
≤
≤
−
=
wpp
0
1
x
0
)
x
1
(
x
12
)
x
(
f
2
35)
Zmienna losowa posiada rozkład równomierny na odcinku [0,1]. Wyznaczy rozkład zmiennej losowej Y, gdy:
a)
Y = -ln(1-X)
b)
Y = -lnX
Wyznaczy g sto ci zmiennych losowych Y. Jaki rozkład ma zmienna losowa Y w podpunkcie a) ?
36)
Wyznaczy warto przeci tn i wariancj zmiennej losowej a) U
1
=2X+1; b) U
2
=X
2
; c) U
3
=-X
2
+2; je eli E(X)=2,
D
2
(X)=1, E(X
4
)=34.
37)
Wyznaczy a) warto przeci tn i wariancj zmiennej losowej U
1
=3X-2Y; b) warto przeci tn zmiennej losowej
U
2
=X
2
-Y
2
, je eli zmienne losowe X i Y s niezale ne oraz E(X)=-3, E(Y)=4, D
2
(X)=0,5, D
2
(Y)=2.
38)
Wyznaczy funkcj prawdopodobie stwa skokowej zmiennej losowej X maj cej tylko dwa punkty skokowe x
1
i x
2
,
je li: x
1
< x
2
, p
1
= P(X=x
1
) = 0,2, E(X)=3, D
2
(X)=4.
39)
Bezpo rednim rachunkiem sprawdzi , e suma dwóch niezale nych zmiennych losowych o rozkładach Poissona
odpowiednio z parametrami
2
1
,
λ
λ
ma równie rozkład Poissona z parametrem
2
1
λ
+
λ
=
λ
.
40)
Rozkład liczby reszt zapomnianych przez klientów w pewnym sklepie w ci gu tygodnia ma rozkład Poissona o warto ci
oczekiwanej równej 1,8. Obliczy prawdopodobie stwo, ze liczba reszt zapomnianych w ci gu tygodnia jest nie wi ksza
ni 3.
41)
Liczba samochodów przeje d aj cych w ci gu minuty obok pewnego punktu obserwacyjnego, ma rozkład Poissona, dla
którego
λ oszacowano na poziomie 0,6. Znale prawdopodobie stwo, e w ci gu minuty przejedzie obok punktu
najwy ej jeden samochód.
42)
Na pewnym osiedlu mieszkaniowym wylosowano niezale nie 400 mieszka i otrzymano nast puj ce dane dotycz ce
liczby izb w mieszkaniu:
Liczba izb w mieszkaniu
1
2
3
4
5
6
Liczba mieszka
30
150
120
50
40
10
Przy zało eniu, e rozkład liczby izb w mieszkaniu jest rozkładem Poissona wyznaczy oraz przedstawi graficznie
liczebno ci teoretyczne na tle liczebno ci empirycznych rozkładu liczb izb. Potrzebny parametr rozkładu Poissona przyj
na poziomie warto ci parametru z próby.
43)
Z pewnego przystanku autobusy odje d aj co 10 minut. Zakładamy, e rozkład czasu przybycia pasa era na przystanek
jest jednostajny. Obliczy prawdopodobie stwo, e pasa er b dzie czekał co najmniej 4 minuty.
44)
Poci gi kolejki elektrycznej odje d aj ze stacji co 5 minut. Zakładaj c, e rozkład czasu przybycia pasa era na stacj jest
jednostajny, obliczy warto przeci tn i wariancj czasu oczekiwania na poci g.
45)
Zapałk o długo ci 5 cm złamano w dowolnym punkcie. Zakładaj c, e rozkład prawdopodobie stwa długo ci krótszej
zapałki jest jednostajny, obliczy prawdopodobie stwo, e długo krótszej cz ci zapałki nie przekracza 0,5 cm.
46)
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale
)
1
,
1
(
−
. Wyznaczy g sto zmiennej
X
Y
=
.
47)
Czas bezawaryjnej pracy X agregatów spalinowo–elektrycznych w ustalonych warunkach ma rozkład wykładniczy z
parametrem
10
=
λ
. Obliczy redni czas bezawaryjnej pracy agregatów oraz wyznaczy g sto zmiennej losowej
EX
X
Y
−
=
.
48)
Dystrybuanta F pewnej zmiennej losowej X jest funkcj ci gł dla
R
x
∈ . Czy st d wynika, e jej g sto f jest równie
funkcj ci gł ? W przypadku odpowiedzi pozytywnej przeprowadzi dowód, w przypadku negatywnej poda
kontrprzykład.
49)
Niech zmienna losowa X ma rozkład N(1,5; 2).
Obliczy prawdopodobie stwa: P({X<2,5}), P({X>-0,5}), P(0,5<X<2), P( 2X-1 <1), P( X >0,5).
50)
Niech X
∈N(1,1). Wyznaczy :
a)
P({X(1-X) > 0})
b)
P({X(1-X) < 0})
c)
P({X
3
– X < 0})
51)
Wytrzymało stalowych lin pochodz cych z produkcji masowej jest zmienn losow o rozkładzie
N(1000 kg/cm
2
, 50 kg/cm
2
). Obliczy jaki procent lin ma wytrzymało mniejsz od 900 kg/cm
2
.
52)
Pewien automat produkuje cz ci, których długo jest zmienn losow o rozkładzie N(2; 0,2) (w cm). Wyznaczy
prawdopodobie stwo otrzymania braku, je li dopuszczalne długo ci cz ci powinny zawiera si w przedziale (1,7; 2,3).
53)
Warto oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym s odpowiednio równe 15 i 5.
Znale prawdopodobie stwo, e X przyjmie warto :
a)
mniejsz ni 12;
b)
wi ksz ni 14;
c)
nale c do przedziału (12,14);
d)
ró n od warto ci przeci tnej nie wi cej ni o 3.
54)
Wytrzymało pewnego materiału budowlanego (w N/cm
2
) jest zmienn losow o rozkładzie normalnym N(20,8; 0,4).
Jakie jest prawdopodobie stwo, e wytrzymało materiału budowlanego:
a)
przekroczy 22 N/cm
2
?
b)
nie jest wi ksza ni norma techniczna wynosz ca 20 N/cm
2
?