Lista zada nr 2

1)

Po okre lonej trasie je dzi n=5 autobusów. Awarie poszczególnych autobusów s zdarzeniami niezale nymi i

prawdopodobie stwo awarii ka dego z autobusów w ci gu okre lonego odcinka czasu jest 0,2. Niech X oznacza liczb
autobusów, które w ci gu rozwa anego czasu uległy awarii (autobus, który uległ awarii nie jest naprawiany). Znale
rozkład zmiennej losowej X i dystrybuant F(x). Obliczy F(0), F(1), F(2,5).

2)

Robotnik obsługuje cztery jednakowe warsztaty funkcjonuj ce automatycznie i niezale nie od siebie. Prawdopo-

dobie stwo, e w ci gu godziny warsztat b dzie wymagał zaj cia si nim wynosi 0,9. Niech zmienna losowa X b dzie
liczb warsztatów, które w ci gu godziny wymagały interwencji robotnika. Wyznaczy rozkład prawdopodobie stwa i
dystrybuant zmiennej losowej X. Obliczy prawdopodobie stwo, e w ci gu godziny:
a)

aden z warsztatów nie b dzie wymagał interwencji robotnika

b)

dokładnie jeden warsztat b dzie wymagał interwencji robotnika

c)

liczba warsztatów wymagaj cych interwencji b dzie wi ksza od 2

d)

Znale najbardziej prawdopodobn liczb warsztatów wymagaj cych interwencji robotnika.

3)

Prawdopodobie stwo trafienia do celu w jednym strzale jest równe 0,2. Niech X oznacza liczb strzałów celnych w

wykonanej serii czterech niezale nych strzałów. Znale rozkład i dystrybuant zmiennej losowej X. Obliczy prawdo-
podobie stwo, e liczba strzałów celnych b dzie nie mniejsza ni 2.

4)

Dziesi ciu abonentów mo e poł czy si z sieci telefoniczn za pomoc lokalnej centrali dysponuj cej n liniami. Ka dy

z abonentów zajmuje lini rednio 12 minut na godzin . Zakładaj c, e zamówienia s dokonywane niezale nie od siebie,
obliczy jaka jest minimalna liczba linii wystarczaj ca na to, by w losowo wybranej chwili z prawdopodobie stwem 0,99
obsłu y wszystkie zgłoszenia.

5)

Prawdopodobie stwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu po przeprowadzeniu czterech do wiadcze według

schematu Bernoulliego jest równe 0,5904. Obliczy prawdopodobie stwo sukcesu w pojedynczym do wiadczeniu.

6)

Ze zbioru {1,...,N} losujemy bez zwracania kolejno liczby. Warto ci zmiennej losowej jest numer tego losowania, w

którym b dzie po raz pierwszy wylosowana liczba wi ksza od ustalonej liczby k, 1< k < N. Wyznaczy rozkład X.

7)

Prawdopodobie stwo P(A)>0. Kolejne niezale ne do wiadczenia powtarzane s do momentu, gdy po raz pierwszy

zrealizuje si zdarzenie A. Warto ci zmiennej losowej X jest numer tego do wiadczenia, po którym zaprzestaje si
wykonywania dalszych do wiadcze . Wyznaczy rozkład X.

8)

Drut o długo ci L poddawany jest próbie wytrzymało ciowej na rozci ganie. Prawdopodobie stwo, e drut p knie w

odległo ci wi kszej od m od jego lewego ko ca wynosi (L – m)/L. Ustalmy m (0<m<L). Jakie jest prawdopodobie stwo,

e w ród n próbek znajdzie si dokładnie k takich, które p kn w odległo ci wi kszej od m od lewego ko ca?

9)

W ksi ce 500 – stronicowej jest 50 bł dów drukarskich. Obliczy prawdopodobie stwo tego, e na losowo wybranej

stronie znajduj si co najmniej trzy bł dy.

10)

Przeprowadzono niezale ne sprawdziany niezawodno ci trzech przyrz dów. Prawdopodobie stwa, e poszczególne

przyrz dy odmówi działania, równe s odpowiednio p

1

, p

2

, p

3

. Dowie , e warto oczekiwana liczby niesprawnych

przyrz dów równa jest p

1

+ p

2

+ p

3

.

11)

Zdarzenia losowe A

1

, ..., A

n

, s wzajemnie niezale ne, ich prawdopodobie stwa s dodatnie. Warto ci zmiennej losowej

X jest liczba tych zdarze spo ród A

1

, ..., A

n

, które s obserwowane w pojedynczym do wiadczeniu. Wyznaczy rozkład

prawdopodobie stwa zmiennej losowej X. Wyznaczy prawdopodobie stwo, e w jednym do wiadczeniu zostanie

zaobserwowane chocia jedno spo ród wymienionych zdarze , czyli wyliczy P({X

≥ 1}).

12)

Strzelec trafia do celu jednym strzałem z prawdopodobie stwem 0,2.

a)

Jakie jest prawdopodobie stwo, ze trafi on nie mniej ni dwa razy przy 10 niezale nych strzałach?

b)

Znale prawdopodobie stwo warunkowe przynajmniej dwóch trafie , je eli wiadomo, e strzelec trafił ju

przynajmniej raz.

13)

Dwaj koszykarze maj wykona po trzy rzuty karne, przy czym prawdopodobie stwo zdobycia punktu w pojedynczym

rzucie karnym wynosi 0,6 dla pierwszego gracza i 0,7 dla drugiego. Obliczy prawdopodobie stwo, e:
a)

obaj zdob d równ liczb punktów;

b)

pierwszy zdob dzie wi cej punktów ni drugi.

14)

Automat produkuje w ci gu jednego cyklu produkcyjnego 10 detali. Prawdopodobie stwo, e dowolnie wybrany detal

oka e si wadliwy równe jest 0,01. Po ilu cyklach prawdopodobie stwo wyprodukowania co najmniej jednego wadliwego
detalu b dzie nie mniejsze ni 0,8?

15)

Reguły gry s nast puj ce: gracz po wpłaceniu kwoty pieni nej w wysoko ci a zł wchodzi do gry. Gra polega na

wykonywaniu niezale nych rzutów monet . Je eli orzeł po raz pierwszy wypadnie w k-tym rzucie to gracz wygrywa q

k

zł.

Warto ci zmiennej losowej X jest wysoko wygranej. Dla jakiej warto ci q mamy równo E(X)=a? W takim przypadku
mówimy, e gra jest sprawiedliwa. Obliczy q przy a=1000 zł.

16)

Niezale ne zmienne losowe X i Y maj nast puj ce rozkłady:

5

,

0

})

1

X

({

P

,

5

,

0

})

1

X

({

P

=

=

=

−

=

25

,

0

})

5

Y

({

P

,

25

,

0

})

3

Y

({

P

,

5

,

0

})

1

Y

({

P

=

=

=

=

=

=

Niech

XY

Z

,

1

Y

X

2

Z

2

1

=

+

+

=

. Obliczy : E(Z

2

), E(Z

1

), D

2

(Z

2

).

17)

Zmienna losowa X przyjmuje warto ci 1,2,3,... z prawdopodobie stwami p

k

=P{X=k}. Liczby p

k

tworz ci g

geometryczny o ilorazie q. Dobra tak pierwszy wyraz p

1

tego ci gu i iloraz q, aby E(X)=10.

18)

Zmienna losowa skokowa X przyjmuje warto ci x

1

i x

2

,

2

1

x

x

≠

, z prawdopodobie stwami odpowiednio równymi p i

(1 – p),

1

p

0

≤

≤

. Udowodni , e je li

)

X

(

D

2

= 0, to p(1 – p) = 0.

19)

Sprawdzamy niezawodno wyrobów. Prawdopodobie stwo, e wynik sprawdzianu dla dowolnie wybranego wyrobu

b dzie pozytywny, wynosi 0,8. Proces sprawdzania zostaje zako czony po napotkaniu pierwszego wyrobu o negatywnym
wyniku sprawdzianu. Obliczy rozkład, warto oczekiwan i wariancj liczby sprawdzonych wyrobów.

20)

Z odcinka [0,L] losuje si w sposób niezale ny dwie liczby x, y.

Wyznaczy dystrybuant zmiennej losowej X, gdy
a)

X jest równe min{x,y}

b)

X jest równe x-y .

21)

Z kwadratu o boku a losowany jest punkt. Warto ci zmiennej losowej X jest odległo od najbli szego boku. Wyznaczy

rozkład X (dystrybuant i g sto ).

22)

Sprawdzi , e funkcja H(x) okre lona w nast puj cy sposób:

π

≥

π

<

≤

−

<

=

2

x

dla

1

2

x

0

dla

x

cos

1

0

x

dla

0

)

x

(

H

jest dystrybuant pewnej zmiennej losowej X.
Obliczy prawdopodobie stwa nast puj cych zdarze :{X

≤ 1}, {X > 0}, {X = 0,5}, {0,5 ≤ X ≤ 2}.

23)

Wyznaczy stał A tak, aby funkcja dana ni ej była g sto ci pewnej zmiennej losowej X.

<

≥

=

1

x

dla

0

1

x

dla

x

A

)

x

(

f

4

Wyznaczy P({X>-2}).

.
24)

Zmienna losowa X ma rozkład o g sto ci :

≤

≤

−

<

≤

=

tym

poza

0

2

x

1

dla

x

2

1

x

0

dla

x

)

x

(

f

a)

naszkicowa wykres funkcji f(x),

b)

wyznaczy dystrybuant F(x) i naszkicowa jej wykres,

c)

obliczy E(X), D

2

(X).

25)

Polecenia jak wy ej dla funkcji

≤

≤

−

=

wpp

0

4

x

2

3

cx

)

x

(

f

26)

Dane s dystrybuanty zmiennych losowych typu ci głego. Wyznaczy g sto ci. Nast pnie policzy warto ci oczekiwane i

drugi moment zwykły tych zmiennych losowych

≥

−

<

=

>

≤

≤

−

π

+

−

<

=

−

0

x

dla

e

1

0

x

dla

0

)

x

(

F

3

x

dla

1

3

x

3

dla

3

x

sin

arc

1

5

,

0

3

x

dla

0

)

x

(

F

x

27)

Dla jakich warto ci parametrów a, b funkcja

>

≤

≤

−

⋅

+

−

<

=

1

x

dla

1

1

x

1

dla

x

sin

arc

b

a

1

x

dla

0

)

x

(

F

jest dystrybuant zmiennej losowej typu ci głego.

28)

Wyznacz stał a tak, aby funkcja

>

≤

<

−

−

≤

=

a

x

dla

1

a

x

1

dla

x

1

1

2

1

x

dla

0

)

x

(

F

była dystrybuant zmiennej losowej typu ci głego.

29)

Wyznaczy warto oczekiwan i wariancj dla zmiennej losowej o rozkładzie:

a)

warto

-1

0

1

2

prawdopodobie stwo

0,2

0,1

0,2

0,5

b)

{

}

,...

3

,

2

,

1

k

,

k

X

P

k

2

1

=

=

=

30)

Wyznaczy warto oczekiwan i wariancj dla zmiennych losowych o rozkładach:

>

≤

=

>

≤

=

−

0

x

dla

e

2

0

x

dla

0

)

x

(

f

1

x

dla

x

3

1

x

dla

0

)

x

(

f

x

2

4

31)

Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelk :

x

k

-2

-1

0

2

3

p

k

0,1

0,5

0,1

0,2

0,1

Wyznaczy rozkład zmiennych losowych Y=4X+1, Z=X

2

-4.

32)

Rozkład prawdopodobie stwa ocen z egzaminu studentów II roku pewnej uczelni jest nast puj cy:

Ocena

2

3

4

5

Prawdopodobie stwo

?

0,4

0,2

?

Wiadomo, e warto oczekiwana tak okre lonej zmiennej wynosi 2,95. Obliczy P({X=2}) oraz P({X=5}). Wyznaczy i
przedstawi graficznie dystrybuant tego rozkładu. Obliczy ilu studentów spo ród 200 zdaj cych otrzyma z egzaminu
ocen co najmniej dobr .

33)

Promie koła jest zmienn losow R o g sto ci prawdopodobie stwa

<

≥

=

−

0

r

0

0

r

e

)

r

(

f

r

. Znale g sto

prawdopodobie stwa g(s) zmiennej losowej S:=

πR

2

.

34)

Wyznaczy rozkład zmiennych losowych Y=2X

3

, S=e

X

, gdy X ma rozkład o g sto ci:

≤

≤

−

=

wpp

0

1

x

0

)

x

1

(

x

12

)

x

(

f

2

35)

Zmienna losowa posiada rozkład równomierny na odcinku [0,1]. Wyznaczy rozkład zmiennej losowej Y, gdy:

a)

Y = -ln(1-X)

b)

Y = -lnX

Wyznaczy g sto ci zmiennych losowych Y. Jaki rozkład ma zmienna losowa Y w podpunkcie a) ?

36)

Wyznaczy warto przeci tn i wariancj zmiennej losowej a) U

1

=2X+1; b) U

2

=X

2

; c) U

3

=-X

2

+2; je eli E(X)=2,

D

2

(X)=1, E(X

4

)=34.

37)

Wyznaczy a) warto przeci tn i wariancj zmiennej losowej U

1

=3X-2Y; b) warto przeci tn zmiennej losowej

U

2

=X

2

-Y

2

, je eli zmienne losowe X i Y s niezale ne oraz E(X)=-3, E(Y)=4, D

2

(X)=0,5, D

2

(Y)=2.

38)

Wyznaczy funkcj prawdopodobie stwa skokowej zmiennej losowej X maj cej tylko dwa punkty skokowe x

1

i x

2

,

je li: x

1

< x

2

, p

1

= P(X=x

1

) = 0,2, E(X)=3, D

2

(X)=4.

39)

Bezpo rednim rachunkiem sprawdzi , e suma dwóch niezale nych zmiennych losowych o rozkładach Poissona

odpowiednio z parametrami

2

1

,

λ

λ

ma równie rozkład Poissona z parametrem

2

1

λ

+

λ

=

λ

.

40)

Rozkład liczby reszt zapomnianych przez klientów w pewnym sklepie w ci gu tygodnia ma rozkład Poissona o warto ci

oczekiwanej równej 1,8. Obliczy prawdopodobie stwo, ze liczba reszt zapomnianych w ci gu tygodnia jest nie wi ksza
ni 3.

41)

Liczba samochodów przeje d aj cych w ci gu minuty obok pewnego punktu obserwacyjnego, ma rozkład Poissona, dla

którego

λ oszacowano na poziomie 0,6. Znale prawdopodobie stwo, e w ci gu minuty przejedzie obok punktu

najwy ej jeden samochód.

42)

Na pewnym osiedlu mieszkaniowym wylosowano niezale nie 400 mieszka i otrzymano nast puj ce dane dotycz ce

liczby izb w mieszkaniu:

Liczba izb w mieszkaniu

1

2

3

4

5

6

Liczba mieszka

30

150

120

50

40

10

Przy zało eniu, e rozkład liczby izb w mieszkaniu jest rozkładem Poissona wyznaczy oraz przedstawi graficznie
liczebno ci teoretyczne na tle liczebno ci empirycznych rozkładu liczb izb. Potrzebny parametr rozkładu Poissona przyj
na poziomie warto ci parametru z próby.

43)

Z pewnego przystanku autobusy odje d aj co 10 minut. Zakładamy, e rozkład czasu przybycia pasa era na przystanek

jest jednostajny. Obliczy prawdopodobie stwo, e pasa er b dzie czekał co najmniej 4 minuty.

44)

Poci gi kolejki elektrycznej odje d aj ze stacji co 5 minut. Zakładaj c, e rozkład czasu przybycia pasa era na stacj jest

jednostajny, obliczy warto przeci tn i wariancj czasu oczekiwania na poci g.

45)

Zapałk o długo ci 5 cm złamano w dowolnym punkcie. Zakładaj c, e rozkład prawdopodobie stwa długo ci krótszej

zapałki jest jednostajny, obliczy prawdopodobie stwo, e długo krótszej cz ci zapałki nie przekracza 0,5 cm.

46)

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale

)

1

,

1

(

−

. Wyznaczy g sto zmiennej

X

Y

=

.

47)

Czas bezawaryjnej pracy X agregatów spalinowo–elektrycznych w ustalonych warunkach ma rozkład wykładniczy z

parametrem

10

=

λ

. Obliczy redni czas bezawaryjnej pracy agregatów oraz wyznaczy g sto zmiennej losowej

EX

X

Y

−

=

.

48)

Dystrybuanta F pewnej zmiennej losowej X jest funkcj ci gł dla

R

x

∈ . Czy st d wynika, e jej g sto f jest równie

funkcj ci gł ? W przypadku odpowiedzi pozytywnej przeprowadzi dowód, w przypadku negatywnej poda
kontrprzykład.

49)

Niech zmienna losowa X ma rozkład N(1,5; 2).

Obliczy prawdopodobie stwa: P({X<2,5}), P({X>-0,5}), P(0,5<X<2), P( 2X-1 <1), P( X >0,5).

50)

Niech X

∈N(1,1). Wyznaczy :

a)

P({X(1-X) > 0})

b)

P({X(1-X) < 0})

c)

P({X

3

– X < 0})

51)

Wytrzymało stalowych lin pochodz cych z produkcji masowej jest zmienn losow o rozkładzie

N(1000 kg/cm

2

, 50 kg/cm

2

). Obliczy jaki procent lin ma wytrzymało mniejsz od 900 kg/cm

2

.

52)

Pewien automat produkuje cz ci, których długo jest zmienn losow o rozkładzie N(2; 0,2) (w cm). Wyznaczy

prawdopodobie stwo otrzymania braku, je li dopuszczalne długo ci cz ci powinny zawiera si w przedziale (1,7; 2,3).

53)

Warto oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym s odpowiednio równe 15 i 5.

Znale prawdopodobie stwo, e X przyjmie warto :
a)

mniejsz ni 12;

b)

wi ksz ni 14;

c)

nale c do przedziału (12,14);

d)

ró n od warto ci przeci tnej nie wi cej ni o 3.

54)

Wytrzymało pewnego materiału budowlanego (w N/cm

2

) jest zmienn losow o rozkładzie normalnym N(20,8; 0,4).

Jakie jest prawdopodobie stwo, e wytrzymało materiału budowlanego:
a)

przekroczy 22 N/cm

2

?

b)

nie jest wi ksza ni norma techniczna wynosz ca 20 N/cm

2

?