1

SIŁY WEWNĘTRZNE W ŻELBETOWYCH ELEMENTACH PRĘTOWYCH -

FAZY - PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI

Zwykle 

siły przekrojowe 

(momenty zginające, siły podłużne, poprzeczne) 

w  konstrukcjach żelbetowych oblicza się metodami mechaniki, zakładając, że 
materiał jest jednorodny i sprężysty. Schematy statyczne:  

ustroje prętowe, płyty, 

tarcze, powłoki cienkościenne

. 

Do wymiarowania, tzn. wyznaczania ilości zbrojenia lub sprawdzania nośności 
przekrojów, stosuje się 

teorię prętów żelbetowych

.

Niektóre elementy żelbetowe rzeczywiście mają kształty pozwalające uznać je za 

pręty

.

1. Uwagi wstępne

2

W konstrukcjach złożonych z płyt, tarcz i powłok teorię wymiarowania ustrojów 
prętowych stosuje się do prętów 

myślowo wydzielonych 

z tych elementów 

konstrukcji. Podstawowe zagadnienia to 

wymiarowanie przekrojów 

(mimośrodowo) 

ściskanych (podłużna siła ściskająca i moment zginający), (mimośrodowo) 
rozciąganych (podłużna siła rozciągająca i moment zginający) oraz zginanych 
(wyłącznie moment zginający). 

Zginanie belki i mimośrodowe ściskanie słupów

Osiowe rozciąganie 

3

2. Fazowy charakter teorii żelbetu

Jeżeli element 

nie jest zarysowany 

(naprężenia rozciągające w betonie są na tyle małe, że 

nie powstają rysy), to mówi się, że element znajduje się w 

fazie I 

(State I). 

Jeżeli element (odcinek, przekrój) 

jest zarysowany 

(a nie wystąpiło wyczerpanie 

nośności), to znajduje się on w 

fazie II 

(State II). 

Jeżeli w elemencie (odcinku, przekroju) osiągnięto 

graniczną nośność 

(siły przekrojowe 

osiągnęły wartości, których nie da się przekroczyć), to mówi się, że wystąpiła 

faza III

. 

s

s

c

c

A

A

N

σ

σ

+

=

s

s

A

N

σ

=

3. Osiowe 
rozciąganie

σ

s

σ

s

σ

c

N < N

cr

Faza I

⇒

=

=

=

s

s

s

c

c

c

E

E

σ

ε

σ

ε

c

e

s

σ

α

σ

=

c

s

e

E

E

=

α

Faza  II

Faza III

N > N

cr

y

s

s

f

A

N

<

=

σ

y

s

f

=

σ

4

4. Fazy przy zginaniu

M 

≤

M

cr

M > M

cr

Faza Ia

Ib

IIa

IIb

III

M

cr

Założenia: Zakłada się, że słuszna 
jest 

hipoteza płaskich przekrojów 

(hipoteza Bernoulliego). Ponadto 
przyjmuje się, że w fazach I a i IIa  
beton i stal są materiałami 

sprężystymi

.

Wykresy naprężeń 
w fazach I, II i III

Fazy Ia, IIa i III jako podstawa teorii stosowanej w projektowaniu

Na ogół do obliczania zbrojenia elementów żelbetowych stosuje się teorię 

fazy III 

–

wyznacza się zbrojenie, które zapewnia wystarczającą nośność.

5

Teorię fazy I a stosuje się do sprawdzania naprężeń i obliczania ugięć w 

elementach sprężonych 

oraz do sprawdzania naprężeń w niektórych konstrukcjach 

niesprężonych (np. w  kominach i w konstrukcjach obciążonych dynamicznie). 

Teorię fazy II a stosuje się do obliczania 

szerokości rys i ugięć

w elementach 

żelbetowych (na ogół rozpatruje się je jako zarysowane) oraz do sprawdzania 
naprężeń w niektórych konstrukcjach (np. w  kominach i konstrukcjach obciążonych 
dynamicznie). 

5. Moment M

s1 

i podstawowe zależności 

Siły przekrojowe można przedstawić w postaci pary (N, M), w której M oznacza 
zwykle moment zginający względem środka ciężkości przekroju betonu, albo w 
innej równoważnej postaci, np. jako siłę N działającą mimośrodowo. 

6

Rozpatrując przekroje obciążone siłą 
podłużną i momentem zginającym można 
zastąpić układ (N, M) siłą podłużną i jej 
mimośrodem względem środka przekroju 
albo względem zbrojenia rozciąganego.

Jeżeli 

mimośród

siły jest wystarczająco duży, to przy ściskaniu oprócz 

strefy ściskanej 

powstaje także 

strefa rozciągana

, a przy rozciąganiu poza strefą rozciąganą powstaje 

także strefa ściskana

v

N

M

N

N

=

a)

b)

c)

=

v

N

M

e

s

+

=

1

N

M

e =

σ

s1

A

s1

z

a)

b)

σ

s1

A

s1

e

s1

z

N

N

e

s1

σ

s1

A

s1

z

c)

C

C

C

Siła w zbrojeniu rozciąganym σ

s1

A

s1

– ilustracja prostych zależności: a) przy 

zginaniu, b) przy mimośrodowym ściskaniu, c) przy mimośrodowym rozciąganiu 
- rozpatrując rozciąganie siłę N rysuje się poniżej osi elementu, trzymając się 
zasady, że rozciągane zbrojenie umieszcza się u dołu rysunku. 

7

σ

s1

A

s1

z

a)

b)

σ

s1

A

s1

e

s1

z

N

N

e

s1

σ

s1

A

s1

z

c)

C

C

C

Siły przekrojowe reprezentowane „globalnie” przez  M, N  lub N i mimośród są 
równe tym samym siłom reprezentowanym „szczegółowo” przez 

naprężenia

w 

betonie i siły w zbrojeniu. 

Siła w zbrojeniu 

rozciąganym σ

s1

A

s1

i 

suma C sił 

ściskających

w betonie i w zbrojeniu ściskanym są w równe sile N. Przyjmując, 

że siły ściskające w betonie i naprężenia rozciągające w zbrojeniu A

s1

są 

dodatnie (czyli dodatnie są siły zgodne ze strzałkami na rysunku), otrzymuje się 

1

1

s

s

A

C

N

σ

−

=

1

1

s

s

A

N

C

σ

+

=

Odległość z między siłą w zbrojeniu i siłą C nazywa się 

ramieniem sił 

wewnętrznych

(

decydujący wpływ na nośność

). Moment zginający 

obliczony względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A

s1 

oznacza 

się przez M

s1

8

1

s

M

z

C =

(

)

1

1

1

s

s

s

M

z

A

N

=

+

σ

N

z

M

A

s

s

s

−

=

1

1

1

σ

Ważne proste zależności:

a zatem

Uwaga: W powyższych wzorach przy rozciąganiu siła N jest ujemna.

σ

s1

A

s1

z

a)

b)

σ

s1

A

s1

e

s1

z

N

N

e

s1

σ

s1

A

s1

z

c)

C

C

C

Przy czystym zginaniu (N = 0) moment względem każdego punktu przekroju jest równy M

z

M

A

s

s

=

1

1

σ

Powyższe wzory mogą być zastosowane do prostego 

oszacowania

siły w zbrojeniu rozciąganym. 

Ramię sił wewnętrznych w elementach zginanych wynosi zwykle od 80 do 90% wysokości 
użytecznej przekroju d (tzn. odległości od skrajnych włókien ściskanych do zbrojenia rozciąganego). 
Na tej podstawie można z niezłym przybliżeniem obliczyć naprężenia w zbrojeniu (gdy dane jest 
pole przekroju A

s1

) lub wyznaczyć niezbędne zbrojenie, przy założeniu, że naprężenie w stali jest 

równe obliczeniowej granicy plastyczności.