Zadania do kolokwium 2 z zakresu: pochodna cz

ι

astkowa (energ.11,A.Lenarcik)

funkcje wielu zmiennych

1. Okre´

sl i naszkicuj dziedzin

ι

e podanej funkcji dwu zmiennych.

a) f (x, y) = ln(1 − x

2

+ y

2

),

b) f (x, y) =

1

1−log

3

(x

2

+y

2

−1)

,

c) f (x, y) =

p

144 − 16x

2

− 9y

2

,

d) f (x, y) =

√

1−x

2

−y

2

x

2

+y

2

.

3. Naszkicuj wykresy przestrzenne podanych funkcji:
a) z =

p

4 − x

2

− y

2

,

b) z = −

p

4 − x

2

− y

2

,

c) z = 4 − x

2

− y

2

,

d) z = −

p

4 − x

2

− y

2

,

e) z = x

2

+ y

2

,

f) z =

√

4 − x

2

,

g) z =

p

4 − y

2

,

h) z = 1 − x − y.

4. Naszkicuj powierzchnie opisane r´

ownaniami:

a) x

2

+ y

2

+ z

2

− 1 = 0,

b) x

2

+ y

2

− z

2

− 1 = 0,

c) x

2

+ y

2

− z

2

+ 1 = 0,

d) x

2

+ y

2

− z

2

= 0,

e) x

2

+ y

2

− 1 = 0,

f) x

2

− y

2

− 1 = 0,

g) x

2

+ y

2

− z = 0,

h) x

2

− y

2

− z = 0,

i) x

2

− 1 = 0.

pochodne cz

ι

astkowe

6. Korzystaj

ι

ac z definicji:

∂f

∂x

(x

0

, y

0

) = lim

∆x→0

f (x

0

+ ∆x, y

0

) − f (x

0

, y

0

)

∆x

oraz

∂f

∂y

(x

0

, y

0

) = lim

∆y→0

f (x

0

, y

0

+ ∆y) − f (x

0

, y

0

)

∆y

oblicz pochodne cz

ι

astkowe nast

ι

epuj

ι

acych funkcji:

a) f (x, y) = xy

2

w punkcie x

0

= 2, y

0

= 1,

b) f (x, y) = x

2

y w punkcie x

0

, y

0

,

c) f (x, y) =

2

x+xy

w punkcie x

0

, y

0

,

d) f (x, y) =

√

1 + y + xy w punkcie x

0

, y

0

.

7. Oblicz pochodn

ι

a φ

0

(x) funkcji φ(x)

a) φ(x) = f (g(x))h(x),

b) φ(x) = f (g(x)h(x)),

c) φ(x) = f (x)g(x)h(x),

d) φ(x) =

f (g(x))

h(x)

,

e) φ(x) = f (g(h(x))),

f) φ(x) = f (

g(x)
h(x)

).

8. Oblicz pochodne cz

ι

astkowe

∂f
∂x

i

∂f
∂y

funkcji f (x, y):

a) f (x, y) = x

y

,

b) f (x, y) =

p

x

2

+ y

3

+ xy

2

+ x,

c) f (x, y) = x sin(xy),

d) f (x, y) =

3x

(x−2y)

2

,

e) f (x, y) =

√

x sin y + y cos x,

f) f (x, y) =

x

2

y

1+x

ln

y

,

g) f (x, y) =

x

√

x

2

+y

2

,

h) f (x, y) = xtg(xy) + yctg(xy

2

).

9. Oblicz:
a)

dφ

dt

gdy φ(t) = F (f (t), g(t)) i F = F (x, y),

b)

∂φ
∂x

i

∂φ
∂y

gdy φ(x, y) = F (f (x, y), g(x, y)) i F = F (u, v),

c)

df

dx

gdy f (x) = F (x, g(x)) i F = F (x, y),

d)

df

dx

gdy f (x) = g(x)F (x, h(x)) i F = F (x, y),

e)

d

2

φ

dt

2

gdy φ(t) = F (f (t), g(t)) i F = F (x, y),

10. Wyznacz r´

ownanie p laszczyzny stycznej do funkcji z = f (x, y) nad punktem (x

0

, y

0

):

a) f (x, y) =

p

49 − x

2

− y

2

, x

0

= 2, y

0

= 3,

b) f (x, y) = yarctg(x

2

y), x

0

= 1, y

0

= 1,

c) f (x, y) = 2y + ln(xy

2

− 3x), x

0

= 1, y

0

= 2.

R´

ownanie p laszczyzny podaj w postaci z = ax + by + c.

11. (Przypomnienie przybli˙ze´

n dla funkcji jednej zmiennej) Wyznacz przybli˙zenie Taylora wskazanego rzedu dla funkcji

y = f (x) w punkcie x = x

0

:

a) f (x) =

1

(1−x)

2

, x

0

= 0, rz

ι

ad= 3,

b) f (x) =

1

√

x

3

, x

0

= 1, rz

ι

ad= 3,

c) f (x) = lnx, x

0

= 1, rz

ι

ad= 3,

d) f (x) = tgx, x

0

= 0, rz

ι

ad= 3,

e) f (x) = e

x

, x

0

= 0, rz

ι

ad= 5,

f) f (x) = sin x, x

0

= 0, rz

ι

ad= 7,

g) f (x) = cos x, x

0

= 0, rz

ι

ad= 6.

W punktach b) i c) podaj posta´

c przyrostow

ι

a.

12. Wyznacz przybli˙zenie Taylora wskazanego rzedu dla funkcji z = f (x, y) w punkcie (x

0

, y

0

):

a) f (x, y) = xarcsin(x

2

+ xy), x

0

=

1
2

, y

0

=

1
2

, rz

ι

ad= 1,

b) f (x, y) = e

x+xy

, x

0

= 0, y

0

= 0, rz

ι

ad= 2,

c) f (x, y) = ln(x

2

− xy − 1), x

0

= 2, y

0

= 1, rz

ι

ad= 2.

Wynik podaj w postaci przyrostowej.

13. Wyznacz ekstrema funkcji z = f (x, y):
a) f (x, y) = x

2

+ xy + 3y

2

+ 11y + 5,

b) f (x, y) = x

3

− 3xy + 2y

2

− y,

c) f (x, y) =

1
3

x

3

+ xy

2

− 5y

2

− 169x.

gradient

15. Na podstawie wektora gradientu wyznacz prost

ι

a styczn

ι

a i prostopad l

ι

a do poziomicy f (x, y) = const w danym punkcie:

a) f (x, y) = x

2

− y

2

, P

0

= (4, 3),

b) f (x, y) = 4x

2

+ 9y

2

, P

0

= (−4, 2).

16. Na podstawie wektora gradientu wyznacz p laszczyzn

ι

e styczn

ι

a i prost

ι

a prostopad l

ι

a do poziomicy f (x, y, z) = const w

danym punkcie:
a) f (x, y) = x

2

+ y

2

+ z

2

, P

0

= (4, 3, −1),

b) f (x, y) = x

2

− xy + z

2

, P

0

= (−4, 1, 2).

R´

ownania r´

o ˙zniczkowe cz

ι

astkowe

21. Sprawd´

z, ˙ze funkcja u(t, x) =

1

√

2πt

e

−

x2

2t

spe lnia r´

ownanie dyfuzji (ciep la)

∂u

∂t

=

1
2

∂

2

u

∂x

2

.

22. Sprawd´

z, ˙ze funkcja u(t, x) = f (x − vt) + g(x + vt) spe lnia r´

ownanie falowe

∂

2

u

∂t

2

= v

2 ∂

2

u

∂x

2

dla dowolnych funkcji f i g.

23. Sprawd´

z, ˙ze funkcja u spe lnia r´

ownanie harmoniczne ∆u = 0:

a) u(x, y) = ln

p

x

2

+ y

2

,

b) u(x, y, z) =

1

√

x

2

+y

2

+z

2

.

Przez ∆u rozumiemy tzw. operator Laplace’a; ∆u =

∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂y

2

dla dw´

och zmiennych oraz ∆u =

∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂y

2

+

∂

2

u

∂z

2

dla trzech

zmiennych.

Funkcja uwik lana

24. Podaj przybli˙zenie Taylora drugiego rz

ι

edu w punkcie x = x

0

dla funkcji y = y(x) uwik lanej wzorem F (x, y(x)) = C

i takiej, ˙ze y(x

0

) = y

0

:

a) F (x, y) = y + cos y − x, x

0

= 1, y

0

= 0,

b) F (x, y) = y + lnx + lny − x

2

, x

0

= 1, y

0

= 1,

c) F (x, y) = y + e

y

− x − x

2

, x

0

= 1, y

0

= 0.

Wynik zapisz w postaci przyrostowej y(x

0

+ ∆x) ≈ y(x

0

) + y

0

(x

0

)∆x + . . .

25. Stosuj

ι

ac przybli˙zenie Taylora drugiego rz

ι

edu oblicz przybli˙zon

ι

a warto´

s´

c f (1.04), gdzie y = f (x) jest funkcj

ι

a uwik lan

ι

a

wzorem y

3

+ 3xy = C spe lniaj

ι

ac

ι

a warunek f (1) = 1.

Zastosowania pochodnych do konstrukcji przybli ˙ze´

n Taylora rozwi

ι

aza´

n r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych rz

ι

edu 1 i 2

28.

Znajd´

z przybli˙zenie Taylora rz

ι

edu 4 dla funkcji y(x) spe lniaj

ι

acej r´

ownanie r´

o˙zniczkowe z podanym warunkiem

pocz

ι

atkowym: a) y

0

= y + xe

y

, y(0) = 0,

b) y

0

= 2x + cos y, y(0) = 0,

c) y

0

= x

2

+ y

3

, y(1) = 1,

d) y

00

= y

02

+ xy,

y(0) = 4, y

0

(0) = −2.