Zakład Sensorów i Systemów Pomiarowych 

Instytut Metrologii i Systemów Pomiarowych 

Politechniki Warszawskiej

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

  

 
 
 
 

Laboratorium 

 

 

 

Podstaw Metrologii 

 
 

 

 
 
 

 

2 

Spis treści 
 

1. 

Harmonogram wykonywanych ćwiczeń laboratoryjnych 

2. 

Instrukcje wykonawcze do ćwiczeń 

a)  Ćwiczenie 1: Metody pomiarowe na przykładzie pomiarów masy 

b)  Ćwiczenie 2: Wyznaczanie właściwości metrologicznych wagi elektromechanicznej 

c)  Ćwiczenie 3: Eliminacja błędów dodatkowych przyrządu na przykładzie korektora 

wskazań gazomierza 

d)  Ćwiczenie 4: Wyznaczanie niepewności pomiarów pośrednich na przykładzie 

przepływomierza zwęŜkowego 

e)  Ćwiczenie 5: Wpływ temperatury na wskazanie manometrów i przetworników 

ciśnienia 

f)  Ćwiczenie 6: Metody dyfrakcyjne w pomiarach średnicy drutów 

3. 

Regulamin Laboratorium Podstaw Metrologii 

 

 

3 

 

Grupa 11 

 

 

Data 

22.11.07  29.11.07  6.12.07 

13.12.07  20.12.07  10.1.08  17.1.08 

Zespół 

 

 

1 

Ćwiczenie 

W 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

2 

Ćwiczenie 

W 

6 

5 

2 

1 

4 

3 

3 

Ćwiczenie 

W 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

4 

Ćwiczenie 

W 

2 

1 

4 

3 

6 

5 

 
 

Grupa 12 

 

 

Data 

23.11.07  30.11.07  7.12.07 

14.12.07  21.12.07  11.1.08  18.1.08 

Zespół 

 

 

1 

Ćwiczenie 

W 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

2 

Ćwiczenie 

W 

6 

5 

2 

1 

4 

3 

3 

Ćwiczenie 

W 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

4 

Ćwiczenie 

W 

2 

1 

4 

3 

6 

5 

 
 

Grupa 13 

 

 

Data 

20.11.07  27.11.07  4.12.07 

11.12.07  18.12.07  08.1.08  15.1.08 

Zespół 

 

 

1 

Ćwiczenie 

W 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

2 

Ćwiczenie 

W 

6 

5 

2 

1 

4 

3 

3 

Ćwiczenie 

W 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

4 

Ćwiczenie 

W 

2 

1 

4 

3 

6 

5 

 
 

Grupa 14 

 

 

Data 

22.11.07  29.11.07  6.12.07 

13.12.07  20.12.07  10.1.08  17.1.08 

Zespół 

 

 

1 

Ćwiczenie 

W 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

2 

Ćwiczenie 

W 

6 

5 

2 

1 

4 

3 

3 

Ćwiczenie 

W 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

4 

Ćwiczenie 

W 

2 

1 

4 

3 

6 

5 

 

 

4 

 

Grupa 15 

 

 

Data 

21.11.07  28.11.07  5.12.07 

12.12.07  19.12.07  9.1.08 

16.1.08 

Zespół 

 

 

1 

Ćwiczenie 

W 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

2 

Ćwiczenie 

W 

6 

5 

2 

1 

4 

3 

3 

Ćwiczenie 

W 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

4 

Ćwiczenie 

W 

2 

1 

4 

3 

6 

5 

 

Grupa 16 

 

 

Data 

21.11.07  28.11.07  5.12.07 

12.12.07  19.12.07  9.1.08 

16.1.08 

Zespół 

 

 

1 

Ćwiczenie 

W 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

2 

Ćwiczenie 

W 

6 

5 

2 

1 

4 

3 

3 

Ćwiczenie 

W 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

4 

Ćwiczenie 

W 

2 

1 

4 

3 

6 

5 

 

Grupa 17 

 

 

Data 

21.11.07  28.11.07  5.12.07 

12.12.07  19.12.07  9.1.08 

16.1.08 

Zespół 

 

 

1 

Ćwiczenie 

W 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

2 

Ćwiczenie 

W 

6 

5 

2 

1 

4 

3 

3 

Ćwiczenie 

W 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

4 

Ćwiczenie 

W 

2 

1 

4 

3 

6 

5 

 

Grupa 18 

 

 

Data 

21.11.07  28.11.07  5.12.07 

12.12.07  19.12.07  9.1.08 

16.1.08 

Zespół 

 

 

1 

Ćwiczenie 

W 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

2 

Ćwiczenie 

W 

6 

5 

2 

1 

4 

3 

3 

Ćwiczenie 

W 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

4 

Ćwiczenie 

W 

2 

1 

4 

3 

6 

5 

 

 
 
 
 

 

5 

Grupa 19 

 

 

Data 

22.11.07  29.11.07  6.12.07 

13.12.07  20.12.07  10.1.08  17.1.08 

Zespół 

 

 

1 

Ćwiczenie 

W 

5 

6 

1 

2 

3 

4 

2 

Ćwiczenie 

W 

6 

5 

2 

1 

4 

3 

3 

Ćwiczenie 

W 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

4 

Ćwiczenie 

W 

2 

1 

4 

3 

6 

5 

 
 
 
 

Wykaz 

ć

wicze

ń

 laboratoryjnych 

 

nr 

Tytuł 

prowadz

ą

cy 

sala 

1 

Metody pomiarowe na przykładzie 

pomiarów masy 

239 

2 

Wyznaczanie wła

ś

ciwo

ś

ci 

metrologicznych wagi 

elektromechanicznej 

Dr in

Ŝ

. 

Eugeniusz 

Sukiennik  

/ 

mgr in

Ŝ

.  

Jacek Salach 

239 

3 

Eliminacja bł

ę

dów dodatkowych 

przyrz

ą

du na przykładzie korektora 

wskaza

ń

 gazomierza 

33 

4 

Wyznaczanie niepewno

ś

ci pomiarów 

po

ś

rednich na przykładzie 

przepływomierza zw

ęŜ

kowego 

dr hab. in

Ŝ

. 

Mateusz 

Turkowski 

34 

5 

Wpływ temperatury na wskazanie 

manometrów i przetworników 

ci

ś

nienia 

237 

6 

Metody dyfrakcyjne w pomiarach 

ś

rednicy drutów 

mgr in

Ŝ

.  

Jacek Salach  

/  

mgr in

Ŝ

. Piotr 

Orzechowski 

226 

 

 

 

6 

Materiały do ćwiczeń laboratoryjnych 

 
 

 

7 

 

INSTYTUT METROLOGII I SYSTEMÓW POMIAROWYCH 

 

Politechniki Warszawskiej 

 
 
 
 
 

Laboratorium Podstaw Metrologii 

 
 

Semestr I 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ć

wiczenie nr 1 

 
 

Metody pomiarowe na przykładzie pomiarów masy 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Warszawa 

 

8 

Metody pomiarowe na przykładzie pomiarów masy 

 
Opracowanie: mgr inŜ. Tadeusz Czwal,  prof. Janusz Jankowski, dr inŜ. Roman Szewczyk 
 
1. Cel ćwiczenia 
Celem  ćwiczenia  jest  praktyczne  poznanie  metod  pomiarowych  na  przykładzie  metod 
stosowanych w pomiarach masy oraz ocena ich wad i zalet. 
 
 
2. Wprowadzenie 
 
Metodą  pomiarową  nazywamy  sposób  wykonania  pomiaru  uwzględniający  przede  wszystkim 
sposób  porównania  nieznanej  wartości  wielkości  mierzonej  (np.  masy)  ze  znaną  wartością 
wzorcową (np. odwaŜnikami) tej wielkości. 
 
Poszczególne  metody  pomiarowe  róŜnią  się  czynnościami  wykonywanymi  podczas  pomiaru  i 
algorytmem wyznaczania wyniku. 
 
Metody pomiarowe dzielimy na: 

• 

bezpośrednie,      

• 

pośrednie. 

 
Metoda  bezpośrednia  (bezpośredniego  porównania)  -  polega  na  zrównowaŜeniu  masy  ciała 
znaną masą odwaŜników. 
 
Metoda  pośrednia  -  polega  na  porównaniu  skutku  oddziaływania  masy  ciała  z  inną  znaną 
wielkością  (np.  siłą,  napięciem  lub  natęŜeniem  prądu,  kątem  obrotu,  przemieszczeniem 
liniowym). 
 
Stosowane w pomiarach masy metody pomiarowe zostaną kolejno omówione. 
 
Metoda  zerowa  -  polega  na  zrównowaŜeniu  masy  ciała  za  pomocą  odwaŜników,  aŜ  do 
doprowadzenia wskazówki wagi do zerowego połoŜenia równowagi. 
Przebieg waŜenia jest następujący: 

• 

wyzerowanie wagi nieobciąŜonej, 

• 

zrównowaŜenie masy ciała odpowiednią ilością odwaŜników, 

• 

odczytanie wyniku waŜenia 

 
Równanie waŜenia ma postać następującą: 

m

c 

g l

1

= m

o

 g l

2

 

 
gdzie:  m

c

  -  masa  waŜonego  ciała,  m

o

  -  masa  odwaŜników,  l

1

  i  1

2

  -  długości  ramion  dźwigni 

wagi. 
 
Stąd:   

 

 

m = m

0

 l

1 

/ l

2

 

 
PoniewaŜ waŜenie jest dokonywane na wadze równoramiennej, przyjmuje się Ŝe 1

1 

= 1

2   

(lub l

1

/l

2

 =1), a więc ostatecznie: 

 

m

c

 = m

0

 

 

9 

 
Wadą  tej  metody  jest  to,  Ŝe  nie  uwzględnia  się  błędu  nierównoramienności,  gdyŜ  w 
rzeczywistości zawsze występuje drobna róŜnica w długościach ramion i 1

1

/l

2

 

≠

 1. 

 
Metoda ta jest stosowana w przypadkach waŜeń na dźwigniowych wagach równoramiennych 
o mniejszych dokładnościach waŜenia (np. technicznych). 
 
Aby  uniknąć  błędu  nierównoramienności,  stosujemy  metodę  podstawienia  (tzw.  Bordy)  lub 
przestawienia  (tzw.  Gaussa).  Oczywiście,  obie  te  metody  moŜna  stosować  waŜąc  równieŜ  na 
dźwigniowych  wagach  równoramiennych,  ale  o  wyŜszych  dokładnościach  waŜenia  (np. 
analitycznych). 
 
Metoda  podstawienia  (Bordy)  zwana  równieŜ  metodą  tary  polega  na  uŜyciu  do  waŜenia 
jednego ramienia dźwigni wagi i wyeliminowania w ten sposób błędy nierównoramienności. 
 
Przebieg waŜeń jest następujący: 

• 

wyzerowanie wagi nieobciąŜonej, 

• 

nałoŜenie na szalkę waŜonego ciała i zrównowaŜenie go masą tary, 

• 

zdjęcie z szalki waŜonego ciała i zrównowaŜenie odwaŜnikami masy tary, 

• 

odczytanie wyniku waŜenia 

 
Układ waŜeń ma postać: 
 

m

T 

l

1

 g = m

c 

l

2

 g ⇒  m

c

 = m

T 

l

1

 / l

2

 

m

T 

l

1

 g = m

o 

l

2

 g ⇒  m

o

 = m

T 

l

1

 / l

2

 

 
stąd 
 
m

c

 = m

o

 

 
tj. masa ciała m

c

 jest równa masie odwaŜników m

o 

 
 

 

 
 
 
Metoda  przestawienia  (Gaussa) zwana równieŜ metodą zamiany obciąŜeń  polega na zwaŜeniu 
ciała na obu ramionach wagi i wyeliminowaniu w ten sposób błędu nierównoramienności. 
Przebieg waŜeń jest następujący: 
 

 

10 

• 

wyzerowanie wagi nieobciąŜonej, 

• 

nałoŜenie    na    szalkę    (np.  lewą)  waŜonego    ciała    i    zrównowaŜenie    go    masą 
odwaŜników m

01

, 

• 

przestawienie  waŜonego    ciała  na    szalkę    prawą  i    zrównowaŜenie    go    masą 
odwaŜników m

02

, 

• 

odczytanie i obliczenie wyniku pomiaru 

 
Układ waŜeń ma postać: 

 

m

c

 l

1

 g = m

0

 l

2

 g 

m

c

 l

2 

g = m

02

 l

1

 h 

 
Stąd: 

02

01

m

m

m

c

⋅

=

 

 
ZaleŜność  ta  nie  jest  dogodna  w  uŜyciu  i  w  praktyce  moŜna  się  posługiwać  zaleŜnością 
przybliŜoną (lecz dostatecznie dokładną) 
 

m

c 

= m

01

 + 

∆

m

0

 / 2 

 
gdzie 

∆

m

0

 = m

02

 –m

01

  - róŜnica mas obu waŜeń (

∆

m

0

 moŜe by dodatnie lub ujemne). 

 
Metoda  wychyłową  -  polega  na  wyznaczeniu  masy  ciała  na    podstawie  kąta  wychylenia 
wskazówki przyrządu analogowego: 
 
mc = f(

∆ϕ

) 

 
lub wskazania przyrządu cufrowego. 
 
Metoda ta jest stosowana w wagach uchylnych. Aby uzyskać poprawny wynik waŜenia, waga 
musi być uprzednio wywzorcowana w jednostkach masy. 
 
Metoda kompensacyjna - polega na skompensowaniu masy ciała tą samą lub inną wielkością 
tak, aby układ zerowy wskazywał ponownie zero. 
 
Metoda  ta  jest  stosowana  głównie  w  wagach  dźwigniowych  jednoramiennych  i 
elektronicznych  -  elektromagnetycznych,  w  których  masa  waŜona  jest  proporcjonalna  do 
prądu kompensacyjnego I płynącego przez cewkę 
 

m

c

 = k* I 

 
skąd 
 

m

0 

= I*k/g 

 
Aby uzyskać poprawny wynik waŜenia, waga musi być uprzednio wywzorcowana dla uzyskania 
zaleŜności pomiędzy wartością masy a prądem kompensacyjnym (i wyeliminowania g). 
 

 

11 

3. Opis stanowiska 
 
W skład stanowiska wchodzą: 

• 

dźwigniowa waga równoramienna z bezpośrednim odczytywaniem wskazań, 

• 

waga włącznikowo-uchylna z optycznym odczytywaniem wskazań, 

• 

waga elektroniczna pomostowa, 

• 

waga analityczna jednoramienna (tzw. dwunoŜowa), 

• 

komplet odwaŜników, 

• 

próbka do zwaŜenia. 

 
Waga dźwigniowa jest wagą techniczną o maksymalnym obciąŜeniu 500 g. Na wadze tej moŜna 
stosować bezpośrednie metody pomiarowe: 
 

• 

zerowa, 

• 

podstawienia (Bordy lub tary), 

• 

przestawienia (Gaussa lub zamiany obciąŜeń). 

 
Waga  włącznikowo-uchylna  jest  wagą  techniczną  o  maksymalnym  obciąŜeniu  160  g  z 
mechanizmem włącznikowym umoŜliwiającym  zdejmowanie odwaŜników włącznikowych o 
masie  150  g,  co  10  g.  Na  wadze  tej  moŜna  stosować  metodę  pomiarową  -  wychyłową,  w 
zakresie  waŜenia  do  10  g.  Przy  waŜeniu  większych  mas  stosujemy  odwaŜniki  włącznikowe, 
stanowiące integralną część wagi. 
 
Waga  elektroniczna  jest  wagą  techniczną  o  maksymalnym  obciąŜeniu  2000  g.  Na  wadze  tej 
moŜna waŜyć metodą kompensacyjną. 
 
Waga  analityczna  jest  wagą  włącznikowo-uchylna  wysokiej  dokładności  o  maksymalnym 
obciąŜeniu 200 g, słuŜącą do bezpośrednich pomiarów masy, a tylko w niewielkim stopniu (w 
zakresie 10 mg) - umoŜliwiająca waŜenie metodą wychyłową. 
 
 
4. Wykonanie ćwiczenia 
 
Dla  wykonania  ćwiczenia  naleŜy  zwaŜyć  tą  samą  próbkę  na  wszystkich  wagach,  stosując 
róŜne metody pomiarów.   
 
a) Dźwigniowa waga równoramienna 
 
Na  wadze  równoramiennej  naleŜy  zwaŜyć  próbkę  o  masie  mp  metodą  zerową  za  pomocą 
odwaŜników  o  masie  m

0

  i  metodą  podstawieniową  (tary)  dla  wyeliminowania  błędu 

nierównoramienności. 
 
Następnie naleŜy wyznaczyć błąd nierównoramienności 

∆

i i rozrzut wskazań wagi 

∆

w. 

 
WaŜenia przeprowadzamy zgodnie z podanymi tabelami 
 

 

12 

Metoda zerowa 

 

ObciąŜenie lewego 

ramienia dźwigni 

ObciąŜenie prawego 

ramienia dźwigni 

Wskazanie 

0 

m

0

 

0 

m

0

 

0 
0 

 

m

p

 = m

0

 = ....... g 

 

Metoda tary 

 

ObciąŜenie lewego 

ramienia dźwigni 

ObciąŜenie prawego 

ramienia dźwigni 

Wskazanie 

0 

m

T 

m

T

 

0 

m

p

 

m

0

 

0 
0 
0 

 

m

p

 = m

0

 = ....... g 

 
 
Błąd  nierównoramienności 

∆

i  moŜemy  wyznaczyć  stosując  np.  dwa  odwaŜniki  o  tej  samej 

masie  (tzw.  bliźniacze)  odpowiadające  maksymalnemu  obciąŜeniu  wagi.  W  przypadku  gdy 
nie  mamy  odwaŜników  bliźniaczych,  moŜemy  zastosować  metodę  przestawienia  (zamiany 
obciąŜeni Gaussa 
 
Błąd nierównoramienności 
 

ObciąŜenie lewego 

ramienia dźwigni 

ObciąŜenie prawego 

ramienia dźwigni 

Wskazanie 

0 

mB 

0 

m

B

 

±

 

∆

i 

0 
0 

 

∆

i =  ....... g 

 
 
Błąd nierównoramienności odnosimy do lewego ramienia dźwigni, tj. prawe ramię moŜe być 
dłuŜsze  lub  krótsze  od  lewego  (a  więc  dodatkową  masę 

∆

i  moŜemy  dołoŜyć  na  lewe  lub 

prawe ramię wagi). 
 
Dla  określenia  rozrzutu  wskazań  wagi 

∆

w  naleŜy  pięciokrotnie  zwaŜyć  tę  samą  próbkę. 

Rozrzut  wskazań 

∆

w  jest  równy  róŜnicy  między  maksymalnym  a  minimalnym  wynikiem 

pomiaru. 
 
Zakres  rozrzutu  wskazań 

∆

w  daje  nam  informację,  z  jaką  dokładnością  moŜemy  waŜyć  na 

wadze. 
 
 
b) Waga techniczna włącznikowo-uchylna z optycznym odczytywaniem wskazań 

 

13 

 
Na  wadze  naleŜy  zwaŜyć  próbkę  o  masie  m

p

  metodą  wychyłową  posługując  się  w  razie 

potrzeby  odwaŜnikami  włącznikowymi  dla  zrównowaŜenia  części  masy  próbki.  Całkowita 
masa  próbki  jest  suma  masy  odwaŜników  włącznikowych  i  wskazania  uchylnego  (układu 
optycznego). 
 
 

m

p

 = ........... g 

 
 
c) Waga elektroniczna 
Na wadze naleŜy zwaŜyć próbkę o masie m

p

 metodą kompensacyjną 

 

m

p

 = ........... g 

 
 
d) Waga analityczna 
Na  wadze  moŜna  zwaŜyć  próbki  o  masie  m

p

  równowaŜąc  jej  znaczną  część  masy 

odwaŜnikami włącznikowymi (metoda zerowa), a pozostałą (b. małą) wartość masy odczytać 
z układu uchylnego (optycznego) metodą wychyłową 
 

m

p

 = ........... g 

 
 
5) Opracowanie wyników pomiarów 
 
Wyniki pomiarów naleŜy opracować zgodnie z tabelkami, podając wyniki pomiarów masy próbek 
uzyskanych na: 

1.  wadze technicznej dźwigniowej (metodą zerową i tary), 
2.  wadze technicznej włącznikowo-uchylnej, 
3.  wadze analitycznej. 

 
NaleŜy  dokonać  analizy  uzyskanych  wyników  odnośnie  ich  dokładności.  Ponadto,  biorąc  pod 
uwagę  waŜenie  na  wadze  elektronicznej,  naleŜy  podać  wnioski  dotyczące  czasu  waŜenia 
poszczególnymi metodami, tj.; 

• 

zerową, 

• 

tary, 

• 

wychyłową, 

• 

kompensacyjną. 

 
5. Treść sprawozdania 
 
W sprawozdaniu naleŜy zamieścić: 

• 

wyniki waŜeń próbki poszczególnymi metodami, 

• 

wartość błędu nierównoramienności 

∆

i dźwigniowej wagi technicznej, 

• 

zakres rozrzutu wskazań 

∆

w dźwigniowej wagi technicznej 

• 

oraz przedstawić  wnioski  odnośnie  dokładności  pomiarów  poszczególnymi 
metodami i czasu waŜenia na poszczególnych wagach 

 

 

14 

Literatura 
 
Jankowski J.: Wagi i waŜenie wysokiej dokładności. WNT, Warszawa 1982 
Obalski J.: Podstawy metrologii. WPW, Warszawa 1970 
Piotrowski J.: Podstawy metrologii. PWN, Warszawa 1979 

 

 

15 

 
 

INSTYTUT METROLOGII I SYSTEMÓW POMIAROWYCH 

 

Politechniki Warszawskiej 

 
 
 
 
 

Laboratorium Podstaw Metrologii 

 
 

Semestr I 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ć

wiczenie nr 2 

 
 

Wyznaczanie właściwości metrologicznych wagi 

elektromechanicznej 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Warszawa 

 

16 

Wyznaczanie właściwości metrologicznych wagi elektromechanicznej 

 
Opracował: prof. Janusz Jankowski 
 
1. Cel ćwiczenia 
 
Celem  ćwiczenia  jest  zapoznanie  się  z  właściwościami  metrologicznymi  przyrządów 
pomiarowych  na  przykładzie  wagi  elektromechanicznej  oraz  wyznaczenie  właściwości 
metrologicznych wagi pomostowej. 
 
2. Wprowadzenie 
 
Waga  elektromechaniczna  (nazywana  potocznie  wagą  elektroniczną)  jest  wagą  której 
podstawowym  elementem  jest  elektromechaniczny  przetwornik  pomiarowy  (lub  zespół 
przetworników - zwykle 1 

÷

 6), słuŜący do przetworzenia wielkości mierzonej m (masy), na 

równowaŜny sygnał elektryczny V (napięcie). Analogowy sygnał wyjściowy po wzmocnieniu 
i  przetworzeniu  na  postać  cyfrową  (w  przetworniku  a/c)  jest  wyświetlany  na  mierniku  w 
jednostkach masy. 
 
Tor przetwarzania w wadze elektromechanicznej moŜna przedstawić następująco: 
 

 

 
Rys. 1. Tor przetwarzania w wadze elektromechanicznej 
 
Przy        duŜych        wymiarach        gabarytowych        pomostu        wagi        trzeba        uŜyć        kilku 
przetworników,  albo  teŜ  zastosować  pomocniczy  układ  dźwigniowy,  który  przekazuje 
zredukowaną  wartość  m  na  jeden  przetwornik  -  co  obniŜa  koszt  wykonania  wagi.  Tor 
przetwarzania będzie miał wtedy postać: 
 

 

 
Rys.  2.  Tor  przetwarzania  w  wadze  elektromechanicznej  hybrydowej  (z  pomocniczym 
układem dźwigni pomostowych o przełoŜeniu i) 
 
Stosowane przełoŜenia i mają zwykle wartości od 1:2 do 1:200. 
 
Wagi  elektromechaniczne  (elektroniczne)    pomostowe    budowane  są  w  róŜnych  odmianach 
jako wagi: 

• 

stołowe, 

• 

podłogowe, 

• 

samochodowe, 

 

17 

• 

kolejowe (wagonowe). 

 
o zróŜnicowanych obciąŜeniach, poczynając od 0 

÷

 3 kg (najmniejsze wagi stołowe), aŜ do 0 

÷

 120 t (wagi kolejowe). 

 
Do budowy wag pomostowych stosowane są zwykle przetworniki: 

• 

tensometryczne, 

• 

rezonansowe (z rezonatorem w postaci drgającej struny), 

• 

magnetospręŜyste (tzw. pressduktory). 

 
Najczęściej w wagach pomostowych stosowane są przetworniki tensometryczne. 
W  elemencie  spręŜystym  przetwornika  tensometrycznego,  w  zakresie  spręŜystości  materiału 
odkształcenie względne 

ε

 określa prawo Hooke'a: 

 

E

σ

ε

=

 

 
gdzie:  

σ

 - napręŜenie w materiale elementu spręŜystego, 

E - moduł spręŜystości wzdłuŜnej (moduł Younga). 
 
Wielkością  wyjściową  tensometru  jest  zmiana  jego  oporu  elektrycznego  R  (rezystancji) 
zgodnie z zaleŜnością: 

ε

⋅

=

∆

K

R

R

 

 
gdzie K - współczynnik czułości odkształceniowej (tzw. stała tensometru). 
 
Sygnał wyjściowy 

∆

V przetwornika tensometrycznego jest równy: 

 

ε

z

V

n

K

V

=

∆

 

 
gdzie:  n  =  2  w  układzie  pełnego  mostka,  lub  n=4  w  układzie  połowy  mostka,  V

z

  –  napięcie 

zasilania. 
 
Do właściwości metrologicznych naleŜy zaliczyć: 

• 

maksymalne obciąŜenie wagi m

max

, 

• 

minimalne obciąŜenie wagi m

min

, 

• 

 

wartość działki elementarnej d, 
 

• 

dokładność wagi,  

• 

czułość wagi,  

• 

próg pobudliwości wagi. 

 
NajwaŜniejsze definicje: 
 
m

max

  -  górna  granica  zakresu  pomiarowego  wagi.  odpowiadająca  największej  dopuszczalnej 

masie, którą moŜna zwaŜyć na wadze. 

 

18 

m

min

  -  dolna  granica  zakresu  pomiarowego  wagi,  odpowiadająca  najmniejszej  dopuszczalnej 

masie, która moŜe być zwaŜona na wadze. 
d - wartość wyraŜona w jednostkach masy, odpowiadająca działce elementarnej. 
 
Dokładność  wagi  -  właściwość  charakteryzująca  zdolność  wagi  do  wskazywania  wartości 
bliskich rzeczywistej wartości mierzonej masy. 
 
Czułość  wagi  -  właściwość  wyraŜająca  się  ilorazem  przyrostu  dl  obserwowanej  zmiennej 
przez odpowiedni przyrost dm waŜonej masy 
 

dm

dl

h

=

 

 
Czułość przetwornika -stosunek sygnału wyjściowego dy do wejściowego dx 
 

dx

dy

k

=

 

 
Próg pobudliwości wagi - najmniejsza masa wywołująca zauwaŜalną zmianę wskazań wagi. 
 
 
3. Opis stanowiska 
 
W skład stanowiska wchodzą: 
 

• 

pomostowa waga elektromechaniczna typu WEM50 III klasy dokładności, 

• 

zestaw odwaŜników kontrolnych do sprawdzania wag. 

 
Waga WEM50 jest pomostową wagą tensometryczną o maksymalnym obciąŜeniu m

max

 = 50 

kg. Minimalne obciąŜenie wagi m

min

 = 20 d. PoniewaŜ wartość  działki elementarnej d = 50 g, 

to Min = 1000 g,  t.j. 1 kg. 
 
Waga WEM50 jest wagą o konstrukcji hybrydowej, tj. ma podpomostowy układ dźwigniowy 
i jeden przetwornik tensomerryczny. 
 
Schemat ilustrujący budowę wagi jest pokazany na rysunku 3. 
 

 

 
Rys. 3. Schemat wagi WEM50 

 

19 

1 - pomost wagi, 2 - układ dźwigniowy, 3 - przetwornik tensometryczny (typu belka zginana), 
4 - miernik cyfrowy 
 
 
4. Wykonanie ćwiczenia 
 
Dla  określenia  właściwości  metrologicznych  wagi  WEM50.  zgodnie  z  punktem  2  naleŜy 
wyznaczyć: 

• 

dokładność wagi, 

• 

czułość wagi k i jej odwrotność d = l/k, tj. wartość działki elementarnej, 

• 

próg pobudliwości wagi. 

 
Dokładność wagi określimy wyznaczając: 

• 

błąd wskazania, 

• 

odchylenie standardowe. 

 
Sprawdzenie  dokładności  wagi  powinno  być  przeprowadzone  przy  uŜyciu  odwaŜników 
kontrolnych (tzw. do sprawdzania wag), w warunkach zbliŜonych do warunków odniesienia. 
Istotna jest zwłaszcza temperatura otoczenia, która powinna wynosić 20 ± 2

o

 C, a jej zmiana 

podczas sprawdzania nie powinna przekraczać l

o

C/h. Błąd wskazania naleŜy wyznaczyć w co 

najmniej 8 punktach pomiarowych, obejmujących cały zakres wskazań wagi, poczynając od 0 
aŜ  do  maksymalnego  obciąŜenia,  wykonując  kilka  serii  pomiarów  (np.  3)  przy  obciąŜeniu 
rosnącym i malejącym. 
 
Istotne  jest  sprawdzenie  wagi  przy  obciąŜeniu  równym  500  d,  przy  którym  zmieniają  się 
dopuszczalne błędy wskazań wagi. 
 
Odchylenie  standardowe  wyznaczamy  przez  wielokrotne  obciąŜenie  pomostu  wagi 
obciąŜeniami równymi 50 % i 100 % maksymalnego obciąŜenia wagi m

max

. 

 
Ilość  obciąŜeń  w  kaŜdym  punkcie  pomiarowym  nie  powinna  być  mniejsza  niŜ  10  (lecz  nie 
większa niŜ 30). 
 
Jako   wynik   sprawdzenia   wagi    naleŜy    sporządzić   protokół    pomiarów,    zgodnie z 
załączonym wzorem. 
 
Jako  błąd  wskazania  naleŜy  przyjąć  maksymalna  róŜnicę  odczytanych  wskazań  wagi  w

1

-w

6

 

oraz wartości obciąŜenia nominalnego w

c 

 

e 

w max

 = w

i

 - w

c

 

 
Zgodnie z obowiązującymi przepisami [2] GUM (Głównego Urzędu Miar), dla wag III klasy 
dokładności, dopuszczalny błąd graniczny wynosi: 
 
± 0,5 d - w zakresie obciąŜeń 500 d > Q > 0  
± 1 d - w zakresie obciąŜeń 500 d < Q < 2000 d 
 
Zgodnie  z  obowiązującymi  przepisami,  dopuszczalna  wartość  odchylenia  standardowego, 
będąca miarą rozrzutu wskazań moŜe wynosić: 
 

 

20 

s = 1/3 d 

 
a błąd graniczny wagi spowodowany rozrzutem wskazań wynosi 
 

e

gr

 = ±3s 

 
MoŜemy równieŜ określić zakres rozrzutu wskazań w zaleŜności 

 

W = W

max

 - W

min

 

 
tj. jako róŜnicę wskazań pomiędzy największym i najmniejszym spośród wskazań danej serii 
pomiarów. 
 
Czułość  wagi  k  naleŜy  wyznaczyć  w  kilku  punktach  zakresu  pomiarowego  wagi  (np.  przy 
obciąŜeniach  równych  0;  15;  30  i  45  kg)  nakładając  na  pomost  wagi  dodatkowe  obciąŜenie, 
aby uzyskać przyrost wskazania równy co najmniej kilkanaście działek elementarnych d. 
 
Czułość wagi k określamy jako liczbę działek na jednostkę masy. Na przykład przy zmianie 
obciąŜenia o 1 kg, zmiana wskazań wyniosła 20 działek, stąd: 
 

kg

d

k

20

1

20

=

=

 

 
a wartość działki elementarnej d: 
 

d

g

d

kg

k

d

50

05

,

0

20

1

1

=

=

=

=

 

 
Próg pobudliwości wyznaczamy przy tych samych obciąŜeniach jak czułość wagi. Zgodnie z 
przepisami,  stwierdzamy  jedynie  jego  zgodność  z  wymaganiami.  Przy  dodatkowym 
obciąŜeniu pomosty masą równa od 1 do 1,4 d (tj. od 50 g do 70 g) musi   nastąpić  zmiana   
wskazania    wagi  o    wartości  1  d,  tj.  o  wartość    działki  elementarnej.  Na  podstawie 
przeprowadzonych badań wagi moŜna stwierdzić, czy jej właściwości metrologiczne spełniają 
wymagania  przepisów  GUM  i  czy  waga  moŜe  zostać  zalegalizowana,  jako  waga  III  klasy 
dokładności. 
 
Uwaga:  dla  wag  będących  w  uŜytkowaniu,  dopuszczalne  błędy  są  dwukrotnie  większe  niŜ 
uprzednio podane, obowiązujące dla wag nowo wytwarzanych. 
 
5. Opracowanie wyników pomiarów 
 
Wyniki pomiarów naleŜy opracować zgodnie z protokółem pomiarów, podając: 
 

• 

błąd wskazania e

w

 

mux

, 

• 

odchylenie standardowe s. 

 

oraz  wyznaczoną  czułość  wagi  k  i  jej  odwrotność,  wartość  działki  elementarnej  d,  a  takŜe 
stwierdzony próg pobudliwości. 
 

 

21 

Na zakończenie naleŜy stwierdzić, czy waga spełnia wymagania przepisów: 
 
a)  dla wag nowowytwarzanych, 
b)  będących w uŜytkowaniu. 
 
6. Treść sprawozdania 
 
W  sprawozdaniu  naleŜy  zamieścić  protokół  sprawdzenia  wagi  oraz  pozostałe  wyniki  badań 
wagi, 

a takŜe wniosek dotyczący moŜności legalizacji wagi jako wagi  III klasy dokładności. 

Ponadto, naleŜy zamieścić tor przetwarzania badanej wagi. 
 
Literatura 
 
1.  Jankowski JA- Wagi i waŜenie w przemyśle i handlu. Warszawa. WNT. 1983 
2.  Kacprzak  K.:  Wagi.  Przepisy  i  komentarze.  Wydawnictwa  Normalizacyjne  „Alfa" 

Warszawa, 1986 

 

22 

 

 

 

 

23 

 

INSTYTUT METROLOGII I SYSTEMÓW POMIAROWYCH 

 

Politechniki Warszawskiej 

 
 
 
 
 

Laboratorium Podstaw Metrologii 

 
 

Semestr I 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ć

wiczenie nr 3 

 
 

Eliminacja błędów dodatkowych przyrządu na przykładzie 

korektora wskazań gazomierza 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Warszawa 

 

24 

Eliminacja błędów dodatkowych na przykładzie korektora wskazań gazomierza 

 
Opracował: dr hab. inŜ. Mateusz Turkowski 

 

1. 

Cel ćwiczenia 

 
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z układem do eliminacji błędów dodatkowych o znanym,  
dającym  się  opisać  matematycznie  charakterze.  Badany  układ  to  korektor  wskazań 
gazomierza  wyposaŜonego  w  wyjście  impulsowe,  będący  w  istocie  wyspecjalizowanym 
mikrokomputerem  wyposaŜonym  w  czujniki  i  przetworniki  pomiarowe.  W  trakcie  badań 
wykonujący ćwiczenie zapoznają się takŜe z metodyką sprawdzania przetworników ciśnienia 
i temperatury, będących elementami korektora. 

 

2. Wprowadzenie teoretyczne 
 

Do  pomiarów  rozliczeniowych  gazu  dostarczanego  duŜym  odbiorcom  stosuje  się  obecnie  z 
reguły  gazomierze, których sygnał wyjściowy ma charakter  częstotliwościowy. MoŜe to być  
częstotliwość  odrywania    się    wirów    od    odpowiednio  ukształtowanego  elementu,  prędkość 
obrotowa  turbiny  lub  rotorów  obracających  się  pod  wpływem  przepływającego  gazu, 
częstotliwość  drgań  oscylatora  mechanicznego  pobudzanego  do  drgań  przez  przepływający 
gaz itp. 
We  wszystkich  tych  przypadkach  łatwo  jest  uzyskać  ciąg  impulsów,  których  częstotliwość 
jest  proporcjonalna  do  strumienia  objętości,  a  kaŜdemu  impulsowi  moŜna  przypisać 
określoną,    elementarna  objętość.  Po  odpowiednim  przetworzeniu  moŜna  uzyskać  sygnał,  w 
którym  jednemu  impulsowi  będzie  odpowiadać  jednostka  objętości  lub  jej  dziesiętna  wielo- 
lub  podwielokrotność,  np.  1  m

3

,  1  dm

3

,  10  m

3

  ,  0.1  m

3

  itp.  W  przypadku  gazomierza 

turbinowego  czy  rotorowego  moŜna  to  uzyskać  dobierając  przełoŜenie  przekładni  zębatej 
miedzy  turbiną  (rotorami)  a  nadajnikiem  impulsów,  moŜna  teŜ  zbudować  dzielnik 
elektroniczny. 
Wskazania  większości  gazomierzy  dotyczą  jednak  zwykle  objętości  w  warunkach  pomiaru, 
zaleŜnej  od  wielkości  wpływających  -  ciśnienia  i  temperatury.  Gazomierz  wskaŜe  więc 
przykładowo tą samą wartość objętości po przepłynięciu jednego m

3

 zarówno przy ciśnieniu 

atmosferycznym  jak  i  przy    ciśnieniu  np.  50  bar,  podczas  gdy  w  rzeczywistości  ilość  gazu 
(jego masa lub objętość sprowadzona do warunków normalnych) w drugim przypadku będzie 
kilkadziesiąt  razy  większa.  Podobnie    będzie  przy  zmianach  temperatury.  Dlatego  teŜ 
podstawą rozliczeń między dostawcą  a odbiorcą  gazu jest objętość w metrach sześciennych, 
sprowadzona  do  warunków  normalnych  lub  innych  tzw.  warunkach  odniesienia,  czasem 
zwanych  warunkami  umownymi.  Są  to  warunki  przewidziane  dla  danego  przyrządu,  dla 
których przyrząd został skonstruowany, wywzorcowany, i w których występują jedynie tzw. 
błędy lub niepewności podstawowe. W gazownictwie w Polsce i w Unii Europejskiej przyjęto 
powszechnie  jako  normalne  następujące  warunki  (nie  zawsze  jako  warunki  odniesienia 
przyjmuje się warunki normalne): 

 

     - ciśnienie normalne p

n

  = 101.325 kPa 

     - temperatura normalna t

n

 = 0 

°

C lub T

n

  = 273.15 K    

 

W  innych  krajach  lub  w  innych  dziedzinach  nauki  i  techniki  moŜna  spotkać  się  jednak  z 
innymi definicjami warunkow normalnych. 
Związek miedzy objętością w warunkach pomiaru V a objętością  w warunkach normalnych 
V

n

  moŜna wyprowadzić z równania stanu gazu.  Ma on postać: 

 

)

1

(

 

25 

gdzie p - ciśnienie bezwzględne, T - temperatura bezwzględna,  Z - współczynnik ściśliwości. 
Brak indeksu oznacza rzeczywiste warunki pomiaru, indeks n - warunki normalne.  

Czasem  stosuje  się  pojęcie  względnego  współczynnika  ściśliwości  K=Z/Z

n

.  Wzór  (1) 

przybierze wówczas postać 

 

W  miejsce  temperatury  bezwzględnej  T  moŜna  podstawić  wartość  liczbowa  temperatury  w 
stopniach Celsjusza t plus 273.15, tj.  

 

    T = (t + 273.15) K 

 

Współczynnik  ściśliwości  uwzględnia  odchylenie  właściwości  gazu  rzeczywistego  od 
właściwości  gazu  doskonałego,  a  więc  m.  in.  skończony  (niezerowy)  wymiar  cząstek 
składników gazu. 
     Wzór (1) bywa przedstawiany w innej postaci: 
 
     V

n

 = CV,     gdzie 

Stała C  nazywana  jest  współczynnikiem  korekcyjnym.  Jeszcze dzisiaj często, zwłaszcza 

gdy  w  grę  wchodzą  małe  pobory  gazu  dla  odbiorców  indywidualnych  (mieszkania,  domy 
jednorodzinne)  przyjmuje  się  stałą  wartość  współczynnika  korekcyjnego,  opartą  na 
uśrednionych,  wartościach  odniesienia  (ciśnienia  i  temperatury).  Jeśli  więc  w  danej  chwili 
temperatura  czy  ciśnienie  nie  są  równe  umownym  wartościom  odniesienia,  mamy  do 
czynienia  z  błędami  dodatkowymi,  spowodowanymi  rozbieŜnością  między  warunkami 
odniesienia a rzeczywistymi warunkami pracy gazomierza. Nie pociąga to za sobą znacznych 
błędów,  gdyŜ  odbiorcy  ci  odbierają  gaz  pod  tzw.  niskim  ciśnieniem,  które  jest  relatywnie 
stabilne.  Sezonowe  wahania  temperatury  natomiast  uśredniają  się  w  dłuŜszym  okresie 
rozliczeniowym.  
Im  bardziej  jednak  warunki  rzeczywiste  pomiaru  (ciśnienie  i  temperatura)  będą  odbiegać  od 
przyjętych  warunków    odniesienia,    tym  bardziej  rzeczywisty  współczynnik  korekcyjny 
będzie się róŜnił od uśrednionego, przyjętego do  obliczeń. Towarzyszyć będzie temu wzrost 
błędu  dodatkowego,  spowodowanego  odchyleniami  warunków  rzeczywistych  od  przyjętych 
warunków odniesienia. 
Urynkowienie  i  wzrost  cen  gazu  spowodowały,  Ŝe  metoda  polegająca  na  przyjęciu  stałej 
wartości  współczynnika  korekcyjnego  jest  obecnie  zbyt  mało  dokładna,  zwłaszcza  w 
przypadku    duŜych  odbiorców  gazu,  gdy  nawet  niewielkie  błędy  wynikające  z  odchyleń  od 
przyjętych  warunków  odniesienia  powodują  straty  duŜych  kwot  dla  jednej  ze  stron  (i 
oczywiście  nieuzasadnione  zyski  drugiej  strony).  Dlatego  teŜ  obecnie  dla  odbiorców  tych 
zawsze  stosuje  się  automatyczną  korekcję  wpływu  rzeczywistych  warunków  pracy  i 
sprowadzanie  wskazań  gazomierza  do  warunków  normalnych  na  bieŜąco,  za  pomocą 
elektronicznego korektora. 

 

2.1 Budowa i działanie korektorów wskazań gazomierzy 
 
Budowę korektora wskazań gazomierzy przedstawiono schematycznie na rys. 1 i 2. Korektor 
otrzymuje trzy rodzaje informacji.  

TZ

p

Z

pT

V

V

n

n

n

n

=

TK

p

pT

V

V

n

n

n

=

)

2

(

TZ

p

Z

pT

C

n

n

n

=

)

3

(

 

26 

Pierwsza to impulsy z gazomierza, kaŜdemu z nich odpowiada "okrągła" wartość objętości, 

zwykle 0.1, 1 lub 10 m

3

.  

Kolejna  informacja  to  ciśnienie  gazu.  Ciśnienie  rurką  impulsowa  przekazywane  jest  z 
rurociągu  do  przetwornika  ciśnienia  (P/U)  zabudowanego  wewnątrz  obudowy  korektora. 
Przetwarza  on    ciśnienie  na  proporcjonalne  do  niego  napięcie.  Fizycznie  element  ten  to 
odpowiednio  ukształtowany  element  krzemowy  z  wdyfundowanymi  czujnikami  napręŜeń 
(tensometrami). 

 Informacja  o  temperaturze  jest  uzyskiwana  z  czujnika  temperatury  zamontowanego  w 

rurocią-gu.  W  tym  celu  stosuje  się  czujnik  półprzewodnikowy  lub  platynowy  czujnik 
rezystancyjny Pt 100, Pt500 lub Pt 1000 (o rezystancji odpowiednio 100 

Ω

,  500 

Ω

,  lub 1000 

Ω

,    przy  temperaturze  0 

°

C;  zmiany  rezystancji  są  informacją  o  zmianach  temperatury). 

Informacje  o  ciśnieniu  i  temperaturze  po  wzmocnieniu  i  przetworzeniu  zamieniane  są  na 
informacje w postaci cyfrowej za pomocą 

 

Rys. 1.Schemat blokowy jednego z rozwiązań korektorów 

 

 

27 

 

 

Rys. 2. Schemat blokowy układu pomiarowego korektora 

      
przetwornika analogowo – cyfrowego (posiada on niezaleŜne wejścia dla sygnału ciśnienia i 
temperatury).  
Przez większość czasu korektor znajduje się w stanie "uśpienia", dzięki czemu zuŜywa bardzo 
mało  energii,  moŜliwe  jest  więc  jego  zasilanie  bateryjne.  Dopiero  po  nadejściu  impulsu  z  
gazomierza  korektor  dokonuje  pomiaru  ciśnienia  i  temperatury  i  wykonuje  obliczenia 
współczynnika korekcyjnego 

C (wg wzoru 2), po czym zwiększa wskazanie licznika objętości 

niekorygowanej  

V  o  odpowiednią  wartość (zaleŜnie od wagi impulsu z gazomierza, np. 0.1 

m

3

), a wskazanie licznika objętości w warunkach normalnych 

V

n

  - o  tą  wartość pomnoŜoną 

przez obliczony współczynnik korekcyjny 

C. 

     Korektor  moŜe  być  wyposaŜony  w  szereg  wyjść,  np.  wyjście  impulsowe  do  sterowania 
licznika  zewnętrznego,  alarmy  przekroczenia  dopuszczalnych  ciśnień,  temperatur  czy 
przepływów,  interfejs do komunikacji z komputerem (np. RS232, USB) itp. 

 

2.2. Wyznaczanie współczynnika ściśliwości 
 
     Z  punktu  widzenia  cyklu  obliczeniowego  najtrudniejsze  jest  wyznaczenie  współczynnika 
ś

ciśliwości.  Istnieją  co  prawda  obszerne  wyniki  badań  współczynnika  ściśliwości  w  funkcji  

ciśnienia  i  temperatury  dla  gazów  o  róŜnym  składzie  i  wydawałoby  się  najprostsze 
wprowadzenie  ich  do  pamięci  korektora  w  postaci  tablicy.  Byłaby  ona  jednak  prawdziwa 
tylko dla jednego gazu o  określonym składzie. Skład ten, np. dla gazu ziemnego zaleŜy silnie 
od źródła gazu, moŜe teŜ zmieniać się w funkcji czasu.  

DuŜą  trudność  powoduje  fakt,  Ŝe  conajmniej  kilkanaście  składników  gazu  ziemnego  lub 

produkowanego  z  węgla  wpływa  na  współczynnik  ściśliwości  (CH

4

  i  wyŜsze  węglowodory, 

CO, CO

2

 , N

2

, H

2

 itp.). 

     Istnieje  wiele procedur obliczeniowych dla wyznaczenia współczynnika ściśliwości gazu. 
Podstawą  ich  stosowania  jest  znajomość  zawartości  metanu,  azotu  i  dwutlenku  węgla  oraz 
gęstości    gazu.  Niektóre  procedury  uwzględniają  jeszcze  ciepło  spalania.  UmoŜliwia  to 
uwzględnienie  wpływu  wyŜszych niŜ metan węglowodorów na współczynnik ściśliwości,  a 
wyniki są dokładniejsze. 
     MoŜna wykazać, Ŝe dla ciśnień do 200 kPa przyjęcie współczynników ściśliwości 

Z = Z

n

 

=  1  daje  pomijalne  błędy  (pomijalne  w  porównaniu  z  błędami  samego  gazomierza).  Dla 
ciśnień  w    zakresie  do  kilkuset  kPa,  zwłaszcza  gdy  ciśnienie  nie  zmienia  się  w  szerokich 

 

28 

granicach,  moŜna  przyjąć  stosunek 

Z/Z

n

  jako  wartość  stałą  (trzeba  ją  wówczas  wyliczyć  dla 

ś

redniego ciśnienia i średniej temperatury gazu). 

     Dla  ciśnień  wysokich  wartość 

Z  odbiega  jednak  znacznie  od  jedności,  np.  dla  gazu  

wysokometanowego dla ciśnienia 6 MPa i temperatury 0 

°

C wynosi ona  ok.  0.86 (tak więc 

przyjęcie wartości 

Z = 1 spowodowałoby błąd rzędu 14 %) i silnie zmienia się z ciśnieniem i 

temperaturą. 
     W  Europie  do  obliczeń  współczynnika  ściśliwości  stosuje  się  obecnie  procedurę  SGERG 
(Groupe  Européen  des  Récherches  Gasieres),  natomiast  w  USA  i  Kanadzie  procedurę  AGA 
NX 19 (AGA - American Gas Association). 

 

3. Opis stanowiska 
 

W  celu  wykonania  badań  czujnik  ciśnienia  korektora  został  podłączony  do  manometru 

obciąŜnikowo  –  tłokowego,  umoŜliwiającego  zadawanie  z  wysoką  dokładnością  wartości 
ciśnień    zgodnie  z  definicją  ciśnienia  za  pomocą  tłoka  o  znanej  powierzchni  obciąŜonego 
obciąŜnikami o znanej masie (tzw. podstawowa lub bezwzględna metoda pomiarowa).  
     Czujnik  temperatury  umieszcza  się  w  termostacie,  który  umoŜliwia  zadawanie  i  pomiar 
określonych wartości temperatury. 

 

4. Wykonanie ćwiczenia 
 

Badanie polega na zadaniu przy stałym ciśnieniu 6 wartości temperatury, a następnie przy  

stałej    temperaturze  -  6  wartości  ciśnienia  w  cyklu  rosnącym  i  6  -  przy  zmniejszaniu  jego 
wartości  (w ten sposób moŜna wychwycić zjawisko histerezy). 
     Dla kaŜdego zestawu wartości ciśnienia i temperatury naleŜy odczytać wartość ciśnienia i 
temperatury  zmierzoną  przez  korektor  oraz  wyliczony  przez  korektor  współczynnik 
korekcyjny. 
Wielkości  te moŜna wywołać na wyświetlacz w zaleŜności od budowy korektora  wciskając 
kolejno  przycisk  "display"  lub  z  klawiatury,  zwykle  moŜna  teŜ  odczytać  wszystkie  istotne 
informacje za pomocą komputera przy zastosowaniu odpowiedniego interfejsu. 
     Ostatnia  czynność  to  sprawdzenie  poprawności  zliczania  objętości  przez  korektor.  Po 
zadaniu  wybranych, średnich wartości ciśnienia i temperatury naleŜy zadać określoną liczbę 
impulsów  (z  generatora  impulsów  lub  wymuszając  przepływ  przez  podłączony  do  korektora 
gazomierz).  NaleŜy dokonać odczytu stanu liczników objętości nieskorygowanej i objętości 
sprowadzonej do warunków normalnych przed i po zadaniu impulsów.  

 

5. Opracowanie wyników pomiarów 
 

W  trakcie  ćwiczenia  wykonuje  sie  jedynie  badania  podstawowe,  takie  jak  podczas 

rutynowego  sprawdzania  kaŜdego  korektora  w  trakcie  produkcji.  Badania  pełne  obejmują 
dodatkowo  badania  klimatyczne,  odporności  mechanicznej  (drgania,  udary)  odporności  na 
róŜnego  rodzaju  naraŜenia  elektryczne,  elektromagnetyczne  i  wyładowania  elektrostatyczne 
(kompatybilność elektromagnetyczna).  
     Dla  zadawanych  w  trakcie  ćwiczenia  wartości    ciśnień    i    temperatur  naleŜy  obliczyć 
wartość  poprawną  współczynnika  korekcyjnego 

C

p

  wg  wzoru  (3).  NaleŜy  skorzystać  z 

odpowiedniego    programu    komputerowego  do  wyznaczenia  poprawnej  wartości 
współczynnika  ściśliwości  wg  tej  samej  procedury,  na  której  bazuje  korektor  (informacja  o 
procedurze podana jest na tabliczce znamionowej korektora). 
     Następnie  naleŜy obliczyć błąd wyznaczenia współczynnika korekcyjnego przez korektor 
z wzoru 

)

4

(

 

29 

gdzie 

C  -  współczynnik  korekcyjny  wyznaczony  przez  korektor.  Wyniki  obliczeń  zamieścić 

w protokółach pomiaru. 
     Poprawność  zliczania  objętości  moŜna  sprawdzić  porównując  przyrost  wskazań  licznika 
objętości  niekorygowanej 

∆

V  z  przyrostem  wskazań  licznika  objętości  sprowadzonej  do 

warunków  normalnych 

∆

V

n

.  Błąd wyznacza się z wzoru 

 

 

6. Treść sprawozdania 
 
W sprawozdaniu naleŜy podać: 
   - schemat stanowiska 
   - protokóły pomiarów z wynikami obliczeń 

- wnioski 

     We wnioskach uwzględnić,  Ŝe  zgodnie  z  wymaganiami  przepisów metrologicznych: 

- 

całkowity  błąd  korekcji (czyli wyznaczenia współczynnika korekcyjnego) nie  
powinien  przekraczać 0.5%, 

- 

temperatury nie powinien przekraczać 0.1%, 

 

- 

maksymalny błąd pomiaru ciśnienia nie powinien przekraczać 0.2%. 

 

Literatura: 
[1] Turkowski M.: Przemysłowe sensory i przetworniki pomiarowe, OWPW, Warszawa, 
2000 (wyd. 1) lub wyd. II - 2002  

 

 

(%)

100

⋅

−

=

p

p

C

C

C

C

e

(%)

100

,

⋅

∆

∆

−

∆

=

V

C

V

C

V

e

p

p

n

n

V

)

5

(

 

30 

 

INSTYTUT METROLOGII I SYSTEMÓW POMIAROWYCH 

 

Politechniki Warszawskiej 

 
 
 
 
 

Laboratorium Podstaw Metrologii 

 
 

Semestr I 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ć

wiczenie nr 4 

 
 

Wyznaczanie niepewności pomiarów pośrednich na przykładzie 

przepływomierza zwęŜkowego 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Warszawa 

 

31 

Wyznaczanie niepewności pomiarów pośrednich na przykładzie przepływomierza 

zwęŜkowego 

 
Opracował: dr hab. inŜ. Mateusz Turkowski 
 
1. Cel ćwiczenia 

 

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z praktycznym wyznaczaniem niepewności pomiarów 

bezpośrednich  i  pośrednich  oraz  zmniejszeniem  wpływu  błędów  systematycznych  na  wynik 
pomiaru  poprzez  wprowadzenie  poprawek.  Inny  cel  to  zapoznanie  się  zasadą  zwęŜkowego 
pomiaru strumienia płynu.  
 
2. Wprowadzenie teoretyczne 
 
2.1. Wyprowadzenie wzoru umoŜliwiającego obliczenie strumienia płynu przy pomiarze   
       zwęŜkowym 

Strumień  płynu  jest  pojęciem  ogólnym,  obejmującym  strumień  masy  i  strumień  objętości 

cieczy lub gazu. 

Strumień  objętości  q

v

  jest  to  objętość  płynu  przepływającego  przez  poprzeczny  przekrój 

rurociągu w jednostce czasu a strumień masy q

m

 – masa przepływająca przez ten przekrój w 

jednostce czasu. Między q

v

 a q

m

 zachodzi prosty związek 

 
q

m

 = 

ρ

q

v   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) 

 

gdzie 

ρ

  – gęstość płynu. 

Najczęściej  stosowaną  zwęŜką  pomiarową,  umoŜliwiającą  pomiar  strumienia  płynu,  jest 

kryza  –  płaska  tarcza  z  okrągłym  otworem  o  średnicy  d,  współosiowa  z  rurociągiem  o 
ś

rednicy  wewnętrznej  D.  Zasadę  pomiaru  omówimy  więc  na  jej  przykładzie.  ZałóŜmy  na 

razie,  dla  uproszczenia,  Ŝe  rozkład  prędkości  jest  równomierny,  czyli  prędkość  w  kaŜdym 
przekroju jest stała, równa prędkości średniej w (patrz rys. 1a).  

Zgodnie  z  zasadą  ciągłości  przepływu  (będącą  jedną  z  form  powszechnie 

obowiązującego  w  przyrodzie  prawa  zachowania  masy)  do  kaŜdego  przekroju  dopływa  i 
odpływa w jednostce czasu taka sama masa płynu. Obowiązuje więc, dla przekroju rurociągu 
A

1

 = 

π

D

2

/4 i dla przekroju otworu kryzy A

2

 = 

π

d

2

/4 równanie ciągłości: 

 
q

m

 = A

1

ρ

1

w

1

 = A

2

ρ

2

w

2

   

 

 

 

 

 

 

 

(2) 

 

gdzie 

ρ

1

, 

 

w

1

 – prędkość średnia i gęstość płynu w rurociągu przed kryzą, 

ρ

2

, 

 

w

2

 – prędkość 

ś

rednia i gęstość płynu w otworze kryzy. Dla płynów nieściśliwych 

ρ

 = const, wówczas 

 

q

v

 = A

1

w

1

 = A

2

w

2

  

 

 

 

 

 

 

 

 

(3) 

 
Drugie  równanie  wyprowadza  się  z  zasady  zachowania  energii.  Zgodnie  z  tą  zasadą 

wzrost  energii  kinetycznej  (związanej  z  prędkością)  moŜe  nastąpić  tylko  kosztem  spadku 
energii  potencjalnej  (ciśnienia).  Zwiększeniu  prędkości  w  okolicach  kryzy  towarzyszy  więc 
spadek ciśnienia w tej strefie, co wyraŜa równanie Bernoulliego: 

const

p

w

p

w

=

+

=

+

2

2

2

1

2

1

2

2

ρ

ρ

   

 

 

 

 

 

 

(4) 

 

 

32 

Rozwiązując  układ  dwóch  równań  (równanie  Bornoulliego  (4)  i  równanie  ciągłości  (3)) 

otrzymujemy 

 

(

)



























−

−

=

2

2

1

2

1

2

2

1

2

A

A

p

p

w

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5) 

 
Zdefiniujmy jeszcze tzw. przewęŜenie zwęŜki 

β

 = d/D. Wówczas 

 

2

2

2

1

2

β

=

=

D

d

A

A

   

 

 

 

 

 

 

 

 

(6) 

 
Uwzględniając  jeszcze  związki    q

v 

=  F

2

w

2

    oraz    A

2

  = 

π

d

2

/4    i  oznaczając  róŜnicę 

ciśnień  p

1

  –  p

2

 = 

∆

p  otrzymujemy  uproszczony  związek  między  strumieniem  objętości  a 

spadkiem ciśnienia na zwęŜce 

 

ρ

π

β

p

d

q

v

∆

⋅

−

=

2

4

1

1

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

(7) 

 
Przy wyprowadzaniu powyŜszego wzoru przyjęto jednak szereg załoŜeń upraszczających. 

M.in.  rozkład  prędkości  w  otworze  zwęŜki  i  rurociągu  nie  jest  równomierny  (płaski),  a 
wyostrzony  (rys.  1b).  Dla  nierównomiernego  rozkładu  prędkości  energia  strumienia  jest 
większa  niŜ  dla  płaskiego,  tak  więc  równanie  Bernoulliego  nie  opisuje  zupełnie  ściśle  stanu 
faktycznego. 

Ponadto  najsilniejsze  przewęŜenie  strumienia  nie  występuje  w  samym  otworze  kryzy  a 

poza  nią,  ponadto  przekrój  strumienia  w  miejscu  najsilniejszego  przewęŜenia  jest  mniejszy 
niŜ  w  otworze  kryzy.  Dzieje  się  tak  dlatego,  Ŝe  elementy  płynu,  dopływając  do  kryzy,  mają 
pewną doosiową składową prędkości, która nie moŜe zaniknąć od razu (patrz obraz linii prądu 
na rys. 1 c). Przekrój o najsilniejszym przewęŜeniu nazywamy „vena contracta”.  

Takie  przewęŜenie  strumienia  (tzw.  kontrakcja)  nie  występuje  jednak  w  płynnie 

ukształtowanych dyszach (rys. 2 a). 

Niestety, ani stopnia kontrakcji ani rzeczywistych profili prędkości nie da się wyznaczyć 

z  taką  dokładnością,  aby  na  drodze  teoretycznej  skorygować  wyprowadzony  powyŜej, 
uproszczony  wzór.  Dlatego  wpływ  wymienionych  czynników  (oraz  szeregu  innych)  ujmuje 
się za pomocą jednego, sumarycznego, tzw. współczynnika przepływu C. Wzór (7) przybierze 
wówczas postać 

 

ρ

π

β

p

d

C

q

v

∆

⋅

−

=

2

4

1

2

4

                     

 

 

 

 

 

(8) 

 
Współczynnik  przepływu  moŜna  wyznaczyć  poprzez  wzorcowanie  szeregu  podobnych 

geometrycznie  zwęŜek  o  róŜnych  przewęŜeniach 

β

.  Wyznaczone  wartości  zaleŜą  jednak  od 

szeregu innych czynników, jak średnica rurociągu, prędkość przepływu czy lepkość płynu. 

Dla wykorzystania w przyszłości tych wyników wzorcowań posługujemy się więc teorią 

podobieństwa przepływów. 

 

33 

Wprowadźmy  tzw.  liczbę  Reynoldsa,  jedną  z  bezwymiarowych  liczb  podobieństwa 

stosowanych w technice. Jest to stosunek występujących w przepływie sił bezwładności do sił 
lepkości. Dla rurociągu o przekroju kołowym moŜna ją obliczyć z jednego z wzorów: 

 

 

gdzie 

ν

 - kinematyczny współczynnik lepkości płynu. 

Zgodnie  z  teorią  podobieństwa  przepływów  dla  róŜnych  rozpatrywanych  przepływów, 

przy podobnych geometrycznie powierzchniach opływanych (dla zwęŜki sprowadza się to do 
równości przewęŜeń 

β

) i dla takich samych wartości liczby Reynoldsa zachodzi podobieństwo 

pól ciśnień i pól prędkości. 

Podobieństwo  pól  prędkości  zapewnia  podobieństwo  rozkładów  prędkości  i 

podobieństwo linii prądu, co z kolei zapewnia taki sam stopień kontrakcji. Dzięki temu, przy 
takich  samych  liczbach  Reynoldsa  taka  sama  będzie  wartość  współczynnika  przepływu, 
uwzględniającego  wpływ  tych  zjawisk.  Wystarczy  więc  wyznaczyć  poprzez  wzorcowanie 
szeregu zwęŜek o róŜnych wartościach przewęŜenia 

β

  wartości współczynnika przepływu dla 

róŜnych przewęŜeń w funkcji liczby Reynoldsa, aby móc później, wykorzystując wyniki tych 
wzorcowań, przenosić ich wyniki na inne średnice rurociągów czy inne płyny, niŜ stosowane 
podczas tych wzorcowań. 

Kolejne  uproszczenie  jakie  wprowadzono  powyŜej,  to  załoŜenie  nieściśliwości  płynu 

(

ρ

 = const).  Dla  gazów  uproszczenie  to  moŜe  być  źródłem  znacznych  błędów  pomiaru. 

Wskutek  spadku  ciśnienia  w  strefie  zwęŜki  wystąpi  tu  rozpręŜanie  –  zmniejszenie  gęstości  i 
dodatkowe  zwiększenie  prędkości.  Dla  uwzględnienia  tych  zjawisk  stosowany  jest  mnoŜnik 
poprawkowy 

∈

∈

∈

∈

,  zwany  liczbą  ekspansji.  Wyznacza  się  go  eksperymentalnie  poprzez 

porównanie  charakterystyk zwęŜki dla praktycznie nieściśliwych cieczy z charakterystykami 
dla  gazów.  Z  termodynamiki  wiadomo,  Ŝe  liczba  ekspansji  jest  funkcją  przewęŜenia 

β

, 

wykładnika izentropy 

κ

, oraz stosunku 

∆

p/p: 

 

∈

∈

∈

∈

 = f(

β

, 

κ

, 

∆

p/p)  

 

 

 

 

 

 

 

 

(10) 

 
Dla cieczy, które są praktycznie nieściśliwe, przyjmuje się 

∈

∈

∈

∈

 = 1. 

Po  tym  uściśleniu  ostateczne  związki,  z  których  korzystamy  przy  obliczaniu  strumienia 

płynu mają postać 

 

ρ

π

β

p

d

C

q

v

∆

⋅

−

∈

=

2

4

1

2

4

        lub      

p

d

C

q

m

∆

⋅

−

∈

=

ρ

π

β

2

4

1

2

4

 

 

 

(11) 

 

2.2. Normalizacja zwęŜek 

Uzyskanie wystarczająco obszernych wyników badań zaleŜności C = f(Re, 

β

) i 

∈

∈

∈

∈

 = f(

β

, 

κ

, 

∆

p/p)  umoŜliwia  normalizację  zwęŜek.  Warunkiem  jest  jednak  uzyskanie  zgodności 

wyników badań uzyskanych w róŜnych laboratoriach. W wyniku opracowania statystycznego 
wyników  tych  badań  zostaje  sformułowana  ostateczna  postać  zaleŜności  C  =  f(Re, 

β

)  i 

∈

∈

∈

∈

  = 

f(

β

, 

κ

, 

∆

p/p) a z analizy statystycznej tych wyników – niepewności wyznaczenia C i 

∈

∈

∈

∈

. 

Normalizacja  zwęŜek  umoŜliwia  projektowanie  przepływomierzy  zwęŜkowych  i 

wyznaczanie  ich  charakterystyki  obliczeniowo,  tylko  na  podstawie  znajomości  parametrów 
płynu  i  pomiarów  geometrycznych  zwęŜki.  Eliminuje  się  więc  konieczność  indywidualnego 
wzorcowania, często w ogóle niemoŜliwego, a zawsze kosztownego i pracochłonnego.  

ν

ν

1

1

A

D

q

D

w

Re

v

=

=

)

9

(

 

34 

Polska  Norma  EN-ISO  5167:2005  dotycząca  zwęŜkowych  pomiarów  parametrów 

przepływu jest odpowiednikiem normy międzynarodowej, przyjętej powszechnie w Europie i 
większości krajów świata. 

Poza  kryzami  znormalizowane  są  dysze  o  płynnie  ukształtowanym  wlocie  (rys.  2  a). 

NaleŜy je stosować tam, gdzie korozyjne lub korozyjne oddziaływanie płynu powodowałoby 
szybkie stępienie krawędzi kryzy. 

W  przypadkach  gdy  niedopuszczalne  są  duŜe  straty  ciśnienia  naleŜy  stosować  oraz 

zwęŜki  o  małych  stratach  ciśnienia  –  dysze  Venturiego  (rys.  2  b)  i  klasyczne  zwęŜki 
Venturiego  (rys.  2  c).  Dzięki  łagodnemu  rozszerzeniu  strumienia  przez  stoŜkową  część 
rozbieŜną nie występuje tu strefa silnych zaburzeń i zawirowań, w której następują szkodliwe 
straty energii potencjalnej (ciśnienia), przez co niezbędna jest większa moc pomp/spręŜarek. 

Na rys. 2 podano teŜ miejsca odbioru ciśnienia róŜnicowego 

∆

p z kryz. 

Wartości  C  i 

∈

∈

∈

∈

  wyznacza  się  z  podanych  w  normie  równań  empirycznych.  Np.  dla 

znormalizowanej  kryzy  z  przytarczowym  odbiorem  ciśnienia  (patrz  rys.  2)  współczynnik 
przepływu obliczamy z równania Reader-Harrisa 

 

    C = 0,5961+0,0261

β

2

 - 0,216

β

8

  + 0,000521

7

,

0

6

10













Re

β

+ (0,0188+0,0063

A) 

β

3,5

 

3

,

0

6

10













Re

               

(12) 

w którym 

β

 = d/D     jest przewęŜeniem kryzy; 

         

Re              jest liczbą Reynoldsa, dana wzorem (9) 

 

Liczbę ekspansji dla znormalizowanych kryz oblicza się z wzoru empirycznego 
 

        

∈

∈

∈

∈

 

= 1 - (0,41+0,35 

β

4

) 

∆

p

p

κ

1











   

 

 

 

 

 

 

(13) 

 

2.3. Wyznaczenie parametrów płynu 

Dla  obliczenia  strumienia  płynu  niezbędna  jest  znajomość  gęstości  i  lepkości.  Dla  cieczy 

korzystamy zwykle z danych tablicowych. W przypadku cieczy w zasadzie moŜemy pominąć 
wpływ ciśnienia na te parametry, a jedynie uwzględnić wpływ temperatury. 

Dla gazów gęstość wyznaczamy zwykle z wzoru 
 

 
gdzie 

ρ

n

 – gęstość gazu w warunkach normalnych, tj. 

T

n

 = 273.15 K, p

n

 = 101.325 kPa (dla 

powietrza 

ρ

n

  =  1.2928  kg/m

3

); 

p  i  T  –  ciśnienie  i  temperatura  absolutna  przed  zwęŜką,  K  – 

względny  współczynnik  ściśliwości  przy  ciśnieniu 

p  i  temperaturze  T  (współczynnik 

ś

ciśliwości  uwzględnia  odchylenia  właściwości  gazu  rzeczywistego  od  właściwości  gazu 

doskonałego). 

TK

p

pT

n

n

n

ρ

ρ

=

)

14

(

 

 

 

 

 

Rys. 1.  Przepływ płynu przez kryzę: a) model uproszczony do wypro- 
wadzenia  wzoru,  rzeczywiste  profile  prędkości  i  obraz  linii  prądu 
przy przepływie przez kryzę.-             

 

Rys.  2.  Inne  zwęŜki  znormalizowane  i  linie  prądu  przy  przepływie  przez  te 
zwęŜki,  pokazano  miejsca  odbioru  ciśnienia  róŜnicowego 

∆∆∆∆

p.  Sposoby 

odbioru ciśnienia dla kryzy

 

 

36 

JeŜeli gaz jest wilgotny to wzór (16) trzeba zmodyfikować do postaci 

gdzie 

ϕ

  -  wilgotność  względna, 

p

p

  –  ciśnienie  pary  wodnej  w  temperaturze 

T, 

ρ

p,s

  –  gęstość 

pary  wodnej  nasyconej  w  temperaturze 

T.  Wartości  te  moŜna  znaleźć  m.in.  w  [4],  są  one 

znane z niepewnościami  

u( p

p

)= 0.0007 kPa;  

u(

ρ

p,s

) = 0.00005 kg/m

3

. 

Niezbędną do obliczenia liczby Reynoldsa wartość lepkości obliczamy dla gazów z wzoru  

 

 

gdzie 

C – stała Sutherlanda (dla powietrza C = 112 K), 

η

0

 – lepkość gazu w warunkach 

normalnych (dla powietrza 

η

0

 = 17.1

·10

-6 

kg/m

·s). 

 

2.4. Analiza niepewności zwęŜkowego pomiaru strumienia płynu 

Pomiar  strumienia  płynu  za  pomocą  zwęŜki  jest  klasycznym  pomiarem  pośrednim,  tj. 

wartość strumienia płynu uzyskiwana jest drogą pośrednią, poprzez wstawienie do wzoru (11)  
wartości innych wielkości, mierzonych bądź bezpośrednio (np. 

∆

p), bądź takŜe pośrednio; np. 

gęstość

 

ρ

 obliczana jest pośrednio, z zaleŜności (14) lub (15).  

     Z  wykładów  Podstaw  Metrologii  wiadomo,  Ŝe  niepewność  pomiaru  moŜna  obliczyć  jako 
sumę  geometryczną  niepewności  cząstkowych,  będących  iloczynami  niepewności  danej 
wielkości  przez  współczynnik  wraŜliwości  (dla  wielkości  niezaleŜnych  potęgę,  w  której 
wielkość  ta  występuje).  Do  wyznaczenia  współczynnika  wraŜliwości  dla 

d  i  D,  które 

dodatkowo wpływają na niepewność wyznaczenia przewęŜenia  

β

, przyjęto  postać funkcji 

C 

=  f(

Re, 

β

)  w  postaci 

C  =  const  +  0.5

β

4

,  pomijając  jako  małą  drugiego  rzędu  niepewność 

obliczenia 

Re. Dla pomiaru zwęŜkowego wzór na niepewność wyznaczenia strumienia płynu 

ma przy tych załoŜeniach postać

 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ρ

β

β

β

2

2

2

2

4

2

2

4

4

2

2

4

1

4

1

1

2

1

2

u

p

u

d

u

D

u

u

C

u

q

U

v

+

∆

+













−

+













−

+

∈

+

=

   

(17) 

 

W  metrologii  przemysłowej  przyjmuje  się  podawanie  wyniku  pomiaru  przy  poziomie 

ufności  0.95,  tak  więc  wszystkie  niepewności  występujące  w  powyŜszym  wzorze  to 
niepewności tzw. dwusigmowe, czyli ze współczynnikiem rozszerzenia równym 

k = 2. 

ZałoŜono teŜ, Ŝe wszystkie błędy systematyczne pomiarów zostały wyeliminowane.   
 

2.5.  Najistotniejsze niepewności pomiaru zwęŜkowego 

Jak wiadomo z wykładu Podstawy Metrologii niepewności najogólniej moŜna podzielić na 

dwie grupy: niepewności typu A  – obliczane metodami statystycznymi i niepewności typu B 
– wyznaczane innymi metodami. W trakcie ćwiczenia będą stosowane obie metody. 

 

2.5.1. Niepewność wyznaczenia współczynnika przepływu

 u(C)   

          Niepewność 

u(C)  wynosi dla kryzy (stosowanej w niniejszym ćwiczeniu): 

          0.6%  dla 

β

  < 0.6    lub    

β

 (%)  dla 0.6 < 

β

 < 0.75.  

(

)

s

p

n

n

p

n

TK

p

T

p

p

,

ϕρ

ϕ

ρ

ρ

+

−

=

15

.

273

1

15

.

273

1

0

T

T

C

C

+

+

=

η

η

)

16

(

)

15

(

 

37 

Informacje  o  tej  niepewności  są  zaczerpnięte  z  normy  [1],  i  pomimo,  Ŝe  przez  autorów 

normy były wyznaczone metodami statystycznymi, to z punktu widzenia uŜytkownika normy 
są to niepewności typu B. 

 

2.5.2. Niepewność wyznaczenia liczby ekspansji  
          Dla kryzy niepewność ta wynosi 
                

 
Podobnie jak dla  niepewności współczynnika przepływu jest to niepewność typu B. 

 
2.5.3. Niepewność pomiaru parametrów geometrycznych zwęŜki i rurociągu 
     Metody  pomiaru  parametrów  geometrycznych  takich  jak  np.  średnica  otworu  zostały 
zmierzone w laboratorium pomiarów wielkości geometrycznych Instytutu. Niepewności u(D)  
i u(d) obliczone w trakcie tych pomiarów poda prowadzący ćwiczenie, w zaleŜności od tego, 
jaki  rurociąg  i  kryza  będą  wykorzystane  w  trakcie  ćwiczenia.  NaleŜy  je  traktować  jako 
niepewności  typu  B,  chociaŜ  wykonujący  pomiary  prawdopodobnie  stosował  metody 
statystyczne do oszacowania tych niepewności. 
 
2.5.4. Niepewność pomiaru ciśnienia róŜnicowego 
     Niepewność  pomiaru ciśnienia róŜnicowego u(

∆

p

) na zwęŜce wyznaczyć moŜna poprzez 

wykonanie serii  pomiarów  (co najmniej 10) tej wielkości. Będzie to więc niepewność typu 
A, czyli wyznaczana metodami statystycznymi. 
 
2.5.5. Niepewność pomiaru ciśnienia w rurociągu 

TakŜe ta niepewność u(p) będzie wyznaczona poprzez wykonanie serii  pomiarów  (co 

najmniej 10). Będzie to więc takŜe niepewność typu A. 
 
2.5.6. Niepewność pomiaru temperatury 

Temperatura będzie mierzona za pomocą czujnika Pt 100 (platynowy rezystor o rezystancji 

100 

Ω

  w  temperaturze  0 

°

C.  W  temperaturze  ok.  20 

°

C,  panującej  w  laboratorium,  jego 

niepewność  wynosi  0.2 

°

C.  Niepewność  tą  określono  w  oparciu  o  tolerancje  dla  tych 

czujników  podane  w  normie  PN-EN  60751:1995,  jest  to  więc  niepewność  typu  B.  RównieŜ 
niepewność przetwornika współpracującego z czujnikiem wynosi  0.2 

°

C (dane katalogowe, a 

więc  takŜe  niepewność  typu  B).  Niepewność  pomiaru  temperatury  u(T)  moŜna  wyznaczyć 
sumując te wartości (zgodnie z zasadami sumowania niepewności). 
 
2.5.7. Niepewność wyznaczenia gęstości 
     Gęstość  gazu  suchego  obliczamy  z  wzoru  (14).  Jest    to    wiec    teŜ  pomiar  pośredni, 
niepewność obliczenia gęstości moŜna wyznaczyć z wzoru 
 

( )

( )

( )

( )

)

(

2

2

2

2

K

u

T

u

p

u

u

u

n

+

+

+

=

ρ

ρ

 

 

Niepewność  gęstości  w  warunkach  normalnych  z  danych  tablicowych  (a  więc  typu  B) 

u

(

ρ

n

) = 0.002 kg/m

3

. 

Niepewność  względna  współczynnika  ściśliwości  (typu  B,  wyznaczanego  w  trakcie 

obliczeń z wzoru Redlicha – Kwonga) wynosi u(K) = 20(1 – K) %.  

( )

(%)

4

p

p

u

∆

=

∈

 

38 

NaleŜy pamiętać, Ŝe p - ciśnienie absolutne w rurociągu - wyznacza się czasem (o ile nie 

ma  do  dyspozycji  przetwornika  ciśnienia  absolutnego)  pośrednio,  jako  sumę  ciśnienia 
atmosferycznego p

b

 i zmierzonego nadciśnienia w rurociągu. 

     Uwzględniając dodatkowe czynniki występujące we wzorze (15), tj. 

ϕ

, p

p

 i 

ρ

p,s

 , moŜna teŜ  

uwzględnić niepewność obliczenia gęstości  gazu wilgotnego. 
 
2.6. Automatyczne opracowywanie wyników pomiarów zwęŜkowych 
    Procedura obliczenia wyniku pomiaru przepływu metodą zwęŜkową jest na tyle 
skomplikowana i pracochłonna, Ŝe opracowano wiele programów komputerowych, 
umoŜliwiających  obliczenie  strumienia  płynu lub, co jeszcze waŜniejsze, zaprojektowanie 
przepływomierza zwęŜkowego. Polega ono na takim doborze średnicy otworu zwęŜki, aby  
uzyskać poŜądany zakres manometru róŜnicowego odpowiadający Ŝądanemu zakresowi 
zmian strumienia płynu. 
     W  większości  pomiarów  przemysłowych  przyjmuje  się  stałą  wartość  współczynnika 
przepływu  i  liczby  ekspansji  a  takŜe  gęstości.  Przyjęcie  stałej  gęstości  jest  w  większości 
procesów technologicznych moŜliwe, gdyŜ na ogół procesy te wymagają  stałego ciśnienia  i  
temperatury.  

Zwykle teŜ dąŜy się do zapewnienia stałości  przepływu, zakres pomiarowy nie musi być  

więc  szeroki.  Wówczas  wzory  (11)  moŜna uprościć do postaci 

 
gdzie stała k uwzględnia uśrednione wartości czynników przyjętych za stałe. Jedyną operacją 
jest wówczas pierwiastkowanie sygnału róŜnicy  ciśnień, dlatego  często przetworniki róŜnicy  
ciśnień  (m.  in.  stosowany  w  niniejszym  ćwiczeniu)  mają  moŜliwość  pierwiastkowania 
sygnału  wyjściowego.  Gdy  potrzebny  jest  tylko  lokalny  analogowy  odczyt  strumienia 
wystarczy zastosować miernik z nieliniową podziałką o charakterze kwadratowym. 
     Zdarzają się jednak przypadki, gdy zmiany przepływu, ciśnienia i temperatury (czyli takŜe 
gęstości  czy  lepkości,  wpływającej  poprzez  liczbę  Reynoldsa  na  liczbę  przepływu)  są  duŜe. 
W  takich  przypadkach  stosuje  się  wyspecjalizowane  przeliczniki  mikrokomputerowe 
wykonujące  program  obliczeń  oparty  o  podane  powyŜej  wzory  przy  uwzględnieniu 
wszystkich czynników wpływających na wynik pomiaru. 
     Informacja  o  temperaturze,  ciśnieniu  i  spadku  ciśnienia  na  zwęŜce  jest  doprowadzana  do 
przelicznika  w  postaci  sygnałów  elektrycznych,  najczęściej  w  postaci  prądu  w  przedziale 
(4 - 20)  mA  proporcjonalnego  do  mierzonej  wielkości,  lub  w  przypadku  przetworników 
inteligentnych, jak np. w stanowisku stosowanym w trakcie ćwiczenia, w postaci cyfrowej.  
 
3. Opis stanowiska 

W ćwiczeniu wykorzystuje się niskociśnieniowe stanowisko powietrzne. Składa się ono z 

wentylatora  wymuszającego  przepływ,  zaworu  do  regulacji  przepływu,  zestawu  gazomierzy 
kontrolnych  (w  ćwiczeniu  nie  będą  one  wykorzystywane),  komory  filtrów  chroniących 
gazomierze  kontrolne  oraz  z  ciągu  przepływomierza  sprawdzanego,  w  którym  będzie 
zamontowany rurociąg z kryzą, stosowaną do pomiaru w niniejszym ćwiczeniu. 

Do  pomiaru  ciśnienia  absolutnego  i  ciśnienia  róŜnicowego  zastosowane  zostaną 

inteligentne przetworniki firmy Rosemount. Do pomiaru temperatury zastosowano platynowy 
czujnik rezystancyjny Pt100 z przetwornikiem Rosemount. 

 

4. Wykonanie ćwiczenia 
     Wstępne dane o instalacji i badanym płynie będą podane na ćwiczeniach przez 
prowadzącego zajęcia. Dane te naleŜy zamieścić w otrzymanym protokole. 

p

k

q

∆

=

 

39 

     Następnie  naleŜy  wykonać  pomiary  parametrów  otoczenia,  tj.  ciśnienia  atmosferycznego, 
temperatury  i  wilgotności,  określając  przy  tym  niepewności  pomiarów  tych  wielkości  na 
podstawie oznaczeń na podzielni lub świadectw przyrządów. 
     Kolejna  czynność  to  sprawdzenie  długości  prostych  odcinków  pomiarowych  przed  i  za 
zwęŜką i porównanie ich z wymaganiami normy [1]. 
     Następnie,  po  uruchomieniu  wentylatora  wymuszającego  przepływ  w  rurociągu  naleŜy 
dokonać  serii  pomiarów  nadciśnienia  (lub  ciśnienia  absolutnego)  w  rurociągu,  ciśnienia 
róŜnicowego i temperatury. Wyniki zapisać w otrzymanym formularzu protokołu. 
 
5. Opracowanie wyników pomiarów 
Po  wykonaniu  części  pomiarowej  naleŜy  wykonać  obliczenia  za  pomocą  odpowiednio 
oprogramowanego  komputera.  Program  umoŜliwia  śledzenie  toku  obliczeń  i  wyników  
posrednich,  oblicza  teŜ,  poza  strumieniem  płynu,  niepewności  pomiaru  spowodowane  
roŜnymi czynnikami i niepewność złoŜoną. 
     Obliczenia  strumienia  objętości  naleŜy  porównać  z  wynikami  uzyskanymi  z 
mikrokomputerowego przelicznika przepływu (jeśli ta część jest wykonywana).  

JeŜeli jest moŜliwość porównania wyniku pomiaru za pomocą zwęŜki z wynikiem pomiaru 

wykonanym innym przepływomierzem (zainstalowanym szeregowo) to naleŜy sprawdzić czy 
wyniki te są zgodne (w granicach niepewności obu przepływomierzy) 
 
6. Treść sprawozdania 
W sprawozdaniu naleŜy zamieścić: 

 

1. Schemat instalacji pomiarowej 
2. Protokół pomiarów 
3. Wyniki obliczeń 
4.  Analizę  niepewności  wykonana  na  podstawie  wyliczonych  wartości  niepewności 

poszczególnych  parametrów  i  niepewności  złoŜonej.  Analiza  powinna  obejmować  ocenę, 
które  ze  źródeł  błędów  są  najistotniejsze,  a  wiec  jakie  czynności  naleŜy  podjąć  aby 
efektywnie  podwyŜszyć  dokładność  pomiaru.  Ponadto  naleŜy  dokonać  oceny,  które 
niepewności (lub ich grupa) są pomijalnie małe. 

5. Porównanie wyników obliczeń z wynikami z automatycznego przelicznika, analiza     
    przyczyn ewentualnych rozbieŜności (jeŜeli ta część jest wykonywana). 
6. JeŜeli jest moŜliwość porównania wyniku pomiaru za pomocą zwęŜki z wynikiem pomiaru 

wykonanym  innym  przepływomierzem  (zainstalowanym  szeregowo)  to  naleŜy  sprawdzić 
czy wyniki te są zgodne (w granicach niepewności obu przepływomierzy) 

 
Bibliografia: 
 
[1]  PN-ISO 5167:2005.  Pomiar strumienia płynu  za pomocą zwęŜek  
[2]  Turkowski M. Pomiary przepływów (skrypt). WPW, Warszawa, 1989 
[3)  Turkowski M. Przemysłowe sensory i przetworniki pomiarowe, OWPW, Warszawa, 2002 
[4]  Poradnik fizykochemiczny. WNT, Warszawa, 1974 

 

 

40 

 

INSTYTUT METROLOGII I SYSTEMÓW POMIAROWYCH 

 

Politechniki Warszawskiej 

 
 
 
 
 

Laboratorium Podstaw Metrologii 

 
 

Semestr I 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ć

wiczenie nr 5 

 
 

Wpływ temperatury na wskazanie manometrów i przetworników 

ciśnienia 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Warszawa 

 

41 

Wpływ temperatury na wskazanie manometrów i przetworników ciśnienia 

 
Opracował: dr inŜ. Eugeniusz Sukiennik 
 
1. Cel ćwiczenia 
 
Celem  ćwiczenia  jest  zapoznanie  się  z  budową  manometru,  wyznaczaniem  błędu 
temperaturowego i jego analizą. 
 
2. Wprowadzenie teoretyczne 
 
Wskazania kaŜdego przyrządu pomiarowego powinny być zaleŜne tylko od zmian wartości tej 
wielkości do mierzenia  której jest on przeznaczony. W szczególności wskazania manometru 
spręŜynowego powinny być zaleŜne tylko od zmian mierzonego ciśnienia. 
W  rzeczywistości  wskutek  oddziaływania  na  przyrząd  pomiarowy  szeregu  wielkości 
wpływających  takich  jak  temperatura,  wilgotność,  ciśnienie  atmosferyczne  itp.  wskazania 
jego  są  równieŜ  funkcją  zmian  wartości  tych  wielkości  wpływających.  JeŜeli  wartości  tych 
wielkości  będą  róŜniły  się  od  wartości  odpowiadających  warunkom  odniesienia,  to 
pochodzący  stąd  błąd  wskazania  narzędzia  pomiarowego  będziemy  nazywać  błędem 
dodatkowym tego przyrządu. 
 
2.1. Zagadnienia dotyczące błędu dodatkowego 
 
Istotnym  pojęciem  przy  analizie  błędów  przyrządu  pomiarowego  są  warunki  odniesienia 
przewidziane  do  badania  tego  przyrządu  lub  do  wzajemnego  porównywania  wyników 
pomiarów.  Warunki  odniesienia  zawierają  na  ogół  wartości  lub  zakresy  odniesienia  dla 
wielkości  wpływających,  oddziaływujących  na  przyrząd  pomiarowy.  Definiuje  sieje 
najczęściej  jako  zespół  wartości  głównych  wielkości  wpływających,  przy  których  przyrząd 
powinien  być  wzorcowany.  Warunki  te  mogą  być  podane  w  postaci  pojedynczych  wartości 
dla kaŜdej wielkości wpływającej, bądź teŜ w postaci granic, w których wartości te powinny 
być zawarte dla zachowania granic błędów dopuszczalnych przyrządu pomiarowego. 
Wielkość wpływająca to wielkość nie będąca wielkością mierzoną, która ma jednak wpływ na 
wynik pomiaru. 
Błędem  podstawowym  nazywamy  błąd  przyrządu  pomiarowego  wyznaczony  w  warunkach 
odniesienia. 
Błędem  dodatkowym  nazywamy  błąd  przyrządu  pomiarowego  powstały  w  wyniku 
przekroczenia przez wielkości wpływające wartości określonych przez warunki odniesienia. 
Warunki  odniesienia  są  to  warunki  przewidziane  do  badania  przyrządu  pomiarowego 
zawierające zakresy odniesienia dla wielkości wpływających, oddziaływujących na przyrząd 
pomiarowy. 
 
2.2. Zagadnienia dotyczące błędu dodatkowego 
 
JeŜeli  zmiana  wskazania  przyrządu  pomiarowego  na  skutek  zmiany  wartości  wielkości 
wpływającej  następuje  wg  dającego  się  zidentyfikować  prawa,  wtedy  błąd  dodatkowy  ma 
charakter  błędu  systematycznego.  W  szczególności  moŜe  to  być  błąd  addytywny  lub  błąd 
multiplikatywny (zmiana czułości). 
 

 

42 

W  ogólnym  przypadku  błąd  dodatkowy  o  charakterze  systematycznym  moŜna  obliczyć  z 
zaleŜności [Romer, 1973]: 
 

∑

=

∂

∂

⋅

∂

∂

=

n

i

i

i

z

dz

z

g

x

f

dy

1

 

 
gdzie: wskazanie przyrządu pomiarowego 

y = f(x) 

 
a  wartość  wielkości  mierzonej  x  moŜe  ulegać  zmianom  pod  wpływem  zmian  wartości 
wielkości wpływających z

i

 wg zaleŜności 

 

x = g(z

i

) 

 

 

gdzie: 

 

 

z

i

= [z

1

, z

2

, .... , z

m

]

T

 

 
 
JeŜeli ze wzoru (2) przyjmiemy dla manometru spręŜynowego y = f(x) =k x wówczas: 
 

∑

=

∂

∂

⋅

∂

∂

=

n

i

i

i

z

dz

z

g

x

k

dy

1

 

 
 
2.3. Błąd dodatkowy pomiaru ciśnienia 
 
W ćwiczeniu będziemy zajmować się błędem temperaturowym manometrów spręŜystych, tzn. 
błędem pochodzącym stąd, Ŝe temperatura otoczenia nie zachowuje wartości przewidzianych 
w warunkach odniesienia. 
Uwzględniając  przytoczone  wyŜej  definicje  w  przypadku,  gdy  tylko  jedna  wartość 
wpływająca,  np.  temperatura,  przekracza  wartości  określone  warunkami  odniesienia  moŜna 
napisać: 
 

∆

p

dt

 = 

∆

p

t

 - 

∆

p

t0

 

 
gdzie:  

∆

p

dt

 - błąd dodatkowy wskazania, gdy wielkość wpływająca osiąga wartość t,  

∆

p

t

 - całkowity błąd wskazania, gdy wielkość wpływająca osiąga wartość t,  

∆

p

t0 

- błąd podstawowy wskazania przyrządu pomiarowego w temperaturze odniesienia t

0

. 

 
Wyznaczony  będzie  błąd  temperaturowy  wskazania  manometru  z  rurkową  spręŜyną 
Bourdona przedstawionego na rysunku 2. Końcówka 3 spręŜyny rurkowej 1 przemieszcza się 
pod  wpływem  wzrostu  mierzonego  ciśnienia  o  wartość  w,  jak  przedstawiono  na  rysunku  1 
według zaleŜności: 
 

2

2

N

r

w

w

w

+

=

 

 

 

43 

 

 
Rys.  1.  Manometr  z  rurką  spręŜystą  Bourdona.  1  -  spręŜyna,  2  -  króciec,  3  -  końcówki 
spręŜyny,  4  -  końcówka  segmentu  zębatego,  5  -  łącznik,  6  -  zębatka,  7  -  wskazówka,  
8 - podzielnia 
 

 

Rys. 2.  I - Przekroje stosowane dla rurek manometrycznych cienkościennych 

II - Odkształcenie rurki manometrycznej pod wpływem ciśnienia. 

 
Przemieszczenie w

r

 końca rurki w kierunku promieniowym wynosi: 

 

)

cos

(

0

0

0

Ψ

−

Ψ

∆Ψ

=

t

R

w

r

 

 
oraz przemieszczenie 

W

N

 

końca rurki w kierunku prostopadłym do promienia: 

 

)

sin

(

0

0

0

0

Ψ

−

Ψ

Ψ

∆Ψ

=

R

w

r

 

 

Względna  zmiana  kąta  odkształcenia  rurki  jest  funkcją  ciśnienia  i  parametrów 
konstrukcyjnych tej rurki którą moŜna opisać zaleŜnością 

 

44 

 

E

g

b

a

R

h

p

s

)

,

,

,

,

,

,

(

0

0

ν

β

α

=

Ψ

∆Ψ

=

 

 
gdzie: 
 

(

)

2

2

0

2

2

2

0

2

0

1

1

)

,

,

,

,

,

,

(













+













−

−

=

a

g

R

a

b

bg

R

g

b

a

R

h

β

α

ν

ν

β

α

 

 
Funkcja  h  zmienia wartości wraz ze zmianami temperatury, ale znacznie bardziej zmienia się 
wartość E modułu Younga. W związku z tym zaleŜności pomiędzy mierzonym ciśnieniem p, 
a  odkształceniem  s  elementu  spręŜystego,  którego  kształt  jest  tak  dobrany,  aby  była  ona 
moŜliwie liniowa, moŜna przedstawić ogólnym wzorem: 
 

E

p

A

s

⋅

=

 

 
gdzie: A - współczynnik będący zawiłą funkcją kształtu i wymiarów elementu spręŜystego,  
E - współczynnik spręŜystości materiału (moduł Younga).  
 
NaleŜy  jednocześnie  zwrócić  uwagę  na  fakt,  Ŝe  manometry  z  elementem  spręŜystym  mierzą 
zawsze  róŜnicę  między  ciśnieniem  manometrycznym  p

m

,  a  ciśnieniem  otoczenia  p

b

 

(barometrycznym). Tym samym ciśnienie mierzone p moŜemy wyrazić wzorem 
 

p = p

m

 - p

b

 

 
Zmiany  temperatury  powodują  zmiany  wartości  modułu  Younga  E  oraz  współczynnika  A. 
Zmiany współczynnika spręŜystości E moŜemy z pewnym przybliŜeniem opisać wzorem 
 

[

]

)

(

1

0

0

t

t

E

E

t

−

+

=

γ

 

 
gdzie: E

o

 - moduł spręŜystości w temperaturze t

o

, 

E

t

 - moduł spręŜystości w temperaturze t, 

γ

 - współczynnik temperaturowy zmiany modułu spręŜystości, 

t

o

 - temperatura odniesienia, 

t - temperatura róŜna od temperatury odniesienia - temperatura pracy manometru.  
 
Wartość temperaturowego współczynnika zmiany modułu spręŜystości 

γ

 jest zawsze ujemna i 

wynosi dla stopu miedzi z którego wykonywane są elementy spręŜyste manometrów wynosi 
 

γ

 = -8

⋅

10

-4

  1/°C 

 
Ujemna  wartość  temperaturowego  współczynnika  zmiany  modułu  spręŜystości  powoduje 
powstanie dodatkowego błędu temperaturowego. 
 

 

45 

NaleŜy  pamiętać,  ze  przemieszczenie  w  końcówki  3  spręŜyny  rurkowej  1  manometru 
zamieniane jest na wychylenie s wskazówki 7 za pomocą mechanizmu dźwigniowo-zębatego 
według zaleŜności: 
 

s = k

mech

 w(p) 

 
gdzie: k

mech 

- 

czułość mechanizmu manometru, 

w - wychylenie końcówki 3 spręŜyny rurkowej manometru. 
 
Analizując wzór 11 łatwo stwierdzić, Ŝe błąd temperaturowy będzie funkcją nie tylko zmiany 
temperatury,  ale  równieŜ  funkcją  mierzonego  ciśnienia.  MoŜemy  to  ogólnie  wyrazić  za 
pomocą wzoru 
 

∆

p

dt

 = k 

⋅

 p 

⋅

 (t-t

0

) 

 
gdzie:  k  -  współczynnik  temperaturowy  charakteryzujący  zmiany  czułości  danego 
manometru,  
p - mierzone ciśnienie,  
t - temperatura pracy manometru,  
t

0

 - temperatura odniesienia, 

∆

p

dt

  -  dodatkowy  błąd  wskazania  spowodowany  róŜnicą  temperatury  pracy  i  temperatury 

odniesienia. 
 
W  praktyce  współczynnik  temperaturowy  k  charakteryzuje  nie  tylko  element  spręŜysty 
badanego manometru ale obejmuje równieŜ wpływ współczynników A i E na dodatkowy błąd 
wskazania manometru. 
 
3. Opis stanowiska 
 
W  ćwiczeniu  wyznacza  się  dodatkowe  błędy  wskazań  manometru  z  rurką  Bourdona  klasy 
dokładności  1  (1,5)  o  zakresie  wskazań  0 

÷

  10  bar  (0 

÷

  60  bar).  Jako  manometry  kontrolne 

zostały  uŜyte  w  ćwiczeniu  manometry  obciaŜnikowo-tłokowe  MTU60  o  zakresie 
pomiarowym  0,1 

÷

  60  MPa  i  klasie  dokładności  0,05.  Do  zadawania  temperatury  uŜyto 

komorę  typ  KBC-G-100/250  z  dwoma  czujnikami  do  pomiaru  temperatury  rezystancyjnymi 
PT 100 - jeden mierzy temperaturę otoczenia czujnika, drugi temperaturę rurki Bourdona oraz 
komorę SML 32/250 z czujnikiem do pomiaru temperatury termoelektrycznym Fe- Konst. z 
przetwornikiem napięcia MAU 92 Z, T/U = 0 

÷

 100 °C, Wy = 0 

÷

 10 V. 

 
4. Wykonanie ćwiczenia 
 
W  celu  wyznaczenia  dodatkowego  błędu  wskazania   

∆

p

dt

  wykonujemy  4  serie  pomiarów, 

jedną  w  temperaturze  otoczenia  t

0

  pozostałe  w  t

1

 

÷

  t

3

  przy  zadawanych  ciśnieniach  p' 

÷

  p’’ 

(podanych  przez  prowadzącego  ćwiczenie).  KaŜda  z  serii  zawiera  po  6  pomiarów 
wykonanych  dla  kaŜdego  punktu  zadawanego  ciśnienia.  Wyniki  pomiarów  notujemy  w 
protokole sprawdzenia manometru. 
 
5. Opracowanie wyników pomiaru 
 
Na podstawie otrzymanych wyników obliczamy w tabeli błędy wskazania manometru 

∆

p

i

 

 

 

46 

∆

p

0 

= p

0

 – p’ 

................... 

∆

p

3 

= p

3

 – p’’ 

 
 
 
gdzie: p

0

 

÷

 p

3

 - wskazania manometru spręŜynowego, 

p’ 

÷

 p’’ – ciśnienie otrzymane z manometru obciąŜnikowo-tłokowego. 

 
Obliczamy średnie błędy wskazań manometru 

i

p

∆

 

dla poszczególnych punktów sprawdzania. 

Błąd 

0

p

∆

czyli  średni  wskazania  w  temperaturze  otoczenia  przyjmujemy  jako  błąd 

podstawowy wskazań. 
 
Zgodnie  z  definicją  błędu  dodatkowego  będziemy  obliczać  błędy  dodatkowe  wskazań 
manometru w danej temperaturze t dla danego ciśnienia 
 

∆

p

dt1 

= 

∆

p

t1

 – 

∆

p

t0

 

................... 

∆

p

dt2 

= 

∆

p

t3 

– 

∆

p

t0

 

 
Wyznaczyć  wartość  temperaturowego  współczynnika  k  charakteryzującego  badany 
manometr spręŜynowy ze wzoru  
 

)

(

0

t

t

p

p

k

dt

−

′

∆

=

 

 
Przy  tym  w  miejsce  p'  podstawiamy  wartości  otrzymane  z  manometru  obciąŜnikowo-
tłokowego, traktując je jako poprawne wartości ciśnienia 
 
Wyniki obliczeń zestawić w tablicy 1 
 
Tablica 1. Wartości współczynnika k 
 

Wartości współczynnika k 

ciśnienie bar 

t

1

 

t

2

 

t

3

 

p' = 

 

 

 

p" = 

 

 

 

p"'= 

 

 

 

p""= 

 

 

 

 
Obliczyć wartość średnią 

∑

=

12

/

)

(

k

k

 ze wszystkich pomiarów. 

 
6. Treść sprawozdania 
 
Sprawozdanie powinno zawierać: 

 

47 

 
-  schemat układu pomiarowego, 
-  schemat kinematyczny sprawdzanego manometru, 
-  wypełniony protokół sprawdzenia manometru, 
-  sporządzone na papierze milimetrowym lub komputerowe wykresy 

a) 

∆

p

dt

 = f(

∆

t), 

b) 

∆

p

dt

 = f(p), 

c) k = f(

∆

t), 

d) k = f(p). 

- wnioski 
 

1.1.1.1 Literatura 

 

1.  Jaworski J. i in.: Wstęp do metrologii i teorii eksperymentu. WNT, Warszawa 1992. 
2.  Międzynarodowy  słownik  podstawowych  i  ogólnych  terminów  metrologu.:  GUM, 

Warszawa 1996. 

3.  Przewodnik.: WyraŜenie niepewności pomiaru. GUM Warszawa, 1999. 
4.  Romer E.: Miernictwo przemysłowe. PWN, Warszawa 1973. 

 
 

 

48 

Protokół sprawdzenia manometru 
 
Temperatura otoczenia: ..................... 

.

 

Wykonujący ćwiczenie:.......................... 

Cisnienie barometryczne: ................... 
Data: ................................................... 
 

 

 

 

 

49 

 

INSTYTUT METROLOGII I SYSTEMÓW POMIAROWYCH 

 

Politechniki Warszawskiej 

 
 
 
 
 

Laboratorium Podstaw Metrologii 

 
 

Semestr I 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ć

wiczenie nr 6 

 
 

Metody dyfrakcyjne w pomiarach średnicy drutów 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Warszawa 

 

50 

Metody dyfrakcyjne w pomiarach średnicy drutów. 

 

Opracował: mgr inŜ. Piotr Orzechowski 

 

1.  Cel ćwiczenia 

 
Celem  ćwiczenia  jest  zapoznanie  studentów  ze  sposobem  wyznaczania  niepewności 
pomiarów  wykonywanych  metodą  pośrednią,  tj.  wtedy,  gdy  wielkość  mierzona  jest 
wyznaczana na podstawie pomiaru innych wielkości związanych z wielkością mierzoną jakąś 
zaleŜnością  matematyczną  (np.  wartość  pola  powierzchni  prostokąta  uzyskujemy  mnoŜąc 
uprzednio  zmierzone  długości  jego  boków).  Innym  celem  ćwiczenia  jest  zapoznanie 
studentów  z  metodami  pomiarowymi  związanymi  z  techniką  laserową,  w  tym  przypadku  z 
pomiarem  średnicy  cienkiego  drutu  i  mikrootworu  z  zastosowaniem  dyfrakcji 
promieniowania (światła widzialnego) na krawędziach przeszkody. 
 

2.  Wprowadzenie teoretyczne 

 

2.1 Przekształcenie Fouriera 

 
Szereg funkcyjny o postaci: 
 

(

)

(

)

nx

B

nx

A

x

B

x

A

A

n

n

sin

cos

....

sin

cos

1

1

0

+

+

+

+

+

  

 
nazywamy szeregiem trygonometrycznym. 
Szereg Fouriera dla funkcji f(x) jest szczególnym przypadkiem szeregu trygonometrycznego, 
którego wartości współczynników A i B wyraŜają się następującymi wzorami: 
 

( )

( )

∫

−

=

π

π

π

dx

kx

f

A

x

k

cos

1

 

( )

( )

∫

−

=

π

π

π

dx

kx

f

B

x

k

sin

1

 

 
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe współczynnik B

0

 jest równy 0 (sin 0 =0), zaś współczynnik A

0

  jest 

równy całce z funkcji f (x) (cos 0 =1). 
Zdefiniujmy  sobie  teraz  funkcję  zespoloną,  zmiennej  naturalnej  k,  której  kolejnymi 
wartościami są wartości współczynników szeregu Fouriera funkcji f(x): 
 

( )

k

k

k

d

iB

A

F

+

=

 

                                                                           __  
Gdzie symbol i oznacza jednostkę urojoną tj. 

√

-1 . Funkcja taka jest funkcją dyskretną tj. ma 

wartości  tylko  dla  niektórych  liczb  ze  zbioru  liczb  rzeczywistych  (wyłącznie  dla  liczb 
naturalnych). Funkcję taką nazywamy dyskretną transformatą Fouriera (ang. Discrete Fourier 
Transform) w skrócie DFT. 
JeŜeli  teraz  liczby  naturalne  k  we  wzorze  3  zastąpimy  przez  liczby  rzeczywiste 

ω

,  to 

otrzymamy  ciągłą  transformatę  Fouriera  (lub  po  prostu  transformatę  Fouriera)  F(

ω

)  funkcji 

f(x). 

(1) 

(3) 

(2) 

 

51 

MoŜemy zatem zapisać: 
  

( )

( )

( )

( )

(

)

dx

x

i

x

f

F

x

∫

−

⋅

+

⋅

=

π

π

ω

ω

ω

sin

cos

 

 
a wprowadzając cos(

ω

x)+i sin(

ω

x)=e

-i

ω

x 

, otrzymujemy: 

 

( )

( )

dx

e

f

F

x

i

x

∫

−

−

⋅

=

π

π

ω

ω

 

Funkcję  f(x)  nazywamy  oryginałem,  F(x)  transformatą,  zaś  e

-i

ω

x

  nazywamy  jądrem 

przekształcenia Fouriera. 
Przekształcenie  Fouriera  często  stosujemy  zwłaszcza  wtedy,  gdy  chcemy  się  dowiedzieć,  z 
jakich  prostych  funkcji  składowych  składa  się  funkcja  uzyskana  w  wyniku  danego 
eksperymentu  np.  w  zagadnieniach  związanych  z  analizą  sygnałów  akustycznych,  zaś  w 
mechanice  przy  analizie  drgań  obiektów.  W  trakcie  niniejszego  ćwiczenia  poznamy  jeszcze 
jedno zastosowanie dla przekształcenia Fouriera. 
 

2.2 Dyfrakcja fali elektromagnetycznej 

 
Zjawisko  dyfrakcji  zachodzi  wówczas,  gdy  na  krawędź  nieprzeźroczystej  przesłony  pada 
wiązka  promieniowania  elektromagnetycznego  np.  światła.  Obserwujemy  wówczas 
niezerową intensywność promieniowania, równieŜ w obszarze za przesłoną.  
Ogólna teoria dyfrakcji jest zagadnieniem niezwykle skomplikowanym i jej szczegółowy opis 
daleko  wykraczający  poza  zakres  tej  instrukcji.  Osoby  zainteresowane  mogą  się  zapoznać  z 
tym zagadnieniem w pracach [1] i [2]. Dla potrzeb ćwiczenia studenci powinni wiedzieć, Ŝe 
opis  zjawiska  wynika  bezpośrednio  z  równań  Maxwella,  oraz  Ŝe  istnieje  szereg  modeli 
fizycznych tego zjawiska, dla których stosujemy pewne załoŜenia upraszczające. 
Jednym  z  modeli  jest  model  dyfrakcji  Fraunhofera.  ZałoŜeniem  upraszczającym  w  tym 
przypadku jest to, Ŝe fala padająca na przeszkodę jest płaska (to oznacza, Ŝe wiązka promieni 
ś

wiatła  jest  równoległa),  obserwator  znajduje  się  w  odległości  duŜo  większej  niŜ  wymiary 

przeszkody,  zaś  sama  przeszkoda  ma  wymiary  większe  od  długości  fali  promieniowania. 
Rozkład promieniowania elektromagnetycznego za przesłoną jest wówczas opisany wzorem: 
 

( )

∫

∞

∞

−

−

=

ξ

ξ

ξ

d

e

E

E

x

i

x

)

(

0

 

Gdzie: 
E(x) – rozkład promieniowania za przesłoną 
E

0

(

ξ

)- rozkład promieniowania w płaszczyźnie przesłony 

rect(

ξ

)  jest  funkcją,  którą,  moŜemy  opisać  (gęstość  optyczną)  przeźroczystość  płaskiej 

szczeliny, lub cienkiego drucika: 







=

1

0

)

(

ξ

rect

 

Rozwiązaniem całki (6) dla funkcji (7) jest: 

( )

x

s

x

s

E

E

x

λ

π

λ

π

)

sin(

0

=

 

dla 

ξ

>s i 

ξ

<-s 

 
dla –s>

ξ

<s 

(7) 

(4) 

(6) 

(5) 

(8) 

 

52 

Gdzie: 
s – jest szerokością szczeliny (grubością drucika) 

λ

 - jest długością fali promieniowania (światła) 

Wzór  (8)  jest  dość  niewygodny  w  uŜyciu,  gdyŜ  opisuje  rozkład  energii,  a  nie  intensywności 
promieniowania,  w  dodatku  opisuje  rozkład  energii  w  ściśle  określonej  płaszczyźnie.  Aby 
uzyskać  rozkład  intensywności  promieniowania  (a  więc  wielkość,  którą  moŜemy  zmierzyć), 
wystarczy  wzór  (8)  podnieść  do  kwadratu,  z  kolei,  aby  uzyskiwać  rozkłady  w  dowolnej 
płaszczyźnie podstawimy x=sin

α

, gdzie 

α

 jest kątem dyfrakcji: 

 

( )

2

0

)

sin(

))

sin(

sin(

























=

α

λ

π

α

λ

π

α

s

s

I

I

 

 
Wzór (9) osiąga wartość 0 wtedy, gdy licznik osiąga wartość 0 tj. wtedy gdy: 
 

=

π

n

)

sin(

α

λ

π

s

  

 

gdzie: 
n – rząd ugięcia (n jest liczbą całkowitą róŜną od 0) 

 

 
 
 
 
Jak widać z Rys. 1 kąt 

α

 moŜemy wyrazić przy pomocy odległości a

n

 i b: 













=

b

a

arctg

n

2

α

 

gdzie: 
a

n

 – odległość pomiędzy symetrycznie połoŜonymi minimami rozkładu rzędu n 

b – odległość mierzonego elementu od ekranu, na którym obserwujemy obraz dyfrakcyjny 
 
 

(11) 

(10) 

(9) 

 

53 

W rezultacie otrzymujemy wzór na wymiar s: 
 

























=

b

a

arctg

n

s

n

2

sin

λ

 

 
Dla małych kątów funkcje sinus i arcus tangens, są w przybliŜeniu równe swoim argumentom 
(wyraŜonym w radianach). W rezultacie moŜemy zastosować wzór uproszczony: 

n

a

nb

s

λ

2

=

 

 
W  przebiegu  ćwiczenia  zaleca  się  sprawdzenie  róŜnicy  w  wartościach  uzyskiwanych  przez 
zastosowanie wzoru (13) i (14), oraz porównanie ich z wartością niepewności. 
Analogiczne  rozumowanie  moŜemy  przeprowadzić  dla  otworu  okrągłego  z  tym,  Ŝe  musimy 
uŜyć dwuwymiarowej transformaty Fouriera. 
Analogicznie do wzoru (6) moŜemy zapisać: 

∫∫

+

−

=

R

y

x

i

y

x

d

d

e

E

E

η

ξ

η

ξ

π

η

ξ

)

(

2

)

,

(

0

)

,

(

 

gdzie R oznacza całą płaszczyznę 

ξ

,

η

. 

Pełne  wyprowadzenie  wzoru  dla  okrągłego  otworu  zamieszczone  jest  w  pracy  [2]  (Rozdział 
8.2  przykład  6).  Wynikiem  tego  wyprowadzenia  jest  następujący  wzór  na  rozkład 
intensywności: 
 

2

0

0

1

0

)

(

sin

sin

2





































=

α

λ

π

α

λ

π

α

d

d

J

I

I

 

 
Symbol  J

1

(z)  oznacza  funkcję  Bessla  pierwszego  stopnia  pierwszego  rodzaju.  Funkcja  ta 

zeruje się dla następujących wartości argumentu z: 
z

1

=3,83171 

z

2

=7,01559 

z

3

=10,17347 

z

4

=13,32369 

z

5

=16,47063 

Analogicznie do wzoru (12) moŜemy zapisać: 

























=

=

b

D

arctg

d

d

z

n

n

2

sin

sin

0

0

λ

π

α

λ

π

 

gdzie: 
z

n 

– n-ta wartość argumentu funkcji Bessla, dla którego J

1

(z

n

)=0 

D

n

 – średnica n-tego pierścienia minimum dyfrakcyjnego. 

Poszukiwaną średnicę otworu wyznaczamy z zaleŜności: 

























=

b

D

arctg

z

d

n

n

2

sin

0

π

λ

 

 

(13) 

(12) 

(14) 

(15) 

(17) 

(16) 

 

54 

Podobnie jak dla wzoru (13) moŜemy zastosować uproszczenie wzoru (18) (pod identycznymi 
warunkami) i otrzymujemy: 

n

n

D

z

b

d

π

λ

2

0

=

 

 

2.3 Określanie niepewności w przypadku pomiarów pośrednich 

 
W przypadku pomiarów pośrednich określenie całkowitej niepewności pomiaru przy pomocy 
niepewności  pomiarów  cząstkowych  nie  jest  sprawą  prostą.  Jest  sprawą  oczywistą,  Ŝe 
wyraŜenie  niepewności  całkowitej  przez  proste  zsumowanie  niepewności  cząstkowych  nie 
jest moŜliwe nawet jeśli  niepewności te reprezentują jedną wielkość fizyczną (np. długość). 

 

 
 
 
Wyobraźmy  sobie  pomiar  pośredni  wielkości  fizycznej  związanej  zaleŜnością  kwadratową  z 
wielkością,  którą  rzeczywiście  mierzymy,  z  taką  sytuacją  mamy  np.  do  czynienia  przy 
pomiarze pola powierzchni okręgu, który dokonujemy przez pomiar jego średnicy. Na Rys. 2  
przedstawiono  wykres  zaleŜności  pomiędzy  średnicą  okręgu,  a  jego  polem  powierzchni. 
Łatwo  zauwaŜyć,  Ŝe  przy  tej  samej  wartości  niepewności  pomiaru  średnicy  d,  niepewność 
pomiaru  pola  powierzchni  rośnie.  Jak  zatem  wyznaczyć  niepewność  pomiaru  pola 
powierzchni?  Poprowadźmy  styczną  do  paraboli  w  punkcie  A,  a  następnie  przesuńmy  ją 
równolegle  do  punktów  przecięcia  paraboli  i  prostych  ograniczających  zakres  niepewności 
pomiaru średnicy, oznaczymy te punkty jako B i C. Przez punkty B i C poprowadzimy teraz 
dwie  proste,  prostopadłe  do  osi  rzędnych  (a  więc  osi  na  której  odkładamy  wartości  pola 
powierzchni),  uzyskamy  w  ten  sposób  prostokąt  BCDE.  Bok  BE  (i  CD)  prostokąta  ma 

(18) 

 

55 

długość  równą  wartości  niepewności  pomiaru  średnicy  okręgu 

∆

d,  zaś  bok  BD  (i  CE)  ma 

długość równą wartości niepewności pola powierzchni 

∆

F.  

Z trygonometrii wynika, Ŝe: 

( )

α

tg

BD

BE

⋅

=

 

a więc: 

( )

α

tg

d

F

⋅

∆

=

∆

 

Tangens  kąta 

α

  jest  równy  pochodnej  z  zaleŜności  pomiędzy  średnicą  i  polem  powierzchni 

okręgu w punkcie A, a więc dla średniej wartości pomiaru średnicy. Mamy więc: 

( )

dd

dF

d

F

d

⋅

∆

=

∆

 

W  przypadku  jeŜeli  wielkość  wynikowa  jest  uzyskiwana  przez  pomiar  wielu  wielkości 
pośrednich,  wartość  niepewności  pomiaru  pośredniego  uzyskujemy  przez  sumowanie 
niepewności pomiarów cząstkowych pomnoŜonych przez wartości bezwzględne pochodnych 
cząstkowych. 

(

)

( )

( )

( )

n

x

n

x

x

x

x

x

x

P

x

x

P

x

x

P

x

P

n

n

∂

∂

∆

+

+

∂

∂

∆

+

∂

∂

∆

=

∆

0

20

10

2

1

...

2

2

1

1

,...

,

  

gdzie: 
x

1

, x

2

,..., x

n

 – kolejne wielkości mierzone 

∆

P – niepewność pomiaru  wielkości wynikowej 

∆

x

1

, 

∆

x

2

,..., 

∆

x

n 

 - kolejne niepewności wielkości mierzonych 

WyraŜenie postaci (23) nazywamy róŜniczką zupełną. 
 

3.  Przebieg ćwiczenia 
 

3.1 Opis stanowiska pomiarowego 
 
 

Schemat stanowiska pomiarowego pokazano na Rys. 3. Składa się ono ze źródła światła 1, w 
postaci  lasera  He-Ne;  elementu  mierzonego  2  (otworu  lub  drutu);  ekranu  3;  oraz  detektora 
obrazu  4  w  postaci  aparatu  cyfrowego.  Dane  uzyskane  w  wyniku  pomiaru  są  wstępnie 
przetwarzane przez komputer PC 5 i drukowane na drukarce 6. 

(20) 

(19) 

(22) 

(21) 

 

56 

 

 
Ś

wiatło,  emitowane  przez  laser  1,  ulega  dyfrakcji  na  elemencie  2.  Obraz  dyfrakcyjny  jest 

obserwowany  na  ekranie  3.  Odczyt  wyników  pomiaru  elementu  2  polega  na  pomiarze 
odległości  pomiędzy  prąŜkami  na  ekranie  3.  Wykonanie  bezpośredniego  odczytu  wyników 
(np.  przez  pomiar  odległości  przy  pomocy  liniału  przyłoŜonego  do  ekranu  3).  Jest,  w 
praktyce, bardzo trudny do wykonania, stąd konieczność zastosowania jakiegoś dodatkowego 
sposobu  odczytu  wyników  z  ekranu  3.  W  ćwiczeniu  zastosowano  metodę,  w  której 
wykonywane  jest  zdjęcie  obrazu  dyfrakcyjnego,  a  następnie  odczyt  wykonywany  jest  przez 
pomiar odległości między prąŜkami na wydrukowanym zdjęciu. PoniewaŜ aparat przekształca 
wymiary  rejestrowanego  obrazu,  musimy  współczynnik  tego  przekształcenia  (powiększenia) 
uwzględnić  we  wzorach  uŜywanych  do  wyznaczania  wartości  mierzonych.  NaleŜy  zwrócić 
uwagę  na  zachowanie  stałej  odległości  pomiędzy  aparatem  cyfrowym  4  i  ekranem  3  przez 
cały  czas  trwania  pomiaru,  gdyŜ  zmiana  tej  odległości  powoduje  w  konsekwencji  zmianę 
współczynnika powiększenia obrazu prąŜkowego. 
 

3.2 Przebieg ćwiczenia 

 
Zarówno  przy  pomiarze  średnicy  otworu  jak  i  średnicy  drutu  wykonywane  czynności  są 
praktycznie identyczne stąd poniŜszy opis dotyczy obu przypadków. 

- 

Zamocować linijkę na powierzchni ekranu 

- 

Wykonać 5 ekspozycji obrazu linijki, a następnie wydrukować zapisane zbiory 

- 

Pomierzyć  odległości  pomiędzy  kresami  na  obrazie  linijki  i  ustalić  współczynnik 

powiększenia wraz z jego niepewnością 

- 

Zamocować mierzony element w oprawie 

- 

Ustalić odległość pomiędzy ekranem i mierzonym elementem, przez 5-krotny pomiar  

- 

Wykonać 5 ekspozycji obrazu prąŜkowego, a następnie wydrukować zapisane zbiory 

- 

Wykonać  pomiar  odległości  pomiędzy  symetrycznymi  minimami  intensywności  na 

obrazie prąŜkowym ustalić niepewność pomiaru 

- 

Obliczyć wartość oczekiwaną wymiaru mierzonego elementu 

- 

Obliczyć niepewność pomiaru wymiaru mierzonego elementu 

 

57 

Wyniki pomiaru naleŜy  zapisać w protokole, którego wzór stanowi załącznik do niniejszego 
opracowania. Treść wniosków powinna zawierać: 

- 

Opis skrócony przebiegu ćwiczenia 

- 

Zestawienie  obliczonych  wartości  wielkości  wynikowych  z  niepewnościami  

pomiarów. Co moŜna powiedzieć o niepewnościach bezwzględnych? 

- 

Zestawienie wyników pomiaru obliczonych wg. wzorów dokładnych i przybliŜonych 

dla  poszczególnych  rzędów  prąŜków.  NaleŜy  porównać  je  z  odpowiednimi 
wartościami  niepewności.  W  jakich  przypadkach  moŜna  stosować  wzory 
przybliŜone? 

- 

Zestawienie  wartości  niepewności  pomiarów  wielkości  cząstkowych.  Która 

niepewność cząstkowa  ma największy wpływ na niepewność wynikową? 

- 

Własne obserwacje i wnioski. 

 

4.  Literatura 

 

 

[1]   

R. Jóźwicki  „Optyka Instrumentalna” (rozdziały 3 i 8), WNT, Warszawa 1970 

[2]  

J. Petykiewicz „Optyka Falowa” (rozdział 4), PWN, Warszawa 1986 

 

 

58 

 

REGULAMIN LABORATORIUM PODSTAW METROLOGII 

1.    Postanowienia ogólne 
1.1. Studenci  wykonują  ćwiczenia  laboratoryjne  w  zespołach.  Podział  grupy  studenckiej  na 

zespoły  dokonywany  jest  przez  Kierownika  Laboratorium  w  porozumieniu  ze starostami 
grup na początku semestru i obowiązuje przez cały czas jego trwania. 

1.2. Harmonogram  wykonywania  ćwiczeń  dla  kaŜdego  zespołu  jest  podany  na  cały  semestr. 

W rozkładzie  tym  przewiduje  się  dla  studentów  1  semestru    studiów  6  ćwiczeń 
laboratoryjnych. 

1.3. Zajęcia odbywają się bez przerw i trwają 1 godzinę i 45 minut. Studenci spóźnieni mogą 

być niedopuszczeni do wykonywania ćwiczenia. 

1.4. Studenci są obowiązani  przygotować się do zajęć na podstawie wykładów oraz literatury 

do poszczególnych ćwiczeń. 

1.5. Nie  przewiduje  się  oddzielnych  terminów  do  odrobienia  zajęć  opuszczonych  lub 

niezaliczonych.  W wyjątkowych  wypadkach  losowych  wyznaczenie  dodatkowych 
terminów moŜe nastąpić jedynie za zgodą Kierownika Laboratorium. 

 
2.  Przebieg zajęć 
2.1. KaŜde  ćwiczenie  rozpoczyna  się  kollokwium  ustnym  lub  pisemnym  oraz  krótkim 

omówieniem ćwiczenia przez prowadzącego zajęcia. 

2.2. W  trakcie  ćwiczenia  kaŜdy  zespół  prowadzi  starannie  protokół  pomiarów.  Po  wykonaniu 

ć

wiczenia  zespół  przedstawia  opracowane  wyniki  pomiarów  prowadzącemu  ćwiczenie 

do akceptacji. 

2.3. Studenci  są  zobowiązani  do  wykonania  indywidualnych  sprawozdań  zawierających 

dyskusję  otrzymanych  wyników.  Sprawozdanie  naleŜy  oddać  przed  rozpoczęciem  zajęć 
w dniu odrabiania następnego kolejnego ćwiczenia. 

 
3.  Zasada oceniania pracy studenta w semestrze 
3.1. Student za kaŜde odrobione ćwiczenie otrzymuje ocenę w skali od 2 do 5. 
3.2. Ocena  za  wykonanie  ćwiczenia  obejmuje:  kollokwium  wstępne,  samodzielność 

i sprawność w przeprowadzaniu pomiarów, sposób opracowania wyników, sprawozdanie. 

3.3. Studenci nieobecni na zajęciach nie otrzymują Ŝadnej oceny. 
 
4.  Warunki zaliczenia laboratorium 
4.1. Warunkiem zaliczenia laboratorium jest: 

a)  wykonanie i zaliczenie 6 ćwiczeń przewidzianych programem laboratorium 
b)  otrzymanie przynamniej dostatecznej oceny końcowej. 

4.2. Ocena  końcowa  obliczana  jest  jako  suma  wszystkich  ocen  z  ćwiczeń  zaliczonych 

podzielona przez 6. 

 
5.  Przepisy porządkowe 
5.1. Pomiary,  montaŜ  stanowiska  itp.  muszą  być  wykonywane  z  naleŜytą  starannością. 

W szczególności  studenci  muszą  przestrzegać  zasad  bezpiecznego  postępowania 
z aparaturą znajdującą się pod napięciem. 

5.2. Uruchomienie  układu  pomiarowego  moŜe  nastąpić  jedynie  po  uzyskaniu  zgody 

prowadzącego ćwiczenie. 

5.3. Wszelkie  uszkodzenia  stanowiska  lub  przyrządów  pomiarowych  a  takŜe  wadliwe  ich 

działanie winno być niezwłocznie zgłaszane prowadzącemu ćwiczenie. 

5.4. W  czasie  trwania  zajęć  obowiązuje  studentów  zachowanie  odpowiadające  normom 

przyjętym na Uczelni. 

 

59 

5.5. KaŜde  opuszczenie  sali  laboratoryjnej  w  czasie  wykonywania  ćwiczenia  winno  być 

zgłaszane prowadzącemu ćwiczenie. 

5.6. Wszelkie sprawy nie objęte regulaminem rozstrzyga Kierownik Laboratorium.