Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK
Macierze i ukªady równa« liniowych - przykªady
Macierze i wyznaczniki
Przykªad 1. Dane s¡ macierze
A =
0 1
3
−1 2
1
1 0 −1
, B =
−2
1 −5
0 −3 −3
−2
1
1
, C =
1 1
−2 0
1 1
, D =
1 −1 0
−1
0 2
.
Wtedy
C + 2 · D
T
=
1 1
−2 0
1 1
+ 2 ·
1 −1
−1
0
0
2
=
1 1
−2 0
1 1
+
2 −2
−2
0
0
4
=
=
1 + 2 1 + (−2)
−2 + (−2)
0 + 0
1 + 0
1 + 4
=
3 −1
−4
0
1
5
,
B − A
=
−2
1 −5
0 −3 −3
−2
1
1
−
0 1
3
−1 2
1
1 0 −1
=
−2 − 0
1 − 1
−5 − 3
0 − (−1) −3 − 2
−3 − 1
−2 − 1
1 − 0 1 − (−1)
=
=
−2
0 −8
1 −5 −4
−3
1
2
,
B · A
=
−2
1 −5
0 −3 −3
−2
1
1
·
0 1
3
−1 2
1
1 0 −1
=
=
−2·0+1 ·(−1)+(−5)·1
−2·1+1·2+(−5)·0 −2·3+1·1+(−5) · (−1)
0·0+(−3) ·(−1)+(−3)·1 0·1+(−3) ·2+(−3)·0 0·3+(−3) ·1+(−3)·(−1)
(−2)·0+1 ·(−1)+1·1
(−2)·1+1 ·2+1·0
(−2)·3+1 ·1+1·(−1)
=
=
−6
0
0
0 −6
0
0
0 −6
= −6 ·
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= −6 · I.
Przykªad 2.
det
2 −3
5
4
= 2 · 4 − 5 · (−3) = 8 + 15 = 23,
det
−2 3 1
1 4 2
−1 2 3
= −2 · 4 · 3+1 · 2 · 1+(−1) · 3 · 2−(−1) · 4 · 1−2 · 2 · (−2)−3 · 1 · 3 =
= −24 + 2 − 6 + 4 + 8 − 9 = −25
Przykªad 3. Dana jest macierz A =
−2
3 −8
1 −5 −4
−3
1
0
Wtedy
A
23
= (−1)
2+3
· M
23
= −M
23
= −
−2 3
−3 1
= −(−2 + 9) = −7.
1
Przykªad 4. Dana jest macierz
A =
2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1
.
Obliczymy jej wyznacznik stosuj¡c rozwini¦cie Laplace'a wzgl¦dem pierwszej kolumny.
det A =
2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1
= a
11
A
11
+ a
21
A
21
+ a
31
A
31
+ a
41
A
41
=
= 2 · (−1)
1+1
·
1 1 2
1 0 2
2 3 1
+ 4 · (−1)
2+1
·
3 1 1
1 0 2
2 3 1
+ 1 · (−1)
3+1
·
3 1 1
1 1 2
2 3 1
+
+ 3 · (−1)
4+1
·
3 1 1
1 1 2
1 0 2
= 2(6 + 4 − 6 − 1) − 4(3 + 4 − 18 − 1) +
+ (3 + 3 + 4 − 2 − 18 − 1) − 3(6 + 2 − 1 − 2) = 6 + 48 − 11 − 15 = 28
Przykªad 5. Obliczymy jeszcze raz wyznacznik macierzy z Przykªadu 4
A =
2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1
.
Na wyznaczniku tej macierzy dokonamy elementarnych operacji, nie wpªywaj¡cych jego
posta¢, a zdecydowanie uªatwiaj¡cych i przyspieszaj¡cych jego obliczenie. Operacje te
b¦dziemy opisywa¢ nad równo±ci¡ i tak np. wyra»enie ”k
2
+ 2 ·
k
3
”
oznacza¢ b¦dzie, »e do
kolumny drugiej dodajemy kolumn¦ trzeci¡ pomno»on¡ przez liczb¦ 2, a wyra»enie ”w
4
−
w
1
”
oznacza¢ b¦dzie, »e od wiersza czwartego odejmujemy wiersz pierwszy. Zobaczmy, »e w wy-
niku elementarnych operacji, wyznacznik macierzy nie zmienia si¦.
det A =
2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1
k1-k3
=
1 3 1 1
3 1 1 2
1 1 0 2
0 2 3 1
w2-3
·
w1
w3-w1
=
1
3
1
1
0 −8 −2 −1
0 −2 −1
1
0
2
3
1
k2-6
·
k4
=
=
1 −3
1
1
0 −2 −2 −1
0 −8 −1
1
0 −4
3
1
w3-4
·
w2
w4-2
·
w2
=
1 −3
1
1
0 −2 −2 −1
0
0
7
5
0
0
7
3
w4-w3
=
=
1 −3
1
1
0 −2 −2 −1
0
0
7
5
0
0
0 −2
rozw. L wzgl.
1 kolumny
=
1 · (−1)
1+1
−2 −2 −1
0
7
5
0
0 −2
rozw. L. wzgl.
1 kolumny
=
= 1 · (−2)(−1)
1+1
7
5
0 −2
rozw. L. wzgl.
1 kolumny
=
1 · (−2) · 7(−1)
1+1
−2
=
= 1 · (−2) · 7 · (−2) = 28.
2
Przykªad 6. Wyznaczymy macierz odwrotn¡ do macierzy
A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
.
Sprawadzamy, czy macierz A jest odwracalna.
det A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
= −2 − 1 = −3 6= 0.
Poniewa» wyznacznik jest ró»ny od zera, to macierz jest odwracalna tzn. istnieje macierz
odwrotna A
−1
. Aby skorzysta¢ ze wzoru (??) wyliczamy dopeªnienia algebraiczne wszyst-
kich wyrazów:
A
11
= (−1)
1+1
·
−1 0
1 2
= −2,
A
12
= (−1)
1+2
·
−1 0
0 2
= 2,
A
13
= (−1)
1+3
·
−1 −1
0
1
= −1,
A
21
= (−1)
2+1
·
0 1
1 2
= 1,
A
22
= (−1)
2+2
·
1 1
0 2
= 2,
A
23
= (−1)
2+3
·
1 0
0 1
= −1,
A
31
= (−1)
3+1
·
0 1
−1 0
= 1,
A
32
= (−1)
3+2
·
1 1
−1 0
= −1,
A
33
= (−1)
3+3
·
1
0
−1 −1
= −1.
Otrzymujemy
A
−1
=
1
det A
[A
ij
]
T
=
1
−3
−2
2 −1
1
2 −1
1 −1 −1
T
=
1
−3
−2
1
1
2
2 −1
−1 −1 −1
=
2
3
−
1
3
−
1
3
−
2
3
−
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
.
Aby sprawdzi¢, czy dobrze wyznaczyli±my macierz odwrotn¡ mo»emy wyznaczy¢ iloczyny
AA
−1
i A
−1
A
. Je±li w obu przypadkach otrzymamy macierz jednostkow¡, to macierz
odwrotna zostaªa dobrze wyznaczona.
Przykªad 7. Korzystaj¡c z bezwyznacznikowej metody wyznaczymy macierz odwrotn¡ do
macierzy
A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
.
3
Otrzymujemy
A I =
1
0 1 1 0 0
−1 −1 0 0 1 0
0
1 2 0 0 1
w
2
+ w
1
−→
1
0 1 1 0 0
0 −1 1 1 1 0
0
1 2 0 0 1
w
2
· (−1)
−→
1 0
1
1
0 0
0 1 −1 −1 −1 0
0 1
2
0
0 1
w
3
− w
2
−→
1 0
1
1
0 0
0 1 −1 −1 −1 0
0 0
3
1
1 1
w
3
·
1
3
−→
1 0
1
1
0
0
0 1 −1 −1 −1
0
0 0
1
1
3
1
3
1
3
w
2
+ w
3
w
1
− w
3
−→
1 0 0
2
3
−
1
3
−
1
3
0 1 0 −
2
3
−
2
3
1
3
0 0 1
1
3
1
3
1
3
=
I A
−1
.
Przykªad 8. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe AX = B , je±li
A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
oraz B =
3
3
6
0
−9 −3
.
Macierz A jest odwracalna (Przykªad 6). Aby wyznaczy¢ macierz X pomno»ymy z lewej
strony nasze równanie przez A
−1
. Otrzymujemy
A
−1
AX = A
−1
B
IX = A
−1
B
X = A
−1
B
Korzystamy z wyliczonej w Przykªadzie 6 macierzy odwrotnej A
−1
i otrzymujemy
X
=
2
3
−
1
3
−
1
3
−
2
3
−
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
·
3
3
6
0
−9 −3
=
3
3
−9 −3
0
0
Przykªad 9. Znale¹¢ rz¡d macierzy
A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
.
Poniewa»
det A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
= −2 − 1 = −3 6= 0,
to rzA = 3.
Przykªad 10. Znajdziemy rz¡d macierzy
B =
1
1
2
2 −1
1
3
0
3
−1 −1 −2
.
Macierz B jest wymiaru 4 × 3, wi¦c jej rz¡d mo»e by¢ co najwy»ej równy 3. Mamy cztery
minory stopnia 3, tzn. minor po usuni¦ciu czwartego wiersza, minor po usuni¦ciu trze-
ciego wiersza, minor po usuni¦ciu drugiego wiersza i minor po usuni¦ciu pierwszego wiersza.
Sprawdzamy kolejno warto±ci tych minorów stopnia 3. Je±li który± z nich okazaªby si¦ ró»ny
4
od zera, to ko«czymy nasze rozwa»ania (obliczenia) i stwierdzamy, »e rz¡d macierzy B jest
równy 3, tzn rzB = 3. Obliczamy pierwszy minor
1
1 2
2 −1 1
3
0 3
= −3 + 3 + 6 − 6 = 0.
Okazuje si¦ by¢ zerowym. Obliczamy kolejny minor
1
1
2
2 −1
1
−1 −1 −2
= 2 − 2 − 1 − 2 − 1 + 4 = 0.
On równie» si¦ zeruje. Obliczamy kolejny minor
1
1
2
3
0
3
−1 −1 −2
= −6 − 3 + 3 + 6 = 0.
Minor si¦ zeruje. Obliczamy ostatni ju» minor
2 −1
1
3
0
3
−1 −1 −2
= −3 + 3 + 6 − 6 = 0.
Stwierdzamy, »e wszystkie minory stopnia 3 zeruj¡ si¦, st¡d rz¡d macierzy B nie mo»e
wynosi¢ 3, musi by¢ mniejszy ni» 3, rzB < 3. Szukamy niezerowego minora stopnia 2.
Wszystkich minorów stopnia 2 jest 18. Wystarczy, »e wska»emy jeden niezerowy. Zauwa»my,
»e minor powstaªy z usuni¦cia trzeciego i czwartego wiersza oraz trzeciej kolumny jest nieze-
rowy
1
1
2 −1
= −3 6= 0
. Oznacza to, »e rzB = 2.
Przykªad 11. Znajdziemy rz¡d macierzy
B =
1
1
2
2 −1
1
3
0
3
−1 −1 −2
.
rzB = rz
1
1
2
2 −1
1
3
0
3
−1 −1 −2
w
4
+ w
1
w
3
− (w
1
+ w
2
)
=
rz
1
1 2
2 −1 1
0
0 0
0
0 0
skre±lamy w
3
, w
4
=
=
rz
1
1 2
2 −1 1
k
3
− (k
1
+ k
2
)
=
rz
1
1 0
2 −1 0
skre±lamy k
3
=
rz
1
1
2 −1
= 2.
Ukªady równa« liniowych
Przykªad 12. Rozwi¡»emy ukªad równa« liniowych
x +
y +
z =
0
2x −
y −
z = −3
4x − 5y − 3z = −7
.
Tworzymy macierz gªówn¡ tego ukªadu
A =
1
1
1
2 −1 −1
4 −5 −3
5
i obliczamy jej wyznacznik
W = det A =
1
1
1
2 −1 −1
4 −5 −3
= 3 − 10 − 4 + 4 − 5 + 6 = −6 6= 0.
Poniewa» macierz gªówna jest niesobliwa (det A 6= 0), to ukªad jest Cramera i ma jedno
rozwi¡zanie.
W
x
=
0
1
1
−3 −1 −1
−7 −5 −3
= 15 + 7 − 7 − 9 = 6
W
y
=
1
0
1
2 −3 −1
4 −7 −3
= 9 − 14 + 12 − 7 = 0
W
z
=
1
1
0
2 −1 −3
4 −5 −7
= 7 − 12 − 15 + 14 = −6
Nasz ukªad ma rozwi¡zanie
x =
6
−6
= −1
y =
0
−6
= 0
z =
−6
−6
= 1
.
Przykªad 13. Rozwi¡»emy ukªad równa« liniowych
3x −
y +
z = 2
6x − 2y + 2z = 1
.
Tworzymy macierz gªówn¡ i macierz uzupeªnion¡ tego ukªadu
A =
3 −1 1
6 −2 2
2×3
,
U =
3 −1 1 2
6 −2 2 1
2×4
.
Z postaci macierzy gªównej widzimy, »e nie jest to ukªad Cramera (liczba wierszy nie jest
równa liczbie kolumn, liczba równa« nie jest równa liczbie niewiadomych). Zastosujemy
Twierdzenie (??) Kroneckera-Capellego. Wyznaczamy rz¦dy macierzy A i U .
rzA = rz
3 −1 1
6 −2 2
w
2
− 2 · w
1
=
rz
3 −1 1
0
0 0
skre±lamy w
2
=
rz 3 −1 1 = 1,
rzU = rz
3 −1 1 2
6 −2 2 1
k
1
+ 3 · k
2
k
3
+ ·k
2
=
rz
0 −1 0 2
0 −2 0 1
skre±lamy k
1
, k
3
=
rz
−1 2
−2 1
= 2.
Poniewa» rz¦dy s¡ ró»ne tzn. rzA 6= rzU , to ukªad jest sprzeczny (Uwaga ??).
Przykªad 14. Rozwi¡»emy ukªad równa«
x −
y +
z = 0
2x − 2y +
z = 1
3x − 3y + 2z = 1
.
6
Jest to ukªad o tej samej liczbie równa« i nierówno±ci. Tworzymy macierz gªówn¡ tego
ukªadu i obliczamy jej wyznacznik
A =
1 −1 1
2 −2 1
3 −3 2
,
det A =
1 −1 1
2 −2 1
3 −3 2
w
3
− w
1
− w
2
=
1 −1 1
2 −2 1
0
0 0
= 0.
Zatem nie jest to ukªad Cramera. Zastosujemy Twierdzenie (??) Kroneckera-Capellego.
Wyznaczamy rz¦dy macierzy A i U . Wiemy ju», »e rz¡d macierzy A nie mo»e by¢ 3 (zeruje
si¦ wyznacznik). Wynosi on 2, gdy¹ minor
−1 1
−2 1
= −1 + 2 = 1 6= 0
, mamy rzA = 2.
rzU = rz
1 −1 1 0
2 −2 1 1
3 −3 2 1
w
3
− w
1
− w
2
=
rz
1 −1 1 0
2 −2 1 1
0
0 0 0
=
rz
1 −1 1 0
2 −2 1 1
=
=
rz
−1 1
−2 1
= 2
Mamy zatem r = rzA = rzU = 2 oraz n = 3 (ilo±¢ niewiadomych). Na podstawie Twierdze-
nie Kroneckera-Capellego wnioskujemy, »e ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi¡za« zale»nych
od n − r = 3 − 2 = 1 parametru. Na bazie wskazanego niezerowego minora
−1 1
−2 1
tworzymy nowy ukªad, tzn. odrzucamy te równania, których wspóªczynniki nie wchodz¡
w skªad tego minora, a zmienne, które nie maj¡ reprezentantów w tym minorze przenosimy
na drug¡ stron¦ równa« i traktujemy je jak parametry. Mamy ukªad
−y + z =
−x
−2y + z = 1 − 2x
.
Oznaczamy x przez parametr t, gdzie t ∈ R.
−y + z =
−t
−2y + z = 1 − 2t
.
Obliczamy wyznaczniki dla tego nowego ukªadu
W =
−1 1
−2 1
= 1,
W
y
=
−t 1
1 − 2t 1
= −t + 2t − 1 = t − 1,
W
z
=
−1
−t
−2 1 − 2t
= 2t − 1 − 2t = −1.
Otrzymujemy rozwi¡zanie postaci
x = t
y =
t − 1
1
= t − 1
z =
−1
1
= −1
, gdzie t ∈ R.
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
macierze i układy równań zadania godsys62u2gplwzfucb2g522gfp5inatbntr3ka GODSYS62U2GPLWZFUCB2G522G
W2 RZAD MACIERZY UKLADY ROWNAN LINIOWYCH, UEP lata 2014-2019, Ekonometria
LISTA 10, Macierze i układy równań liniowych
Macierze i uklady rownan zadania domowe
Arkusz zadan Macierze i uklady rownan liniow (2)
MACIERZE UKLADY ROWNAN LINIOWYCH
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Mieloszyk E Macierze, wyznaczniki i układy równań
równania macierzowe układy
6-MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH, MACIERZE I WYZNACZNIKI
Układy równań z macierzami
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Macierze,wyznaczniki, układy równań AK, 2011 12
lab8 1 uklady rownan liniowych
Układy równań liniowych
więcej podobnych podstron