Dr inż. Michał Chłędowski

PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI

Materiały dydaktyczne

dotyczące zagadnień przewidzianych na II kolokwium zaliczeniowe

Zakres tematyczny: Stabilność układów automatycznej regulacji, kryterium Hurwitza, dobór
optymalnych nastaw regulatora, metodyka Nicholsa-Zieglera, uchyb ustalony

Treść zadania: Należy dla UAR, którego schemat blokowy, transmitancja przejścia oraz ich dane
liczbowe przedstawione są na rysunku, określić k

kr

, k

opt

oraz wartość ε

ust

..

Uwaga! Funkcje i dane liczbowe są przykładowe. Na kolokwium na pewno będą inne.

Tok postępowania:

1. Określić krytyczną wartość współczynnika wzmocnienia regulatora k

kr

. Do tego celu

wykorzystamy kryterium Hurwitza. Dla jego zastosowania konieczna jest znajomość
równania charakterystycznego albowiem jego współczynniki decydują o stabilności lub
niestabilności układu. Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik „ładnej”
transmitancji zastępczej przyrównany do zera. Tak więc wykonamy w kolejności
następujące czynności:
- wyliczymy transmitancję zastępczą,
- przekształcimy transmitancję zastępczą do postaci stosunku dwóch wielomianów
(zlikwidujemy ułamki piętrowe),
- mianownik transmitancji zastępczej przyrównamy do zera i otrzymamy równanie
charakterystyczne,
- sprawdzimy, czy współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są tego samego
znaku (pierwszy warunek Hurwitza),
- napiszemy wyznacznik główny Hurwitza,
- sprawdzimy, czy podwyznaczniki wyznacznika głównego niezawierające k

r

są większe od

zera (warunek konieczny),
- przyrównamy do zera podwyznacznik zawierający k

r

i z otrzymanej równości wyliczymy

k

r

= k

kr

.

2. Określimy optymalny współczynnik wzmocnienia k

opt

według metodyki Nicholsa-Zieglera.

Ponieważ w rozważanym przypadku mamy do czynienia z regulatorem typu P
(proporcjonalnym) to zgodnie z regułami metodyki Nicholsa-Zieglera k

opt

= 0,5k

kr

.

3. Wyznaczenie wartości liczbowej uchybu ustalonego ε

ust

..

Mając liczbową wartość k

opt

możemy wyliczyć wartość uchybu ustalonego ε

ust

. korzystając

z transmitancji uchybowej i ze wzoru na uchyb ustalony. Przyjmiemy sygnał wymuszający

w postaci skoku jednostkowego czyli w

zad

(

s)=

1

s

.

Transmitancja uchybowa ze względu na sygnał zadany w(s) ma postać:

G

ε

w

(

s )=

ε (

s)

w (s)

=

1

1+G

R

(

s)G

o

(

s)G

UP

(

s)

Natomiast wartość uchybu ustalonego w tym przypadku liczymy ze wzoru:

ε

0w

=

lim

t → ∞

ε

w

(

t)=lim

s → 0

sε

w

(

s)=lim

s → 0

s

1

1+G

R

(

s)G

o

(

s )G

UP

(

s)

w

zad

(

s)

Przykład rozwiązania

Uwaga! Przykładowe rozwiązanie wykorzystuje transmitancje ze schematu blokowego

Krok I – określenie transmitancji zastępczej

Korzystając ze wzorów na transmitancję zastępczą połączenia szeregowego członów oraz

połączenia ze sprzężeniem zwrotnym (szczegóły patrz Wykład Nr5, w szczególności rozdział 5.3)
napiszemy wzór na transmitancję zastępczą układu przedstawionego na schemacie:

G

zas

=

10k

r

(

10s+1)(400s

2

+

30s+1)

1+

10k

r

(

10s+1)(400s

2

+

30s+1)( s+1)

=

10k

r

(

s+1)

(

10s+1)(400s

2

+

30s+1)(s+1)+10k

r

Krok II – określenie równania charakterystycznego

Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik transmitancji zastępczej

przyrównany do zera. Ważnym jest, aby transmitancja zastępcza była „ładna” to znaczy, aby była
wyrażona w postaci stosunku dwóch wielomianów. Nie mogą w transmitancji zastępczej
występować ułamki piętrowe. Tak więc w omawianym przykładzie równanie charakterystyczne
przyjmie postać:

(

10s+1)(400s

2

+

30s+1)(s+1)+10k

r

=

4000s

4

+

4700s

3

+

740s

2

+

41s+1+10k

r

=

0 .

Warto sobie równocześnie napisać ogólną postać równania charakterystycznego 4-go stopnia

a

4

s

4

+

a

3

s

3

+

a

2

s

2

+

a

1

s+a

0

=

0

i podpisać jedno nad drugim, czyli

4000s

4

+

4700s

3

+

740s

2

+

41s+1+10k

r

=

0

a

4

s

4

+

a

3

s

3

+

a

2

s

2

+

a

1

s+ a

0

=

0

Taki zapis ułatwi za chwilę badanie podwyznaczników.
Krok III – główny wyznacznik Hurwitza dla układu 4-go stopnia

Zastosowanie kryterium Hurwitza do wyznaczenia krytycznej wartości współczynnika

wzmocnienia regulatora k

r

wymaga badania podwyznaczników wyznacznika głównego Hurwitza

(szczegóły: wykład 8, pkt. 8.4). Dlatego teraz napiszemy ogólną postać tego wyznacznika dla
układu 4-go stopnia a następnie sam wyznacznik.

Wyznacznik główny dla układu 4-go stopnia ma postać:

Γ=

∣

a

3

a

4

0

0

a

1

a

2

a

3

a

4

0

a

0

a

1

a

2

0

0

0

a

0

∣

.

Wyznacznik główny w omawianym przykładzie zapiszemy następująco:

Γ=

∣

4700

4000

0

0

41

740

4700

4000

0

(

1+10k

r

)

41

740

0

0

0

(

1+10k

r

)

∣

Krok IV -sprawdzamy pierwszy warunek Hurwitza

Pierwszy warunek Hurwitza brzmi: wszystkie współczynniki równania charakterystycznego

muszą istnieć i być tego samego znaku (szczegóły: wykład 7, pkt. 7.3).

Sprawdzamy: współczynniki a

4

, a

3

, a

2

, a

1

istnieją i są dodatnie. Po to aby a

0

również

istniało i były dodatnie, k

r

musi być:

•

1+10k

r

>

0 → k

r

>

−

1

10

→

k

r

>−

0,1

Widzimy więc, że jeśli k

r

będzie dodatnie to pierwszy warunek będzie spełniony.

Krok V – sprawdzamy drugi warunek Hurwitza

Drugi warunek Hurwitza powiada: wszystkie podwyznaczniki Δ

i

. > 0, gdzie i = 2,3,...,n-1.

W przypadku, kiedy n = 4 należy sprawdzić dwa podwyznaczniki: Δ

2

oraz Δ

3

.

Sprawdzamy Δ

2

:

Δ

2

=

∣

a

3

a

4

a

1

a

2

∣

=

a

2

a

3

−

a

1

a

4

=

740⋅4700−41⋅4000=3478000−164000=3314000>0

Sprawdzamy Δ

3

:

Δ

3

=

∣

a

3

a

4

0

a

1

a

2

a

3

0

a

0

a

1

∣

=

a

1

a

2

a

3

−

a

0

a

3

2

−

a

1

2

a

4

=

41⋅740⋅4700−(1+10k

r

)⋅

4700

2

−

41

2

⋅

4000

Δ

3

=

142598000−22090000−220900000k

r

−

6724000=113784000−220900000k

r

>

0

k

r

<

113784000

22090000

<

0,515

Krok VI – określenie krytycznej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora, k

r

Z przeprowadzonych rozważań i wyliczeń wynika, że graniczna wartość współczynnika

wzmocnienia regulatora k

r

przy której układ będzie na granicy stabilności to k

r

= 0,515. Tę

wartość wzmocnienia nazywamy krytyczną (szczegóły: wykład 8, pkt. 8.4).
Tak więc w rozważanym przykładzie k

kr

=0,515 .

Krok VII – określenie optymalnej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora, k

opt

Jednym ze znanych sposobów doboru optymalnych nastaw regulatora jest metodyka

Nicholsa-Zieglera (szczegóły: wykład 10, pkt. 10.3). Dla przypadku, kiedy stosujemy regulator
proporcjonalny P ( a tak mamy w tym przypadku albowiem pytamy tylko o jeden parametr
regulatora i to parametr charakteryzujący regulator P) sprawa jest bardzo prosta. Zgodnie z
zaleceniami Nicholsa-Zieglera dla UAR z regulatorem P k

opt

= 0,5k

kr

. Tak więc w omawianym

przykładzie k

opt

= 0,257.

Krok VIII– określenie wartości uchybu ustalonego,

ε

ust

Uchyb ustalony wyliczymy ze wzoru na uchyb ustalony przyjmując k

r

= k

opt

(szczegóły:

wykład 9, pkt. 9.1 oraz przykład 9.1).

Wstawimy do wzoru na uchyb ustalony transmitancje z rozważanego przykładu a za sygnał

wejściowy w

zad

przyjmiemy wymuszenie jednostkowe.

Otrzymamy

ε

0w

=

lim

s → 0

s

1

1+G

R

(

s)G

o

(

s)G

UP

(

s)

w

zad

(

s)=lim

s → 0

s

1

1+

k

opt

⋅

10

(

10s+1)(400s

2

+

30s+1)(s+1)

⋅

1

s

ε

0w

=

1

1+10k

opt

=

1

1+10⋅0,257

=

0,28

Taka wartość uchybu ustalonego oznacza, że w stanie ustalonym na wyjściu obiektu w
rozpatrywanym przykładowym UAR sygnał ustali się na poziomie: y

ust

=1-0,28 = 0,72.