etn cwiczenia nr 6 id 164467

background image

Ćwiczenia nr 6: Niezawodność systemów cz.2

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

1

Michał Kapałka

mkapalka@wat.edu.pl

Elementy teorii niezawodności

Ć

wiczenia nr 6: Niezawodność systemów cz. 2

Jeśli pewne elementy (lub nawet wszystkie) są elementami odnawialnymi, to stosujemy podstawienie:

Zadanie 1:
Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w chwili t system jest w stanie zdatności. Elementy systemu są
identyczne, odnawialne o czasie poprawnej pracy o rozkładzie wykładniczym z parametrem a oraz czasie odnowy o
rozkładzie wykładniczym z parametrem b.
Struktura niezawodnościowa systemu złożonego z 7-miu elementów ma postać:

Zatem:

0

,

1

)

(

)

(

=

=

t

e

t

F

t

F

at

i

0

,

1

)

(

)

(

=

=

t

e

t

G

t

G

bt

i



System jest odnawialny, ponieważ:

system jest odnawialny, jeśli istnieje chociażby jedna minimalna ścieżka zdatności złożona z elementów
odnawialnych.

Szukamy zatem k

gs

(t)=?

1

3

2

4

5

6

7

)

(

k

1

(t)

F

,

)

(

k

(t)

R

i

g

i

i

g

i

t

t

background image

Ćwiczenia nr 6: Niezawodność systemów cz.2

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

2

Michał Kapałka

mkapalka@wat.edu.pl


Nie znamy wielkości:

)

(

),

(

),

(

),

(

),

(

),

(

),

(

7

6

5

4

3

2

1

t

k

t

k

t

k

t

k

t

k

t

k

t

k

g

g

g

g

g

g

g

Wyznaczamy te wielkości ze wzoru:

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

=

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

=

s

b

ab

s

b

s

a

s

s

s

b

s

a

ab

s

b

s

a

s

a

a

s

a

s

s

b

b

s

a

a

s

a

a

s

s

g

s

f

s

f

s

s

k

i

g

1

1

1

1

1

)

(

)

(

1

)

(

1

1

)

(

*

*

*

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

b

a

s

s

s

b

s

b

a

s

s

b

s

s

s

b

ab

s

b

a

s

ab

s

s

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+

=

2

2

1

1

Wyznaczamy pierwiastki mianownika: w tym przypadku to s=0 i s=(a+b). Zatem poprzednią postać można
sprowadzić do postaci z ułamkami prostymi:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

b

a

s

s

Cs

Bs

b

a

A

As

b

a

s

Cs

B

s

A

b

a

s

s

s

b

s

k

i

g

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

=

2

)

(

)

(

Porównujemy współczynniki przy potęgach zmiennej s w pierwszym i ostatnim (trzecim) ułamku:
C=0, A(a+b)=b, A+B=1
Stąd otrzymujemy

0

=

+

=

+

=

C

a

b

a

B

a

b

b

A

i

oraz


Zatem otrzymujemy postać następującą:

(

)

b

a

s

a

b

a

s

a

b

b

s

k

i

g

+

+

+

+

+

=

1

1

)

(


Mając na uwadze formułę

(

)

1

!

)

(

+

+

=

n

at

n

a

s

n

e

t

L

Otrzymujemy postać na współczynnik gotowości dla pojedynczych elementów:

t

b

a

g

e

a

b

a

a

b

b

t

k

i

)

(

)

(

+

+

+

+

=


Podstawiając te formułę do wzorów wcześniej otrzymanych wyznaczamy postać k

gs

(t).


Zadanie 2. (kontynuacja zadania poprzedniego).








Elementy 1, 4, 5, i 7 są identyczne, odnawialne o czasie poprawnej
pracy o rozkładzie wykładniczym z parametrem a oraz czasie odnowy o
rozkładzie wykładniczym z parametrem b.
Zatem dla tych elementów:

0

,

1

)

(

)

(

=

=

t

e

t

F

t

F

at

i

0

,

1

)

(

)

(

=

=

t

e

t

G

t

G

bt

i


Z kolei elementy 2 i 3 są nieodnawialne z czasem do uszkodzenia o
rozkładzie wykładniczym z parametrem c:

0

,

1

)

(

)

(

=

=

t

e

t

D

t

D

ct

i

Polecenie:

wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w chwili t system jest w stanie zdatności.


System jest odnawialny, ponieważ istnieje chociażby jedna minimalna ścieżka zdatności złożona z elementów
odnawialnych, w tym przypadku minimalne ścieżki zdatności: 1-4-7 oraz 5-6-7.
Zatem system jest również odnawialny.

1

3

2

4

5

6

7

background image

Ćwiczenia nr 6: Niezawodność systemów cz.2

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

3

Michał Kapałka

mkapalka@wat.edu.pl

Teraz równania dla tego przypadku przyjmą postać:

)

(

)

(

)

(

7

t

k

t

k

t

k

I

g

g

s

g

=

Ponieważ podsystem I jest odnawialny oraz element 7 jest również odnawialny.
Postępując tak dalej otrzymujemy kolejne równania:

(

) (

)

)

(

1

)

(

1

)

(

1

t

k

t

k

t

k

III

g

II

g

I

g

=

)

(

)

(

)

(

t

k

t

k

t

k

V

g

IV

g

II

g

=

)

(

)

(

)

(

6

5

t

k

t

k

t

k

g

g

III

g

=

Jako, że elementy 2 i 3 są nieodnawialne, to

(

)

)

(

)

(

1

)

(

1

3

1

t

D

t

k

t

k

g

IV

g

=

(

)

)

(

)

(

1

)

(

1

4

3

t

D

t

k

t

k

g

V

g

=

Nie znamy wielkości:

)

(

),

(

),

(

),

(

),

(

7

6

5

4

1

t

k

t

k

t

k

t

k

t

k

g

g

g

g

g

Jednak wyznaczamy je w identyczny sposób jak w zadaniu poprzednim.
Wyznaczmy teraz

graniczny współczynnik gotowości

K

gs

dla tego zadania.

Można założyć, że dla dużych czasów elementy 2 i 3 uszkodzą się wcześniej, zatem otrzymamy strukturę:







Równania układa się tak samo, jak dla poprzedniego przypadku:

I

g

g

s

g

K

K

K

=

7

(

) (

)

III

g

II

g

I

g

K

K

K

=

1

1

1

4

1

g

g

II

g

K

K

K

=

6

5

g

g

III

g

K

K

K

=

Nie znamy wielkości:

7

6

5

4

1

,

,

,

,

g

g

g

g

g

K

K

K

K

K

Ale wiemy, że dla elementu odnawialnego mamy:

a

b

b

ab

a

b

a

b

a

a

K

i

g

+

=

+

=

+

=

Θ

+

Θ

Θ

=

1

1

1

1

2

1

1

Zatem otrzymujemy:







+

+

=

=

2

2

7

1

1

a

b

b

a

b

b

K

K

K

I

g

g

s

g

(

) (

)

2

2

1

1

1

1



+

=

=

a

b

b

K

K

K

III

g

II

g

I

g

2

4

1

+

=

=

a

b

b

K

K

K

g

g

II

g

2

6

5

+

=

=

a

b

b

K

K

K

g

g

III

g

Zatem wynik ma postać:







+

+

=

2

2

1

1

a

b

b

a

b

b

K

s

g

Można wyliczyć też inne charakterystyki typowe dla obiektów prostych odnawialnych traktując tak ten system.

1

4

5

6

7

III

II

I

background image

Ćwiczenia nr 6: Niezawodność systemów cz.2

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

4

Michał Kapałka

mkapalka@wat.edu.pl


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
etn cwiczenia nr 1 id 164456
etn cwiczenia nr 5 id 164464
Cwiczenie nr 8 id 99953 Nieznany
Cwiczenie nr 2 4 id 99899 Nieznany
etn cwiczenia nr 1 zadania
Cwiczenie nr 1 id 594720 Nieznany
Cwiczenie Nr 3 id 125025 Nieznany
Cwiczenie Nr 2 3 id 125713 Nieznany
Cwiczenie nr 3 id 99908 Nieznany
cwiczenie nr 2 3 id 125714 Nieznany
etn cwiczenia nr 3
Cwiczenie nr 3 4 id 99915 Nieznany
cwiczenie nr 5 id 125729 Nieznany
etn, cwiczenia nr 3
etn, cwiczenia nr 10
CWICZENIE NR 0 id 99867 Nieznany
etn, cwiczenia nr 7
etn, cwiczenia nr 2

więcej podobnych podstron