Uogólniona metoda momentów, Estymacja równania Eulera
Katarzyna Madziar, Joanna Sawicka
T
RWAŁOŚĆ NAWYKÓW ORAZ KRAŃCOWA SKŁONNOŚĆ DO KONSUMPCJI W
J
APONII
–
P
ATRIZIO
P
AGANO
(Habit persistence and marginal propensity to consume in Japan)
1
JOURNAL OF THE JAPANESE AND INTERNATIONAL ECONOMIES
18 (2004) 316 – 329
1. Wprowadzenie
W tradycyjnych modelach wzrostu funkcja użyteczności wybranego agenta jest
międzyokresowo niezależna. Wynika z tego, że wzrost dochodu powinien spowodować
wzrost konsumpcji, a to z kolei spadek oszczędności. Jest to równoznaczne z występowaniem
negatywnej korelacji między stopą oszczędności a wzrostu.
Wyniki
badań empirycznych wykazują jednak odwrotną zależność – pozytywną
korelację między opóźnionymi stopami wzrostu oraz stopą oszczędności. Obserwacja ta stała
się podstawą wniosku, iż konsumenci nie reagują automatycznie zwiększonymi wydatkami na
wzrost dochodu. Wynikiem ich opóźnionej reakcji jest zwiększenie oszczędności w krótkim
okresie, a nie jak by się wydawało (na podstawie modeli standardowych) ich spadek.
Modelem
mogącym pogodzić teorię z empirycznymi wynikami jest model Trwałości
Nawyków. Opiera się on na postulacie, że ludzie są przyzwyczajeni zarówno do poziomu
własnej konsumpcji jak i do stopy jej wzrostu. W sytuacji szoku dochodowego dążą do
zminimalizowania nierówności między powyższymi wielkościami. Mogą to osiągnąć,
zwiększając oszczędności.
Powyższy artykuł opisuje taki model i przy użyciu zagregowanych danych japońskich
estymuje parametry równania Eulera. Otrzymane wartości będą następnie wykorzystane do
otrzymania krańcowej skłonności do konsumpcji z dochodu permanentnego i zmiany
wielkości konsumpcji w czasie. Z oszacowań wynika, że krańcowa skłonność do konsumpcji
tj. zmiana poziomu konsumpcji w stosunku do wielkości trwałego dochodu w tym samym
kwartale, jest bardzo niska – ok. 7%. Oznacza to, że dostosowanie konsumpcji do nowego
poziomu równowagi jest dosyć wolne – wymaga 2,5 lat, aby zredukować o połowę dystans
między konsumpcją początkową a jej poziomem w równowadze.
2. Model ekonometryczny
Obiektem badania jest gospodarka o nieograniczonym horyzoncie, zamieszkana przez żyjące
nieskończenie długo, identyczne osobniki. Każda jednostka ma użyteczność określoną na
swoim poziomie konsumpcji oraz na referencyjnym poziomie konsumpcji, a ponadto posiada
jednostkę pracy, którą dostarcza w sposób nieelastyczny na rynek. Funkcja użyteczności
całego życia ma następującą postać:
gdzie:
Et – wartość oczekiwana pod warunkiem informacji, jaki jednostka posiada w okresie t
β – czynnik dyskontujący, stały i większy od zera, im jest wyższy, tym jednostka przypisuje
mniejszą wartość przyszłej konsumpcji w porównaniu z konsumpcją bieżącą
γ – waga referencyjnej wielkości konsumpcji
1
artykuł dostępny na stronie
www.elsevier.com/locate/jjie
Uogólniona metoda momentów, Estymacja równania Eulera
Katarzyna Madziar, Joanna Sawicka
σ – w przypadku międzyokresowo niezależnych preferencji: współczynnik względnej
niechęci do ryzyka (RRA).
Jeżeli γ > 0 oznacza to, iż mamy do czynienia z „trwałością nawyków”, gdyż im wyższy
zasób, do którego jednostka przywykła, tym wyższa krańcowa użyteczność bieżącej
konsumpcji. Natomiast jeżeli parametr γ < 0, to im wyższy zasób nawyków, tym niższa
krańcowa użyteczność bieżącej konsumpcji. Aby krańcowa skłonność do konsumpcji była
większa od 0, powinien zachodzić następujący warunek:
ct – γ ht > 0,
zaś aby funkcja użyteczności była ściśle wklęsła, σ powinna być większa od 0.
Zmiany referencyjnego poziomu konsumpcji, przebiegają w następujący sposób:
gdzie:
α – stopa dostosowania związana z nawykami (rate of habit adjustment), α
∈ [0,1]
h
0
- z góry nadany standard życia na początku okresu, h
0
> 0.
Im większe α, tym większa znaczenie ma przeszła konsumpcja dla obecnego poziomu
referencyjnego konsumpcji. Dla uproszczenia w modelu zakłada się, że tylko ostatni okres
konsumpcji ma wpływ na wielkość referencyjnego poziomu konsumpcji, czyli
α = 1 i ht = ct-1 .
Jednostka napotyka następujące ograniczenie budżetowe:
at = (1+rt) at-1 + yt l – ct .
gdzie:
a – kapitał,
yl - przychód z pracy,
rt – realna stopa procentowa
Początkowa wartość kapitału (at-1) i poziomu konsumpcji, do którego jednostka jest
przyzwyczajona (ct-1), są dane. Ponadto na model został narzucony warunek No-Ponzi-
Game:
który oznacza, że asymptotycznie nie są marnowane żadne
zasoby.
Zatem,
maksymalizując funkcję użyteczności, otrzymuje się następującą postać
równania Eulera:
gdzie: ηt+1 = ct+1/ct
Powyższe równanie, które definiuje błąd ut dla każdego aktywa, jest estymowane przy
pomocy GMM. Wartość oczekiwana ut, pod warunkiem dostępnych w czasie t informacji,
jest równa 0.Mając N aktywów i L instrumentów znanych rynkowi w czasie t, otrzymujemy
NL warunków narzuconych na momenty. Estymator GMM minimalizuje formę kwadratową
x’W x, gdzie x to wektor złożony z NL elementów (1/T) Σt ut+1 z’t, a W to odwrotność
zgodnego estymatora macierzy wariancji-kowariancji warunków narzuconych na momenty.
Model jest przeidentyfikowany pod warunkiem, że liczba ograniczeń narzuconych na
momenty jest większa niż ilość parametrów. Powyższa optymalna macierz wag, przy
prawdziwej hipotezie zerowej, ma asymptotycznie rozkład χ2, można zatem przetestować czy
Uogólniona metoda momentów, Estymacja równania Eulera
Katarzyna Madziar, Joanna Sawicka
ograniczenia w modelu zostały dobrze dobrane. Jeżeli γ = 0 (time separable model), błąd
zachowuje się zgodnie z procesem MA(0), w przeciwnym przypadku odpowiednim procesem
jest MA(1). Macierz wag zostaje odpowiednio dostosowana, aby uwzględnić te zmiany.
3. Estymacja
a. DANE
Do estymacji modelu autor wykorzystał następujące dane:
•
Populacja.
Dane ludnościowe pochodzą z OECD Economic Outlook 2001-1.
•
Konsumpcja.
Dane pochodzą z OECD Quarterly National Accounts. Wartości
bieżące i stałe zostały oczyszczone z sezonowości przy pomocy algorytmu
TRAMO-SEATS oraz podzielone przez populację w celu uzyskania wielkości per
capita. Przy estymacji autor brał pod uwagę dane kwartalne od 1970Q1 do 1999Q1.
•
Dane finansowe,
a w tym:
o
Dane giełdowe – Topix (total market index)
o
Długookresowe obligacje – 10 letnie obligacje rządowe
o
Krótkookresowe obligacje –3-miesięczne obligacje
o
Realne stopy zwrotu zostały uzyskane przez deflację nominalnych stóp deflatorem
konsumpcji
•
Indeks produkcji przemysłowej
pochodzący z bazy BIS
•
Dane dotyczące zatrudnienia
pochodzą z OECD Main Economic Indicators
b. ESTYMACJA
W estymacji modelu autor posłużył się dwoma aktywami: rzeczywistą stopą zwrotu z indeksu
oraz długookresowych obligacji. Użył przy tym 3 różnych mierników zagregowanej
konsumpcji: sumy dóbr konsumpcyjnych nietrwałych
2
i usług, tylko sumy dóbr
konsumpcyjnych nietrwałych oraz całkowitej wielkość konsumpcji. Uzasadnione jest to
faktem, iż zastosowanie dóbr trwałego użytku mogłoby obciążyć model ze względu na
zależność od czasu. Spodziewany jest najwyższy parametr nawyków w konsumpcji w
przypadku dóbr konsumpcyjnych nietrwałych a najniższy w przypadku całkowitej konsupcji
(uwzględnia również dobra trwałe).
Aby przeprowadzić estymację
równania Eulera przy pomocy GMM
należy się upewnić, że każda zmienna
(instrument) nie wskazuje na istnienie
trendu stochastycznego, a więc nie
posiada pierwiasta jednostkowego. Autor
użył rozszerzonego testu Dickey – Fullera,
którego wyniki pokazuje tabela 1. Na
podstawie statystyk testowych należy
odrzucić hipotezę o istnieniu pierwiastka
jednostkowego. Możemy zatem posłużyć
się wybranymi instrumentami przy
estymacji równania.
2
Dobra konsumpcyjne o charakterze nietrwałym zużywane są natychmiast lub w krótkim czasie po dokonaniu
ich zakupu.
Uogólniona metoda momentów, Estymacja równania Eulera
Katarzyna Madziar, Joanna Sawicka
Stała
[1] i [2]
[3] i [4]
[5] i [6]
Rozpiętość czasowa (term spread)
1
2
1
3 miesięczny nominalny zwrot
1
2
-
Nominalny zwrot z akcji
1
2
2 (realny)
Roczny wzrost produkcji przemysłowej
1
2
-
Całkowity wzrost zatrudnienia
2
2
-
Realny wzrost konsumpcji
-
-
2
Kolejna tabela pokazuje instrumenty wykorzystane w kolejnych estymacjach wraz z
optymalną długością opóźnienia.
W tabeli 2 możemy zobaczyć estymację parametrów dla kolejnych modeli:
[1] model niezależny w czasie: parametr
β
bardzo wysoki;
σ
bardzo niskie przy wysokim
błędzie standardowym – cecha charakterystyczna danych japońskich.
[2] model zależny w czasie jest lepiej dopasowany a parametr zależności w czasie
γ
jest
bardzo wysoki, istotnie różny od 0.
[3] i [4] dają analogiczne wyniki; nadal nie można ich odrzucić na poziomie 5%. W
kolumnach
[5] i [6] pomimo wyższych błędów standardowych modele są istotne, wielkość parametrów
jest zbliżona do poprzednich.
W tablicy 3 widnieją wyniki analizy wrażliwości wcześniejszych oszacowań. Została ona
przeprowadzona dla wielkości dóbr nietrwałych oraz całkowitej konsumpcji.
Uogólniona metoda momentów, Estymacja równania Eulera
Katarzyna Madziar, Joanna Sawicka
Wyniki potwierdzają wcześniejsze przypuszczenia oraz oszacowania otrzymane w tablicy 2.
Model zależny w czasie zachowuje się lepiej niż model niezależny, biorąc pod uwagę
kryterium statystyki
χ
2
, a nawyki konsumpcyjne są istotną cechą charakterystyczną
japońskich konsumentów. Odpowiadający za to parametr
γ
wskazuje, że nawyki są
nieznacznie mocniejsze dla dóbr nietrwałych.
4. Krańcowa skłonność do konsumpcji
Aby uzyskać wielkość krańcowej skłonności do konsumpcji, trzeba najpierw wyprowadzić
funkcję konsumpcji implikowaną przez model. Gdy t jest duże a stopa zwrotu jest stała oraz
gdy przyjmie się dla uproszczenia założenie, że
β
(1 + r)
≡
1, otrzymuje się następujące
równanie konsumpcji: ct = (1 – γ β) xt + γ β ct-1gdzie x
t
to dochód trwały zdefiniowany w
następujący sposób:
Gdy γ = 0, czyli gdy brak „uporczywości nawyków”, powyższe równanie obrazuje
standardową teorię trwałego dochodu. Gdy natomiast γ > 0, z równania tego wynika, że
obecna konsumpcja zależy nie tylko od trwałego dochodu, lecz także od opóźnionej
konsumpcji (dodatnia zależność). Im wyższy poziom dotychczasowej konsumpcji, do którego
przywykła jednostka, tym wyższa konsumpcja bieżąca. Z powyższego równania można
ponadto wywnioskować, iż na ścieżce zrównoważonego wzrostu (ct+1 / ct = 1+g), poziom
konsumpcji jest proporcjonalny do trwałego dochodu. Zatem gdy γ > 0 (istnieje trwałość
nawyków), tylko w długim okresie i tylko, gdy jednostka nie znajduje się na ścieżce
zrównoważonego wzrostu konsumpcji (np. g = 0), średnia skłonność do konsumpcji jest
równa 1. W przeciwnym przypadku, stopa konsumpcja/dochód trwały jest mniejsza od 1.
Z równania natychmiastowej krańcowej skłonności do konsumpcji:
przy założeniu, że przed szokiem gospodarka znajdowała się w stanie równowagi, wynika, że
w przypadku trwałości nawyków, na ścieżce konsumpcji o dodatnim nachyleniu, krańcowa
skłonność do konsumpcji jest niższa niż w standardowych modelach, gdzie jest ona zawsze
równa 1. O ile jest niższa, zależy od siły nawyków w kształtowaniu preferencji. W przypadku,
gdy konsumpcja jest przybliżona poprzez sumę usług i spożycia dóbr nietrwałych, okazuje
się, że przeciętny Japończyk wykazuje natychmiastową (w tym samym kwartale) krańcową
skłonność do konsumpcji na poziomie zaledwie 7%. W przypadku okresu rocznego,
skłonność ta wzrasta do 25%.
Dla
długiego okresu, po podstawieniu wartości wynikających z przeprowadzonej
estymacji, okazuje się, iż potrzeba 2,5 roku, aby konsumpcja przebyła połowę drogi do
nowego poziomu równowagi.
5. Wnioski
Wyniki wskazują, że zmiana poziomu konsumpcji wymaga czasu. Japończycy są
przyzwyczajeni do dotychczasowej wielkości konsumpcji. Taka postawa wpływa na funkcję
użyteczności oraz objawia się bardzo niską krańcową skłonnością do konsumpcji. W sytuacji
szoku dochodowego konsumenci będą dążyli do wygładzenia stopy wzrostu i poziomu
konsumpcji, co spowoduje powolne dostosowywanie wymienionych wielkości.
Takie działanie ma wpływ na skuteczność polityki rządu. Nawet trwała polityka
zmierzająca do pobudzenia konsumpcji może przynieść efekty jedynie w dłuższym okresie.
P. Pagano twierdzi, że kolejne badania powinny skoncentrować się na nawykach w
konsumpcji oraz rozluźnić założenia tradycyjnych modeli.