Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

6-1

Wykład 6 

6.

 

CiąŜenie powszechne (grawitacja) 

6.1

 

Prawo powszechnego ciąŜenia 

Newton  -  1665  spadanie  ciał.  Skoro  istnieje siła przyciągania  pomiędzy  dowolnym 

ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między kaŜdymi dwoma masami m

1

 i m

2

. Skoro siła 

jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do kaŜdej z mas m

1

 i m

2

 

oddzielnie czyli: 
 

F 

∼

 m

1

m

2

 

 
Newton  zastanawiał  się  równieŜ,  czy  siła  działająca  na  ciała  będzie  malała  wraz  ze 
wzrostem odległości. Doszedł do wniosku, Ŝe gdyby ciało znalazło się w odległości ta-
kiej jak KsięŜyc to będzie ono miało takie samo przyspieszenie jak KsięŜyc bowiem na-
tura siły grawitacyjnej pomiędzy Ziemią i KsięŜycem jest taka sama jak pomiędzy Zie-
mią i kaŜdym ciałem. 

Przykład 1 

Obliczmy  jakie  jest  przyspieszenie  KsięŜyca  i  jaki  jest  stosunek  przyspieszenia 

KsięŜyca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi? 
Zastosujemy  równanie  na  przyspieszenie  dośrodkowe  (wykład  3  -  ruch  jednostajny  po 
okręgu). Wówczas: 
 

2

2

2

2

4

T

R

R

R

a

K

K

K

π

ω

=

=

=

v

 

 
gdzie  R

K

  jest  odległością  od  Ziemi  do  KsięŜyca.  Ta  odległość  wynosi  3.86·10

5

  km, 

a okres obiegu KsięŜyca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy więc 
 

a = 2.73·10

-3

 m/s

2

 

 
W pobliŜu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s

2

. Stąd stosunek przyspie-

szeń wynosi: 

a/g = 1/3590 

≅

 (1/60)

2

 

 

W granicach błędu a/g = 

2

2

/

K

Z

R

R

. 

Newton  wykonał  takie  obliczenia  i  wyciągnął  wniosek,  Ŝe  siła  przyciągania  między 
dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi 
(odległość między środkami mas). Sformułował więc prawo powszechnego ciąŜenia  
 

2

2

1

~

r

m

m

F

 

 

Stałą proporcjonalności oznacza się G, więc 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

6-2

 

 

2

2

1

r

m

m

G

F

=

 

(6.1) 

 
Newton  oszacował  wartość  stałej  G  zakładając  średnią  gęstość  Ziemi 

ρ

 = 5·10

3

 kg/m

3

 

(porównać  to  z  gęstością  pierwiastków  z  układu  okresowego  np. 

ρ

Si

  =  2.8·10

3

  kg/m

3

, 

ρ

Fe

 = 7.9·10

3

 kg/m

3

). 

Punktem wyjścia jest równanie: 
 

2

2

1

r

m

m

G

F

=

 

 
JeŜeli weźmiemy r = R

Z

 to otrzymamy: 

 

2

2

1

Z

R

m

m

G

F

=

 

 
Zgodnie z II zasadą Newtona 

F = ma, gdzie a = g. 

Stąd 

mg

R

m

m

G

Z

=

2

2

1

 

więc 

Z

Z

M

gR

G

2

=

 

 
Wiemy, Ŝe 

M

Z

 = 

ρ

V

Z

 więc 

 

Z

Z

Z

R

g

R

gR

G

πρ

π

ρ

4

3

3

4

3

2

=

=

 

 
Uwzględniając 

R

Z

  =  6.37·10

6

  m  otrzymamy 

G  =  7.35·10

-11

  Nm

2

/kg

2

  co  jest  wartością 

tylko o 10% większą niŜ ogólnie przyjęta wartość 6.67·10

-11

 Nm

2

/kg

2

. 

Porównując  przyspieszenie  grawitacyjne  na  orbicie  KsięŜyca  i  na  powierzchni  Ziemi, 
Newton  zakładał,  Ŝe  Ziemia  zachowuje  się  tak  jakby  jej  cała  masa  była  skupiona  w 
ś

rodku. Zgadywał, Ŝe tak ma być ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20 lat 

później (wtedy teŜ sformułował rachunek całkowy). 

Równanie (6.1) nazywa się prawem powszechnego ciąŜenia, poniewaŜ dokładnie to sa-
mo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych

. To samo prawo wyjaśnia spada-

nie ciał na Ziemię, tłumaczy ruch planet, pozwala obliczyć ich masy i okresy obiegu. 
 

Przykład 2 

Jaki był okres obiegu KsięŜyca przez moduł statku Apollo? 

F = ma 

 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

6-3

2

R

m

M

G

F

K

=

 

 
gdzie M

K

 jest masą KsięŜyca, a R promieniem orbity po jakiej krąŜy moduł o masie m. 

PoniewaŜ przyspieszenie  

2

2

4

T

R

a

π

=

 

więc 













=

2

2

2

4

T

R

m

R

m

M

G

K

π

 

 

K

GM

R

T

3

2

2

4

π

=

 

 

K

GM

R

T

3

2

π

=

 

 
Podstawiając wartości liczbowe: promień KsięŜyca R = 1740 km, masę M

K

 = 7.35·10

22

 

kg i G = 6.67·10

-11

 Nm

2

/kg

2

, otrzymamy T = 6.5·10

3

 s czyli 108 minut. 

6.2

 

Doświadczenie Cavendisha 

Newton obliczył wartość stałej G na podstawie przyjętego załoŜenia o średniej war-

tości  gęstości  Ziemi.  Gdyby  Ziemia  miała  tak  jak  gwiazdy  jądro  o  super  wielkiej 
gęstości to wynik uzyskany przez Newtona byłby obarczony duŜym błędem. Czy moŜna 
wyznaczyć  stałą  G  w  laboratorium  niezaleŜnie  od  masy  Ziemi  i  tym  samym  uniknąć 
błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi? 
W  tym  celu  trzeba  zmierzyć  siłę  oddziaływania  dwóch  mas  m

1

  i  m

2

  umieszczonych 

w odległości x (rysunek). Wówczas siła  
 

F = Gm

1

m

2

/x

2

 

czyli 

2

1

2

m

m

Fx

G

=

 

 

ZauwaŜmy,  Ŝe  dla  mas  kaŜda  po  1  kg  oddalo-
nych  od  siebie  o  10  cm  siła  F  ma  wartość 
F = 6.67·10

-9

  N  tj.  10

9

  razy  mniej  niŜ  cięŜar  1 

kg i jest za mała by ją wykryć (dokładnie) zwy-
kłymi metodami. 

x

m

1

m

2

F

F

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

6-4

Problem ten rozwiązał Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzystał on fakt, Ŝe siła potrzeb-
na do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo ma-
ła. Cavendish najpierw wykalibrował włókna, a następnie zawiesił na nich pręt z dwie-
ma małymi kulkami ołowianymi na końcach (rysunek a). Następnie w pobliŜu kaŜdej z 
kulek umieścił większą kulę ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki obrócił się pręt 
(rysunek  b).  Pomiar  wykonane  metodą  Cavendisha  dają  wartość  G  =  6.67·10

-11

 

Nm

2

/kg

2

. 

6.2.1

 

WaŜenie Ziemi 

Mając juŜ godną zaufania wartość G, Cavendish wyznaczył M

Z

 z równania: 

 

G

gR

M

Z

Z

2

=

 

 

Wynik pomiaru jest równie dokładny jak wy-
znaczenia  stałej  G.  Cavendish  wyznaczył  teŜ 
masę Słońca, Jowisza i innych planet, których 
satelity  zostały  zaobserwowane.  Np.  na  ry-
sunku obok niech M będzie masą Słońca, a m 
masą  planety  krąŜącej wokół Słońca np. Zie-
mi. Wtedy 

F = GMm/R

2

 

 
PoniewaŜ przyspieszenie 
 

a = 4

π

2

R/T 

 
to z równania F = ma otrzymujemy 
 

m

m

M

M

α

a)

b)

R

M

m

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

6-5













=

2

2

2

4

T

R

m

R

Mm

G

π

 

czyli 

2

3

2

4

GT

R

M

π

=

 

 
JeŜeli R jest odległością Ziemia - Słońce, T = 1 rok, to M jest masą Słońca. Podobne ob-
liczenia moŜna przeprowadzić dla innych planet. 

6.3

 

Prawa Keplera ruchu planet 

Zanim  Newton  zapostulował  prawo  powszechnego  ciąŜenia,  Johannes  Kepler 

stwierdził, Ŝe ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocniły 
hipotezę  Kopernika.  Praca Keplera (1609 - 1619) była wielkim odkryciem i aktem od-
wagi zwłaszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolennika 
systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, Ŝe nawet Galileusz został zmuszony do pu-
blicznego odwołania swoich poglądów (1633 r) mimo, Ŝe papieŜ był jego przyjacielem. 
Dogmatem  wtedy  był  pogląd,  Ŝe  planety  poruszają  się  wokół  Ziemi  po  skomplikowa-
nych  torach,  które  są  złoŜeniem  pewnej  liczby  okręgów.  Np.  do  opisania orbity Marsa 
trzeba było około 12 okręgów róŜnej wielkości. 
Kepler  poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, Ŝeby udowodnić Ŝe Mars 
i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa, któ-
re zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo duŜą dokładnością. Te 
prawa stosują się teŜ do satelitów okrąŜających jakąś planetę. 
 

•

 

Pierwsze prawo Keplera 

KaŜda planeta krąŜy po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy. 

•

 

Drugie prawo Keplera (prawo równych pól) 

Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu. 

•

 

Trzecie prawo Keplera 

Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadraty 
ich okresów obiegu.

 (Półoś wielka jest połową najdłuŜszej cięciwy elipsy). 

Dla orbit kołowych 

2

2

2

1

3

2

3

1

T

T

R

R

=

 

Newton rozwijając swoją teorię potrafił dowieść, Ŝe tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie 
proporcjonalna do kwadratu odległości, orbita dowolnej planety jest elipsą ze Słońcem 

w jednym z ognisk oraz, Ŝe 

2

2

2

1

3

2

3

1

T

T

R

R

=

. Newton wyprowadził prawa Keplera z zasad dy-

namiki. Przykładowo wyprowadźmy III prawo Keplera dla planet poruszających się po 
orbitach kołowych. 
Korzystając  z otrzymanego uprzednio wzoru na masę Słońca otrzymamy dla pierwszej 
planety: 

2

1

3

1

2

4

GT

R

M

π

=

 

a dla drugiej 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

6-6

2

2

3

2

2

4

GT

R

M

π

=

 

Porównując otrzymamy 
 

2

2

2

1

3

2

3

1

2

2

3

2

2

1

3

1

czyli

T

T

R

R

T

R

T

R

=

=

 

 
Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania pędu (dowód moŜna pominąć). 

6.4

 

CięŜar 

CięŜar zazwyczaj definiujemy jako siłę ciąŜenia działającą na ciało

. W pobliŜu po-

wierzchni  Ziemi  dla  ciała  o  masie  m  będzie  ona  równa  mg.  Na  KsięŜycu  cięŜar  jest 
mniejszy w porównaniu z cięŜarem na Ziemi około sześć razy. 
 

165

.

0

2

2

2

2

=

=

=

K

Z

Z

K

Z

Z

K

K

Z

K

R

M

R

M

R

m

M

G

R

m

M

G

F

F

 

 
Definicja cięŜaru moŜe być myląca. Np. astronauta pomimo, Ŝe działa na niego jeszcze 
siła  ciąŜenia  uwaŜa,  Ŝe  jest w stanie niewaŜkości. Fizjologiczne odczucie cięŜaru czyli 
ile siły trzeba włoŜyć np. do podniesienia ręki. 

6.4.1

 

CięŜar pozorny, masa bezwładna i masa grawitacyjna 

WaŜną  konsekwencją  tego,  Ŝe  siła  grawitacyjna  działająca  na  ciało  jest  proporcjo-

nalna do jego masy, jest moŜliwość pomiaru masy za pomocą mierzenia siły grawitacyj-
nej.  MoŜna  to  zrobić  uŜywając  wagi  spręŜynowej  albo  porównując  siły  grawitacyjne 
działające  na  masę  znaną  (wzorzec)  i  na  masę  nieznaną  innymi  słowy  waŜąc  ciało  na 
wadze.  Powstaje  pytanie  czy  w  obu  metodach mierzymy  tę  samą  właściwość. Np. gdy 
spróbujemy  pchnąć  klocek  po  idealnie  gładkiej  poziomej  powierzchni  to  wymaga  to 
pewnego wysiłku, a przecieŜ ciąŜenie nie pojawia się tu w ogóle. Konieczność przyło-
Ŝ

enia siły jest związana z masą. Ta masa występuje we wzorze F = ma. Nazywamy ją 

masą bezwładną m

. W innej sytuacji utrzymujemy ten klocek uniesiony w górę w stanie 

spoczynku.  Bezwładność  nie  odgrywa  tu  Ŝadnej  roli  bo  ciało  nie  przyspiesza,  jest  w 
spoczynku.  Ale  musimy  uŜywać  siły  o  wartości  równej  przyciąganiu  grawitacyjnemu 
między ciałem i Ziemią, Ŝeby ciało nie spadło. Odgrywa tu rolę ta właściwość ciała, któ-
ra  powoduje  jego  przyciąganie  przez  inne  obiekty  takie  jak  Ziemia  i  siła  jest  tu  dana 
wzorem 
 

2

'

Z

Z

R

M

m

G

F

=

 

 
gdzie 

m' jest masą grawitacyjną

. Czy m i m' ciała są sobie równe? 

Masa bezwładna m

1

 spadając swobodnie w pobliŜu powierzchni Ziemi ma przyspiesze-

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

6-7

nie a

1

, przy czym 

2

1

1

1

'

Z

Z

R

M

m

G

a

m

=

 

 
jeŜeli inna masa m

2

 uzyskuje inne przyspieszenie a

2

 to 

 

2

2

2

2

'

Z

Z

R

M

m

G

a

m

=

 

 
Dzieląc te równania przez siebie otrzymamy 
 

'

'

2

1

2

2

1

1

m

m

a

m

a

m

=

 

 
Widzimy, Ŝe jeŜeli wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem a

1

 = a

2

 = g to 

stosunek mas bezwładnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. JeŜeli dla jednej 
substancji ustalimy, Ŝe masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to 
będzie  dla  wszystkich  substancji.  Aktualnie  jesteśmy  w  stanie  stwierdzić,  Ŝe  a

1

  =  a

2

 z 

dokładnością  10

-10

.  Te  wyniki  sugerują,  Ŝe  masa  bezwładna  jest  równa  masie  grawita-

cyjnej. To stwierdzenie nazywa się 

zasadą równowaŜności

.  

Konsekwencją jest to, Ŝe nie moŜna rozróŜnić między przyspieszeniem układu (labora-
torium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyjścia ogólnej teo-
rii względności Einsteina. 

6.5

 

Pole grawitacyjne 

Na  przykładzie  sił  grawitacyjnych  omówimy  waŜne  w  fizyce  pojęcie  pola.  Nasze 

rozwaŜania  rozpoczynamy  od  umieszczenia  masy  M  w  początku  układu.  W  punkcie 
przestrzeni opisanym wektorem r znajduje się natomiast masa m. Wektor r opisuje po-
łoŜenie masy m względem masy M więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między tymi 
masami (równanie 6.1) moŜemy zapisać w postaci wektorowej 
 

 

r

r

F

3

2

r

Mm

G

r

r

Mm

G

−

=

−

=

 

(6.2) 

 
Zwróćmy  uwagę,  Ŝe  siłę  tę  moŜemy  potraktować  jako  iloczyn  masy  m  i  wektora 

γγγγ

(r) 

przy czym 

 

r

F

r

3

)

(

r

M

G

m

−

=

=

γ

 

(6.3) 

 
JeŜeli  w punkcie r umieścilibyśmy inną masę np. m' to ponownie moglibyśmy zapisać 
siłę jako iloczyn masy m' i tego samego wektora 

γγγγ

(r) 

 

)

(

'

'

r

γ

m

F

=

 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

6-8

Widzimy, Ŝe wektor 

γγγγ

(r) nie zaleŜy od obiektu na który działa siła (masy m) ale zaleŜy 

od źródła siły (masa M) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą źródło (wektor r). Ozna-
cza to, Ŝe masa M stwarza w punkcie r takie 

warunki

, Ŝe umieszczona w nim masa m 

odczuje 

działanie  siły.  Inaczej  mówiąc  masie  M  przypisujemy 

obszar  wpływu  (działa-

nia)

, 

czyli pole

. 

Zwróćmy uwagę, Ŝe rozdzieliliśmy siłę na dwie części. Stwierdzamy, Ŝe jedna masa 

wytwarza pole

, a następnie to 

pole działa na drugą masę

. Taki opis pozwala uniezaleŜ-

nić się od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola. 
 

Z  pojęcia  pola  korzysta  się  nie  tylko  w  związku  z  grawitacją.  Jest  ono  bardzo 

uŜyteczne  równieŜ  przy  opisie  zjawisk  elektrycznych  i  magnetycznych.  Źródłami  i 
obiektami działania pola elektrycznego są ładunki w spoczynku, a pola magnetycznego 
ładunki w ruchu. Właściwości pól wytwarzanych przez ładunki elektryczne omówimy w 
dalszych rozdziałach. 
 

ChociaŜ  pole  jest  pojęciem  abstrakcyjnym  jest  bardzo  uŜyteczne  i znacznie 

upraszcza opis wielu zjawisk. Na przykład gdy mamy do czynienia z wieloma masami, 
moŜemy najpierw obliczyć w punkcie r pole pochodzące od tych mas, a dopiero potem 
siłę działającą na masę umieszczoną w tym punkcie. 
 

Z polem sił wiąŜe się nie tylko przestrzenny rozkład wektora natęŜenia pola, ale 

równieŜ przestrzenny rozkład energii. Właśnie zagadnieniom dotyczącym pracy i energii 
są poświecone następne rozdziały. 

6.5.1

 

Pole grawitacyjne wewnątrz kuli 

Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest 

równe  Gm/r

2

  tj.  tak  jakby  cała masa była skupiona w środku kuli (przykład z satelitą). 

Jakie jest jednak pole wewnątrz czaszy? 
RozwaŜmy  przyczynki  od  dwóch  leŜących  naprzeciwko  siebie  powierzchni  A

1

  i  A

2

 

w punkcie  P  wewnątrz  czaszy.  Fragment  A

1

  czaszy  jest  źródłem  siły  F

1

  ~  A

1

/(r

1

)

2

  cią-

gnącej  w  lewo.  Powierzchnia  A

2

  jest  źródłem  siły  ciągnącej  w  prawo  F

2

  ~  A

2

/(r

2

)

2

  . 

Mamy więc 

2

1

2

2

2

1

2

1

r

r

A

A

F

F

=

 

 
Z rozwaŜań geometrycznych widać, Ŝe 
 

2

2

2

1

2

1

r

r

A

A

=

 

 

(pola powierzchni stoŜków ~ do kwadratu wymiarów liniowych) 
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy 
 

1

2

1

=

F

F

 

 
Tak więc wkłady wnoszone przez A

1

 i A

2

 znoszą się. MoŜna w ten sposób podzielić całą 

czaszę i uzyskać siłę wypadkową równą zero. Tak więc wewnątrz czaszy pole grawita-

A

1

A

2

P

r

1

r

2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

6-9

cyjne jest równe zeru. Pole wewnątrz czaszy mającej skorupę dowolnej grubości teŜ jest 
zero bo moŜemy podzielić tę skorupę na szereg cienkich warstw koncentrycznych. 

Na rysunku obok przedstawiono pełną kulę o pro-
mieniu R i masie M. W punkcie P pole pochodzące 
od zewnętrznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi 
więc tylko od kuli o promieniu r czyli 
 

a = Gm/r

2

 lub a = G

ρ

V/r

2

 

 

Dla kuli V = 4

π

r

3

/3. Gęstość 

3

3

4

R

M

π

ρ

=

 więc pole 

w punkcie P wynosi 

r

R

M

G

a

3

=

 

Widzimy, Ŝe pole zmienia się liniowo z r. 

P

R

r

a

g

r

R

Z

~r

~1/r

2