Egzamin dla Aktuariuszy z 2 czerwca 2001 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
Metodą eliminacji wystarczy sprawdzić
Dla n=0 i n=1
Dla n=0
m
b
0
pasują wszystkie odpowiedzi
Dla n=1:
2
0
0
2
0
0
0
1
1
m
b
m
m
b
m
b
m
b
m
m
b
p
−
+
=
+
−
+
=
i pasuje tylko odpowiedź (B)
Zadanie 2
2
2
2
1
σ
t
µ
t
tZ
e
λ
Ee
EN
EX
+
=
⋅
=
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
σ
t
µ
t
tZ
tZ
e
λ
λ
Ee
EN
e
N
E
EX
+
+
=
=
=
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
var
σ
t
µ
t
σ
t
µ
t
e
λ
e
λ
λ
X
+
+
−
+
=
(
)
( )
( )
1
exp
exp
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
+
=
−
+
=
+
+
+
t
σ
t
σ
λ
e
λ
e
λ
e
λ
λ
ODP
σ
t
µ
t
σ
t
µ
t
σ
t
µ
t
Zadanie 3
(
)
(
)
)
8
(
733
,
2
2
2
2
05
,
0
2
2
χ
σ
X
X
χ
X
X
σ
k
k
≅
−
=
−
=
∑
∑
(ale jak dokładnie?)
po przekształceniach:
}
≤
=
≤
=
−
≅
≅
733
,
2
4
3
96
,
1
8
)
8
(
8
)
8
(
733
,
2
96
,
1
..
)
8
(
var
);
1
,
0
(
)
8
(
)
1
,
0
(
8
7
6
t
N
t
N
χ
X
P
χ
X
P
99
,
0
)
9
,
2
(
)
1
,
0
(
≈
=
N
F
Zadanie 4
(
)
∫ ∫
∫
∞ ∞
∞
−
−
−
−
=
=
=
>
+
>
2 2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
,
2
,
min
t t
t
t
λ
y
λ
y
λ
x
λ
e
λ
e
λ
dxdy
e
e
λ
t
W
W
t
W
W
P
∫
∞
−
−
−
−
−
=
=
=
2
2
2
2
1
t
t
λ
t
λ
t
λ
y
λ
t
λ
e
e
λ
e
λ
e
e
λ
(
)
∫ ∫
∫
∞
+
−
−
+
−
−
−
−
−
=
=
=
>
+
t
t
x
t
t
λ
t
x
λ
x
λ
y
λ
x
λ
t
e
λ
dx
e
λ
e
λ
dydx
e
e
λ
t
W
W
P
0
0
)
(
2
2
2
1
1
0
1
lim
lim
=
=
∞
→
−
−
∞
→
t
λ
t
e
λ
e
t
t
λ
t
λ
t
Zadanie 5
(
)
0
0
0
2
0
=
→
+
+
⋅
=
=
EU
EU
α
EX
U
α
var
40
9
2
+
=
W
α
X
α
W
W
X
α
U
−
−
=
−
+
−
=
)
2
1
(
2
)
2
(
2
2
1
U
α
α
var
4
9
)
2
1
(
2
2
=
+
−
czyli
2
2
2
4
36
36
9
40
9
α
α
α
α
+
+
−
=
−
0
36
80
2
=
−
α
α
0
=
α
odpada bo wtedy X=U, z tego X i Y nzl, z tego sprzeczność bo Y=2X+W
36
80
=
α
20
9
80
36
=
=
α
Zadanie 6
Dla parzystych def:
4
3
2
1
2
2
1
1
X
X
X
X
S
X
X
S
+
=
=
n
n
n
X
X
X
2
1
2
−
=
i
(
)
0
2
1
2
=
−
n
n
X
X
E
(
)
(
)
1
var
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
=
−
=
−
−
−
n
n
n
n
n
n
EX
EX
EX
EX
X
X
i z CTG:
)
(
1
a
a
S
n
P
n
n
Φ
→
≤
∞
→
dla nieparzystych to samo i z tego odpowiedź (B) prawidłowa
Zadanie 7
( )
(
)
∑
∏
∑
∞
= =
∞
=
−
−
−
−
−
=
−
−
=
<
⋅
=
∑
5
5
1
5
5
10
5
5
!
1
)!
5
(
!
5
!
)
(
)
10
(
5
k
i
k
λ
k
k
α
x
α
k
wykl
e
k
λ
e
k
k
e
α
k
f
X
P
k
k
f
L
i
(
)
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
+
−
−
−
−
−
−
−
=
+
−
+
=
=
−
=
−
=
5
0
5
10
100
5
5
10
100
5
)!
5
(
1
5
5
5
!
1
5
k
n
n
n
α
λ
α
k
k
α
λ
α
n
λ
e
n
e
e
α
n
k
k
λ
e
k
e
e
α
(
)
(
)
[
]
(
) (
)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
=
−
−
0
0
1
1
10
5
100
5
10
5
100
5
10
10
!
1
120
1
1
!
!
5
1
n
n
e
λ
e
λ
n
α
λ
α
n
α
n
λ
α
α
α
e
e
n
e
λ
λ
e
e
α
e
λ
n
λ
e
e
α
(
)
α
e
λ
α
α
λ
λ
λ
α
e
e
λ
α
e
e
λ
e
e
α
10
100
5
5
10
exp
5
100
5
120
1
120
1
−
−
−
−
−
−
−
=
=
α
e
λ
α
λ
α
L
10
100
ln
5
ln
5
120
ln
ln
−
−
−
+
+
−
=
5
0
5
0
10
100
5
10
10
10
=
→
=
−
=
∂
∂
=
+
−
=
∂
∂
−
−
−
α
α
α
e
λ
e
λ
λ
e
λ
α
α
1
,
0
5
50
;
50
5
0
10
5
100
5
=
=
=
=
⋅
+
−
α
α
α
α
e
λ
e
λ
5
5
1
=
=
−
moŜna sprawdzić, Ŝe to max
tzn:
max
0
i
0
2
2
2
→
<
∂
∂
>
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
α
λ
λ
α
λ
α
α
Zadanie 8
(
)
(
)
10
9
0
10
1
1
=
=
=
=
k
k
X
P
X
P
2
1
10
1
5
1
=
=
ES
EX
(
)
(
)
(
)
1
,
0
1
1
1
5
4
3
2
1
1
=
=
⋅
=
+
+
+
+
X
P
X
X
X
X
X
X
E
(
)
20
1
05
,
0
5
,
0
1
,
0
1
,
0
,
cov
5
1
=
=
⋅
−
=
S
X
Zadanie 9
(
)
∑
=
≅
n
i
i
σ
n
µ
n
N
X
1
2
,
≅
m
σ
µ
N
X
m
2
,
(
)
+
−
=
−
∑
∑
∑
=
=
=
n
i
n
i
m
i
m
i
n
i
m
i
X
n
X
X
X
E
X
X
E
1
1
2
2
1
2
2
.
1
(
)
2
2
1
2
µ
σ
n
X
E
n
i
i
+
=
∑
=
(
)
[
]
2
2
2
2
1
1
1
)
(
1
...
...
...
µ
n
n
m
µ
n
σ
n
m
X
X
m
X
X
X
X
E
n
m
n
n
−
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
( )
2
2
2
µ
m
σ
X
E
m
+
=
teraz 1. równa się =
(
)
(
)
(
)
=
+
+
−
+
+
−
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
µ
n
m
σ
n
µ
n
mn
µ
n
σ
n
m
µ
σ
n
+
+
−
−
+
+
−
=
=
4
4
4
4
8
4
4
4
4
7
6
0
2
2
2
2
2
2
2
2
n
m
n
n
m
n
n
µ
m
n
m
n
n
σ
m
n
c
m
n
n
,
=
−
−
=
m
n
c
m
n
1
1
,
Zadanie 10
1
2
µ
µ
>
(
)
(
)
→
=
=
Π
Π
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
+
−
−
−
+
−
−
+
−
−
−
−
−
i
µ
X
i
µ
i
µ
X
i
µ
i
µ
X
i
µ
X
i
µ
X
i
µ
X
i
µ
X
i
µ
X
i
i
i
i
i
i
i
i
e
e
e
e
e
2
2
2
2
2
2
2
9
2
9
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
∑
=
→
9
1
i
i
X
i
- STATYSTYKA
∑
∑
∑
=
=
=
≅
≅
9
1
9
1
9
1
)
45
;
45
(
;
i
i
i
i
µ
N
i
i
µ
i
N
X
i
}
45
96
,
1
96
,
1
45
45
025
,
0
)
1
,
0
(
9
1
0
=
→
=
→
>
=
=
>
≅
=
=
∑
c
c
c
X
P
c
X
i
P
N
i
i
µ
ODPOWIEDŹ (E) jest prawidłowa