1 

1 

Metody   probabilistyczne 

 

 

Estymacja podstawowych parametrów populacji 

 

Estymacja punktowa 

2 

Problemy teorii estymacji  - 

podstawowe pojęcia 

W praktyce najczęściej brak informacji obejmujących wszystkie 

jednostki zbiorowości – stąd konieczność prowadzenia badań 
częściowych na podstawie próby spośród jednostek zbiorowości. 

 
Dobór losowy prosty jest najprostszym sposobem doboru próby do 

badań.  



Polega na bezpośrednim doborze jednostek badania do próby 
statystycznej wprost z populacji generalnej i bez ograniczeń.

  

Dobór losowy 

prosty 

Niezależny 

ze zwracaniem 

Zależny 

bez zwracania 

2 

3 

Dobór losowy prosty 



Dobór losowy prosty niezależny  



teoretycznie najprostszy schemat losowania, na którym opiera 

się cała teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.  



dobór jednostek polega na bezpośrednim i nieograniczonym 

wyborze jednostek z całej populacji generalnej do próby  
i zwracaniu jednostki ponownie do populacji,  



stąd jednostka może być wybrana wielokrotnie. 

 



Dobór losowy prosty zależny  



intuicyjnie bardziej naturalny i w praktyce częściej stosowany.  



dobór jednostek polega na bezpośrednim i nieograniczonym 

wyborze jednostek z całej populacji generalnej do próby, lecz 
przy niezwracaniu jednostki ponownie do populacji. 



każda jednostka wylosowana nie uczestniczy w dalszym 
losowaniu. 

4 

Inne sposoby doboru próby: 



losowanie za pomocą urny, 



losowanie za pomocą tablic liczb losowych, 



dobór losowy systematyczny, 



interwał losowania, 



dobór losowy warstwowy, 



dobór warstwowy proporcjonalny, 



dobór warstwowy nieproporcjonalny, 



dobór warstwowy optymalny, 



dobór losowy zespołowy, 



dobór zespołowy z jednakowymi lub różnymi p-stwami wyboru, 



dobór zespołowy wielostopniowy, 



dobór zespołowy wielofazowy,  



dobór kwotowy, 



dobór jednostek typowych, 



dobór przez eliminację, 



dobór celowy, 



dobór przypadkowy, 



dobór wygodny, 



dobór sieciowy, 



metoda kuli śniegowej.  

3 

5 

Próba statystyczna  

Próba statystyczna prosta (losowa)

  

 



jest 

prawidłowym odbiciem zbiorowości 

wtedy, gdy struktura tej próby ze 

względu na interesujące nas jest zbliżona do zbiorowości generalnej, 



jest 

wynikiem przeprowadzenia losowania 

-  

wyboru „n” elementów z 

populacji o liczebności „N”  

 

X  

– zmienna losowa (cecha),  

 

która w populacji ma określony rozkład.  

 

 

Przykład:  

X 

– czas dojazdu pracowników, czas trwania rozmowy telefonicznej. 

 

 

 



Ciąg { x

1

, x

2

, . . . , x

n

} nazywamy 

próbą statystyczną

 

prostą 

dokonaną na 

zmiennych losowych   X

1

, X

2

, . . . , X

n

  .  

6 

Próba statystyczna  

Przestrzeń prób losowych

  

- 

zbiór wszystkich możliwych do wylosowania prób.  

 



Zbiór ten jest równy kombinacji  podzbiorów  
n-elementowych ze zbioru N-elementowego, czyli: 
 



Jeżeli losowanie z populacji generalnej będzie powtarzane, to za 

każdym razem otrzymamy 

inny zbiór wartości {x

1

, x

2

, … x

n

}.

  

 



W każdym tak wylosowanym zbiorze zmienna losowa X będzie 

miała taki 

sam rozkład prawdopodobieństwa

, charakterystyczny 

dla danej populacji. 
 



Przy wnioskowaniu o parametrach populacji generalnej na 

podstawie próby losowej posługujemy się funkcjami zmiennych 

losowych tworzących próbę: X

1

, X

2

, … X

n

.  

Funkcje te noszą nazwę 

statystyki. 













n

N

4 

7 

Statystyka  



Statystyką

 

nazywamy zmienną losową  Z

n

 

, która jest funkcją 

borelowskich zmiennych losowych X

1

, X

2

, … , X

n 

 
 
 



Statystyka jako zmienna losowa

 

posiada pewien rozkład, który 

nazywamy 

rozkładem statystyki z próby

. Zależy on przede 

wszystkim od rozkładu populacji, z której pochodzi próba oraz od 

liczebności próby. 



Ze względu na liczebność próby rozkłady statystyk dzielimy na: 



dokładne

 

– rozkłady p-stwa wyznaczone dla dowolnej liczby 

naturalnej n, będącej liczebnością próby. Są one wykorzystywane 

dla małych prób, 



graniczne

 - 

rozkład p-stwa statystyki, który otrzymuje się przy 

założeniu nieograniczenie dużej próby, n→∞.  



nie ma jednej określonej wartości n, od której uznajemy próbę 

za dużą.  



w niektórych przypadkach rozkład dokładny już dla n>30 

niewiele różni się od rozkładu granicznego, w innych 
przypadkach potrzebujemy n>100. 





n

2

1

n

X

X

X

g

Z

,

,

,





8 

Przykłady statystyk 



Średnia z próby 

 

 

 

 

 

 

 



Wariancja z próby 



gdy n > 30 

 

 



gdy n ≤ 30 

 

 



Częstość (frakcja, odsetek) z próby 
 

m 

– liczba zdarzeń sprzyjających 

n 

– liczebność próby 

 







n

i

i

X

n

X

1

1













n

i

i

X

X

n

S

1

2

2

1















n

i

i

X

X

n

S

1

2

2

*

1

1

n

m

w



5 

9 

Estymacja parametrów w populacji 

na podstawie próby 



Estymacja

 

– szacowanie (ocenianie) wartości nieznanych 

parametrów rozkładu cechy statystycznej w populacji generalnej 
(

estymacja parametryczna

) i postaci rozkładu badanych cech 

(

estymacja nieparametryczna

) na podstawie próby losowej. 

Rodzaje estymacji 

parametrycznej 

Estymacja punktowa 

wyznaczana jest jedna 

wartość 

Estymacja przedziałowa 

wyznaczany jest przedział wartości 

tzw. przedział ufności 

10 

Estymator 



Estymator

  nieznanego parametru 

Θ 

jest określoną statystyką z 

próby służącą oszacowaniu nieznanej wartości parametru populacji. 
 



Rozkład prawdopodobieństw statystyki będącej estymatorem 

parametru nosi nazwę 

rozkładu estymatora

.  

Mogą nim być rozkłady t-Studenta, chi-kwadrat, F-Snedecora i inne 

zw. rozkładami z próby. 
 



Konkretną wartość, jaką przyjmuje estymator, gdy podstawimy do 

funkcji określony układ obserwacji (wylosowanej próby), będziemy 

nazywać 

oceną parametru

. 

θ

  

– 

wartość nieznanego parametru 

Θ 

w populacji, 

 

Z

n   

– estymator nieznanego parametru 

Θ

 w populacji  

 

 

(wzory średniej, wariancji lub wzór na częstość), 

 

z

n

 

– wartość liczbowa estymatora nieznanego parametru w populacji 

(liczba) 

– ocena nieznanego parametru 

Θ, 

6 

Do oszacowania parametru

 Θ 

wykorzystuje się wyniki z próby losowej. 

Zatem: 

 



Istnieje możliwość popełnienia błędu, 



Błędem szacunku nazywamy różnicę między estymatorem a 
wartością parametru:  Z

n

 

– 

Θ

 



Miara błędu: 
 



Standardowy błąd szacunku:   D(Z

n

) 

 



Współczynnik zmienności: 
 

11 

Estymator 

 

 

n

n

n

Z

Z

D

Z

V







 

n

n

Z

D

Z

E

2

2











12 

Własności estymatorów 



Estymatory powinny spełniać kryteria określające 
pożądane własności estymatora: 



Zgodność 



Nieobciążoność 



Efektywność 



Dostateczność 



Odporność. 

7 

13 

Zgodność estymatora 

Estymator parametru 

Θ  nazywamy zgodnym, 

je

żeli jest stochastycznie 

(w sensie prawdopodobieństwa) zbieżny do szacowanego parametru 

 

 

 

 

Interpretacja:

  



ze wzrostem liczności próby wzrasta dokładność oszacowania  
parametru 

Θ, 



gdy używa się estymatora zgodnego parametru wówczas stosowanie 
dużych prób losowych (n>30) zwiększa dokładność szacunku tego 
parametru, 



zgodność i nieobciążoność jest związana z prawem wielkich liczb. 





0

1

Z

P

lim

n

n



















      

 

14 

Nieobciążoność estymatora 

Estymator Z

n

 

jest nieobciążony, jeżeli 

 
 

tzn. estymator szacuje parametr bez błędu systematycznego 

 
Obciążenie estymatora: 
 
 
Estymatorem Z

n

 

jest asymptotycznie nieobciążony 

 
 

 

Interpretacja: 



Własność nieobciążoności oznacza, że przy wielokrotnym losowaniu próby 

średnia z wartości przyjmowanych przez estymator nieobciążony równa się 

wartości szacowanego parametru.  



Własność ta gwarantuje otrzymanie za jego pomocą ocen wolnych od błędu 
systematycznego. 

 

 





n

Z

E

dla każdego n 

   











ˆ

ˆ

E

B

n

 





0

ˆ

lim













E

n

8 

15 

Zgodność i nieobciążoność estymatora 

Współzależność pomiędzy własnościami zgodności i 

nieobciążoności: 

 



Jeżeli estymator Z

n 

parametru 

Θ jest zgodny, to równocześnie jest 

asymptotycznie nieobciążony; twierdzenie odwrotne nie jest 
prawdziwe. 

 



Jeżeli estymator Z

n  

parametru 

Θ jest nieobciążony (lub 

asymptotycznie 

nieobciążony) oraz, jeżeli jego wariancja w miarę 

wzrostu liczebności próby zmierza do zera, to estymator Z

n 

 jest 

estymatorem zgodnym.

 

 

16 

Efektywność estymatora 



Efektywność

 

jest związana z wielkością rozrzutu wartości 

estymatora dookoła wartości jego wartości oczekiwanej. 
Stosowanie praktyce estymatora efektywnego oznacza 

popełnienie (in plus lub in minus) małego błędu średniego 
szacunku  D

2

(Z

n

) 

, który jest pierwiastkiem kwadratowym z 

wariancji estymatora nieobciążonego. Jest to miara określająca 

wielkość 

błędu przypadkowego (losowego). 

 
 



Najwyższa efektywność estymatora Z

n

 występuje

 wtedy, gdy 

jego wariancja   
 
 

jest najmniejsza spośród wariancji dla wszystkich innych 

estymatorów parametru Θ.  
Taki estymator nazywa się 

estymatorem efektywnym

.  

 





2

2

)

(

n

n

n

Z

E

Z

E

Z

D





9 

17 

Dostateczność estymatora 



Estymator jest dostateczny (wystarczający), 

jeżeli wykorzystuje 

wszystkie informacje o parametrze  zawarte w próbie i żaden inny 
estymator nie może dać dodatkowych informacji o szacowanym 
parametrze 

 

 

 

Np. 

 

 

 

 

ale nie  







n

i

i

X

n

X

1

1

2

min

max

X

X

X





18 

Odporność estymatora 



Odporność estymatora –

 

ma znaczenie przy występowaniu 

obserwacji nietypowych (wątpliwych, rzadkich, odstających), które 
wpływają na wynik estymacji.  
 



Wśród parametrów położenia estymatorami odpornymi są oparte 
na charakterystykach pozycyjnych 

– 

moda i mediana

. 

10 

19 

Metody wyznaczania estymatorów 



Metoda momentów 

- 

estymatory zgodne, ale przeważnie obciążone i mało efektywne, 

 



Metoda największej wiarygodności 

- 

estymatory zgodne, asymptotycznie nieobciążone i asymptotycznie 

efektywne, 
 



Metoda najmniejszych kwadratów

  

(estymacja parametrów wyrażających różne zależności między zmiennymi 
losowymi)  

- 

estymatory zgodne, nieobciążone, najefektywniejsze w klasie estymatorów 

liniowych. 

ESTYMACJA PUNKTOWA 
 

20 

11 

21 

Estymacja punktowa  

Estymacja punktowa

 

polega na szacowaniu wartości nieznanego 

parametru  

Θ

 w populacji za pomocą estymatora   Z

n

  (wzoru). 

 



Liczba  z

n

   

uzyskana na podstawie próby za pomocą estymatora 

(wzoru)  jest 

oceną nieznanego parametru Θ

 w populacji i jest 

efektem estymacji punktowej. 

 



Aby uzyskać 

mały błąd szacunku

 

należy zapewnić: 



losowy dobór próby, 



dostateczną jej liczebność,  



dobór  możliwie najlepszego estymatora. 
 

22 

Estymacja wartości średniej w populacji generalnej 

Niech cecha X ma w populacji rozkład normalny, ze średnią μ  
i odchyleniem standardowym σ

.  



Z populacji pobierana jest n-

elementowa próba losowa prosta. Dowodzi 

się, że przy podanych założeniach średnia z próby    , będąca zmienną 
losową, ma rozkład normalny ze średnią   
i odchyleniem standardowym                ,   czyli    

 



Rozkład średniej     z próby jest więc zależny od: 



wartości parametrów μ i σ rozkładu cechy w populacji oraz  



liczebności próby. 

 



W rozważaniach można posługiwać się standaryzowaną zmienną 
losową  postaci:  
 



Warto pamiętać, że E(U)=0 oraz D

2

(U)=1, czyli zmienna U ma rozkład 

normalny U ~ N(0,1).  

X

 





X

E

 

n

X

D



















n

N

X





;

X

 

n

X

X

D

X

U















12 

23 

Estymacja wartości średniej – model 1 

Model 1 



Cecha X w populacji ma rozkład N(μ,σ), 



σ – znane, 



z populacji pobieramy próbę n-elementową (x

1

, x

2

, …, x

n

). 

 

Statystyka 



  
 
 

Estymator średniej w populacji: 

 
 

Średni błąd szacunku:  

 

Średnia z próby      jest zmienną losową i ma rozkład 

  

 

 

 

n

X

X

D

X

U





















n

i

i

X

n

X

1

1













n

N





,

X

 

n

X

D





24 

Estymacja wartości średniej – model 2 

Model 2 



Cecha X w populacji ma rozkład N(μ,σ), 



σ – nieznane, 



próba mała n ≤ 30, 

 

Statystyka 

 
 



gdzie: 
 
 



Zmienna t ma rozkład t-Studenta z n-1 stopniami swobody  

(n-1  

to liczba niezależnych obserwacji) 

 

Estymator 
 

 



Nieobciążony, zgodny i najefektywniejszy parametru μ  
 

n

S

X

T

*







1







n

S

X

T









n

i

i

X

n

X

1

1















n

i

i

X

X

n

S

1

2

1

1













n

i

i

X

X

n

S

1

2

*

1

13 

25 

Estymacja wartości średniej – model 3 

Model 3 



Cecha X w populacji ma rozkład dowolny, 



σ – nieznane, 



Próba duża  n > 30. 

 

Statystyka 



  
 
 



ma rozkład

 

N(0,1) 

 

Estymator 
 
 
 



 

Nieobciążony, zgodny i najefektywniejszy parametru μ 

n

S

X

U













n

i

i

X

n

X

1

1













n

i

i

X

X

n

S

1

2

1

26 

Estymacja wariancji 

Model 1 



Cecha X w populacji ma rozkład N(μ,σ), 



μ – znane, σ – nieznane, 



z populacji pobieramy próbę n-elementową (X

1

, X

2

, …, X

n

). 

 
Statystyka 



  
 
 
 
 



ma 

rozkład

 

χ

2

 z n-1 stopniami swobody, 

 



Rozkład χ

2

 

jest rozkładem jednoparametrycznym (parametrem – liczba 

stopni swobody), prawostronnie asymetrycznym, z asymetrią malejącą 

ze wzrostem liczby stopni swobody, 









2

2

*

1

2

2

2

2

1

2

1

2

2

*

1

1















S

n

nS

X

X

U

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i









































14 

27 

Estymacja wariancji 

– model 1 

Model 1 



Cecha X w populacji ma rozkład N(μ,σ), 



μ i σ – nieznane, 



z populacji pobieramy próbę n-elementową (X

1

, X

2

, …, X

n

). 



próba mała   n ≤  30 

 
Statystyka 



  
 
 

Estymator wariancji 



  
 
 



ma rozkład

 

χ

2

 z n-1 stopniami swobody 

 



zgodny, 

obciążony, najbardziej  

efektywny parametru σ

2

  

 

 
 

 

2

2

2





nS















n

i

i

X

X

n

S

1

2

2

1





2

2

*

2

*

1





S

n



















n

i

i

X

X

n

S

1

2

2

*

1

1

ma rozkład

 

χ

2

 z n-1 stopniami swobody  

 

zgodny

, nieobciążony, asymptotycznie 

najefektywniejszy parametru σ

2

,  

28 

Estymacja wariancji 

– model 2 

Model 2 



Cecha X w populacji ma rozkład N(μ,σ), 



μ i σ – nieznane, 



Populacja generalna ma rozkład normalny N(μ,σ) lub zbliżony do 

normalnego,  



Próba duża   n > 30. 

 
Statystyka 



  
 
 



Statystyka U ma rozkład asymptotycznie

 

N(0,1) 

 

 
Estymator wariancji 

σ

2 



 

wariancja z próby 

 
 
 
 





 

2n

/

,

N

S

   

gdzie

   

2















n

S

U













n

i

i

X

X

n

S

1

2

2

1

15 

29 

Estymacja wskaźnika struktury  



Populacja badana ze wzgl. na cechę jakościową.  
Często niezbędne jest oszacowanie prawdopodobieństwa p traktowanego 
jako 

wskaźnik struktury populacji.  



Niech zbiorowość generalna ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. 
Na podstawie próby szacujemy wskaźnik struktury zgodnie ze wzorem: 
 

 



jest estymatorem nieznanego wskaźnika struktury w populacji, 

 

gdzie: m liczba sukcesów (wyróżnionych elementów), które wystąpiły  
w n-

elementowej próbie,  

 



p^  ma 

rozkład asymptotycznie

 normalny 

 

 



Średni błąd szacunku:

 

 

n

m

p



ˆ





















n

p

p

p

N

p

1

*

,

ˆ

 





n

p

p

p

D

ˆ

*

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ





1

30 

Estymacja wskaźnika struktury – model 1 

Model 1 



Cecha X w populacji ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p, 



Próba duża   n > 100. 

 

Statystyka 



  
 
 
 



Statystyka U ma rozkład N(0,1) 

 
Estymator wskaźnika struktury 



  
 



Zgodny, nieobciążony najbardziej efektywny parametru p  
 

 

n

m

p



ˆ









n

p

p

p

n

m

n

p

p

p

p

U

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ













1

1

16 

31 

Estymacja wskaźnika struktury – model 2 

Model 1 



Cecha X w populacji ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p, 
 



Próba mała   n ≤ 100. 

 

Statystyka 



 

specjalne tablice dla przedziałów ufności