Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Skręcanie prętów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostokątnym
198
15. SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJU KOŁOWO SYMETRYCZNYM I
PROSTOKĄTNYM
15.1. Naprężenia i odkształcenia
Ze skręcaniem pręta pryzmatycznego mamy do czynienia wówczas, gdy układ sił
zewnętrznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do momentu,
którego płaszczyzna działania jest styczna do przekroju, a wektor jest równoległy do osi pręta.
Moment ten
s
M
nazywamy momentem skręcającym. Naszym zadaniem będzie przede
wszystkim wyznaczenie macierzy naprężeń i odkształceń w dowolnym punkcie pręta.
Zagadnienie skręcania prętów pryzmatycznych daje się rozwiązać prostymi metodami
wytrzymałości materiałów
tylko w przypadku prętów o kołowo symetrycznym przekroju
poprzecznym.
Rozważmy więc, pokazany na rys. 15.1 pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju
poprzecznym, którego pole jest równe A, określony w układzie osi (X, Y ,Z) w którym oś X
jest osią pręta a dwie pozostałe są osiami głównymi centralnymi jego przekroju
poprzecznego. Materiał pręta jest liniowo sprężysty o stałych materiałowych E oraz
ν
.
Postawione zadanie rozwiążemy postępując według kilkakrotnie już stosowanego algorytmu.
Po dokonaniu myślowego przekroju pręta na dwie części, odrzuceniu części II i przyłożeniu
do części I układu sił wewnętrznych rozważymy trzy komplety równań tzn. równania
równowagi, geometryczne i fizyczne.
Równania równowagi wynikające z twierdzenia o równoważności odpowiednich układu sił
wewnętrznych i zewnętrznych w tym przypadku przyjmą postać:
(
)
( )
=
−
=
=
+
−
=
=
=
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
.
dA
y
,
dA
z
,
x
M
dA
y
z
,
dA
,
dA
,
dA
A
x
A
x
s
A
xz
xy
A
xz
A
xy
A
x
0
0
0
0
0
σ
σ
τ
τ
τ
τ
σ
(15.1)
Równania geometryczne sformułujemy w oparciu o przypuszczony obraz deformacji pręta.
Przyjęte założenia o własnościach materiału pręta, małych przemieszczeniach i zasada
Rys. 15.1
xy
τ
x
σ
X
Z
xz
τ
Y
x
I
M
s
A
M
s
Z
Y
X
x
(
)
0
0
1 ,
,
v
I
II
M
s
A
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Skręcanie prętów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostokątnym
199
płaskich przekrojów pozwalają przyjąć obraz jego deformacji po obciążeniu pokazany na rys.
15.2. Narysowana na powierzchni zewnętrznej pręta siatka prostopadłych do siebie linii po
Rys. 15.2
przyłożeniu momentu skręcającego deformuje się tak, że linie równoległe do osi pręta
przechodzą w linie śrubowe a linie prostopadłe do osi pręta pozostają do niego prostopadłe.
Można więc opisać mechanizm deformacji jako obroty wokół osi pręta płaskich kołowych.
nie deformujących się przekrojów przy nie zmieniających się między nimi odległościach,
zatem odkształcenia liniowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zeru:
0
=
=
=
z
y
x
ε
ε
ε
,
oraz
0
=
yz
γ
.
Kąt o jaki obracają się poszczególne przekroje nazywać będziemy kątem skręcenia i
oznaczymy go
( )
x
ϕ
.
Dla dalszej analizy deformacji pręta wytnijmy z niego element o dowolnie małej długości dx
(patrz rys. 15.2). Przyrost kąta skręcenia na tym odcinku oznaczmy przez
( )
x
d
ϕ
.
Z rys.15.2 odczytujemy, że na pobocznicy zachodzą zależności:
r
'
dx
BB
γ
=
i
( )
r
x
d
BB
'
ϕ
=
zatem
( )
dx
x
d
r
r
ϕ
γ
=
,
gdzie:
r
γ
- odkształcenie kątowe na pobocznicy pręta.
Jeśli dalej przyjmiemy, że zależności zauważone na pobocznicy spełnione są również
wewnątrz pręta to możemy napisać:
( )
dx
x
d
ϕ
ρ
γ
=
(15.2)
gdzie:
γ
- odkształcenie kątowe w punkcie o promieniu wodzącym
ρ
dwóch prostopadłych
do siebie włókien, z których jedno jest równoległe do osi pręta a drugie prostopadłe do
promienia wodzącego.
Po wprowadzeniu pojęcia jednostkowego kąta skręcenia określonego wzorem:
( )
( )
dx
x
d
x
ϕ
θ
=
,
(15.3)
M
s
(x)
Z
( )
x
ϕ
( )
l
ϕ
dx
x
l
X
( )
x
d
ϕ
r
τ
τ
r
γ
B
B
’
A
γ
dx
r
ρ
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Skręcanie prętów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostokątnym
200
w miejsce zależności (15.2) dostajemy:
( )
x
θ
ρ
γ
=
.
(15.4)
Z równań fizycznych Hooke’a otrzymujemy:
(
)
0
2
1
1
=
→
+
+
−
+
+
=
x
z
y
x
x
x
E
σ
ε
ε
ε
ν
ν
ε
ν
σ
(
)
0
2
1
1
=
→
+
+
−
+
+
=
y
z
y
x
y
y
E
σ
ε
ε
ε
ν
ν
ε
ν
σ
(
)
0
2
1
1
=
→
+
+
−
+
+
=
z
z
y
x
z
z
E
σ
ε
ε
ε
ν
ν
ε
ν
σ
0
=
→
=
yz
yz
yz
G
τ
γ
τ
oraz
( )
x
G
G
ρθ
γ
τ
=
=
(15.5)
Kierunek wektora tych ostatnich napr
ęż
e
ń
stycznych
τ
, jest prostopadły do promienia
wodz
ą
cego punktu
ρ a jego zwrot jest taki,
ż
e kr
ę
ci wzgl
ę
dem
ś
rodka tak samo jak
obci
ąż
aj
ą
cy przekrój moment skr
ę
caj
ą
cy.
Jak wida
ć
z rys. 15.3 napr
ęż
enia styczne w
rozwa
ż
anym punkcie, równoległe do osi
układu odniesienia, mo
ż
na wyrazi
ć
poprzez
napr
ęż
enie styczne
τ
wzorami:
α
τ
τ
sin
−
=
xy
i
α
τ
τ
cos
=
xz
(15.6)
a po podstawieniu (15.4) przyjmuj
ą
posta
ć
:
( )
z
x
G
xy
θ
τ
−
=
i
( )
y
x
G
xz
θ
τ
=
.
(15.7)
Wracamy do równa
ń
równowa
ż
no
ś
ci (15.1). Pierwsze, pi
ą
te i szóste z uwagi na zerowania si
ę
napr
ęż
e
ń
normalnych s
ą
spełnione to
ż
samo
ś
ciowo.
Równanie drugie
( )
( )
0
=
−
=
−
=
∫∫
∫∫
∫∫
A
A
A
xy
dA
z
x
G
dA
z
x
G
dA
θ
θ
τ
,
jest spełnione, bo całka to moment statyczny wzgl
ę
dem osi centralnej Y.
Z analogicznego powodu spełnione jest trzecie równanie równowa
ż
no
ś
ci:
( )
( )
0
=
−
=
=
∫∫
∫∫
∫∫
A
A
A
xz
dA
y
x
G
dA
y
x
G
dA
θ
θ
τ
.
Przejd
ź
my do równania czwartego:
(
)
( )
x
M
dA
y
z
s
A
xz
xy
=
+
−
∫∫
τ
τ
Rys.15.3
τ
α
y
ρ
Y
Z
z
τ
xz
τ
xy
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
201
Podstawienie pod całk
ę
zale
ż
no
ś
ci (15.7) i kolejne przekształcenia daj
ą
( )
( )
[
]
( )
→
=
+
∫∫
x
M
dA
y
x
G
z
x
G
s
A
2
2
θ
θ
( )
(
)
( )
x
M
dA
y
z
x
G
s
A
=
+
∫∫
2
2
θ
( )
( )
0
J
G
x
M
x
s
=
θ
(15.8)
gdzie:
(
)
dA
dA
z
y
J
A
A
∫∫
∫∫
=
+
=
2
2
2
0
ρ
to biegunowy moment bezwładno
ś
ci przekroju
poprzecznego wzgl
ę
dem jego
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci, a iloczyn
0
GJ
nazywany jest sztywno
ś
ci
ą
na
skr
ę
canie.
Wstawiaj
ą
c (15.8) do (15.5) otrzymujemy wzór okre
ś
laj
ą
cy rozkład napr
ęż
e
ń
stycznych w
przekroju poprzecznym skr
ę
canego pr
ę
ta o przekroju kołowo-symetrycznym:
( )
ρ
τ
0
J
x
M
s
=
.
(15.9)
14.2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
W rozwa
ż
anym przypadku na płaszczyznach prostopadłych do osi układu odniesienia nie ma
napr
ęż
e
ń
normalnych a wyst
ę
puj
ą
ce w płaszczy
ź
nie przekroju poprzecznego napr
ęż
enia
styczne okre
ś
lone wzorem (15.9) s
ą
liniowo zale
ż
ne od odległo
ś
ci od jego
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci.
Zatem sw
ą
najwi
ę
ksz
ą
warto
ść
osi
ą
gaj
ą
one w punktach le
żą
cych na obwodzie:
( )
( )
0
0
max
W
x
M
r
J
x
M
s
s
=
=
τ
(15.10)
gdzie:
r
J
W
0
0
=
- wska
ź
nik wytrzymało
ś
ci przy skr
ę
caniu (lub biegunowy wska
ź
nik
wytrzymało
ś
ci)
Rozkład tych napr
ęż
e
ń
stycznych pokazany
jest na rys.15.4 i jak ju
ż
powiedziano wy
ż
ej
ich kierunek jest prostopadły do wektora
wodz
ą
cego punktu a zwrot taki,
ż
e kr
ę
c
ą
one
wzgl
ę
dem
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci tak samo jak
obci
ąż
aj
ą
cy przekrój moment skr
ę
caj
ą
cy.
Kołowa symetria przekroju powoduje,
ż
e taki
liniowy rozkład wyst
ę
puje na ka
ż
dym
odcinku
przechodz
ą
cym
przez
ś
rodek
przekroju poprzecznego.
Pokazuje to wyra
ź
niej rys. 14.5, który mo
ż
e równie
ż
ułatwi
ć
zrozumienie,
ż
e w omawianym
przypadku w ka
ż
dym punkcie pr
ę
ta mamy do czynienia z płaskim stanem napr
ęż
enia
(dokładniej z czystym
ś
cinaniem) i
ż
e płaszczyzn
ą
tego stanu jest płaszczyzna prostopadła do
przekroju poprzecznego i prostopadła do wektora wodz
ą
cego punktu. Napr
ęż
enia główne, z
których jedno jest rozci
ą
gaj
ą
ce a drugie
ś
ciskaj
ą
ce o warto
ś
ciach równych napr
ęż
eniom
stycznym, nachylone s
ą
pod k
ą
tem 45
° do osi pr
ę
ta (rys.15.5).
max
τ
max
τ
Rys. 15.4
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
202
Rys.14.5
Macierz odkształce
ń
odpowiadaj
ą
c
ą
wyznaczonym napr
ęż
eniom obliczamy korzystaj
ą
c ze
zwi
ą
zków fizycznych Hooke’a.
Z zale
ż
no
ś
ci (15.3) i (18.8) wynika,
ż
e k
ą
t skr
ę
cenia dwóch przekrojów odległych o x jest
równy:
( )
( )
( )
∫
∫
=
=
x
s
x
dx
J
G
x
M
dx
x
x
0
0
0
θ
ϕ
.
(15.11)
St
ą
d, całkowity k
ą
t skr
ę
cenia pr
ę
ta o długo
ś
ci l , obci
ąż
onego stałym momentem skr
ę
caj
ą
cym
( )
s
s
M
x
M
=
, wynosi:
0
J
G
l
M
s
=
ϕ
.
(15.12)
W tym miejscu warto zwróci
ć
uwag
ę
na zale
ż
no
ść
(15.11), pokazuje ona,
ż
e funkcja
momentów skr
ę
caj
ą
cych podzielona przez sztywno
ść
na skr
ę
canie GJ
0
jest pochodn
ą
k
ą
ta
skr
ę
cenia.
15.3. Energia sprężysta skręcanego pręta o kołowo symetrycznym przekroju
Podstawienie wyra
ż
e
ń
okre
ś
laj
ą
cych elementy macierzy napr
ęż
e
ń
do wzorów (8.18) pozwala
na wyznaczenie g
ę
sto
ś
ci energii spr
ęż
ystej i energii spr
ęż
ystej dla skr
ę
canego pr
ę
ta o kołowo
symetrycznym przekroju poprzecznym:
(
)
( )
2
2
2
2
2
1
2
1
=
=
+
+
=
ρ
τ
τ
τ
ν
Φ
o
s
xz
xy
J
x
M
G
G
E
,
i st
ą
d energia spr
ęż
ysta takiego pr
ę
ta o długo
ś
ci l wynosi:
( )
( )
( )
dx
J
G
x
M
dA
J
x
M
G
dx
dV
J
x
M
G
dV
U
A
l
o
s
o
s
l
V
o
s
V
∫∫
∫
∫
∫∫∫
∫∫∫
=
=
=
=
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1
ρ
ρ
Φ
.
W przypadku pr
ę
ta, którego przekrój poprzeczny zmienia si
ę
na jego długo
ś
ci, energia
spr
ęż
ysta jest równa:
max
τ
max
τ
τ
τ
σ
2
=
τ
σ
2
=
τ
σ
1
=
τ
45
°
σ
1
=
τ
45
°
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
203
( )
dx
GJ
x
M
U
n
i
l
oi
si
i
∑ ∫
=
=
1 0
2
2
,
(15.13)
gdzie sumowanie nale
ż
y wykona
ć
po wszystkich przedziałach charakterystycznych.
15.4. Wymiarowanie skręcanych prętów o kołowo symetrycznym przekroju
Stan graniczny no
ś
no
ś
ci wymaga aby najwi
ę
ksze napr
ęż
enia styczne w konstrukcji były
mniejsze od napr
ęż
e
ń
obliczeniowych przy
ś
cinaniu R
t
:
t
R
≤
τ
max
W przypadku pr
ę
ta o stałym przekroju poprzecznym na całej jego długo
ś
ci najwi
ę
ksze
napr
ęż
enia styczne wyst
ą
pi
ą
w przekroju maksymalnego momentu skr
ę
caj
ą
cego we
wszystkich punktach na obwodzie i warunek stanu granicznego no
ś
no
ś
ci przyjmie form
ę
:
t
s
R
W
M
≤
=
0
max
max
τ
(15.14)
Stan graniczny u
ż
ytkowania nie dopuszcza zbyt du
ż
ego k
ą
ta skr
ę
cenia w konstrukcji i
zwi
ą
zany z nim warunek stawia wymóg, by najwi
ę
kszy jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia był
mniejszy od dopuszczalnego:
dop
max
θ
θ
≤
.
W przypadku pr
ę
ta pryzmatycznego wykonanego z jednego materiału najwi
ę
kszy
jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia wyst
ą
pi w przekroju maksymalnego momentu skr
ę
caj
ą
cego i
warunek stanu granicznego u
ż
ytkowania przyjmuje posta
ć
:
dop
s
J
G
M
max
θ
≤
0
.
(15.15)
15.5. Przykłady
Przykład 15.5.1.
Wyznaczy
ć
biegunowy moment bezwładno
ś
ci i biegunowy wska
ź
nik
wytrzymało
ś
ci dla przekroju kołowego i rurowego.
r
Y
d
Z
O
32
2
4
4
0
d
r
J
J
J
z
y
π
π
=
=
+
=
16
2
3
3
0
0
d
r
r
J
W
π
π
=
=
=
Y
Z
O
r
w
r
z
−
=
−
=
4
4
4
4
0
1
2
2
2
z
w
z
w
z
r
r
r
r
r
J
π
π
π
−
=
=
4
3
0
0
1
2
z
w
z
z
r
r
r
r
J
W
π
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
204
Przykład 15.5.2.
Wyznaczy
ć
potrzebn
ą
ś
rednic
ę
pr
ę
ta skr
ę
canego obci
ąż
onego jak na rysunku
ze wzgl
ę
du na stan graniczny no
ś
no
ś
ci i u
ż
ytkowania je
ś
li
130
=
t
R
MPa
,
80
=
G
GPa
,
o
3
0.
dop
=
θ
/
m. Po przyj
ę
ciu
ś
rednicy wyznaczy
ć
wykres k
ą
tów skr
ę
cenia poszczególnych
przekrojów wzgl
ę
dem przekroju A.
Rozwiązanie
Wykres momentów skr
ę
caj
ą
cych pozwoli okre
ś
li
ć
maksymalny moment skr
ę
caj
ą
cy w
konstrukcji. Aby go wyznaczy
ć
wpierw wyliczymy moment skr
ę
caj
ą
cy w utwierdzeniu. Po
przyj
ę
ciu jego zwrotu jak na rysunku warunek równowagi sił działaj
ą
cych na pr
ę
t ma posta
ć
:
∑
= 0
x
M
lub inaczej
∑
= 0
s
M
, co pokazuje fizyczn
ą
interpretacj
ę
tego warunku:
0
4
0
3
13
6
.
M
M
SA
SA
=
→
=
+
−
+
kNm.
Aby sporz
ą
dzi
ć
wykres momentów skr
ę
caj
ą
cych wygodnie jest przyj
ąć
lokaln
ą
umow
ę
znakowania tych sił przekrojowych, która uwalniałaby nas od układu globalnego i informacji
po której stronie przekroju dokonywana jest redukcja. Z podobnymi umowami mieli
ś
my ju
ż
do czynienia - był to układ własny przekroju poprzecznego pr
ę
ta przy znakowaniu sił
poprzecznych i podłu
ż
nych czy te
ż
spody przy momentach zginaj
ą
cych.
Umow
ę
znakowania momentów skr
ę
caj
ą
cych pokazuje poni
ż
szy rysunek
Przy tej umowie wykres momentów skr
ę
caj
ą
cych w rozwa
ż
anym pr
ę
cie pokazuje rysunek
poni
ż
ej:
dodatnie momenty
skr
ę
caj
ą
ce
ujemne momenty
skr
ę
caj
ą
ce
13 kNm
6 kNm
3 kNm
X
A
1.5 m
1.0 m
1.0 m
B
C
D
4 kNm
13 kNm
6 kNm
3 kNm
X
A
1.5 m
1.0 m
1.0 m
B
C
D
M
SA
4.0
10.0
3.0
M
s
(x)
Nm
0.120
°
0.475
°
0.567
°
ϕ
Ax
°
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
205
Maksymalny moment skr
ę
caj
ą
cy max M
s
= 10.0 kNm.
Wyznaczenie
ś
rednicy pr
ę
ta.
Potrzebny wymiar ze wzgl
ę
du na stan graniczny no
ś
no
ś
ci:
2
6
3
3
0
0
10
23
7
10
130
10
10
16
−
≥
→
≥
→
≥
→
≤
=
*
.
d
*
*
d
R
M
max
W
R
W
M
max
max
t
s
t
s
π
τ
m.
Potrzebny wymiar ze wzgl
ę
du na stan graniczny u
ż
ytkowania:
2
9
3
4
0
0
10
49
12
3
0
10
80
180
10
10
32
−
≥
→
≥
→
≥
→
≤
=
*
.
d
.
*
*
*
*
*
d
G
M
max
J
GJ
M
max
max
dop
s
dop
s
π
π
θ
θ
θ
o
m.
W warunku stanu granicznego u
ż
ytkowania
dop
θ
podane w
°/m nale
ż
ało wyrazi
ć
w 1/m a
poniewa
ż
180
° = π - st
ą
d forma zapisu tego warunku.
Przyj
ę
to do wykonania d = 12.5 cm .
Biegunowy moment bezwładno
ś
ci pr
ę
ta przy takiej
ś
rednicy wynosi:
84
2396
32
5
12
4
0
.
.
*
J
=
=
π
cm
4
.
K
ą
ty skr
ę
cenia wzgl
ę
dem przekroju utwierdzenia wyznaczymy sumuj
ą
c k
ą
ty skr
ę
cenia
poszczególnych przekrojów charakterystycznych wzgl
ę
dem siebie.
Poniewa
ż
we wszystkich przedziałach charakterystycznych momenty skr
ę
caj
ą
ce s
ą
stałe, to
k
ą
ty skr
ę
cenia mo
ż
emy liczy
ć
według wzoru:
0
J
G
l
M
s
=
ϕ
.
Zatem:
o
o
120
0
180
0021
0
0021
0
10
84
2396
10
80
0
1
10
0
4
8
9
3
.
*
.
rd
.
*
.
*
*
.
*
*
.
AB
−
=
−
=
−
=
−
=
−
π
ϕ
,
o
o
447
0
180
0078
0
0078
0
10
84
2396
10
80
5
1
10
0
10
8
9
3
.
*
.
rd
.
*
.
*
*
.
*
*
.
BC
−
=
−
=
−
=
−
=
−
π
ϕ
,
o
o
092
0
180
0016
0
0016
0
10
84
2396
10
80
0
1
10
0
3
8
9
3
.
*
.
rd
.
*
.
*
*
.
*
*
.
CD
=
=
=
=
−
π
ϕ
,
o
475
0
092
0
447
0
120
0
.
.
.
.
CD
BC
AB
AD
−
=
+
−
−
=
+
+
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
.
Obliczone k
ą
ty pozwalaj
ą
narysowa
ć
wykres k
ą
tów skr
ę
cenia, który został pokazany na
rysunku wy
ż
ej.
Przykład 15.5.3.
Wyznaczy
ć
maksymalne napr
ęż
enie styczne w przekroju poprzecznym
dwustronnie zamocowanego pr
ę
ta skr
ę
canego o skokowo zmiennym przekroju kołowym jak
na rysunku. Dane s
ą
: d, l, G oraz M.
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
206
Pr
ę
t jest jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny
gdy
ż
do
wyznaczenia dwóch reakcji w
postaci momentów skr
ę
caj
ą
cych
w utwierdzeniach
sA
M
i
sE
M
dysponujemy
tylko
jednym
równaniem
równowagi,
tj.
∑
= 0
s
M
.
Dodatkowego
równania nale
ż
y, jak zawsze w
przypadku
zadania
statycznie
niewyznaczalnego, poszukiwa
ć
w
warunkach
geometrycznych
konstrukcji. W tym przypadku
warunek geometryczny wynika z
obustronnego zamocowania pr
ę
ta,
zatem k
ą
t skr
ę
cenia skrajnych
przekrojów jest równy zero co
daje dodatkowe równanie w
postaci
0
=
AE
ϕ
.
Przy zało
ż
onych jak na rysunku, zwrotach momentów skr
ę
caj
ą
cych w utwierdzeniach
równania te maj
ą
posta
ć
:
• równanie równowagi
∑
=
+
−
+
→
=
0
4
0
sE
sA
s
M
M
M
M
M
,
• równanie geometryczne
0
0
=
+
+
+
→
=
DE
CD
BC
AB
AE
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,
(
)
(
)
(
)
0
4
4
2
2
0
0
0
0
=
−
+
+
−
+
+
+
+
DE
sA
CD
sA
BC
sA
AB
sA
GJ
l
M
M
M
GJ
l
M
M
M
GJ
l
M
M
GJ
l
M
Biegunowy moment bezwładno
ś
ci na odcinku AB jest równy:
32
4
0
d
J
AB
π
=
i je
ś
li oznaczymy go przez
0
J
, to biegunowe momenty bezwładno
ś
ci na
pozostałych odcinkach pr
ę
ta wynosz
ą
:
0
0
0
16J
J
J
CD
BC
=
=
,
0
0
81J
J
DE
=
. Przy tych
oznaczeniach równanie geometryczne przyjmuje posta
ć
:
(
)
(
)
(
)
0
81
4
16
4
16
2
2
0
0
0
0
=
−
+
+
−
+
+
+
+
J
*
G
l
M
M
M
J
*
G
l
M
M
M
J
*
G
l
M
M
GJ
l
M
sA
sA
sA
sA
,
z którego wyliczamy
M
.
M
sA
045
0
=
, a po wstawieniu do równania równowagi otrzymujemy
M
.
M
sE
955
2
=
. Wykres momentów skr
ę
caj
ą
cych pokazany na rysunku i geometria
przekrojów poprzecznych pr
ę
ta pozwala s
ą
dzi
ć
,
ż
e najwi
ę
ksze napr
ęż
enia styczne wyst
ą
pi
ą
na odcinku CD w punktach na obwodzie przekroju poprzecznego i b
ę
d
ą
miały warto
ść
:
( )
3
4
88
1
32
2
955
2
d
M
.
d
d
M
.
max
=
=
π
τ
.
M
sA
s
M
0.045
M
1.045
M
2.955
M
X
2d
3d
A
2l
2l
l
B
C
D
l
E
M
4M
M
sE
d
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
207
Przykład 15.5.4.
Wyznaczy
ć
potrzebn
ą
ś
rednic
ę
pr
ę
ta skr
ę
canego, obci
ąż
onego jak na
rysunku ze wzgl
ę
du na stan graniczny no
ś
no
ś
ci i u
ż
ytkowania, je
ś
li
110
=
t
R
MPa
,
80
=
G
MPa
,
o
3
0.
dop
=
θ
/
m. Po przyj
ę
ciu
ś
rednicy wyznaczy
ć
wykres k
ą
tów skr
ę
cenia
poszczególnych przekrojów wzgl
ę
dem przekroju A.
Rozwiązanie
Pr
ę
t jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Do wyznaczenia dwóch reakcji w postaci
momentów skr
ę
caj
ą
cych w utwierdzeniach
sA
M
i
sE
M
dysponujemy jednym równaniem
równowagi i jednym równaniem geometrycznym.
Przy zało
ż
onych jak na rys. zwrotach momentów skr
ę
caj
ą
cych w utwierdzeniach równania te
maj
ą
posta
ć
:
• równanie równowagi
∑
=
+
−
+
−
→
=
0
4
3
20
0
sE
sA
s
M
*
M
M
• równanie geometryczne
X
0.8
d
A
3 m
2 m
1m
B
C
D
4 m
E
20 kNm
3 kNm/m
d
M
sE
X
0.8
d
A
3 m
2 m
1 m
B
C
D
M
sA
4 m
E
20 kNm
3 kNm/m
d
s
M
kNm
14.012
5.988
6.012
7.996 m
AX
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
10
-3
rd
9.2893
3.3768
3.3346
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
208
0
0
=
+
+
+
→
=
DE
CD
BC
AB
AE
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
(
)
0
2
4
3
20
3
20
3
20
2
0
0
0
0
=
−
+
−
+
+
−
+
+
−
+
−
CE
sA
CE
sA
AC
sA
AC
sA
GJ
*
*
M
GJ
*
M
GJ
*
M
GJ
*
M
W powy
ż
szym równaniu równowagi obci
ąż
enie, rozło
ż
onym w sposób ci
ą
gły momentem
skr
ę
caj
ą
cym na odcinku DE zostało zast
ą
pione równowa
ż
nym, skupionym w
ś
rodku odcinka
momentem skr
ę
caj
ą
cym.
Biegunowy moment bezwładno
ś
ci na odcinku AC jest równy
32
4
0
d
J
AC
π
=
i je
ś
li oznaczymy
go przez
0
J
, to biegunowy moment bezwładno
ś
ci na pozostałym odcinku pr
ę
ta ma warto
ść
(
)
0
4
4
0
5904
0
32
8
0
32
J
.
d
.
d
J
CE
=
−
=
π
π
. Po wykorzystaniu tej zale
ż
no
ś
ci i prostych
rachunkach równanie geometryczne przyjmuje posta
ć
:
0
7263
188
4688
13
=
+
−
.
M
.
sA
Z tych dwóch równa
ń
otrzymujemy:
012
14.
M
sA
=
kNm,
012
6.
M
sE
=
kNm.
Równania momentów skr
ę
caj
ą
cych:
0
2
0
.
x
<
<
m
( )
012
14.
M
x
M
sA
s
−
=
−
=
kNm,
0
6
0
2
.
x
.
<
<
m
( )
988
5
20
.
M
x
M
sA
s
=
+
−
=
kNm
0
10
0
6
.
x
.
<
<
m
( )
(
)
( )
988
5
6
6
3
988
5
.
M
;
x
.
x
M
s
s
=
−
−
=
kNm,
(
)
0
996
7
=
.
M
s
,
( )
012
6
10
.
M
s
−
=
kNm.
W miejscu zerowania si
ę
momentu skr
ę
caj
ą
cego, tj. dla x = 7.996 m wyst
ą
pi ekstremum k
ą
ta
skr
ę
cenia w tym przedziale.
Wykres momentów skr
ę
caj
ą
cych pokazany jest wy
ż
ej.
Wyznaczenie wielko
ś
ci potrzebnej
ś
rednicy pr
ę
ta.
odcinek AC
max M
s
=14.012 kNm
• stan graniczny no
ś
no
ś
ci
087
0
10
110
10
012
14
16
6
3
3
0
0
.
d
*
*
.
d
R
M
max
W
R
W
M
max
t
s
t
s
≥
→
≥
→
≥
→
≤
π
m,
• stan graniczny u
ż
ytkowania
136
0
3
0
10
80
180
10
012
14
32
9
3
4
0
0
.
d
*
.
*
*
*
*
.
d
G
M
max
J
GJ
M
max
dop
s
dop
s
≥
→
≥
→
≥
→
≤
π
π
θ
θ
o
m.
odcinek CE
max M
s
=6.012 kNm
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
209
(
)
4
4
4
4
0
0580
0
32
5904
0
32
8
0
32
d
.
d
.
d
.
d
J
=
=
−
=
π
π
π
,
3
0
0
1159
0
2
d
.
d
J
W
=
=
.
• stan graniczny no
ś
no
ś
ci
078
0
10
110
10
012
6
1159
0
6
3
3
0
0
.
d
*
*
.
d
.
R
M
max
W
R
W
M
max
t
s
t
s
≥
→
≥
→
≥
→
≤
m,
• stan graniczny u
ż
ytkowania
125
0
3
0
10
80
180
10
012
6
0580
0
9
3
4
0
0
.
d
*
.
*
*
*
*
.
d
.
G
M
max
J
GJ
M
max
dop
s
dop
s
≥
→
≥
→
≥
→
≤
π
θ
θ
o
m.
Przyj
ę
to do wykonania d = 0.14 m..
Biegunowy moment bezwładno
ś
ci na odcinku AC wynosi 3771 cm
4
a na odcinku CE jest
równy 2227 cm
4
Równania k
ą
tów skr
ę
cenia wzgl
ę
dem przekroju A :
0
2
0
.
x
<
<
m
( )
rd
*
.
;
x
*
.
dx
*
*
*
*
.
dx
GJ
x
M
AB
x
x
s
Ax
3
3
0
8
9
3
0
0
10
2893
9
10
6447
4
10
3771
10
80
10
012
14
−
−
−
−
=
−
=
−
=
=
∫
∫
ϕ
ϕ
.
0
5
0
2
.
x
.
<
<
m
( )
(
)
rd
*
.
;
x
*
.
*
.
dx
*
*
*
*
.
dx
GJ
x
M
AC
x
AB
x
s
AB
Ax
3
3
3
2
8
9
3
2
0
10
3346
3
2
10
9849
1
10
2893
9
10
3771
10
80
10
988
5
−
−
−
−
−
=
−
+
−
=
=
+
=
+
=
∫
∫
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
0
6
0
5
.
x
.
<
<
m
( )
(
)
rd
*
.
;
x
*
.
*
.
dx
*
*
*
*
.
dx
GJ
x
M
AD
x
AC
x
s
AC
Ax
3
3
3
5
8
9
3
5
0
10
0269
0
5
10
3610
3
10
3346
3
10
2227
10
80
10
988
5
−
−
−
−
=
−
+
−
=
=
+
=
+
=
∫
∫
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
0
10
0
6
.
x
.
<
<
m
( )
(
)
[
]
0
10
5421
0
10
8420
0
10
4643
13
10
4496
50
10
2227
10
80
10
6
3
988
5
6
2
3
3
3
6
8
9
3
6
0
≈
−
=
−
+
−
=
=
−
−
+
=
+
=
−
−
−
−
−
∫
∫
rd
*
.
;
x
*
.
x
*
.
*
.
dx
*
*
*
*
x
.
dx
GJ
x
M
AE
x
AD
x
s
AD
Ax
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
210
Ekstremalny k
ą
t skr
ę
cenia w tym przedziale:
(
)
rd
*
.
.
Ax
3
10
3768
3
996
7
−
=
ϕ
.
Wykres k
ą
tów skr
ę
cenia wzgl
ę
dem przekroju A jest wy
ż
ej pokazany.
Przykład 15.5.5.
W skr
ę
canym pr
ę
cie kołowym o
ś
rednicy d = 12 cm obci
ąż
onym jak na rys.
wyznaczy
ć
: wykres momentów skr
ę
caj
ą
cych,
wykres k
ą
tów skr
ę
cenia poszczególnych
przekrojów wzgl
ę
dem przekroju A oraz
ekstremalne napr
ęż
enia główne i
odkształcenia główne je
ż
eli stałe materiałowe
wynosz
ą
E
= 205 GPa
,
3
0.
=
ν
.
Rozwiązanie
Równania momentów skr
ę
caj
ą
cych:
0
2
0
.
x
<
<
m
( )
2
25
1
0
4
5
2
2
1
0
4
x
.
.
x
*
x
.
.
x
M
s
−
−
=
−
−
=
,
( )
00
4
0
.
M
s
−
=
kNm,
( )
25
5
1
.
M
s
−
=
kNm,
( )
00
9
2
.
M
s
−
=
kNm.
0
4
0
2
.
x
.
<
<
m
( )
(
)
29
10
2
10
9
−
=
−
+
−
=
x
x
x
M
s
( )
00
9
2
.
M
s
−
=
kNm,
( )
00
11
4
.
M
s
=
kNm,
( )
00
0
9
2
.
.
M
s
=
kNm.
Biegunowy moment bezwładno
ś
ci przekroju pr
ę
ta wynosi:
75
2035
32
12
4
0
.
*
J
=
=
π
cm
4
.
X
A
B
2 m
C
4 kNm
5 kNm/m
2 m
10 kNm/m
X
A
B
2 m
C
4 kNm
5 kNm/m
2 m
10 kNm/m
M
s
kNm
2.9 m
4.00
5.25
9.00
11.00
2.232
7.061
9.584
5.815
AX
ϕ
10
-3
rd
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
211
Sztywno
ść
na skr
ę
canie
(
)
(
)
6
8
9
0
0
10
6051
1
10
75
2035
3
0
1
2
10
205
1
2
*
.
*
.
.
*
J
E
GJ
=
+
=
+
=
−
ν
Nm
2
.
Równania k
ą
tów skr
ę
cenia wzgl
ę
dem przekroju A:
0
2
0
.
x
<
<
m
( )
(
)
(
)
rd
*
x
.
x
.
dx
*
.
*
x
.
dx
GJ
x
M
x
x
s
Ax
3
3
0
6
3
2
0
0
10
2596
0
492
2
10
6051
1
10
25
1
4
−
+
−
=
+
−
=
=
∫
∫
ϕ
( )
( )
rd
*
.
,
rd
*
.
AB
Ax
Ax
3
3
10
061
7
2
10
232
2
1
−
−
−
=
=
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
.
0
4
0
2
.
x
.
<
<
m
( )
(
)
(
)
rd
*
x
.
x
.
.
dx
*
.
*
x
dx
GJ
x
M
x
AB
x
s
AB
Ax
3
2
2
6
3
2
0
10
067
18
115
3
613
16
10
6051
1
10
29
10
−
−
+
=
−
+
=
+
=
∫
∫
ϕ
ϕ
ϕ
( )
( )
( )
rd
*
.
,
rd
*
.
,
rd
*
.
AC
Ax
Ax
AB
Ax
3
3
3
10
815
5
4
10
553
9
3
10
061
7
2
−
−
−
−
=
=
−
=
−
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
.
Ekstremalny k
ą
t skr
ę
cenia:
( )
rd
*
.
.
Ax
3
10
584
9
9
2
−
−
=
ϕ
.
Ekstremalne napr
ęż
enia główne i odkształcenia główne wyst
ą
pi
ą
w przekroju najwi
ę
kszego
momentu skr
ę
caj
ą
cego w dowolnym punkcie na obwodzie przekroju poprzecznego pr
ę
ta.
Je
ś
li wybierzemy punkt K , to przy przyj
ę
tym
układzie współrz
ę
dnych, wyst
ą
pi
ą
w nim jedynie
napr
ęż
enia styczne:
420
32
16
12
0
10
0
11
3
3
.
.
*
*
.
W
M
o
s
zx
xz
−
=
−
=
−
=
=
π
τ
τ
MP.
W wybranym punkcie wyst
ę
puje płaski stan napr
ęż
enia (czyste
ś
cinanie) , który w
płaszczy
ź
nie stanu napr
ęż
enia (tzn. płaszczy
ź
nie (X, Z)) jest reprezentowany przez macierz :
−
−
=
0
42
32
42
32
0
.
.
T
σ
MPa.
Napr
ęż
enia główne maj
ą
warto
ś
ci:
42
32
2
2
2
2
.
xz
z
x
z
x
max
=
+
−
+
+
=
τ
σ
σ
σ
σ
σ
MPa,
42
32
2
2
2
2
.
xz
y
x
z
x
min
−
=
+
−
−
+
=
τ
σ
σ
σ
σ
σ
MPa.
a ich kierunki okre
ś
laj
ą
k
ą
ty :
τ
zx
τ
xz
K
Z
Y
X
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
212
o
45
0
.
1
tg
max
max
max
−
=
→
−
=
−
−
=
α
σ
σ
τ
α
z
xz
,
o
45
0
.
1
tg
min
min
min
=
→
=
−
−
=
α
σ
σ
τ
α
z
xz
Warto
ś
ci ekstremalnych odkształce
ń
głównych wyznaczymy, korzystaj
ą
c z równa
ń
Hooke’a
(
)
(
)
3
9
6
10
206
0
10
205
10
3
0
1
42
32
1
−
=
+
=
−
=
*
.
*
*
.
.
E
min
max
max
νσ
σ
ε
,
(
)
(
)
3
9
6
10
206
0
10
205
10
3
0
1
42
32
1
−
−
=
+
−
=
−
=
*
.
*
*
.
.
E
max
min
min
νσ
σ
ε
.
Kierunki włókien, które maj
ą
ekstremalne odkształcenia liniowe (a odkształcenia k
ą
towe s
ą
równe zero) pokrywaj
ą
si
ę
z kierunkami napr
ęż
e
ń
głównych.
15.6. Naprężenia styczne w skręcanym pręcie o przekroju prostokątnym
Przy skr
ę
caniu pr
ę
tów o przekroju poprzecznym ka
ż
dym innym ni
ż
kołowo symetrycznym,
nie jest prawdziwe zało
ż
enie jakoby przekrój płaski przed przyło
ż
eniem obci
ąż
enia pozostał
taki po obci
ąż
eniu i jego przemieszczenia polegały jedynie na obrocie wokół osi pr
ę
ta.
Swobodnemu skr
ę
caniu takich pr
ę
tów towarzyszy deplanacja (wypaczanie) ich przekroju
poprzecznego, tzn. punkty przekroju poprzecznego mog
ą
si
ę
swobodnie przemieszcza
ć
w
kierunku równoległym do jego osi i napr
ęż
enia normalne w przekroju poprzecznym s
ą
równe
zero.
Otrzymanie
ś
cisłych wyników dla takich przypadków wymaga u
ż
ycia bardziej ni
ż
dot
ą
d
zło
ż
onych metod analizy matematycznej i ni
ż
ej ograniczymy si
ę
jedynie do podania
ko
ń
cowych wyników
ś
cisłego rozwi
ą
zania zagadnienia skr
ę
cania pr
ę
ta o przekroju
prostok
ą
tnym uzyskanych przez de Saint-Venanta w 1855 r.
Rozkład napr
ęż
e
ń
stycznych w skr
ę
canym przekroju prostok
ą
tnym pokazany jest na rys.15.6.
Nale
ż
y przede wszystkim zauwa
ż
y
ć
,
ż
e napr
ęż
enia te s
ą
styczne do konturu i osi
ą
gaj
ą
najwi
ę
ksz
ą
warto
ść
w połowie dłu
ż
szego boku, a zeruj
ą
si
ę
w naro
ż
ach. Zwrot napr
ęż
e
ń
jest
taki,
ż
e kr
ę
c
ą
wzgl
ę
dem
ś
rodka tak samo jak obci
ąż
aj
ą
cy moment skr
ę
caj
ą
cy.
Warto
ś
ci najwi
ę
kszych napr
ęż
e
ń
stycznych oraz jednostkowego k
ą
ta podaj
ą
wzory:
Z
X
32.42
32.42
32.42
32.42
max
o
45
=
max
α
o
45
=
min
α
42
32.
min
=
σ
42
32.
max
=
σ
Z
X
min
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
213
2
b
h
M
max
s
α
τ
=
, (15.16)
3
b
h
G
M
s
β
θ
=
. (15.17)
Współczynniki
α
oraz
β
wyst
ę
puj
ą
ce we wzorach (15.16) i (15.17) zale
żą
s
ą
od stosunku
boków h/b (b jest z umowy krótszym bokiem) i podane s
ą
w tabelce poni
ż
ej
h/b
1.0
1.5
1.75
2.0
2.5
3.0
4.0
6.0
8.0
10.0
∞
α
0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
β
0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
15.7. Przybliżony sposób wyznaczania naprężeń stycznych w skręcanych prętach o
dowolnym przekroju
Ten przybli
ż
ony sposób stosujemy najcz
ęś
ciej przy skr
ę
caniu pr
ę
tów cienko
ś
ciennych. Pr
ę
ty
takie charakteryzuj
ą
si
ę
niewielk
ą
grubo
ś
ci
ą
ś
cianki w stosunku do pozostałych wymiarów.
Ze wzgl
ę
du na kształt przekroju mo
ż
emy je podzieli
ć
na profile otwarte i profile zamkni
ę
te
(rys.15.7). Zajmiemy si
ę
ka
ż
dym z tych rodzajów pr
ę
tów oddzielnie a głównym naszym
celem b
ę
dzie wyznaczenie najwi
ę
kszych napr
ęż
e
ń
stycznych w przekroju.
Rys. 15.7
Zaczniemy od profili otwartych. Pierwszym krokiem, który musimy dokona
ć
w tym podej
ś
ciu
jest podział i aproksymacja całkowitego przekroju na cz
ęś
ci składowe, ka
ż
da o przekroju
prostok
ą
tnym (rys. 15.8). Dalej ten aproksymowany przekrój traktowany jest jako zbiór
prostok
ą
tów, ka
ż
dy obci
ąż
ony jakim
ś
swoim momentem skr
ę
caj
ą
cym. Dla takiego
przybli
ż
onego przekroju przyjmiemy nast
ę
pnie zało
ż
enia upraszczaj
ą
ce:
• suma momentów skr
ę
caj
ą
cych poszczególne prostok
ą
tne cz
ęś
ci składowe jest równa
momentowi skr
ę
caj
ą
cemu przyło
ż
onemu do całego profilu
• jednakowy jest jednostkowy k
ą
t skr
ę
cania wszystkich poszczególnych elementów
składowych.
profile otwarte
profile zamkni
ę
te
max
τ
Z
Y
Rys. 15.6
b
h
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
214
Rozwa
ż
my pokazany na rys.15.8 przekrój i
podzielmy go trzy prostok
ą
tne elementy (zatem w
dalszych wzorach n = 3) o wymiarach b
i
xh
i
, gdzie
szeroko
ść
b
i
jest mniejszym wymiarem danego
prostok
ą
ta. Podział na elementy składowe w
zasadzie jest dowolny ale wskazane jest
„zdroworozs
ą
dkowe” podej
ś
cie w tym zakresie.
Dla ka
ż
dego składowego „i-tego” elementu obowi
ą
zuj
ą
zale
ż
no
ś
ci i rozkład napr
ęż
e
ń
stycznych jak w prostok
ą
cie:
2
i
i
i
i
s
i
b
h
M
max
α
τ
=
,
3
i
i
i
i
s
i
b
h
G
M
β
θ
=
Pierwsze zało
ż
enie upraszczaj
ą
ce daje równanie (mo
ż
emy je nazwa
ć
równaniem równowagi):
∑
=
=
n
i
i
s
s
M
M
1
,
(15.18)
a drugie zało
ż
enie upraszczaj
ą
ce pozwala napisa
ć
zale
ż
no
ś
ci (mo
ż
emy je nazwa
ć
geometrycznymi):
θ
θ
=
i
.
(15.19)
Ze wzorów dla prostok
ą
ta i zale
ż
no
ś
ci geometrycznych otrzymujemy zwi
ą
zki :
3
3
i
i
i
i
i
i
i
i
s
b
h
G
b
h
G
M
β
θ
β
θ
=
=
, które po wstawieniu do równania (15.18) daj
ą
zale
ż
no
ść
:
∑
∑
=
=
=
=
n
i
i
i
i
n
i
i
s
s
b
h
G
M
M
1
3
1
β
θ
,
z której mo
ż
emy wyznaczy
ć
jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia przekroju:
s
s
GJ
M
=
θ
(15.20)
gdzie:
∑
=
=
3
1
3
i
i
i
i
s
b
h
J
β
(15.21)
Wstawiaj
ą
c wyra
ż
enie na jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia (15.20) do wzoru na moment skr
ę
caj
ą
cy
w „i-tym” prostok
ą
cie:
3
3
3
i
i
i
s
s
i
i
i
s
s
i
i
i
i
s
b
h
J
M
b
h
G
J
G
M
b
h
G
M
β
β
β
θ
=
=
=
a dalej do wzoru na napr
ęż
enia styczne, otrzymujemy wzór okre
ś
laj
ą
cy wielko
ść
maksymalnych napr
ęż
e
ń
stycznych w nim wyst
ę
puj
ą
cych:
i
b
i
h
τ
max i
Rys. 15.8
M
s
h
1
b
1
h
3
b
3
b
2
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
215
i
i
i
s
s
i
b
J
M
max
α
β
τ
=
.
(15.22)
Za maksymalne napr
ęż
enie styczne w przekroju uznajemy najwi
ę
ksze napr
ęż
enie ze
wszystkich składowych prostok
ą
tów.
Tablica warto
ś
ci współczynników
α
oraz
β
pokazuje,
ż
e dla prostok
ą
tów, których wysoko
ść
h
jest znacznie wi
ę
ksza od szeroko
ś
ci b iloraz
i
i
α
β
jest bliski jedno
ś
ci i gdy przekrój
„składa” si
ę
wła
ś
nie z takich prostok
ą
tów to najwi
ę
ksze napr
ęż
enie styczne wyst
ą
pi w
prostok
ą
cie o najwi
ę
kszej szeroko
ś
ci.
Zajmijmy si
ę
teraz najwi
ę
kszymi napr
ęż
eniami stycznymi w przekroju poprzecznym profili
zamkni
ę
tych i w dodatku tylko jednokomorowych (rys.15.9).
Rys. 15.9
W tym przypadku zało
ż
eniem upraszczaj
ą
cym b
ę
dzie przyj
ę
cie,
ż
e napr
ęż
enia styczne
rozkładaj
ą
si
ę
równomiernie na grubo
ś
ci
ś
cianki. Poniewa
ż
napr
ęż
enia styczne na dwóch do
siebie prostopadłych płaszczyznach s
ą
sobie równe, to warunek równowagi wyci
ę
tego
dowolnie małego elementu pr
ę
ta dowodzi:
2
2
1
1
2
2
1
1
0
0
δ
τ
δ
τ
δ
τ
δ
τ
=
→
=
−
→
=
∑
dx
dx
X
,
ż
e iloczyn grubo
ś
ci
ś
cianki i panuj
ą
cych w tym miejscu napr
ęż
e
ń
stycznych jest stały
const
=
δ
τ
Z kolei z twierdzenia o równowa
ż
no
ś
ci układów sił zewn
ę
trznych i wewn
ę
trznych wynika:
( ) ( )
( )
( )
∫
∫
=
=
ds
s
h
s
h
ds
s
s
M
s
τδ
δ
τ
.
Rys.15.9 pokazuje,
ż
e
( )
dA
ds
s
h
=
2
, zatem:
0
2
2
A
dA
M
A
s
δ
τ
τδ
=
=
∫∫
gdzie:
0
A
- pole obszaru ograniczonego lini
ą
ś
rodkow
ą
ś
cianki. Mo
ż
emy wi
ę
c napisa
ć
zale
ż
no
ść
:
0
2
A
M
s
δ
τ
=
(15.23)
z której wynika,
ż
e maksymalne napr
ęż
enia styczne wyst
ą
pi
ą
w miejscu w którym grubo
ść
ś
cianki jest minimalna i wynosz
ą
:
M
s
s
Z
Y
X
ds
h
(s)
dA
dx
τ
dx
δ
1
δ
2
τ
1
τ
2
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
216
δ
τ
min
A
M
max
s
0
2
=
.
(15.24)
Wyznaczmy teraz jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia takiego pr
ę
ta. W rozdziale 8 stwierdzili
ś
my,
ż
e
w przypadku obci
ąż
e
ń
statycznych w konstrukcji wykonanej z materiału spr
ęż
ystego praca sił
zewn
ę
trznych jest równa energii spr
ęż
ystej układu. Zatem dla pr
ę
ta o rozwa
ż
anym przekroju i
jednostkowej długo
ś
ci obci
ąż
onego momentem skr
ę
caj
ą
cym
s
M
mo
ż
emy napisa
ć
:
dV
G
M
V
s
∫∫∫
=
2
2
1
2
τ
θ
.
Podstawiaj
ą
c do powy
ż
szej zale
ż
no
ś
ci wzór (15.23) i uwzgl
ę
dniaj
ą
c geometri
ę
przekroju
poprzecznego pr
ę
ta, otrzymujemy:
dA
A
G
M
M
s
s
∫
=
2
0
2
2
8
2
1
δ
θ
,
ale
ds
dA
δ
=
, wi
ę
c ostatecznie, po prostym przekształceniu, dostajemy:
∫
=
δ
θ
ds
A
G
M
s
2
0
4
.
(15.25)
Wzory (15.24) i (15.25), okre
ś
laj
ą
ce przybli
ż
one warto
ś
ci maksymalnych napr
ęż
e
ń
stycznych
i jednostkowego k
ą
ta skr
ę
cenia dla profili zamkni
ę
tych nazywane bywaj
ą
wzorami Bredta.
15.7.1. Przykłady
Przykład 15.7.1.1.
Wyznaczy
ć
najwi
ę
ksze napr
ęż
enie styczne w przekroju poprzecznym
szyny kolejowej pokazanej na rys. skr
ę
canej momentem o warto
ś
ci M
s
= 1.0 kNm.
Rozwiązanie
Po aproksymacji przekroju trzema prostok
ą
tami jak na rysunku potrzebujemy wyznaczy
ć
współczynniki
i
α
oraz
i
β
dla ka
ż
dego z nich. Interpoluj
ą
c warto
ś
ci podane w tabelce
otrzymujemy:
prostok
ą
t 1:
210
0
237
0
70
1
40
68
1
1
1
1
.
,
.
.
b
h
=
=
→
=
=
β
α
prostok
ą
t 2:
295
0
295
0
50
5
13
71
2
2
2
2
.
,
.
.
b
h
=
=
→
=
=
β
α
prostok
ą
t 3:
302
0
302
0
70
6
17
114
1
1
3
3
.
,
.
.
b
h
=
=
→
=
=
β
α
91
112
7
1
4
11
302
0
3
1
1
7
295
0
0
4
8
6
210
0
3
3
3
3
1
3
.
.
*
.
*
.
.
*
.
*
.
.
*
.
*
.
b
h
J
i
i
i
i
s
=
+
+
=
=
∑
=
β
cm
4
.
24
68
114
13
9
135
wymiary
w mm
40
17
68
114
1
3
2
13
40
71
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
217
Najwi
ę
ksze napr
ęż
enie styczne wyst
ą
pi w prostok
ą
cie 1 (ma najwi
ę
ksz
ą
szeroko
ść
) i
przyjmujemy,
ż
e jest to najwi
ę
ksze napr
ęż
enie styczne w rozwa
ż
anym przekroju
6
2
8
3
1
1
1
1
10
39
31
10
4
237
0
210
0
10
91
112
10
1
*
.
*
.
.
*
.
*
b
J
M
max
max
s
s
=
=
=
=
−
−
α
β
τ
τ
N/m
2
= 31.39 MPa.
Przykład 15.7.1.2.
Zbada
ć
jaki wpływ na wielko
ść
najwi
ę
kszego napr
ęż
enia stycznego w
przekroju poprzecznym skr
ę
canym momentem M
s
ma sposób jego aproksymacji
prostok
ą
tami w dwóch pokazanych na rysunku przekrojach.
Rozwiązanie
Pierwszy przekrój.
Podział na trzy prostok
ą
ty
Współczynniki
208
0.
i
=
α
,
141
0.
i
=
β
4
3
1
4
3
423
0
141
0
3
a
.
a
.
*
b
h
J
i
i
i
i
s
=
=
=
∑
=
β
3
4
6026
1
208
0
141
0
423
0
a
M
.
a
.
.
a
.
M
b
J
M
max
s
s
s
s
=
=
=
α
β
τ
Podział na dwa prostok
ą
ty
Współczynniki
246
0
1
.
=
α
,
229
0
1
.
=
β
,
208
0
2
.
=
α
,
141
0
2
.
=
β
4
2
1
4
3
3
599
0
141
0
2
229
0
a
.
a
.
a
*
a
*
.
b
h
J
i
i
i
i
s
=
+
=
=
∑
=
β
3
4
1
1
1
1
5541
1
246
0
229
0
599
0
a
M
.
a
.
.
a
.
M
b
J
M
max
s
s
s
s
=
=
=
α
β
τ
3
4
2
2
2
2
1317
1
208
0
141
0
599
0
a
M
.
a
.
.
a
.
M
b
J
M
max
s
s
s
s
=
=
=
α
β
τ
Je
ś
li przyj
ąć
pierwszy podział za „miarodajny” to procentowy bł
ą
d wynikaj
ą
cy z drugiego
podziału wynosi
(
)
%
.
.
.
.
03
3
6026
1
5541
1
6026
1
100
=
−
Drugi przekrój.
a
a
3
1
2
a
a
a
a
a
a
5a
a
a
a
5a
4a
4a
a
a
2
a
a
1
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
218
Podział na trzy prostok
ą
ty
Współczynniki:
314
0
1
1
.
=
=
β
α
,
282
0
3
2
.
=
=
α
α
,
281
0
3
2
.
=
=
β
β
4
3
3
1
3
016
6
4
281
0
2
12
314
0
a
.
a
*
a
*
.
*
a
*
a
*
.
b
h
J
i
i
i
i
s
=
+
+
=
=
∑
=
β
3
4
1
1
1
1
1662
0
314
0
314
0
016
6
a
M
.
a
.
.
a
.
M
b
J
M
max
s
s
s
s
=
=
=
α
β
τ
3
4
2
2
2
2
1656
0
282
0
281
0
016
6
a
M
.
a
.
.
a
.
M
b
J
M
max
s
s
s
s
=
=
=
α
β
τ
Podział na cztery prostok
ą
ty
Współczynniki
290
0.
=
=
β
α
s
ą
takie same dla wszystkich
czterech prostok
ą
tów
4
4
1
3
3
80
5
5
290
0
4
a
,
a
*
a
*
.
*
b
h
J
i
i
i
i
s
=
=
=
∑
=
β
Maksymalne napr
ęż
enie styczne w ka
ż
dym
prostok
ą
cie b
ę
dzie równe
3
4
1724
0
290
0
290
0
80
5
a
M
.
a
.
.
a
.
M
b
J
M
max
s
s
s
s
=
=
=
α
β
τ
Procentowy bł
ą
d wynikaj
ą
cy z ró
ż
nej aproksymacji prostok
ą
tami w tym przypadku wynosi
(
)
%
.
.
.
.
60
3
1724
0
1662
0
1724
0
100
=
−
Te dwa przykłady dowodz
ą
(cho
ć
zapewne nie jednoznacznie),
ż
e dowolny ale
“rozs
ą
dny”podział przekroju na składowe prostok
ą
ty ma niewielki wpływ na warto
ść
najwi
ę
kszego napr
ęż
enia stycznego w przekroju.
Przykład 15.7.1.3.
Wyznaczy
ć
jak
zmieni
ą
si
ę
najwi
ę
ksze napr
ęż
enia
styczne i jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia w
rurze skr
ę
canej momentem M
s
po jej
przeci
ę
ciu na pobocznicy równolegle do
jej osi.
Rozwiązanie
1
2
3
a
4a
4a
5a
a
a
5a
1
2
3
a
4a
4a
5a
a
a
5a
4
d
z
0.8 d
z
M
S
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
219
W przypadku rury nie rozci
ę
tej mamy do czynienia ze skr
ę
caniem przekroju kołowo
symetrycznego.
Ś
cisłe rozwi
ą
zanie tego zagadnienia daje najwi
ę
ksze napr
ęż
enia styczne w
dowolnym punkcie na obwodzie o warto
ś
ci:
0
max
W
M
s
=
τ
,
a jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia wynosi:
0
GJ
M
s
=
θ
.
Biegunowy moment bezwładno
ś
ci i biegunowy wska
ź
nik wytrzymało
ś
ci w rozwa
ż
anym
przypadku s
ą
równe:
(
)
4
4
4
0
05796
.
0
8
.
0
1
32
d
d
J
z
=
−
=
π
,
(
)
3
4
4
0
0
1159
0
2
32
8
0
1
2
z
z
z
z
d
.
d
.
d
d
J
W
=
−
=
=
π
.
W przypadku rozci
ę
tej rury zastosujemy przybli
ż
one rozwi
ą
zanie aproksymuj
ą
c przekrój
prostok
ą
tem o wymiarach
z
d
.
b
1
0
=
oraz
z
z
d
.
d
.
*
h
827
2
9
0
=
=
π
Najwi
ę
ksze napr
ęż
enia styczne i jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia w przekroju prostok
ą
tnym
wynosz
ą
:
h
b
M
max
s
2
α
τ
=
,
h
b
G
M
s
3
β
θ
=
.
W rozwa
ż
anym przypadku dla
27
28
1
0
827
2
.
.
.
b
h
=
=
, współczynniki
333
.
0
=
=
β
α
.
St
ą
d najwi
ę
ksze napr
ęż
enia styczne po rozci
ę
ciu rury wzrastaj
ą
:
(
)
312
.
12
827
.
2
*
1
.
0
*
333
.
0
1159
.
0
2
3
=
z
z
z
d
d
d
razy,
a jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia wzrasta:
(
)
568
.
61
827
.
2
*
1
.
0
*
333
.
0
05796
.
0
3
4
=
z
z
z
d
d
d
razy.
d
z
0.8 d
z
h
b
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
220
Przykład 15.7.1.4.
Porówna
ć
warto
ś
ci
maksymalnych
napr
ęż
e
ń
stycznych
jednostkowego k
ą
ta skr
ę
cenia obliczone
według wzorów
ś
cisłych i przybli
ż
onych
wzorów Bredta, w skr
ę
canej rurze o ró
ż
nej
grubo
ś
ci
ś
cianki.
Rozwiązanie
Potrzebujemy wyznaczy
ć
pewne charakterystyki geometryczne rury o promieniu
zewn
ę
trznym R i wewn
ę
trznym r wyst
ę
puj
ą
cych we wzorach okre
ś
laj
ą
cych poszukiwane
wielko
ś
ci.
Grubo
ść
ś
cianki:
(
)
η
δ
−
=
−
=
1
R
r
R
, gdzie :
R
r
=
η
.
Biegunowy moment bezwładno
ś
ci:
(
)
4
4
0
1
2
η
π
−
=
R
J
.
Biegunowy wska
ź
nik wytrzymało
ś
ci:
(
)
4
3
0
1
2
η
π
−
=
R
W
.
Pole obszaru ograniczonego lini
ą
ś
rodkow
ą
ś
cianki:
(
)
2
2
2
0
1
4
2
η
π
π
+
=
+
=
R
r
R
A
.
Całka po linii
ś
rodkowej
ś
cianki:
(
)
(
)
(
)
(
)
η
η
π
η
η
π
δ
−
+
=
−
+
=
∫
1
1
1
1
R
R
ds
.
Maksymalne napr
ęż
enia styczne obliczone według wzorów otrzymanych z rozwi
ą
zania
zagadnienia skr
ę
cania pr
ę
tów kołowo symetrycznych wynosz
ą
:
0
W
M
max
s
s
=
τ
,
Maksymalne napr
ęż
enia styczne obliczone według przybli
ż
onych wzorów dla
cienko
ś
ciennych profili zamkni
ę
tych s
ą
równe:
δ
τ
min
A
M
max
s
B
0
2
=
,
Stosunek napr
ęż
e
ń
wyznaczonych według wzorów przybli
ż
onych i
ś
cisłych wynosi:
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
η
η
η
η
η
η
η
η
η
τ
τ
κ
+
+
=
+
−
+
−
=
+
−
−
=
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
4
S
B
max
max
Wykres zale
ż
no
ś
ci współczynnika
κ od η jest ni
ż
ej pokazany.
Wyliczmy minimaln
ą
warto
ść
współczynnika
κ .
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0,25
0,5
0,75
1
r/R
R
r
M
S
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Skr
ę
canie pr
ę
tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok
ą
tnym
221
(
)
(
)
4142
0
0
1
2
0
1
1
1
2
2
2
2
.
d
d
=
→
=
−
+
→
=
+
+
−
+
=
η
η
η
η
η
η
η
η
κ
.
St
ą
d minimalna warto
ść
κ
wynosi:
(
)
(
)
8284
0
4142
0
1
4142
0
1
2
.
.
.
min
=
+
+
=
κ
Maksymalne napr
ęż
enia styczne obliczone przybli
ż
onym wzorem Bredta w skr
ę
canej rurze,
s
ą
ni
ż
sze od
ś
cisłych a najwi
ę
kszy procentowy bł
ą
d wynosi:
(1-0.8284)*100% = 17.14%.
Jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia według wzorów otrzymanych z rozwi
ą
zania zagadnienia skr
ę
cania
pr
ę
tów kołowo symetrycznych jest równy:
0
J
G
M
s
S
=
θ
.
Jednostkowy k
ą
t skr
ę
cenia według przybli
ż
onego wzoru Bredta wynosi:
∫
=
δ
θ
ds
A
G
M
s
B
2
0
4
.
Stosunek jednostkowych k
ą
tów skr
ę
cenia wyznaczonych według wzorów przybli
ż
onych i
ś
cisłych jest równy:
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
3
2
3
4
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
θ
θ
κ
+
+
=
+
−
+
+
−
=
+
−
−
=
=
S
B
.
Zale
ż
no
ś
ci współczynnika
1
κ
od
η pokazuje poni
ż
szy wykres.
Zatem obliczenia jednostkowego k
ą
ta skr
ę
cenia, przybli
ż
onym wzorem Bredta, daj
ą
wyniki
wi
ę
ksze od dokładnych.
0
0,5
1
1,5
2
0
0,25
0,5
0,75
1
r/R