15 Skrecanie pretow o przekroju kolowo symetrycznym i prostokatnym

background image

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Skręcanie prętów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostokątnym

198

15. SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJU KOŁOWO SYMETRYCZNYM I

PROSTOKĄTNYM

15.1. Naprężenia i odkształcenia

Ze skręcaniem pręta pryzmatycznego mamy do czynienia wówczas, gdy układ sił
zewnętrznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do momentu,
którego płaszczyzna działania jest styczna do przekroju, a wektor jest równoległy do osi pręta.

Moment ten

s

M

nazywamy momentem skręcającym. Naszym zadaniem będzie przede

wszystkim wyznaczenie macierzy naprężeń i odkształceń w dowolnym punkcie pręta.
Zagadnienie skręcania prętów pryzmatycznych daje się rozwiązać prostymi metodami
wytrzymałości materiałów

tylko w przypadku prętów o kołowo symetrycznym przekroju

poprzecznym.
Rozważmy więc, pokazany na rys. 15.1 pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju
poprzecznym, którego pole jest równe A, określony w układzie osi (X, Y ,Z) w którym oś X
jest osią pręta a dwie pozostałe są osiami głównymi centralnymi jego przekroju
poprzecznego. Materiał pręta jest liniowo sprężysty o stałych materiałowych E oraz

ν

.



















Postawione zadanie rozwiążemy postępując według kilkakrotnie już stosowanego algorytmu.
Po dokonaniu myślowego przekroju pręta na dwie części, odrzuceniu części II i przyłożeniu
do części I układu sił wewnętrznych rozważymy trzy komplety równań tzn. równania
równowagi, geometryczne i fizyczne.
Równania równowagi wynikające z twierdzenia o równoważności odpowiednich układu sił
wewnętrznych i zewnętrznych w tym przypadku przyjmą postać:

(

)

( )




=

=

=

+

=

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

.

dA

y

,

dA

z

,

x

M

dA

y

z

,

dA

,

dA

,

dA

A

x

A

x

s

A

xz

xy

A

xz

A

xy

A

x

0

0

0

0

0

σ

σ

τ

τ

τ

τ

σ

(15.1)


Równania geometryczne sformułujemy w oparciu o przypuszczony obraz deformacji pręta.
Przyjęte założenia o własnościach materiału pręta, małych przemieszczeniach i zasada

Rys. 15.1

xy

τ

x

σ

X

Z

xz

τ

Y

x

I

M

s

A

M

s

Z

Y

X

x

(

)

0

0

1 ,

,

v

I

II

M

s

A

background image

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Skręcanie prętów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostokątnym

199

płaskich przekrojów pozwalają przyjąć obraz jego deformacji po obciążeniu pokazany na rys.
15.2. Narysowana na powierzchni zewnętrznej pręta siatka prostopadłych do siebie linii po

















Rys. 15.2


przyłożeniu momentu skręcającego deformuje się tak, że linie równoległe do osi pręta
przechodzą w linie śrubowe a linie prostopadłe do osi pręta pozostają do niego prostopadłe.
Można więc opisać mechanizm deformacji jako obroty wokół osi pręta płaskich kołowych.
nie deformujących się przekrojów przy nie zmieniających się między nimi odległościach,
zatem odkształcenia liniowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zeru:

0

=

=

=

z

y

x

ε

ε

ε

,

oraz

0

=

yz

γ

.

Kąt o jaki obracają się poszczególne przekroje nazywać będziemy kątem skręcenia i
oznaczymy go

( )

x

ϕ

.

Dla dalszej analizy deformacji pręta wytnijmy z niego element o dowolnie małej długości dx
(patrz rys. 15.2). Przyrost kąta skręcenia na tym odcinku oznaczmy przez

( )

x

d

ϕ

.

Z rys.15.2 odczytujemy, że na pobocznicy zachodzą zależności:

r

'

dx

BB

γ

=

i

( )

r

x

d

BB

'

ϕ

=

zatem

( )

dx

x

d

r

r

ϕ

γ

=

,

gdzie:

r

γ

- odkształcenie kątowe na pobocznicy pręta.

Jeśli dalej przyjmiemy, że zależności zauważone na pobocznicy spełnione są również
wewnątrz pręta to możemy napisać:

( )

dx

x

d

ϕ

ρ

γ

=

(15.2)

gdzie:

γ

- odkształcenie kątowe w punkcie o promieniu wodzącym

ρ

dwóch prostopadłych

do siebie włókien, z których jedno jest równoległe do osi pręta a drugie prostopadłe do
promienia wodzącego.
Po wprowadzeniu pojęcia jednostkowego kąta skręcenia określonego wzorem:

( )

( )

dx

x

d

x

ϕ

θ

=

,

(15.3)

M

s

(x)

Z

( )

x

ϕ

( )

l

ϕ

dx

x

l

X

( )

x

d

ϕ

r

τ

τ

r

γ

B

B

A

γ

dx

r

ρ

background image

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Skręcanie prętów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostokątnym

200

w miejsce zależności (15.2) dostajemy:

( )

x

θ

ρ

γ

=

.

(15.4)

Z równań fizycznych Hooke’a otrzymujemy:

(

)

0

2

1

1

=

+

+

+

+

=

x

z

y

x

x

x

E

σ

ε

ε

ε

ν

ν

ε

ν

σ

(

)

0

2

1

1

=

+

+

+

+

=

y

z

y

x

y

y

E

σ

ε

ε

ε

ν

ν

ε

ν

σ

(

)

0

2

1

1

=

+

+

+

+

=

z

z

y

x

z

z

E

σ

ε

ε

ε

ν

ν

ε

ν

σ

0

=

=

yz

yz

yz

G

τ

γ

τ

oraz

( )

x

G

G

ρθ

γ

τ

=

=

(15.5)


Kierunek wektora tych ostatnich napr

ęż

e

ń

stycznych

τ

, jest prostopadły do promienia

wodz

ą

cego punktu

ρ a jego zwrot jest taki,

ż

e kr

ę

ci wzgl

ę

dem

ś

rodka tak samo jak

obci

ąż

aj

ą

cy przekrój moment skr

ę

caj

ą

cy.

Jak wida

ć

z rys. 15.3 napr

ęż

enia styczne w

rozwa

ż

anym punkcie, równoległe do osi

układu odniesienia, mo

ż

na wyrazi

ć

poprzez

napr

ęż

enie styczne

τ

wzorami:

α

τ

τ

sin

=

xy

i

α

τ

τ

cos

=

xz

(15.6)

a po podstawieniu (15.4) przyjmuj

ą

posta

ć

:

( )

z

x

G

xy

θ

τ

=

i

( )

y

x

G

xz

θ

τ

=

.

(15.7)


Wracamy do równa

ń

równowa

ż

no

ś

ci (15.1). Pierwsze, pi

ą

te i szóste z uwagi na zerowania si

ę

napr

ęż

e

ń

normalnych s

ą

spełnione to

ż

samo

ś

ciowo.

Równanie drugie

( )

( )

0

=

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

A

A

A

xy

dA

z

x

G

dA

z

x

G

dA

θ

θ

τ

,

jest spełnione, bo całka to moment statyczny wzgl

ę

dem osi centralnej Y.

Z analogicznego powodu spełnione jest trzecie równanie równowa

ż

no

ś

ci:

( )

( )

0

=

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

A

A

A

xz

dA

y

x

G

dA

y

x

G

dA

θ

θ

τ

.

Przejd

ź

my do równania czwartego:

(

)

( )

x

M

dA

y

z

s

A

xz

xy

=

+

∫∫

τ

τ

Rys.15.3

τ

α

y

ρ

Y

Z

z

τ

xz

τ

xy

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

201

Podstawienie pod całk

ę

zale

ż

no

ś

ci (15.7) i kolejne przekształcenia daj

ą

( )

( )

[

]

( )

=

+

∫∫

x

M

dA

y

x

G

z

x

G

s

A

2

2

θ

θ

( )

(

)

( )

x

M

dA

y

z

x

G

s

A

=

+

∫∫

2

2

θ

( )

( )

0

J

G

x

M

x

s

=

θ

(15.8)

gdzie:

(

)

dA

dA

z

y

J

A

A

∫∫

∫∫

=

+

=

2

2

2

0

ρ

to biegunowy moment bezwładno

ś

ci przekroju

poprzecznego wzgl

ę

dem jego

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci, a iloczyn

0

GJ

nazywany jest sztywno

ś

ci

ą

na

skr

ę

canie.

Wstawiaj

ą

c (15.8) do (15.5) otrzymujemy wzór okre

ś

laj

ą

cy rozkład napr

ęż

e

ń

stycznych w

przekroju poprzecznym skr

ę

canego pr

ę

ta o przekroju kołowo-symetrycznym:

( )

ρ

τ

0

J

x

M

s

=

.

(15.9)

14.2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia

W rozwa

ż

anym przypadku na płaszczyznach prostopadłych do osi układu odniesienia nie ma

napr

ęż

e

ń

normalnych a wyst

ę

puj

ą

ce w płaszczy

ź

nie przekroju poprzecznego napr

ęż

enia

styczne okre

ś

lone wzorem (15.9) s

ą

liniowo zale

ż

ne od odległo

ś

ci od jego

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci.

Zatem sw

ą

najwi

ę

ksz

ą

warto

ść

osi

ą

gaj

ą

one w punktach le

żą

cych na obwodzie:

( )

( )

0

0

max

W

x

M

r

J

x

M

s

s

=

=

τ

(15.10)

gdzie:

r

J

W

0

0

=

- wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci przy skr

ę

caniu (lub biegunowy wska

ź

nik

wytrzymało

ś

ci)

Rozkład tych napr

ęż

e

ń

stycznych pokazany

jest na rys.15.4 i jak ju

ż

powiedziano wy

ż

ej

ich kierunek jest prostopadły do wektora
wodz

ą

cego punktu a zwrot taki,

ż

e kr

ę

c

ą

one

wzgl

ę

dem

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci tak samo jak

obci

ąż

aj

ą

cy przekrój moment skr

ę

caj

ą

cy.

Kołowa symetria przekroju powoduje,

ż

e taki

liniowy rozkład wyst

ę

puje na ka

ż

dym

odcinku

przechodz

ą

cym

przez

ś

rodek

przekroju poprzecznego.

Pokazuje to wyra

ź

niej rys. 14.5, który mo

ż

e równie

ż

ułatwi

ć

zrozumienie,

ż

e w omawianym

przypadku w ka

ż

dym punkcie pr

ę

ta mamy do czynienia z płaskim stanem napr

ęż

enia

(dokładniej z czystym

ś

cinaniem) i

ż

e płaszczyzn

ą

tego stanu jest płaszczyzna prostopadła do

przekroju poprzecznego i prostopadła do wektora wodz

ą

cego punktu. Napr

ęż

enia główne, z

których jedno jest rozci

ą

gaj

ą

ce a drugie

ś

ciskaj

ą

ce o warto

ś

ciach równych napr

ęż

eniom

stycznym, nachylone s

ą

pod k

ą

tem 45

° do osi pr

ę

ta (rys.15.5).

max

τ

max

τ

Rys. 15.4

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

202

Rys.14.5

Macierz odkształce

ń

odpowiadaj

ą

c

ą

wyznaczonym napr

ęż

eniom obliczamy korzystaj

ą

c ze

zwi

ą

zków fizycznych Hooke’a.

Z zale

ż

no

ś

ci (15.3) i (18.8) wynika,

ż

e k

ą

t skr

ę

cenia dwóch przekrojów odległych o x jest

równy:

( )

( )

( )

=

=

x

s

x

dx

J

G

x

M

dx

x

x

0

0

0

θ

ϕ

.

(15.11)

St

ą

d, całkowity k

ą

t skr

ę

cenia pr

ę

ta o długo

ś

ci l , obci

ąż

onego stałym momentem skr

ę

caj

ą

cym

( )

s

s

M

x

M

=

, wynosi:

0

J

G

l

M

s

=

ϕ

.

(15.12)

W tym miejscu warto zwróci

ć

uwag

ę

na zale

ż

no

ść

(15.11), pokazuje ona,

ż

e funkcja

momentów skr

ę

caj

ą

cych podzielona przez sztywno

ść

na skr

ę

canie GJ

0

jest pochodn

ą

k

ą

ta

skr

ę

cenia.

15.3. Energia sprężysta skręcanego pręta o kołowo symetrycznym przekroju

Podstawienie wyra

ż

e

ń

okre

ś

laj

ą

cych elementy macierzy napr

ęż

e

ń

do wzorów (8.18) pozwala

na wyznaczenie g

ę

sto

ś

ci energii spr

ęż

ystej i energii spr

ęż

ystej dla skr

ę

canego pr

ę

ta o kołowo

symetrycznym przekroju poprzecznym:

(

)

( )

2

2

2

2

2

1

2

1

=

=

+

+

=

ρ

τ

τ

τ

ν

Φ

o

s

xz

xy

J

x

M

G

G

E

,

i st

ą

d energia spr

ęż

ysta takiego pr

ę

ta o długo

ś

ci l wynosi:

( )

( )

( )

dx

J

G

x

M

dA

J

x

M

G

dx

dV

J

x

M

G

dV

U

A

l

o

s

o

s

l

V

o

s

V

∫∫

∫∫∫

∫∫∫

=

=

=

=

0

2

2

0

2

2

2

1

2

1

ρ

ρ

Φ

.

W przypadku pr

ę

ta, którego przekrój poprzeczny zmienia si

ę

na jego długo

ś

ci, energia

spr

ęż

ysta jest równa:

max

τ

max

τ

τ

τ

σ

2

=

τ

σ

2

=

τ

σ

1

=

τ

45

°

σ

1

=

τ

45

°

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

203

( )

dx

GJ

x

M

U

n

i

l

oi

si

i

∑ ∫

=

=

1 0

2

2

,

(15.13)

gdzie sumowanie nale

ż

y wykona

ć

po wszystkich przedziałach charakterystycznych.

15.4. Wymiarowanie skręcanych prętów o kołowo symetrycznym przekroju

Stan graniczny no

ś

no

ś

ci wymaga aby najwi

ę

ksze napr

ęż

enia styczne w konstrukcji były

mniejsze od napr

ęż

e

ń

obliczeniowych przy

ś

cinaniu R

t

:

t

R

τ

max

W przypadku pr

ę

ta o stałym przekroju poprzecznym na całej jego długo

ś

ci najwi

ę

ksze

napr

ęż

enia styczne wyst

ą

pi

ą

w przekroju maksymalnego momentu skr

ę

caj

ą

cego we

wszystkich punktach na obwodzie i warunek stanu granicznego no

ś

no

ś

ci przyjmie form

ę

:

t

s

R

W

M

=

0

max

max

τ

(15.14)

Stan graniczny u

ż

ytkowania nie dopuszcza zbyt du

ż

ego k

ą

ta skr

ę

cenia w konstrukcji i

zwi

ą

zany z nim warunek stawia wymóg, by najwi

ę

kszy jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia był

mniejszy od dopuszczalnego:

dop

max

θ

θ

.

W przypadku pr

ę

ta pryzmatycznego wykonanego z jednego materiału najwi

ę

kszy

jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia wyst

ą

pi w przekroju maksymalnego momentu skr

ę

caj

ą

cego i

warunek stanu granicznego u

ż

ytkowania przyjmuje posta

ć

:

dop

s

J

G

M

max

θ

0

.

(15.15)

15.5. Przykłady

Przykład 15.5.1.

Wyznaczy

ć

biegunowy moment bezwładno

ś

ci i biegunowy wska

ź

nik

wytrzymało

ś

ci dla przekroju kołowego i rurowego.

r

Y

d

Z

O

32

2

4

4

0

d

r

J

J

J

z

y

π

π

=

=

+

=

16

2

3

3

0

0

d

r

r

J

W

π

π

=

=

=

Y

Z

O

r

w

r

z







=

=

4

4

4

4

0

1

2

2

2

z

w

z

w

z

r

r

r

r

r

J

π

π

π







=

=

4

3

0

0

1

2

z

w

z

z

r

r

r

r

J

W

π

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

204

Przykład 15.5.2.

Wyznaczy

ć

potrzebn

ą

ś

rednic

ę

pr

ę

ta skr

ę

canego obci

ąż

onego jak na rysunku

ze wzgl

ę

du na stan graniczny no

ś

no

ś

ci i u

ż

ytkowania je

ś

li

130

=

t

R

MPa

,

80

=

G

GPa

,

o

3

0.

dop

=

θ

/

m. Po przyj

ę

ciu

ś

rednicy wyznaczy

ć

wykres k

ą

tów skr

ę

cenia poszczególnych

przekrojów wzgl

ę

dem przekroju A.






Rozwiązanie

Wykres momentów skr

ę

caj

ą

cych pozwoli okre

ś

li

ć

maksymalny moment skr

ę

caj

ą

cy w

konstrukcji. Aby go wyznaczy

ć

wpierw wyliczymy moment skr

ę

caj

ą

cy w utwierdzeniu. Po

przyj

ę

ciu jego zwrotu jak na rysunku warunek równowagi sił działaj

ą

cych na pr

ę

t ma posta

ć

:

= 0

x

M

lub inaczej

= 0

s

M

, co pokazuje fizyczn

ą

interpretacj

ę

tego warunku:

0

4

0

3

13

6

.

M

M

SA

SA

=

=

+

+

kNm.

Aby sporz

ą

dzi

ć

wykres momentów skr

ę

caj

ą

cych wygodnie jest przyj

ąć

lokaln

ą

umow

ę

znakowania tych sił przekrojowych, która uwalniałaby nas od układu globalnego i informacji
po której stronie przekroju dokonywana jest redukcja. Z podobnymi umowami mieli

ś

my ju

ż

do czynienia - był to układ własny przekroju poprzecznego pr

ę

ta przy znakowaniu sił

poprzecznych i podłu

ż

nych czy te

ż

spody przy momentach zginaj

ą

cych.

Umow

ę

znakowania momentów skr

ę

caj

ą

cych pokazuje poni

ż

szy rysunek







Przy tej umowie wykres momentów skr

ę

caj

ą

cych w rozwa

ż

anym pr

ę

cie pokazuje rysunek

poni

ż

ej:

















dodatnie momenty

skr

ę

caj

ą

ce

ujemne momenty

skr

ę

caj

ą

ce

13 kNm

6 kNm

3 kNm

X

A

1.5 m

1.0 m

1.0 m

B

C

D

4 kNm

13 kNm

6 kNm

3 kNm

X

A

1.5 m

1.0 m

1.0 m

B

C

D

M

SA

4.0

10.0

3.0

M

s

(x)

Nm

0.120

°

0.475

°

0.567

°

ϕ

Ax

°

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

205

Maksymalny moment skr

ę

caj

ą

cy max M

s

= 10.0 kNm.

Wyznaczenie

ś

rednicy pr

ę

ta.

Potrzebny wymiar ze wzgl

ę

du na stan graniczny no

ś

no

ś

ci:

2

6

3

3

0

0

10

23

7

10

130

10

10

16

=

*

.

d

*

*

d

R

M

max

W

R

W

M

max

max

t

s

t

s

π

τ

m.

Potrzebny wymiar ze wzgl

ę

du na stan graniczny u

ż

ytkowania:

2

9

3

4

0

0

10

49

12

3

0

10

80

180

10

10

32

=

*

.

d

.

*

*

*

*

*

d

G

M

max

J

GJ

M

max

max

dop

s

dop

s

π

π

θ

θ

θ

o

m.

W warunku stanu granicznego u

ż

ytkowania

dop

θ

podane w

°/m nale

ż

ało wyrazi

ć

w 1/m a

poniewa

ż

180

° = π - st

ą

d forma zapisu tego warunku.

Przyj

ę

to do wykonania d = 12.5 cm .

Biegunowy moment bezwładno

ś

ci pr

ę

ta przy takiej

ś

rednicy wynosi:

84

2396

32

5

12

4

0

.

.

*

J

=

=

π

cm

4

.

K

ą

ty skr

ę

cenia wzgl

ę

dem przekroju utwierdzenia wyznaczymy sumuj

ą

c k

ą

ty skr

ę

cenia

poszczególnych przekrojów charakterystycznych wzgl

ę

dem siebie.

Poniewa

ż

we wszystkich przedziałach charakterystycznych momenty skr

ę

caj

ą

ce s

ą

stałe, to

k

ą

ty skr

ę

cenia mo

ż

emy liczy

ć

według wzoru:

0

J

G

l

M

s

=

ϕ

.

Zatem:

o

o

120

0

180

0021

0

0021

0

10

84

2396

10

80

0

1

10

0

4

8

9

3

.

*

.

rd

.

*

.

*

*

.

*

*

.

AB

=

=

=

=

π

ϕ

,

o

o

447

0

180

0078

0

0078

0

10

84

2396

10

80

5

1

10

0

10

8

9

3

.

*

.

rd

.

*

.

*

*

.

*

*

.

BC

=

=

=

=

π

ϕ

,

o

o

092

0

180

0016

0

0016

0

10

84

2396

10

80

0

1

10

0

3

8

9

3

.

*

.

rd

.

*

.

*

*

.

*

*

.

CD

=

=

=

=

π

ϕ

,

o

475

0

092

0

447

0

120

0

.

.

.

.

CD

BC

AB

AD

=

+

=

+

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

.

Obliczone k

ą

ty pozwalaj

ą

narysowa

ć

wykres k

ą

tów skr

ę

cenia, który został pokazany na

rysunku wy

ż

ej.







Przykład 15.5.3.

Wyznaczy

ć

maksymalne napr

ęż

enie styczne w przekroju poprzecznym

dwustronnie zamocowanego pr

ę

ta skr

ę

canego o skokowo zmiennym przekroju kołowym jak

na rysunku. Dane s

ą

: d, l, G oraz M.

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

206

Pr

ę

t jest jednokrotnie statycznie

niewyznaczalny

gdy

ż

do

wyznaczenia dwóch reakcji w
postaci momentów skr

ę

caj

ą

cych

w utwierdzeniach

sA

M

i

sE

M

dysponujemy

tylko

jednym

równaniem

równowagi,

tj.

= 0

s

M

.

Dodatkowego

równania nale

ż

y, jak zawsze w

przypadku

zadania

statycznie

niewyznaczalnego, poszukiwa

ć

w

warunkach

geometrycznych

konstrukcji. W tym przypadku
warunek geometryczny wynika z
obustronnego zamocowania pr

ę

ta,

zatem k

ą

t skr

ę

cenia skrajnych

przekrojów jest równy zero co
daje dodatkowe równanie w
postaci

0

=

AE

ϕ

.

Przy zało

ż

onych jak na rysunku, zwrotach momentów skr

ę

caj

ą

cych w utwierdzeniach

równania te maj

ą

posta

ć

:

• równanie równowagi

=

+

+

=

0

4

0

sE

sA

s

M

M

M

M

M

,


• równanie geometryczne

0

0

=

+

+

+

=

DE

CD

BC

AB

AE

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

,

(

)

(

)

(

)

0

4

4

2

2

0

0

0

0

=

+

+

+

+

+

+

DE

sA

CD

sA

BC

sA

AB

sA

GJ

l

M

M

M

GJ

l

M

M

M

GJ

l

M

M

GJ

l

M


Biegunowy moment bezwładno

ś

ci na odcinku AB jest równy:

32

4

0

d

J

AB

π

=

i je

ś

li oznaczymy go przez

0

J

, to biegunowe momenty bezwładno

ś

ci na

pozostałych odcinkach pr

ę

ta wynosz

ą

:

0

0

0

16J

J

J

CD

BC

=

=

,

0

0

81J

J

DE

=

. Przy tych

oznaczeniach równanie geometryczne przyjmuje posta

ć

:

(

)

(

)

(

)

0

81

4

16

4

16

2

2

0

0

0

0

=

+

+

+

+

+

+

J

*

G

l

M

M

M

J

*

G

l

M

M

M

J

*

G

l

M

M

GJ

l

M

sA

sA

sA

sA

,

z którego wyliczamy

M

.

M

sA

045

0

=

, a po wstawieniu do równania równowagi otrzymujemy

M

.

M

sE

955

2

=

. Wykres momentów skr

ę

caj

ą

cych pokazany na rysunku i geometria

przekrojów poprzecznych pr

ę

ta pozwala s

ą

dzi

ć

,

ż

e najwi

ę

ksze napr

ęż

enia styczne wyst

ą

pi

ą

na odcinku CD w punktach na obwodzie przekroju poprzecznego i b

ę

d

ą

miały warto

ść

:

( )

3

4

88

1

32

2

955

2

d

M

.

d

d

M

.

max

=

=

π

τ

.

M

sA

s

M

0.045

M

1.045

M

2.955

M

X

2d

3d

A

2l

2l

l

B

C

D

l

E

M

4M

M

sE

d

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

207

Przykład 15.5.4.

Wyznaczy

ć

potrzebn

ą

ś

rednic

ę

pr

ę

ta skr

ę

canego, obci

ąż

onego jak na

rysunku ze wzgl

ę

du na stan graniczny no

ś

no

ś

ci i u

ż

ytkowania, je

ś

li

110

=

t

R

MPa

,

80

=

G

MPa

,

o

3

0.

dop

=

θ

/

m. Po przyj

ę

ciu

ś

rednicy wyznaczy

ć

wykres k

ą

tów skr

ę

cenia

poszczególnych przekrojów wzgl

ę

dem przekroju A.



Rozwiązanie

Pr

ę

t jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Do wyznaczenia dwóch reakcji w postaci

momentów skr

ę

caj

ą

cych w utwierdzeniach

sA

M

i

sE

M

dysponujemy jednym równaniem

równowagi i jednym równaniem geometrycznym.
























Przy zało

ż

onych jak na rys. zwrotach momentów skr

ę

caj

ą

cych w utwierdzeniach równania te

maj

ą

posta

ć

:

• równanie równowagi

=

+

+

=

0

4

3

20

0

sE

sA

s

M

*

M

M

• równanie geometryczne

X

0.8

d

A

3 m

2 m

1m

B

C

D

4 m

E

20 kNm

3 kNm/m

d

M

sE

X

0.8

d

A

3 m

2 m

1 m

B

C

D

M

sA

4 m

E

20 kNm

3 kNm/m

d

s

M

kNm

14.012

5.988

6.012

7.996 m

AX

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

10

-3

rd

9.2893

3.3768

3.3346

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

208

0

0

=

+

+

+

=

DE

CD

BC

AB

AE

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(

)

(

)

(

)

0

2

4

3

20

3

20

3

20

2

0

0

0

0

=

+

+

+

+

+

+

CE

sA

CE

sA

AC

sA

AC

sA

GJ

*

*

M

GJ

*

M

GJ

*

M

GJ

*

M

W powy

ż

szym równaniu równowagi obci

ąż

enie, rozło

ż

onym w sposób ci

ą

gły momentem

skr

ę

caj

ą

cym na odcinku DE zostało zast

ą

pione równowa

ż

nym, skupionym w

ś

rodku odcinka

momentem skr

ę

caj

ą

cym.

Biegunowy moment bezwładno

ś

ci na odcinku AC jest równy

32

4

0

d

J

AC

π

=

i je

ś

li oznaczymy

go przez

0

J

, to biegunowy moment bezwładno

ś

ci na pozostałym odcinku pr

ę

ta ma warto

ść

(

)

0

4

4

0

5904

0

32

8

0

32

J

.

d

.

d

J

CE

=

=

π

π

. Po wykorzystaniu tej zale

ż

no

ś

ci i prostych

rachunkach równanie geometryczne przyjmuje posta

ć

:

0

7263

188

4688

13

=

+

.

M

.

sA

Z tych dwóch równa

ń

otrzymujemy:

012

14.

M

sA

=

kNm,

012

6.

M

sE

=

kNm.

Równania momentów skr

ę

caj

ą

cych:

0

2

0

.

x

<

<

m

( )

012

14.

M

x

M

sA

s

=

=

kNm,

0

6

0

2

.

x

.

<

<

m

( )

988

5

20

.

M

x

M

sA

s

=

+

=

kNm

0

10

0

6

.

x

.

<

<

m

( )

(

)

( )

988

5

6

6

3

988

5

.

M

;

x

.

x

M

s

s

=

=

kNm,

(

)

0

996

7

=

.

M

s

,

( )

012

6

10

.

M

s

=

kNm.

W miejscu zerowania si

ę

momentu skr

ę

caj

ą

cego, tj. dla x = 7.996 m wyst

ą

pi ekstremum k

ą

ta

skr

ę

cenia w tym przedziale.

Wykres momentów skr

ę

caj

ą

cych pokazany jest wy

ż

ej.

Wyznaczenie wielko

ś

ci potrzebnej

ś

rednicy pr

ę

ta.

odcinek AC

max M

s

=14.012 kNm

• stan graniczny no

ś

no

ś

ci

087

0

10

110

10

012

14

16

6

3

3

0

0

.

d

*

*

.

d

R

M

max

W

R

W

M

max

t

s

t

s

π

m,

• stan graniczny u

ż

ytkowania

136

0

3

0

10

80

180

10

012

14

32

9

3

4

0

0

.

d

*

.

*

*

*

*

.

d

G

M

max

J

GJ

M

max

dop

s

dop

s

π

π

θ

θ

o

m.


odcinek CE

max M

s

=6.012 kNm

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

209

(

)

4

4

4

4

0

0580

0

32

5904

0

32

8

0

32

d

.

d

.

d

.

d

J

=

=

=

π

π

π

,

3

0

0

1159

0

2

d

.

d

J

W

=

=

.

• stan graniczny no

ś

no

ś

ci

078

0

10

110

10

012

6

1159

0

6

3

3

0

0

.

d

*

*

.

d

.

R

M

max

W

R

W

M

max

t

s

t

s

m,

• stan graniczny u

ż

ytkowania

125

0

3

0

10

80

180

10

012

6

0580

0

9

3

4

0

0

.

d

*

.

*

*

*

*

.

d

.

G

M

max

J

GJ

M

max

dop

s

dop

s

π

θ

θ

o

m.

Przyj

ę

to do wykonania d = 0.14 m..

Biegunowy moment bezwładno

ś

ci na odcinku AC wynosi 3771 cm

4

a na odcinku CE jest

równy 2227 cm

4

Równania k

ą

tów skr

ę

cenia wzgl

ę

dem przekroju A :

0

2

0

.

x

<

<

m

( )

rd

*

.

;

x

*

.

dx

*

*

*

*

.

dx

GJ

x

M

AB

x

x

s

Ax

3

3

0

8

9

3

0

0

10

2893

9

10

6447

4

10

3771

10

80

10

012

14

=

=

=

=

ϕ

ϕ

.

0

5

0

2

.

x

.

<

<

m

( )

(

)

rd

*

.

;

x

*

.

*

.

dx

*

*

*

*

.

dx

GJ

x

M

AC

x

AB

x

s

AB

Ax

3

3

3

2

8

9

3

2

0

10

3346

3

2

10

9849

1

10

2893

9

10

3771

10

80

10

988

5

=

+

=

=

+

=

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

0

6

0

5

.

x

.

<

<

m

( )

(

)

rd

*

.

;

x

*

.

*

.

dx

*

*

*

*

.

dx

GJ

x

M

AD

x

AC

x

s

AC

Ax

3

3

3

5

8

9

3

5

0

10

0269

0

5

10

3610

3

10

3346

3

10

2227

10

80

10

988

5

=

+

=

=

+

=

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

0

10

0

6

.

x

.

<

<

m

( )

(

)

[

]

0

10

5421

0

10

8420

0

10

4643

13

10

4496

50

10

2227

10

80

10

6

3

988

5

6

2

3

3

3

6

8

9

3

6

0

=

+

=

=

+

=

+

=

rd

*

.

;

x

*

.

x

*

.

*

.

dx

*

*

*

*

x

.

dx

GJ

x

M

AE

x

AD

x

s

AD

Ax

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

210

Ekstremalny k

ą

t skr

ę

cenia w tym przedziale:

(

)

rd

*

.

.

Ax

3

10

3768

3

996

7

=

ϕ

.

Wykres k

ą

tów skr

ę

cenia wzgl

ę

dem przekroju A jest wy

ż

ej pokazany.

Przykład 15.5.5.

W skr

ę

canym pr

ę

cie kołowym o

ś

rednicy d = 12 cm obci

ąż

onym jak na rys.

wyznaczy

ć

: wykres momentów skr

ę

caj

ą

cych,

wykres k

ą

tów skr

ę

cenia poszczególnych

przekrojów wzgl

ę

dem przekroju A oraz

ekstremalne napr

ęż

enia główne i

odkształcenia główne je

ż

eli stałe materiałowe

wynosz

ą

E

= 205 GPa

,

3

0.

=

ν

.

Rozwiązanie

Równania momentów skr

ę

caj

ą

cych:

0

2

0

.

x

<

<

m

( )

2

25

1

0

4

5

2

2

1

0

4

x

.

.

x

*

x

.

.

x

M

s

=

=

,

( )

00

4

0

.

M

s

=

kNm,

( )

25

5

1

.

M

s

=

kNm,

( )

00

9

2

.

M

s

=

kNm.

0

4

0

2

.

x

.

<

<

m

( )

(

)

29

10

2

10

9

=

+

=

x

x

x

M

s

( )

00

9

2

.

M

s

=

kNm,

( )

00

11

4

.

M

s

=

kNm,

( )

00

0

9

2

.

.

M

s

=

kNm.

Biegunowy moment bezwładno

ś

ci przekroju pr

ę

ta wynosi:

75

2035

32

12

4

0

.

*

J

=

=

π

cm

4

.

X

A

B

2 m

C

4 kNm

5 kNm/m

2 m

10 kNm/m

X

A

B

2 m

C

4 kNm

5 kNm/m

2 m

10 kNm/m

M

s

kNm

2.9 m

4.00

5.25

9.00

11.00

2.232

7.061

9.584

5.815

AX

ϕ

10

-3

rd

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

211

Sztywno

ść

na skr

ę

canie

(

)

(

)

6

8

9

0

0

10

6051

1

10

75

2035

3

0

1

2

10

205

1

2

*

.

*

.

.

*

J

E

GJ

=

+

=

+

=

ν

Nm

2

.

Równania k

ą

tów skr

ę

cenia wzgl

ę

dem przekroju A:

0

2

0

.

x

<

<

m

( )

(

)

(

)

rd

*

x

.

x

.

dx

*

.

*

x

.

dx

GJ

x

M

x

x

s

Ax

3

3

0

6

3

2

0

0

10

2596

0

492

2

10

6051

1

10

25

1

4

+

=

+

=

=

ϕ

( )

( )

rd

*

.

,

rd

*

.

AB

Ax

Ax

3

3

10

061

7

2

10

232

2

1

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

.

0

4

0

2

.

x

.

<

<

m

( )

(

)

(

)

rd

*

x

.

x

.

.

dx

*

.

*

x

dx

GJ

x

M

x

AB

x

s

AB

Ax

3

2

2

6

3

2

0

10

067

18

115

3

613

16

10

6051

1

10

29

10

+

=

+

=

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

( )

( )

( )

rd

*

.

,

rd

*

.

,

rd

*

.

AC

Ax

Ax

AB

Ax

3

3

3

10

815

5

4

10

553

9

3

10

061

7

2

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

.

Ekstremalny k

ą

t skr

ę

cenia:

( )

rd

*

.

.

Ax

3

10

584

9

9

2

=

ϕ

.

Ekstremalne napr

ęż

enia główne i odkształcenia główne wyst

ą

pi

ą

w przekroju najwi

ę

kszego

momentu skr

ę

caj

ą

cego w dowolnym punkcie na obwodzie przekroju poprzecznego pr

ę

ta.

Je

ś

li wybierzemy punkt K , to przy przyj

ę

tym

układzie współrz

ę

dnych, wyst

ą

pi

ą

w nim jedynie

napr

ęż

enia styczne:

420

32

16

12

0

10

0

11

3

3

.

.

*

*

.

W

M

o

s

zx

xz

=

=

=

=

π

τ

τ

MP.

W wybranym punkcie wyst

ę

puje płaski stan napr

ęż

enia (czyste

ś

cinanie) , który w

płaszczy

ź

nie stanu napr

ęż

enia (tzn. płaszczy

ź

nie (X, Z)) jest reprezentowany przez macierz :

=

0

42

32

42

32

0

.

.

T

σ

MPa.

Napr

ęż

enia główne maj

ą

warto

ś

ci:

42

32

2

2

2

2

.

xz

z

x

z

x

max

=

+

+

+

=

τ

σ

σ

σ

σ

σ

MPa,

42

32

2

2

2

2

.

xz

y

x

z

x

min

=

+



+

=

τ

σ

σ

σ

σ

σ

MPa.

a ich kierunki okre

ś

laj

ą

k

ą

ty :

τ

zx

τ

xz

K

Z

Y

X

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

212

o

45

0

.

1

tg

max

max

max

=

=

=

α

σ

σ

τ

α

z

xz

,

o

45

0

.

1

tg

min

min

min

=

=

=

α

σ

σ

τ

α

z

xz

Warto

ś

ci ekstremalnych odkształce

ń

głównych wyznaczymy, korzystaj

ą

c z równa

ń

Hooke’a

(

)

(

)

3

9

6

10

206

0

10

205

10

3

0

1

42

32

1

=

+

=

=

*

.

*

*

.

.

E

min

max

max

νσ

σ

ε

,

(

)

(

)

3

9

6

10

206

0

10

205

10

3

0

1

42

32

1

=

+

=

=

*

.

*

*

.

.

E

max

min

min

νσ

σ

ε

.

Kierunki włókien, które maj

ą

ekstremalne odkształcenia liniowe (a odkształcenia k

ą

towe s

ą

równe zero) pokrywaj

ą

si

ę

z kierunkami napr

ęż

e

ń

głównych.

15.6. Naprężenia styczne w skręcanym pręcie o przekroju prostokątnym

Przy skr

ę

caniu pr

ę

tów o przekroju poprzecznym ka

ż

dym innym ni

ż

kołowo symetrycznym,

nie jest prawdziwe zało

ż

enie jakoby przekrój płaski przed przyło

ż

eniem obci

ąż

enia pozostał

taki po obci

ąż

eniu i jego przemieszczenia polegały jedynie na obrocie wokół osi pr

ę

ta.

Swobodnemu skr

ę

caniu takich pr

ę

tów towarzyszy deplanacja (wypaczanie) ich przekroju

poprzecznego, tzn. punkty przekroju poprzecznego mog

ą

si

ę

swobodnie przemieszcza

ć

w

kierunku równoległym do jego osi i napr

ęż

enia normalne w przekroju poprzecznym s

ą

równe

zero.
Otrzymanie

ś

cisłych wyników dla takich przypadków wymaga u

ż

ycia bardziej ni

ż

dot

ą

d

zło

ż

onych metod analizy matematycznej i ni

ż

ej ograniczymy si

ę

jedynie do podania

ko

ń

cowych wyników

ś

cisłego rozwi

ą

zania zagadnienia skr

ę

cania pr

ę

ta o przekroju

prostok

ą

tnym uzyskanych przez de Saint-Venanta w 1855 r.

Rozkład napr

ęż

e

ń

stycznych w skr

ę

canym przekroju prostok

ą

tnym pokazany jest na rys.15.6.

Nale

ż

y przede wszystkim zauwa

ż

y

ć

,

ż

e napr

ęż

enia te s

ą

styczne do konturu i osi

ą

gaj

ą

najwi

ę

ksz

ą

warto

ść

w połowie dłu

ż

szego boku, a zeruj

ą

si

ę

w naro

ż

ach. Zwrot napr

ęż

e

ń

jest

taki,

ż

e kr

ę

c

ą

wzgl

ę

dem

ś

rodka tak samo jak obci

ąż

aj

ą

cy moment skr

ę

caj

ą

cy.

Warto

ś

ci najwi

ę

kszych napr

ęż

e

ń

stycznych oraz jednostkowego k

ą

ta podaj

ą

wzory:

Z

X

32.42

32.42

32.42

32.42

max

o

45

=

max

α

o

45

=

min

α

42

32.

min

=

σ

42

32.

max

=

σ

Z

X

min

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

213

2

b

h

M

max

s

α

τ

=

, (15.16)

3

b

h

G

M

s

β

θ

=

. (15.17)



Współczynniki

α

oraz

β

wyst

ę

puj

ą

ce we wzorach (15.16) i (15.17) zale

żą

s

ą

od stosunku

boków h/b (b jest z umowy krótszym bokiem) i podane s

ą

w tabelce poni

ż

ej


h/b

1.0

1.5

1.75

2.0

2.5

3.0

4.0

6.0

8.0

10.0

α

0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

β

0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

15.7. Przybliżony sposób wyznaczania naprężeń stycznych w skręcanych prętach o

dowolnym przekroju

Ten przybli

ż

ony sposób stosujemy najcz

ęś

ciej przy skr

ę

caniu pr

ę

tów cienko

ś

ciennych. Pr

ę

ty

takie charakteryzuj

ą

si

ę

niewielk

ą

grubo

ś

ci

ą

ś

cianki w stosunku do pozostałych wymiarów.

Ze wzgl

ę

du na kształt przekroju mo

ż

emy je podzieli

ć

na profile otwarte i profile zamkni

ę

te

(rys.15.7). Zajmiemy si

ę

ka

ż

dym z tych rodzajów pr

ę

tów oddzielnie a głównym naszym

celem b

ę

dzie wyznaczenie najwi

ę

kszych napr

ęż

e

ń

stycznych w przekroju.









Rys. 15.7


Zaczniemy od profili otwartych. Pierwszym krokiem, który musimy dokona

ć

w tym podej

ś

ciu

jest podział i aproksymacja całkowitego przekroju na cz

ęś

ci składowe, ka

ż

da o przekroju

prostok

ą

tnym (rys. 15.8). Dalej ten aproksymowany przekrój traktowany jest jako zbiór

prostok

ą

tów, ka

ż

dy obci

ąż

ony jakim

ś

swoim momentem skr

ę

caj

ą

cym. Dla takiego

przybli

ż

onego przekroju przyjmiemy nast

ę

pnie zało

ż

enia upraszczaj

ą

ce:

• suma momentów skr

ę

caj

ą

cych poszczególne prostok

ą

tne cz

ęś

ci składowe jest równa

momentowi skr

ę

caj

ą

cemu przyło

ż

onemu do całego profilu

• jednakowy jest jednostkowy k

ą

t skr

ę

cania wszystkich poszczególnych elementów

składowych.

profile otwarte

profile zamkni

ę

te

max

τ

Z

Y

Rys. 15.6

b

h

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

214



Rozwa

ż

my pokazany na rys.15.8 przekrój i

podzielmy go trzy prostok

ą

tne elementy (zatem w

dalszych wzorach n = 3) o wymiarach b

i

xh

i

, gdzie

szeroko

ść

b

i

jest mniejszym wymiarem danego

prostok

ą

ta. Podział na elementy składowe w

zasadzie jest dowolny ale wskazane jest
„zdroworozs

ą

dkowe” podej

ś

cie w tym zakresie.



Dla ka

ż

dego składowego „i-tego” elementu obowi

ą

zuj

ą

zale

ż

no

ś

ci i rozkład napr

ęż

e

ń

stycznych jak w prostok

ą

cie:

2

i

i

i

i

s

i

b

h

M

max

α

τ

=

,

3

i

i

i

i

s

i

b

h

G

M

β

θ

=


Pierwsze zało

ż

enie upraszczaj

ą

ce daje równanie (mo

ż

emy je nazwa

ć

równaniem równowagi):

=

=

n

i

i

s

s

M

M

1

,

(15.18)

a drugie zało

ż

enie upraszczaj

ą

ce pozwala napisa

ć

zale

ż

no

ś

ci (mo

ż

emy je nazwa

ć

geometrycznymi):

θ

θ

=

i

.

(15.19)

Ze wzorów dla prostok

ą

ta i zale

ż

no

ś

ci geometrycznych otrzymujemy zwi

ą

zki :

3

3

i

i

i

i

i

i

i

i

s

b

h

G

b

h

G

M

β

θ

β

θ

=

=

, które po wstawieniu do równania (15.18) daj

ą

zale

ż

no

ść

:

=

=

=

=

n

i

i

i

i

n

i

i

s

s

b

h

G

M

M

1

3

1

β

θ

,

z której mo

ż

emy wyznaczy

ć

jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia przekroju:

s

s

GJ

M

=

θ

(15.20)

gdzie:

=

=

3

1

3

i

i

i

i

s

b

h

J

β

(15.21)


Wstawiaj

ą

c wyra

ż

enie na jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia (15.20) do wzoru na moment skr

ę

caj

ą

cy

w „i-tym” prostok

ą

cie:

3

3

3

i

i

i

s

s

i

i

i

s

s

i

i

i

i

s

b

h

J

M

b

h

G

J

G

M

b

h

G

M

β

β

β

θ

=

=

=

a dalej do wzoru na napr

ęż

enia styczne, otrzymujemy wzór okre

ś

laj

ą

cy wielko

ść

maksymalnych napr

ęż

e

ń

stycznych w nim wyst

ę

puj

ą

cych:

i

b

i

h

τ

max i

Rys. 15.8

M

s

h

1

b

1

h

3

b

3

b

2

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

215

i

i

i

s

s

i

b

J

M

max

α

β

τ

=

.

(15.22)

Za maksymalne napr

ęż

enie styczne w przekroju uznajemy najwi

ę

ksze napr

ęż

enie ze

wszystkich składowych prostok

ą

tów.

Tablica warto

ś

ci współczynników

α

oraz

β

pokazuje,

ż

e dla prostok

ą

tów, których wysoko

ść

h

jest znacznie wi

ę

ksza od szeroko

ś

ci b iloraz

i

i

α

β

jest bliski jedno

ś

ci i gdy przekrój

„składa” si

ę

wła

ś

nie z takich prostok

ą

tów to najwi

ę

ksze napr

ęż

enie styczne wyst

ą

pi w

prostok

ą

cie o najwi

ę

kszej szeroko

ś

ci.

Zajmijmy si

ę

teraz najwi

ę

kszymi napr

ęż

eniami stycznymi w przekroju poprzecznym profili

zamkni

ę

tych i w dodatku tylko jednokomorowych (rys.15.9).












Rys. 15.9

W tym przypadku zało

ż

eniem upraszczaj

ą

cym b

ę

dzie przyj

ę

cie,

ż

e napr

ęż

enia styczne

rozkładaj

ą

si

ę

równomiernie na grubo

ś

ci

ś

cianki. Poniewa

ż

napr

ęż

enia styczne na dwóch do

siebie prostopadłych płaszczyznach s

ą

sobie równe, to warunek równowagi wyci

ę

tego

dowolnie małego elementu pr

ę

ta dowodzi:

2

2

1

1

2

2

1

1

0

0

δ

τ

δ

τ

δ

τ

δ

τ

=

=

=

dx

dx

X

,

ż

e iloczyn grubo

ś

ci

ś

cianki i panuj

ą

cych w tym miejscu napr

ęż

e

ń

stycznych jest stały

const

=

δ

τ

Z kolei z twierdzenia o równowa

ż

no

ś

ci układów sił zewn

ę

trznych i wewn

ę

trznych wynika:

( ) ( )

( )

( )

=

=

ds

s

h

s

h

ds

s

s

M

s

τδ

δ

τ

.

Rys.15.9 pokazuje,

ż

e

( )

dA

ds

s

h

=

2

, zatem:

0

2

2

A

dA

M

A

s

δ

τ

τδ

=

=

∫∫

gdzie:

0

A

- pole obszaru ograniczonego lini

ą

ś

rodkow

ą

ś

cianki. Mo

ż

emy wi

ę

c napisa

ć

zale

ż

no

ść

:

0

2

A

M

s

δ

τ

=

(15.23)

z której wynika,

ż

e maksymalne napr

ęż

enia styczne wyst

ą

pi

ą

w miejscu w którym grubo

ść

ś

cianki jest minimalna i wynosz

ą

:

M

s

s

Z

Y

X

ds

h

(s)

dA

dx

τ

dx

δ

1

δ

2

τ

1

τ

2

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

216

δ

τ

min

A

M

max

s

0

2

=

.

(15.24)

Wyznaczmy teraz jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia takiego pr

ę

ta. W rozdziale 8 stwierdzili

ś

my,

ż

e

w przypadku obci

ąż

e

ń

statycznych w konstrukcji wykonanej z materiału spr

ęż

ystego praca sił

zewn

ę

trznych jest równa energii spr

ęż

ystej układu. Zatem dla pr

ę

ta o rozwa

ż

anym przekroju i

jednostkowej długo

ś

ci obci

ąż

onego momentem skr

ę

caj

ą

cym

s

M

mo

ż

emy napisa

ć

:

dV

G

M

V

s

∫∫∫

=

2

2

1

2

τ

θ

.

Podstawiaj

ą

c do powy

ż

szej zale

ż

no

ś

ci wzór (15.23) i uwzgl

ę

dniaj

ą

c geometri

ę

przekroju

poprzecznego pr

ę

ta, otrzymujemy:

dA

A

G

M

M

s

s

=

2
0

2

2

8

2

1

δ

θ

,

ale

ds

dA

δ

=

, wi

ę

c ostatecznie, po prostym przekształceniu, dostajemy:

=

δ

θ

ds

A

G

M

s

2

0

4

.

(15.25)

Wzory (15.24) i (15.25), okre

ś

laj

ą

ce przybli

ż

one warto

ś

ci maksymalnych napr

ęż

e

ń

stycznych

i jednostkowego k

ą

ta skr

ę

cenia dla profili zamkni

ę

tych nazywane bywaj

ą

wzorami Bredta.

15.7.1. Przykłady

Przykład 15.7.1.1.

Wyznaczy

ć

najwi

ę

ksze napr

ęż

enie styczne w przekroju poprzecznym

szyny kolejowej pokazanej na rys. skr

ę

canej momentem o warto

ś

ci M

s

= 1.0 kNm.











Rozwiązanie


Po aproksymacji przekroju trzema prostok

ą

tami jak na rysunku potrzebujemy wyznaczy

ć

współczynniki

i

α

oraz

i

β

dla ka

ż

dego z nich. Interpoluj

ą

c warto

ś

ci podane w tabelce

otrzymujemy:
prostok

ą

t 1:

210

0

237

0

70

1

40

68

1

1

1

1

.

,

.

.

b

h

=

=

=

=

β

α

prostok

ą

t 2:

295

0

295

0

50

5

13

71

2

2

2

2

.

,

.

.

b

h

=

=

=

=

β

α

prostok

ą

t 3:

302

0

302

0

70

6

17

114

1

1

3

3

.

,

.

.

b

h

=

=

=

=

β

α

91

112

7

1

4

11

302

0

3

1

1

7

295

0

0

4

8

6

210

0

3

3

3

3

1

3

.

.

*

.

*

.

.

*

.

*

.

.

*

.

*

.

b

h

J

i

i

i

i

s

=

+

+

=

=

=

β

cm

4

.

24

68

114

13

9

135

wymiary

w mm

40

17

68

114

1

3

2

13

40

71

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

217

Najwi

ę

ksze napr

ęż

enie styczne wyst

ą

pi w prostok

ą

cie 1 (ma najwi

ę

ksz

ą

szeroko

ść

) i

przyjmujemy,

ż

e jest to najwi

ę

ksze napr

ęż

enie styczne w rozwa

ż

anym przekroju

6

2

8

3

1

1

1

1

10

39

31

10

4

237

0

210

0

10

91

112

10

1

*

.

*

.

.

*

.

*

b

J

M

max

max

s

s

=

=

=

=

α

β

τ

τ

N/m

2

= 31.39 MPa.

Przykład 15.7.1.2.

Zbada

ć

jaki wpływ na wielko

ść

najwi

ę

kszego napr

ęż

enia stycznego w

przekroju poprzecznym skr

ę

canym momentem M

s

ma sposób jego aproksymacji

prostok

ą

tami w dwóch pokazanych na rysunku przekrojach.

Rozwiązanie

Pierwszy przekrój.

Podział na trzy prostok

ą

ty

Współczynniki

208

0.

i

=

α

,

141

0.

i

=

β

4

3

1

4

3

423

0

141

0

3

a

.

a

.

*

b

h

J

i

i

i

i

s

=

=

=

=

β

3

4

6026

1

208

0

141

0

423

0

a

M

.

a

.

.

a

.

M

b

J

M

max

s

s

s

s

=

=

=

α

β

τ

Podział na dwa prostok

ą

ty

Współczynniki

246

0

1

.

=

α

,

229

0

1

.

=

β

,

208

0

2

.

=

α

,

141

0

2

.

=

β

4

2

1

4

3

3

599

0

141

0

2

229

0

a

.

a

.

a

*

a

*

.

b

h

J

i

i

i

i

s

=

+

=

=

=

β

3

4

1

1

1

1

5541

1

246

0

229

0

599

0

a

M

.

a

.

.

a

.

M

b

J

M

max

s

s

s

s

=

=

=

α

β

τ

3

4

2

2

2

2

1317

1

208

0

141

0

599

0

a

M

.

a

.

.

a

.

M

b

J

M

max

s

s

s

s

=

=

=

α

β

τ

Je

ś

li przyj

ąć

pierwszy podział za „miarodajny” to procentowy bł

ą

d wynikaj

ą

cy z drugiego

podziału wynosi

(

)

%

.

.

.

.

03

3

6026

1

5541

1

6026

1

100

=

Drugi przekrój.

a

a

3

1

2

a

a

a

a

a

a

5a

a

a

a

5a

4a

4a

a

a

2

a

a

1

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

218

Podział na trzy prostok

ą

ty

Współczynniki:

314

0

1

1

.

=

=

β

α

,

282

0

3

2

.

=

=

α

α

,

281

0

3

2

.

=

=

β

β

4

3

3

1

3

016

6

4

281

0

2

12

314

0

a

.

a

*

a

*

.

*

a

*

a

*

.

b

h

J

i

i

i

i

s

=

+

+

=

=

=

β

3

4

1

1

1

1

1662

0

314

0

314

0

016

6

a

M

.

a

.

.

a

.

M

b

J

M

max

s

s

s

s

=

=

=

α

β

τ

3

4

2

2

2

2

1656

0

282

0

281

0

016

6

a

M

.

a

.

.

a

.

M

b

J

M

max

s

s

s

s

=

=

=

α

β

τ

Podział na cztery prostok

ą

ty

Współczynniki

290

0.

=

=

β

α

s

ą

takie same dla wszystkich

czterech prostok

ą

tów

4

4

1

3

3

80

5

5

290

0

4

a

,

a

*

a

*

.

*

b

h

J

i

i

i

i

s

=

=

=

=

β

Maksymalne napr

ęż

enie styczne w ka

ż

dym

prostok

ą

cie b

ę

dzie równe

3

4

1724

0

290

0

290

0

80

5

a

M

.

a

.

.

a

.

M

b

J

M

max

s

s

s

s

=

=

=

α

β

τ

Procentowy bł

ą

d wynikaj

ą

cy z ró

ż

nej aproksymacji prostok

ą

tami w tym przypadku wynosi

(

)

%

.

.

.

.

60

3

1724

0

1662

0

1724

0

100

=

Te dwa przykłady dowodz

ą

(cho

ć

zapewne nie jednoznacznie),

ż

e dowolny ale

“rozs

ą

dny”podział przekroju na składowe prostok

ą

ty ma niewielki wpływ na warto

ść

najwi

ę

kszego napr

ęż

enia stycznego w przekroju.

Przykład 15.7.1.3.

Wyznaczy

ć

jak

zmieni

ą

si

ę

najwi

ę

ksze napr

ęż

enia

styczne i jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia w

rurze skr

ę

canej momentem M

s

po jej

przeci

ę

ciu na pobocznicy równolegle do

jej osi.

Rozwiązanie

1

2

3

a

4a

4a

5a

a

a

5a

1

2

3

a

4a

4a

5a

a

a

5a

4

d

z

0.8 d

z

M

S

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

219

W przypadku rury nie rozci

ę

tej mamy do czynienia ze skr

ę

caniem przekroju kołowo

symetrycznego.

Ś

cisłe rozwi

ą

zanie tego zagadnienia daje najwi

ę

ksze napr

ęż

enia styczne w

dowolnym punkcie na obwodzie o warto

ś

ci:

0

max

W

M

s

=

τ

,

a jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia wynosi:

0

GJ

M

s

=

θ

.

Biegunowy moment bezwładno

ś

ci i biegunowy wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci w rozwa

ż

anym

przypadku s

ą

równe:

(

)

4

4

4

0

05796

.

0

8

.

0

1

32

d

d

J

z

=

=

π

,

(

)

3

4

4

0

0

1159

0

2

32

8

0

1

2

z

z

z

z

d

.

d

.

d

d

J

W

=

=

=

π

.

W przypadku rozci

ę

tej rury zastosujemy przybli

ż

one rozwi

ą

zanie aproksymuj

ą

c przekrój

prostok

ą

tem o wymiarach

z

d

.

b

1

0

=

oraz

z

z

d

.

d

.

*

h

827

2

9

0

=

=

π











Najwi

ę

ksze napr

ęż

enia styczne i jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia w przekroju prostok

ą

tnym

wynosz

ą

:

h

b

M

max

s

2

α

τ

=

,

h

b

G

M

s

3

β

θ

=

.

W rozwa

ż

anym przypadku dla

27

28

1

0

827

2

.

.

.

b

h

=

=

, współczynniki

333

.

0

=

=

β

α

.

St

ą

d najwi

ę

ksze napr

ęż

enia styczne po rozci

ę

ciu rury wzrastaj

ą

:

(

)

312

.

12

827

.

2

*

1

.

0

*

333

.

0

1159

.

0

2

3

=

z

z

z

d

d

d

razy,

a jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia wzrasta:

(

)

568

.

61

827

.

2

*

1

.

0

*

333

.

0

05796

.

0

3

4

=

z

z

z

d

d

d

razy.

d

z

0.8 d

z

h

b

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

220

Przykład 15.7.1.4.

Porówna

ć

warto

ś

ci

maksymalnych

napr

ęż

e

ń

stycznych

jednostkowego k

ą

ta skr

ę

cenia obliczone

według wzorów

ś

cisłych i przybli

ż

onych

wzorów Bredta, w skr

ę

canej rurze o ró

ż

nej

grubo

ś

ci

ś

cianki.

Rozwiązanie

Potrzebujemy wyznaczy

ć

pewne charakterystyki geometryczne rury o promieniu

zewn

ę

trznym R i wewn

ę

trznym r wyst

ę

puj

ą

cych we wzorach okre

ś

laj

ą

cych poszukiwane

wielko

ś

ci.

Grubo

ść

ś

cianki:

(

)

η

δ

=

=

1

R

r

R

, gdzie :

R

r

=

η

.

Biegunowy moment bezwładno

ś

ci:

(

)

4

4

0

1

2

η

π

=

R

J

.

Biegunowy wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci:

(

)

4

3

0

1

2

η

π

=

R

W

.

Pole obszaru ograniczonego lini

ą

ś

rodkow

ą

ś

cianki:

(

)

2

2

2

0

1

4

2

η

π

π

+

=

+

=

R

r

R

A

.

Całka po linii

ś

rodkowej

ś

cianki:

(

)

(

)

(

)

(

)

η

η

π

η

η

π

δ

+

=

+

=

1

1

1

1

R

R

ds

.

Maksymalne napr

ęż

enia styczne obliczone według wzorów otrzymanych z rozwi

ą

zania

zagadnienia skr

ę

cania pr

ę

tów kołowo symetrycznych wynosz

ą

:

0

W

M

max

s

s

=

τ

,

Maksymalne napr

ęż

enia styczne obliczone według przybli

ż

onych wzorów dla

cienko

ś

ciennych profili zamkni

ę

tych s

ą

równe:

δ

τ

min

A

M

max

s

B

0

2

=

,

Stosunek napr

ęż

e

ń

wyznaczonych według wzorów przybli

ż

onych i

ś

cisłych wynosi:

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

η

η

η

η

η

η

η

η

η

τ

τ

κ

+

+

=

+

+

=

+

=

=

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

4

S

B

max

max

Wykres zale

ż

no

ś

ci współczynnika

κ od η jest ni

ż

ej pokazany.

Wyliczmy minimaln

ą

warto

ść

współczynnika

κ .

0

0,25

0,5

0,75

1

0

0,25

0,5

0,75

1

r/R

R

r

M

S

background image

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. Skr

ę

canie pr

ę

tów o przekroju kołowo

symetrycznym i prostok

ą

tnym

221

(

)

(

)

4142

0

0

1

2

0

1

1

1

2

2

2

2

.

d

d

=

=

+

=

+

+

+

=

η

η

η

η

η

η

η

η

κ

.

St

ą

d minimalna warto

ść

κ

wynosi:

(

)

(

)

8284

0

4142

0

1

4142

0

1

2

.

.

.

min

=

+

+

=

κ

Maksymalne napr

ęż

enia styczne obliczone przybli

ż

onym wzorem Bredta w skr

ę

canej rurze,

s

ą

ni

ż

sze od

ś

cisłych a najwi

ę

kszy procentowy bł

ą

d wynosi:

(1-0.8284)*100% = 17.14%.
Jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia według wzorów otrzymanych z rozwi

ą

zania zagadnienia skr

ę

cania

pr

ę

tów kołowo symetrycznych jest równy:

0

J

G

M

s

S

=

θ

.

Jednostkowy k

ą

t skr

ę

cenia według przybli

ż

onego wzoru Bredta wynosi:

=

δ

θ

ds

A

G

M

s

B

2
0

4

.

Stosunek jednostkowych k

ą

tów skr

ę

cenia wyznaczonych według wzorów przybli

ż

onych i

ś

cisłych jest równy:

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

2

2

3

2

3

4

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

η

η

η

η

η

η

η

η

η

η

θ

θ

κ

+

+

=

+

+

+

=

+

=

=

S

B

.

Zale

ż

no

ś

ci współczynnika

1

κ

od

η pokazuje poni

ż

szy wykres.

Zatem obliczenia jednostkowego k

ą

ta skr

ę

cenia, przybli

ż

onym wzorem Bredta, daj

ą

wyniki

wi

ę

ksze od dokładnych.

0

0,5

1

1,5

2

0

0,25

0,5

0,75

1

r/R


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ściąga, teoria, Skręcanie prętów o przekroju kołowosymetrycznym- skręcanie pręta występuje wtedy gdy
śródka, wytrzymałość materiałów,Skręcanie prętów o przekroju kołowym
Skręcanie prętów o przekrojach kołowych
LABOR4, Politechnika, Mechanika Techniczna, Materiały z CD, 2 Lab Skręcanie wałów kołowo symetryczny
labor5, Politechnika, Mechanika Techniczna, Materiały z CD, 2 Lab Skręcanie wałów kołowo symetryczny
Ćw  Skręcanie prętów i rur
Badania na skręcanie prętów dwuteowych usztywnionych przewiązkami
5 skrecanie pretow niekolowych Nieznany (2)
Odchyłki prostoliniowosci, płaskości, kołowości, walcowości, prostopadłości, równoległości
Badania na skręcanie prętów dwuteowych usztywnionych przewiązkami
algorytm przekroju zginanego prostokątnego
Przemieszczenia punktów przekroju poprzecznego pręta skręcanego
9 SZYB WINDOWY POMIAR PROSTOLINIOWOŚCI ŚCIAN W WYBRANYCH PRZEKROJACH OPRACOWANIE WYNIKÓW

więcej podobnych podstron