Jeżeli całkowanie przez części to zło w najczystszej postaci to całkowanie przez podstawienie
jest istnym narzędziem szatana.
Teoria mówi, że jeżeli funkcję f(x) można zapisać jako iloczyn jakiejś funkcji złożonej i
pochodnej funkcji wewnętrznej, to możemy ową funkcję wewnętrzną zastąpić nową zmienną
(zwykle zmienną t).
(nie wiem, czy ktoś to zrozumiał, ale prościej nie mogę, może czytelniejsze to będzie na
wzorze)
( )
( )
( ) ( )
( )
∫
∫
∫
=
′
×
=
dt
t
g
dx
x
h
x
h
g
dx
x
f
Przykład 1: obliczyć całkę:
∫
dx
x
x
ln
w tym przypadku stosujemy podstawienie
x
t
ln
=
.
Większość osób nie ma problemu z wyborem co podstawić pod t, ale problem zaczyna się,
gdy trzeba podstawić dx przez dt. Wyjaśniam po kolei jak to zrobić:
x
t
ln
=
Obustronnie liczymy pochodną po x:
x
t
ln
=
dx
d
/
x
dx
d
t
dx
d
ln
=
Wiemy, że pochodna
x
ln jest równa
x
1
, więc mamy:
x
dx
dt
1
=
Teraz obustronnie mnożymy przez dx:
x
dx
dt
=
