Jeżeli całkowanie przez części to zło w najczystszej postaci to całkowanie przez podstawienie

jest istnym narzędziem szatana.

Teoria mówi, że jeżeli funkcję f(x) można zapisać jako iloczyn jakiejś funkcji złożonej i

pochodnej funkcji wewnętrznej, to możemy ową funkcję wewnętrzną zastąpić nową zmienną

(zwykle zmienną t).

(nie wiem, czy ktoś to zrozumiał, ale prościej nie mogę, może czytelniejsze to będzie na

wzorze)

( )

( )

( ) ( )

( )

∫

∫

∫

=

′

×

=

dt

t

g

dx

x

h

x

h

g

dx

x

f

Przykład 1: obliczyć całkę:

∫

dx

x

x

ln

w tym przypadku stosujemy podstawienie

x

t

ln

=

.

Większość osób nie ma problemu z wyborem co podstawić pod t, ale problem zaczyna się,

gdy trzeba podstawić dx przez dt. Wyjaśniam po kolei jak to zrobić:

x

t

ln

=

Obustronnie liczymy pochodną po x:

x

t

ln

=

dx

d

/

x

dx

d

t

dx

d

ln

=

Wiemy, że pochodna

x

ln jest równa

x

1

, więc mamy:

x

dx

dt

1

=

Teraz obustronnie mnożymy przez dx:

x

dx

dt

=

A więc stosujemy podstawienie:

∫

∫

=

=

=

=

=

2

2

1

ln

ln

t

tdt

x

dx

dt

x

t

dx

x

x

Jak widzimy po podstawieniu nowopowstała całka jest prosta do wyliczenia. Teraz tylko

wracamy z powrotem do zmiennej x.

( )

2

2

ln

2

1

2

1

x

t

=

Przykład 2: obliczyć całkę

∫

dx

xe

x

2

t

t

t

x

e

dt

e

dt

e

xdx

dt

xdx

dt

x

t

dx

xe

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

=

=

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

Wracamy do zmiennej x:

2

2

1

2

1

x

t

e

e

=