Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
1
Skończona przestrzeń zdarzeń elementarnych:
– zdarzenie elementarne – wynik
doświadczenia losowego
– zdarzenie losowe
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
2
Dla
skończonej
przestrzeni
zdarzeń
elementarnych funkcją prawdopodobieństwa
(prawdopodobieństwem) nazwiemy dowolną
funkcję
spełniającą warunki:
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
3
Własności prawdopodobieństwa:
( – zdarzenie niemożliwe)
( – zdarzenie przeciwne
do zdarzenia )
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
4
– parami rozłączne
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
5
Definicja klasyczna prawdopodobieństwa:
Założenie: wszystkie zdarzenia elementarne
jednakowo prawdopodobne.
Wtedy:
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
6
Zliczanie zdarzeń elementarnych jednakowo
prawdopodobnych:
Czy są
powtórzenia?
Nie
Czy liczy się
kolejność?
Nie
Kombinacje
bez powtórzeń
Tak
Wariacje bez
powtórzeń
Tak
Wariacje z
powtórzeniami
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
7
Jeśli są powtórzenia to chcąc skorzystać
z definicji
klasycznej
prawdopodobieństwa
musimy
zdarzenia
elementarne
zliczać
z wariacji z powtórzeniami.
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
8
Przykład:
Wyciągamy cztery karty z talii 52 kart. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wyciągniemy co
najmniej jednego asa, jeśli:
a) wyciągamy wszystkie karty jednocześnie?
b) wyciągamy po jednej karcie ze zwracaniem?
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
9
Przykład:
Rzucamy dwoma sześciennymi kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy
1 oczko lub 6 oczek?
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
10
Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu,
kiedy po raz pierwszy wypadnie orzeł. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że rzucimy co najmniej
cztery razy?
Co w przypadku gdy jest nieskończona?
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
11
Definicja -ciała:
Niech będzie niepustym zbiorem. Powiemy,
że rodzina podzbiorów stanowi -ciało
jeśli:
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
12
Niech
będzie
-ciałem
na
.
Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję
spełniającą następujące warunki:
jeśli
jest dowolnym ciągiem
podzbiorów parami rozłącznych, to
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
13
Najczęściej będziemy przyjmować
(zbiór wszystkich podzbiorów ).
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
14
Rzucamy dwoma sześciennymi kostkami do gry.
Jakie
jest
prawdopodobieństwo,
że
wyrzuciliśmy na drugiej kostce co najmniej 5
oczek, jeśli wiemy, że iloczyn wyrzuconych
oczek jest nie większy jak 6?
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
15
Prawdopodobieństwo warunkowe:
„… jeśli …”
„… jeśli wiadomo, że …”
„… pod warunkiem, że …”
, gdzie:
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
16
Przy tej samej przestrzeni zdarzeń dla
zdarzeń i :
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
17
Niezależność dwóch zdarzeń losowych:
Zdarzenia i nazywamy niezależnymi jeśli:
Powyższy
warunek
można
zapisać
równoważnie:
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
18
Czy zdarzenia niezależne są rozłączne?
Czy zdarzenia rozłączne są niezależne?
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
19
Kiedy zdarzenia rozłączne są niezależne?
Dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy co
najmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo
zerowe.
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
20
Jeśli zdarzenia i są niezależne to niezależne
są również zdarzenia:
i
i
i
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
21
Niezależność zdarzeń losowych:
Zdarzenia
nazywamy
niezależnymi jeśli:
gdzie:
jest dowolnym, co najmniej
dwuelementowym podzbiorem .
Matematyka Dyskretna – wykład 5
dr Marcin Raniszewski
22
Niezależność trzech zdarzeń losowych:
Zdarzenia
nazywamy niezależnymi
jeśli: