SZEREGI LICZBOWE

Teoria:



Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego.



Kryterium d’Alamberta zbieżności szeregu liczbowego.



Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu liczbowego.

Zadanie. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych:

1.























1

1

3

1

2

n

n

n

n

2.







1

3

3

n

n

n

3.

















 

2

2

1

n

n

n

n

n



4.











1

4

5

2

3

n

n

n

n

n

5.











1

2

2

5

2

1

n

n

n

6.









2

100

1

5

n

n

n

7.

 







1

3

!

3

n

n

n

n

8.





















1

1

3

2

n

n

n

n

SZEREGI POTĘGOWE

Teoria:



Promień zbieżności szeregu potęgowego.



Przedział zbieżności szeregu potęgowego.

Zadanie. Znaleźć promienie i przedziały zbieżności szeregów potęgowych:

1.







1

2

n

n

n

n

x

2.

 







1

2

5

2

2

n

n

n

n

n

x

3.















0

1

2

1

n

n

n

x

4.













0

2

!

3

n

n

n

x

n

5.













1

2

n

n

x

n

6.













1

3

3

n

n

n

x

7.



























1

2

1

3

2

n

n

n

x

n

n

LICZBY ZESPOLONE

Teoria:



Postać algebraiczna, trygonometryczna, geometryczna liczb zespolonych



Wzór Moivre’a (na potęgowanie)



Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaciach trygonometrycznych

Zadanie 1. Obliczyć:

60

2

3

2

1

















i

. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej.

Zadanie 2. Przekształć liczbę

i

z

2

1

2

3





do postaci trygonometrycznej.

Zadanie 3. Rozwiązać równanie kwadratowe

0

25

6

2







x

x

w zborze liczb zespolonych.

Zadanie 4. Obliczyć:

i

i

i

i

5

3

2

3

3

5

3

3











. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej.

Zadanie 5. Obliczyć:

30

i

,

80

i

,

41

i

,

35

i

.

FUNKCJA DWÓCH ZMIENNYCH

Teoria:



Definicja pochodnej cząstkowej funkcji dwóch zmiennych.



Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych.



Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych.



Warunek wystarczający (dostateczny) istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych.



Twierdzenie Schwarza.

Zadanie 1. Obliczyć pochodne: cząstkowe

x

y

f

y

x

f

y

f

x

f

y

f

x

f





























2

2

2

2

2

2

,

,

,

,

,

funkcji

1.

y

x

y

x

f





)

,

(

2.

xy

y

x

f



)

,

(

3.

3

2

)

,

(

y

xy

x

y

x

f







4.

)

1

2

sin(

)

,

(







y

x

x

y

x

f

5.

7

1

)

,

(











y

x

y

x

y

x

f

6.

y

x

y

x

f



)

,

(

7.

y

x

e

y

x

f



)

,

(

8.

 

y

x

y

x

f

ln

)

,

(



Zadanie 2. Znajdź ekstrema funkcji dwóch zmiennych

)

,

(

y

x

f

z



:

1.

x

y

y

x

x

z

15

3

3

3

2

3









2.

x

y

y

x

y

z









2

6

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO

Teoria:



Definicja równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu.



Zagadnienie Cauchy’ego.



Postać równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych i metoda rozwiązywania.



Postać równania różniczkowego liniowego jednorodnego i metoda rozwiązywania.



Postać równania różniczkowego liniowego niejednorodnego i metoda rozwiązywania

Zadanie. Rozwiązać równanie różniczkowe:

1.

0

)

1

(







dy

y

xdx

2.

y

x

y





3.

x

y

x

y







1

4.

xy

y

2





5.

x

xy

y

2

2







6.

1

)

0

(

,

0

1

1

2

2











y

dx

dy

x

y

y

x

7.

2

sin x

x

xy

y







LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU DRUGIEGO O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

Teoria:



Postać liniowego, jednorodnego równania różniczkowego rzędu drugiego o stałych współczynnikach

i metoda rozwiązywania.



Postać liniowego, niejednorodnego równania różniczkowego rzędu drugiego o stałych współczynnikach i me-

toda rozwiązywania.

Zadanie. Rozwiązać równanie różniczkowe

1.

0

2

3











y

y

y

2.

x

y

y

y

6

2

3











3.

3

6

5











y

y

y

4.

x

e

y

y

y

2

2

2











5.

0

4

4











y

y

y

6.

x

e

y

y

y

4

2











7.

0

3









y

y

8.

0

4







y

y

CAŁKI POWÓJNE

Teoria:



Definicja całki podwójnej, interpretacja geometryczna



Definicja obszaru normalnego względem osi Ox oraz względem osi Oy



Zamiana całki podwójnej na iterowaną



Zastosowanie do obliczania obszarów płaskich ograniczonych krzywymi

Zadanie. Obliczyć pole obszaru płaskiego, przy pomocy całki podwójnej, ograniczonego krzywymi:

1.

3

2

2







x

x

y

,

1

3







x

y

,

2.

x

x

y

2

2







,

x

x

y

2

2





,

3.

2

2

2







y

y

x

,

2

2

2









y

y

x

,

4.

2

2

2







x

x

y

,

2

2

2









x

x

y

,

5.

3

x

y



,

8



y

,

1





x

oraz zdefiniować obszar normalny.