Analiza wariancji.

Opracowana przez R.A. Fishera w 20

latach XX w.

Analiza wariancji



Analiza wariancji jest metodą

statystyki matematycznej bazującej

na porównaniu wariancji, która w

najprostszym przypadku jest

rozszerzeniem testu do weryfikacji

hipotezy o równości wartości

przeciętnych w dwóch populacjach na

większą ich ilość.

Analiza wariancji



Analiza wariancji jest techniką

badania obserwacji (wyników), które

zależą od jednego lub więcej

czynników działających równocześnie.



Za pomocą tej techniki określa się,

czy wyodrębnione czynniki wywierają

wpływ na obserwowane wyniki.



Zmienną, która takiej obserwacji

podlega nazywamy zmienną

objaśnianą.

Analiza wariancji



W przypadku, gdy np. obserwujemy

ilość wydzielanej substancji podczas

doświadczenia chemicznego przy

różnych temperaturach, wtedy mamy

do czynienia z klasyfikacją

jednoczynnikową.



Można stosować klasyfikację wg

dwóch albo kilku kryteriów i wtedy

mamy do czynienia z klasyfikacją

wielokrotną.

Klasyfikacja

jednoczynnikowa



Weryfikacja hipotezy o równości k>2

wartości przeciętnych w przypadku

klasyfikacji jednoczynnikowej :



Niech badana cecha X ma w każdej

populacji taki sam rozkład N(m,s).



Z każdej populacji wybieramy próbę o

liczebności n

i

(i=1,2 …, k)

odpowiednio.



Niech x

ij

będzie j-tym wynikiem w i-

tej próbce

Klasyfikacja

jednoczynnikowa



Średnia i-tej próbki



Średnia ogólna







i

n

j

ij

i

i

x

n

x

1

1

















k

i

i

i

n

j

ij

k

i

n

x

n

x

n

x

i

1

1

1

1

1

Klasyfikacja

jednoczynnikowa



Sumę kwadratów odchyleń

poszczególnych obserwacji x

ij

od

średniej ogólnej można przedstawić w

postaci sumy dwóch składników



Pierwszy jest sumą kwadratów

wewnątrz grup lub sumą resztkową,



Drugi jest sumą kwadratów między

grupami.





























k

i

i

i

k

i

i

n

j

ij

n

j

ij

k

i

n

x

x

x

x

x

x

i

i

1

2

1

2

1

1

2

1

)

(

)

(

)

(

Klasyfikacja

jednoczynnikowa



Dla potrzeb weryfikacji hipotez

wprowadzamy oznaczenia



Q – suma kwadratów całkowita,



Q

R

– resztkowa



Q

G

– międzygrupowa.



Statystyka F= Q

G

/(k-1): Q

R

/(n-k) ma

rozkład F Snedecora o (k-1,n-k)

stopniach swobody.

Klasyfikacja

jednoczynnikowa



Zbiorem krytycznym testu F jest

przedział <F(1-

a

;k-1;n-k) , +oo).



Ponieważ warunkiem koniecznym

weryfikowania hipotezy F jest

równość wariancji, musimy najpierw

zweryfikować hipotezę



H0:
o równości wariancji przy pomocy

testu Bartletta

2

2

2

2

1

....

k













Test Bartletta



Korzystamy ze statystyki Bartletta



gdzie























k

i

i

n

j

i

ij

i

obl

n

x

x

n

s

k

n

c

i

1

1

2

2

2

]

1

)

(

log

)

1

(

log

)

[(

303

,

2















k

i

i

n

j

ij

x

x

k

n

s

i

1

2

1

2

)

(

1



)

1

(

3

)

1

1

1

(

1

1

















k

k

n

n

c

k

i

i

Test Bartletta



Zbiorem krytycznym testu Bartletta

jest przedział

<Chi

2

(1-

a

,k-1), +oo),

gdzie Chi

2

(1-

a

,k-1) jest kwantylem

rzędu (1-

a

) odczytanym z tablic

rozkładu Chi

2

o (k-1) stopniach

swobody.

Klasyfikacja podwójna



Weryfikacje hipotez dotyczące

wartości przeciętnych w przypadku

klasyfikacji podwójnej można

zastosować do następującego typu

zadań:



Badania skuteczności procesu

biologicznego oczyszczania ścieków

przy wykorzystaniu:



r odmian bakterii (czynnik A)



p rodzajów napowietrzania (czynnik

B).

Klasyfikacja podwójna



W tego rodzaju badaniach wszystkie

obserwacje będą podzielone na r*p

grup.



Dla uproszczenia zapisów możemy

założyć, że w każdej grupie

przeprowadza się jednakową liczbę l

pomiarów.



Badaną cechą jest skuteczność

oczyszczania.

Klasyfikacja podwójna



Przy pomocy tego modelu możemy

weryfikować następujące hipotezy:



dotyczącą równości wartości

przeciętnej badanej cechy we

wszystkich r*p populacjach,



H

01

:

m

ij

=

m

dla i=1,..,r; j=1,…,p.

Klasyfikacja podwójna



dotyczącą równość wszystkich

wartości przeciętnych badanej cechy

poddanej działaniu czynnika A w r

wariantach bez względu na wpływ

czynnika B.



H

02

:

m

1.

=

m

2.

=…=

m

r.

Klasyfikacja podwójna



dotyczącą równość wszystkich

wartości przeciętnych badanej cechy

poddanej działaniu czynnika B w p

wariantach bez względu na wpływ

czynnika A.



H

03

:

m

.1

=

m

.2

=…=

m

.p

Klasyfikacja podwójna



Mówiąca, że odchylenie wartości

przeciętnej we wszystkich rp

populacjach od ogólnej wartości

przeciętnej jest równe sumie efektów

czynnika A i B.



H

04

:

m

ij

-

m

=(

m

i.

-

m

)+(

m

.j

-

m

)



Gdy H

04

nie jest spełniona, czyli gdy

nie zachodzi addytywność

oddziaływania A i B, to mówimy, że

zachodzi współdziałanie tych

czynników