Definicja AI
Sztuczna inteligencja to dziedzina
informatyki która zajmuje si
ę
studiowaniem i budowaniem systemów
komputerowych maj
ą
cych zdolno
ść
komputerowych maj
ą
cych zdolno
ść
przyswajania, analizowania, przetwarzania
oraz wykorzystywania faktów i wiedzy
rozumianej jako informacji przydatnej do
pozyskiwania nowych faktów
Fuzzy logic
Logika rozmyta
Logika rozmyta
Teoria zbiorów rozmytych
• Zadeh, L. A.: Fuzzy Sets. Information and Control, 8, s. 338-353, 1965.
• Zadeh, L. A.: Fuzzy Algorithms. Information and Control, 12, s.94-102,
1968.
• Zadeh, L. A.: Towards a theory of fuzzy systems. W: Kalman, R.E.,
DeClaris, R.N., Aspects of Network and System Theory. Holt, Rinehart and
Winston, New York, s. 469-490, 1971.
• Zadeh, L. A.: Outline of a New Approach to the Analysis of Complex
Systems and Decision Processes. IEEE Trans. Systems, Man and
Cybernetics, 3 (1), s. 28-44, 1973.
• Zadeh, L. A.: The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to
Approximate Reasoning. cz. 1, Inf. Science, 8, s. 199-249, 1975.
•Zadeh, L. A., The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to
Approximate Reasoning. cz. 2, Inf. Science, 8, 301-357, 1975.
• Zadeh, L. A., The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to
Approximate Reasoning. cz. 3, Inf. Science, 9, 43-80, 1975.
Wybrane pozycje literaturowe
Driankov D., Hellendoorn H., Reinfrank M.:
Wprowadzenie do sterowania rozmytego. WNT ,Warszawa1996.
Rutkowska D.:
Inteligentne systemy obliczeniowe. Algorytmy genetyczne i sieci
neuronowe w systemach rozmytych.
neuronowe w systemach rozmytych.
Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ, Warszawa 1997.
Yager R., Filev D.:
Podstawy modelowania i sterowania rozmytego.
WNT, Warszawa 1995.
Logika rozmyta
logika klasyczna
logika rozmyta
Tradycyjna logika dwuwarto
ś
ciowa: (0 lub 1, prawda lub fałsz), gdzie granice
zbioru s
ą
okre
ś
lone
ś
ci
ś
le.
Logika rozmyta jest rozwini
ę
ciem logiki wielowarto
ś
ciowej i jest oparta na
koncepcji nieostrych granic pomi
ę
dzy zbiorami elementów, których stopie
ń
przynale
ż
no
ś
ci do zbioru jest warto
ś
ci
ą
z przedziału [0, 1].
Zbiór rozmyty
Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X
zmiennej x nazywamy zbiór par:
{
}
X
x
x
x
A
A
∈
=
);
(
,
µ
gdzie
µ
(x) jest funkcją przynależności (ang. membership funcion)
gdzie
µ
A
(x) jest funkcją przynależności (ang. membership funcion)
zbioru A, która określa stopień przynależności każdemu elementowi
do zbioru rozmytego A:
Zbiór elementów przestrzeni X, dla których
jest nazywany nośnikiem zbioru A (ang. support):
{
}
0
)
(
;
)
(
>
∈
=
x
X
x
A
A
µ
s u p p
]
1
,
0
[
:
)
(
→
X
x
A
µ
0
)
(
>
x
A
µ
X
x ∈
Funkcje przynale
ż
no
ś
ci
<
<
−
−
≤
<
−
−
≤
≤
=
c
x
b
b
c
x
c
b
x
a
a
b
a
x
a
x
c
x
A
,
,
,
0
)
(
µ
−
−
−
−
=
0
,
,
min
max
)
(
b
c
x
c
a
b
a
x
x
A
µ
trójk
ą
tna funkcja przynale
ż
no
ś
ci
A
A
Matlab’s syntax: trimf(x,[a, b, c])
>> x=0:1:10;
>> y=trimf(x,[2 5 8]);
>> plot(x,y);grid;
x=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
y=[0, 0, 0, 0.33, 0.66, 1, 0.66, 0.33, 0, 0, 0]
Funkcje przynale
ż
no
ś
ci
the crossover point
>>trimf(5,[1, 3, 6])
>>0.3333
>>trimf(5,[3, 6, 9])
>>0.6667
Funkcje przynale
ż
no
ś
ci
funkcja Gaussa (krzywa dzwonowa)
2
2
2
)
(
)
(
σ
µ
c
x
A
e
x
−
−
=
A
where:
c and
σ
– are the centre point
X
c and
σ
– are the centre point
and width of the gausian curve
Matlab’s syntax: gaussmf(x,[
σ
σ
σ
σ
, c])
Funkcje przynale
ż
no
ś
ci
trapezoidal MF
S-shaped MF
Z-shaped MF
a
b
c
d
a
b
a
b
trapmf(x,[a, b, c, d])
smf(x,[a, b])
zmf(x,[a, b])
trapmf(x,[a, b, c, d])
smf(x,[a, b])
zmf(x,[a, b])
<
<
−
−
≤
≤
<
<
−
−
≤
≤
=
d
x
c
c
d
x
d
c
x
b
b
x
a
a
b
a
x
a
x
d
x
,
,
1
,
,
0
)
(
µ
−
−
−
−
=
0
,
,
1
,
min
max
)
(
c
d
x
d
a
b
a
x
x
µ
≥
<
<
+
−
−
+
≤
<
−
−
−
≤
=
b
x
b
x
b
a
a
b
x
b
b
a
x
a
a
b
a
x
a
x
x
,
0
2
,
2
2
,
2
1
,
1
)
(
2
2
µ
≥
<
<
+
−
−
−
+
≤
<
−
−
≤
=
b
x
b
x
b
a
a
b
x
b
b
a
x
a
a
b
a
x
a
x
x
,
1
2
,
2
1
2
,
2
,
0
)
(
2
2
µ
Operacje arytmetyczne na zbiorach rozmytych
Operacje koniunkcji (AND) i disjunkcji (OR) realizowane s
ą
z zastosowaniem
norm trójk
ą
tnych (T-norma i T-conorma) w celu wyznaczenia cz
ęś
ci wspólnej
(przeci
ę
cie zbiorów rozmytych) lub sumy zbiorów rozmytych (agregacja zbiorów
rozmytych).
T- norma – iloczyn zbiorów rozmytych.
T- conorma (S-norma) – suma zbiorów rozmytych.
Iloczyn dwóch zbiorów rozmytych:
(
)
)
(
*
)
(
)
(
),
(
)
(
x
x
x
x
T
x
B
T
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
=
=
∩
( )
( )
a
b
T
b
a
T
,
,
=
( )
(
)
(
)
c
b
a
T
T
c
b
T
a
T
),
,
(
,
,
=
( )
( )
d
b
c
a
for
d
c
T
b
a
T
≤
≤
≤
,
,
,
,
( )
a
a
T
=
1
,
T-normy spełniaj
ą
prawa:
przemienno
ść
:
ł
ą
czno
ść
:
monotoniczno
ść
:
to
ż
samo
ść
jedynki:
T-norma – iloczyn (przeci
ę
cie) zbiorów rozmytych,
operacje koniunkcji (AND)
T-norma Zadeha: minimum
(
)
(
)
)
(
),
(
min
)
(
),
(
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
=
=
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
A
6
5
4
3
2
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
=
∩
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
A
(
)
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
⋅
=
T-norma: iloczyn algebraiczny (algebraic product)
A
B
=
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
A
T-norma – iloczyn (przeci
ę
cie) zbiorów rozmyty,
operacje koniunkcji (AND)
=
∩
6
0
,
5
1875
.
0
,
4
25
.
0
,
3
1875
.
0
,
2
0
B
A
6
5
4
3
2
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
(
)
(
)
1
)
(
)
(
,
0
max
)
(
),
(
−
+
=
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
T-norm: iloczyn ograniczony (bounded product)
A
B
=
0
,
33
.
0
,
66
.
0
,
1
A
T-norma – iloczyn (przeci
ę
cie) zbiorów rozmytych,
operacje koniunkcji (AND)
=
∩
6
0
,
5
08
.
0
,
4
16
.
0
,
3
25
.
0
B
A
=
6
0
,
5
33
.
0
,
4
66
.
0
,
3
1
A
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
B
T-normy
(
)
(
)
1
)
(
)
(
,
0
max
)
(
),
(
−
+
=
x
x
x
x
T
µ
µ
µ
µ
- ograniczona ró
ż
nica
(
)
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
⋅
=
(
)
(
)
)
(
),
(
min
)
(
),
(
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
=
- minimum (zwana norm
ą
trójk
ą
tn
ą
Zadeha)
- iloczyn algebraiczny
(
)
(
)
1
)
(
)
(
,
0
max
)
(
),
(
−
+
=
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
- norma Einsteina
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
x
x
T
B
A
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
+
−
⋅
=
- norma Hamachera
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
x
x
T
B
A
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
+
⋅
=
T-conormy (S-normy: suma zbiorów rozmytych)
T-conormy (S-normy) spełniaj
ą
prawa:
( )
( )
a
b
S
b
a
S
,
,
=
przemienno
ść
:
(
)
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
x
x
x
x
S
x
B
S
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
+
=
=
∪
( )
( )
a
b
S
b
a
S
,
,
=
( )
(
)
(
)
c
b
a
S
S
c
b
S
a
S
),
,
(
,
,
=
( )
( )
d
b
c
a
for
d
c
S
b
a
S
≤
≤
≤
,
,
,
,
( )
1
1
, =
a
S
przemienno
ść
:
ł
ą
czno
ść
:
monotoniczno
ść
:
to
ż
samo
ść
jedynki:
S-norma (T-conorma) – suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
(
)
)
(
),
(
max
)
(
x
x
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
=
∪
S-norma Zadeha: maximum
=
0
,
25
.
0
,
5
.
0
,
75
.
0
,
1
A
=
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
A
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
=
∩
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
B
A
A
B
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
+
=
∪
S-norma: suma algebraiczna
=
0
,
25
.
0
,
5
.
0
,
75
.
0
,
1
A
S-norma (T-conorma) – suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
=
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
A
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
=
∩
6
1
,
5
8125
.
0
,
4
75
.
0
,
3
8125
.
0
,
2
1
B
A
A
B
(
)
1
),
(
)
(
min
)
(
x
x
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
+
=
∪
S-norma: suma ograniczona (bounded sum)
S-norma (T-conorma) – suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
A
B
S-normy
(
)
(
)
)
(
)
(
,
1
min
)
(
),
(
x
x
x
x
S
µ
µ
µ
µ
+
=
- ograniczona suma
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
S
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
+
=
(
)
(
)
)
(
),
(
max
)
(
),
(
x
x
x
x
S
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
=
- maksimum (zwana norm
ą
trójk
ą
tn
ą
Zadeha)
- suma algebraiczny
(
)
(
)
)
(
)
(
,
1
min
)
(
),
(
x
x
x
x
S
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
+
=
- norma Einsteina
(
)
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
S
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
+
+
=
- norma Hamachera
(
)
)
(
)
(
1
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
x
x
S
B
A
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
⋅
⋅
−
+
=
System wnioskowania rozmytego (FRBS) - MISO
IF x
1
is A
j1
(x
1
) and/or x
2
is A
j2
(x
2
) and/or … and/or x
n
is A
jn
(x
n
) THEN y is B
j
(y)
Wnioskowanie rozmyte oparte na bazie reguł
(modelu lingwistycznym)
mały wysoki
bardzo du
ż
y
zmienna wej
ś
ciowa: pr
ę
dko
ść
,
przy
ś
pieszenie, temperatura,
µµµµ
mały
du
ż
y
szybko
zmienna wyj
ś
ciowa: napi
ę
cie,
siła, moc
µµµµ
przy
ś
pieszenie, temperatura,
pozycja
siła, moc
JE
Ż
ELI
temperatura
jest
wysoka
TO
moc grzejnika
jest
mała
przesłanka
konkluzja
Rozmyta reguła warunkowa:
Implikacja rozmyta
Rozmyta relacja:
JE
Ż
ELI x jest A TO y jest B
( )
))
(
),
(
(
,
y
x
T
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
=
→
Fuzzy T-norm implication:
Fuzzy S-norm implication:
( )
))
(
),
(
(
,
y
x
S
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
=
→
Mamdani’s implication:
Larsen’s implication:
Najbardziej popularne implikacje oparte na T-normach:
(
)
)
(
),
(
min
)
(
'
y
x
y
B
A
B
µ
µ
µ
=
)
(
)
(
)
(
'
y
x
y
B
A
B
µ
µ
µ
⋅
=
Mamdani’s implication:
Larsen’s implication:
Implikacje rozmyte z koniunkcyjn
ą
przesłank
ą
(
)
(
)
)
(
,
)
(
),
(
)
(
1
2
1
1
1
'
1
y
x
x
T
T
y
C
B
A
I
C
µ
µ
µ
µ
∩
=
(
)
{
}
)
(
,
)
(
),
(
min
min
)
(
2
1
'
y
x
x
y
C
B
A
C
µ
µ
µ
µ
=
Implikacja Mamdaniego
:
Je
ż
eli x
1
jest A
1
i x
2
jest B
1
TO y jest C
1
(
)
:
1
1
1
C
B
A
→
∩
Implikacja Larsena
:
(
)
)
(
)
(
),
(
min
)
(
2
1
'
y
x
x
y
C
B
A
C
µ
µ
µ
µ
⋅
=
Implikacje rozmyte z dysjunkcyjn
ą
przesłank
ą
(
)
(
)
)
(
,
)
(
),
(
)
(
1
2
1
1
1
'
1
y
x
x
S
T
y
C
B
A
I
C
µ
µ
µ
µ
∩
=
(
)
{
}
)
(
,
)
(
),
(
max
min
)
(
2
1
'
y
x
x
y
C
B
A
C
µ
µ
µ
µ
=
The Mamdani’s implication
:
IF x
1
is A
1
or x
2
is B
1
THEN y is C
1
(
)
:
1
1
1
C
B
A
→
∪
The Larsen’s implication
:
(
)
)
(
)
(
),
(
max
)
(
2
1
'
y
x
x
y
C
B
A
C
µ
µ
µ
µ
⋅
=
Implikacje rozmyte
( )
(
)
)
(
),
(
min
,
y
x
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
=
→
Implikacja Mamdaniego:
Implikacja Larsena:
( )
)
(
)
(
,
y
x
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
⋅
=
→
Implikacja Łukasiewicza:
( )
(
)
)
(
)
(
1
,
1
min
,
y
x
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
+
−
=
→
( )
(
)
)
(
)
(
1
,
1
min
,
y
x
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
+
−
=
→
Implikacja Yagera:
( ) (
)
)
(
)
(
,
y
A
B
A
B
x
y
x
µ
µ
µ
=
→
Implikacja Goguena:
( )
=
→
1
,
)
(
)
(
min
,
x
y
y
x
A
B
B
A
µ
µ
µ
Agregacja wyników implikacji
1. odpalenie n reguł warunkowych, których wynikiem są zbiory
rozmyte B’
i
:
R
i
: IF x is A
i
THEN y is B
i
gdzie: i = 1, 2, …, n
B’
i
= A
i
→ B
i
2. agregacja wyników wszystkich reguł:
B’=agg(B’ , B’ , …, B’ ) = S(B’ , B’ , …, B’ )
B’=agg(B’
1
, B’
2
, …, B’
n
) = S(B’
1
, B’
2
, …, B’
n
)
W celu otrzymania wyników wszystkich implikacji i zsumowania ich stosuje
się kompozycje T-norm i S-norm:
U
o
n
i
i
i
B
A
B
1
'
=
=
gdzie ‘o’ jest operatorem kompozycji.
Kompozycja typu max-min
0
0
0
1
.
0
2
.
0
2
.
0
2
.
0
1
.
0
0
0
0
0
0
0
3
.
0
4
.
0
4
.
0
4
.
0
3
.
0
0
0
1
.
0
4
.
0
7
.
0
1
6
.
0
2
.
0
0
0
0
0
0
0
1
.
0
5
.
0
1
6
.
0
1
.
0
0
0
0
0
0
0
3
.
0
5
.
0
1
5
.
0
3
.
0
0
5
.
0
2
.
0
4
.
0
'
3
1
=
=
=
=
=
o
o
U
T
n
i
i
i
B
A
B
Implikacja:T-norma minimum.
Agregacja: S-norma maksimum.
[
]
0
1
.
0
4
.
0
5
.
0
5
.
0
5
.
0
4
.
0
4
.
0
3
.
0
0
0
1
.
0
4
.
0
5
.
0
5
.
0
5
.
0
2
.
0
0
0
0
0
0
0
1
.
0
2
.
0
2
.
0
2
.
0
1
.
0
0
0
=
=
Kompozycja typu max-min
(
)
(
)
{
}
)
(
,
)
(
),
(
min
max
)
(
2
1
y
x
x
T
y
C
B
A
Y
y
µ
µ
µ
µ
∩
∈
=
Kompozycja typu max-product
(
)
{
}
)
(
)
(
),
(
min
max
)
(
2
1
y
x
x
y
C
B
A
Y
y
µ
µ
µ
µ
⋅
=
∈
Wyostrzanie - defuzzification
‘centroid’ – center of gravity,
‘bisector’ – bisector vertical line divides the region into two equal areas,
‘lom’ – largest of maximum,
‘mom’ – middle of maximum,
‘som’ – smallest of maximum.
Rozmyte singletony
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y is C
1
T-norma - minimum
Rozmyte singletony
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y is C
1
T-norma : iloczyn algebraiczny
IF x
1
is A
11
and/or x
2
is A
21
and/or … and/or x
n
is A
n1
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
• Takagi T., Sugeno M.: Fuzzy Identification of Systems and its Application to
Modeling and Control. IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics 15(1), s. 116-
132, 1985.
• Sugeno M., Kang T.: Structure Identification of Fuzzy Model. Fuzzy Sets and
Systems 28, s. 15-33, 1988.
IF x
1
is A
11
and/or x
2
is A
21
and/or … and/or x
n
is A
n1
THEN y
k
=f
k
(x
1
, x
2
, …, x
n
)
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
- stopień aktywacji reguły (waga reguły, poziom odpalenia reguły,
ang. firing strength):
IF x
1
is A
11
and/or x
2
is A
21
and/or … and/or x
n
is A
n1
THEN y
k
=f
k
(x
1
, x
2
, …, x
n
)
(
)
)
(
...,
),
(
),
(
1
21
11
2
1
n
A
A
A
k
x
x
x
T
w
n
µ
µ
µ
=
(
)
)
(
...,
),
(
),
(
1
21
11
2
1
n
A
A
A
k
x
x
x
S
w
n
µ
µ
µ
=
∑
∑
=
=
⋅
=
N
k
k
N
k
k
k
w
y
w
y
1
1
Wyostrzanie (obliczenie wartości zmiennej wyjściowej systemu rozmytego)
realizowane jest zazwyczaj jako średnia arytmetyczna ważona wszystkich
wyników implikacji (reguł warunkowych):
1
21
11
2
1
n
A
A
A
k
n
R
1
:
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
and x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
Wnioskowanie TSK - przykład
)
(
)
(
2
1
x
x
w
B
A
k
µ
µ
⋅
=
R
1
:
w
1
=0.5*0.8=0.4;
y
1
= 20
R
2
:
w
2
=0.5* 0.2=0.1;
y
2
= 30
R
1
:
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
and x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
R
1
:
w
1
=0.5*0.8=0.4;
y
1
= 20
R :
w =0.5*0.2=0.1;
y = 30
)
(
)
(
2
1
x
x
w
B
A
k
µ
µ
⋅
=
Wnioskowanie TSK - przykład
R
2
:
w
2
=0.5*0.2=0.1;
y
2
= 30
22
5
.
0
3
8
1
.
0
4
.
0
30
1
.
0
20
4
.
0
2
1
2
1
=
+
=
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∑
∑
=
=
=
=
N
k
k
N
k
k
k
w
y
w
y
R
1
:
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
and x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
Wnioskowanie TSK - przykład
)
(
)
(
2
1
x
x
w
B
A
k
µ
µ
⋅
=
R
1
:
IF x
1
is A
1
or x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
or x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
Wnioskowanie TSK - przykład
R
1
:
w
1
=max(0.5, 0.8)=0.8;
y
1
= 20
R
2
:
w
2
=max(0.5, 0.2)=0.5;
y
2
= 30
(
)
)
(
),
(
max
2
1
x
x
w
B
A
k
µ
µ
=
R
1
:
IF x
1
is A
1
or x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
or x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
Wnioskowanie TSK - przykład
R
1
:
w
1
=max(0.5, 0.8)=0.8;
y
1
= 20
R
2
:
w
2
=max(0.5, 0.2)=0.5;
y
2
= 30
85
.
23
3
.
1
15
16
5
.
0
8
.
0
30
5
.
0
20
8
.
0
2
1
2
1
=
+
=
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∑
∑
=
=
=
=
N
k
k
N
k
k
k
w
y
w
y
Zmienna lingwistyczna
Zmienna lingwistyczna jest zmienn
ą
, której warto
ś
ci wyra
ż
one
s
ą
j
ę
zykiem naturalnym lub sztucznym. Temperatura jest zmienn
ą
lingwistyczn
ą
,
je
ż
eli
jej
warto
ść
wyra
ż
ona
jest
terminami
lingwistycznymi: wysoka, bardzo wysoka, ciepło, chłodno, raczej
chłodno. Zamiast: 10
0
, 14
0
, 19
0
, 32
0
…
Rozmyta reguła warunkowa:
JE
Ż
ELI
temperatura
jest
wysoka
TO
moc grzejnika
jest
mała
JE
Ż
ELI
temperatura
jest
wysoka
TO
moc grzejnika
jest
mała
przesłanka
konkluzja
reakcja
decyzja
rada
prognoza
Rozmyte singletony
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y is C
1
T-norma: minimum
Implikacja: minimum (Mamdaniego)
Rozmyte singletony
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y is C
1
T-norma: minimum
Implikacja: product (Larsena)
IF x
1
is A
11
and x
2
is A
21
and … and x
n
is A
n1
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
• Takagi T., Sugeno M.: Fuzzy Identification of Systems and its Application to
Modeling and Control. IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics 15(1), s. 116-
132, 1985.
• Sugeno M., Kang T.: Structure Identification of Fuzzy Model. Fuzzy Sets and
Systems 28, s. 15-33, 1988.
IF x
1
is A
11
and x
2
is A
21
and … and x
n
is A
n1
THEN y
k
=f
k
(x
1
, x
2
, …, x
n
)
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
Wyostrzanie (obliczenie wartości zmiennej wyjściowej systemu rozmytego)
- stopień aktywacji reguły (waga reguły, poziom odpalenia reguły: firing
strength):
IF x
1
is A
11
and x
2
is A
21
and … and x
n
is A
n1
THEN y
k
=f
k
(x
1
, x
2
, …, x
n
)
(
)
)
(
...,
),
(
),
(
1
21
11
2
1
n
A
A
A
k
x
x
x
T
w
n
µ
µ
µ
=
∑
∑
=
=
⋅
=
N
k
k
N
k
k
k
w
y
w
y
1
1
Wyostrzanie (obliczenie wartości zmiennej wyjściowej systemu rozmytego)
realizowane jest zazwyczaj jako średnia arytmetyczna ważona wszystkich
wyników implikacji (reguł warunkowych):
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y
k
=2*x
1
+3*x
2
+4
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
w
k
*y
k
=w
k
*(2*x1+3*x2+4) = 8
Identyfikacja parametrów
modelu rozmytego
z zastosowaniem algorytmów
z zastosowaniem algorytmów
grupowania rozmytego
Algorytm samoorganizacji (algorytm c-
ś
rednich)
Fuzzy c-means (FCM)
Dane zarejestrowane w procesie pomiarowym:
{
}
n
X
x
x
x
...,
,
,
2
1
=
{
}
N
c
c
c
C
...,
,
,
2
1
=
Ś
rodki rozmytych podprzestrzeni zmiennych wej
ś
ciowych
nazywanych rozmytymi klastrami (w postaci elipsoid):
Algorytm samoorganizacji (algorytm c-
ś
rednich)
Fuzzy c-means (FCM)
∑∑
= =
−
⋅
=
n
j
N
i
i
j
m
ij
J
1
1
2
c
x
µ
{
}
n
X
x
x
x
...,
,
,
2
1
=
{
}
N
c
c
c
C
...,
,
,
2
1
=
Celem algorytmu c-
ś
rednich jest minimalizacja funkcji celu
wyra
ż
onej jako suma odległo
ś
ci punktów x
j
od c
i
w przestrzeni
euklidesowskiej:
= =
j
i
1
1
ij
µ
- stopie
ń
przynale
ż
no
ś
ci wektora x
j
zmiennych wej
ś
ciowych
(danych ucz
ą
cych) do klastra, którego
ś
rodkiem jest c
i
.
- przyjmowana warto
ść
wykładnika stopnia przynale
ż
no
ś
ci,
zazwyczaj m=2.
[
)
∞
∈ ,
1
m
Algorytm samoorganizacji (algorytm c-
ś
rednich)
Fuzzy c-means (FCM)
∑
∑
=
⋅
=
n
n
j
j
m
ij
i
1
µ
x
c
1
2
1
−
∑
−
=
m
N
i
j
m
ij
c
x
µ
∑
=
n
j
m
ij
1
µ
1
=
∑
−
−
k
k
j
i
j
c
x
c
x
Algorytm grupowania ró
ż
nicowego danych
(subtractive clustering)
{
}
n
X
x
x
x
...,
,
,
2
1
=
Potencjalnymi
ś
rodkami klastrów s
ą
wszystkie próbki ucz
ą
ce x
j
, dla
których wyznaczane s
ą
potencjały:
2
Krok 1
−
−
=
2
2
2
exp
)
(
a
i
j
j
r
P
c
x
x
r
a
– współczynnik okre
ś
laj
ą
cy wielko
ść
s
ą
siedztwa.
Algorytm grupowania ró
ż
nicowego danych
(subtractive clustering)
Pierwszym
ś
rodkiem c
1
rozmytego klastra wybierany jest wektor x
j
o najwi
ę
kszej warto
ś
ci potencjału P(x
j
).
Nast
ę
pnie aktualizowane s
ą
warto
ś
ci potencjałów wszystkich
wektorów warto
ś
ci zmiennych wej
ś
ciowych:
−
2
Krok 2
a
b
b
i
j
j
j
r
r
r
P
P
P
≥
−
−
⋅
−
=
,
2
exp
)
(
)
(
)
(
2
2
1
c
x
c
x
x
zazwyczaj:
a
b
r
r
5
.
1
=
Prowadzi to zredukowania potencjałów próbek, znajduj
ą
cych si
ę
blisko
ś
rodka klastra c
1
.
Algorytm c-
ś
rednich i grupowania ró
ż
nicowego danych
Przykład Matlab:
>> findcluster(‘clusterdemo.dat’)
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
13 GEP fuzzy
Fuzzy Logic I SCILAB
Fuzzy Navel Jell
Fuzzy
Fuzzy logic
badania operacyjne, fuzzy intro
evolving fuzzy rule based controllers using genetik
Fuzzy Logic III id 182424 Nieznany
Fuzzy controller
fuzzy
Warm Fuzzy
Fuzzy Logic II id 182423 Nieznany
Przyklad fuzzy logik2, Semestr 6, sztuczna
Fuzzy logic
fuzzy
AI fuzzy controller pl
A New Low Cost Cc Pwm Inverter Based On Fuzzy Logic
3 fuzzy logic I
więcej podobnych podstron