Definicja AI
Sztuczna inteligencja to dziedzina
informatyki która zajmuje si
ę
studiowaniem i budowaniem systemów
komputerowych maj
ą
cych zdolno
ść
komputerowych maj
ą
cych zdolno
ść
przyswajania, analizowania, przetwarzania
oraz wykorzystywania faktów i wiedzy
rozumianej jako informacji przydatnej do
pozyskiwania nowych faktów
Fuzzy logic
Logika rozmyta
Logika rozmyta
Teoria zbiorów rozmytych
• Zadeh, L. A.: Fuzzy Sets. Information and Control, 8, s. 338-353, 1965.
• Zadeh, L. A.: Fuzzy Algorithms. Information and Control, 12, s.94-102,
1968.
• Zadeh, L. A.: Towards a theory of fuzzy systems. W: Kalman, R.E.,
DeClaris, R.N., Aspects of Network and System Theory. Holt, Rinehart and
Winston, New York, s. 469-490, 1971.
• Zadeh, L. A.: Outline of a New Approach to the Analysis of Complex
Systems and Decision Processes. IEEE Trans. Systems, Man and
Cybernetics, 3 (1), s. 28-44, 1973.
• Zadeh, L. A.: The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to
Approximate Reasoning. cz. 1, Inf. Science, 8, s. 199-249, 1975.
•Zadeh, L. A., The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to
Approximate Reasoning. cz. 2, Inf. Science, 8, 301-357, 1975.
• Zadeh, L. A., The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to
Approximate Reasoning. cz. 3, Inf. Science, 9, 43-80, 1975.
Wybrane pozycje literaturowe
Driankov D., Hellendoorn H., Reinfrank M.:
Wprowadzenie do sterowania rozmytego. WNT ,Warszawa1996.
Rutkowska D.:
Inteligentne systemy obliczeniowe. Algorytmy genetyczne i sieci
neuronowe w systemach rozmytych.
neuronowe w systemach rozmytych.
Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ, Warszawa 1997.
Yager R., Filev D.:
Podstawy modelowania i sterowania rozmytego.
WNT, Warszawa 1995.
Logika rozmyta
logika klasyczna
logika rozmyta
Tradycyjna logika dwuwarto
ś
ciowa: (0 lub 1, prawda lub fałsz), gdzie granice
zbioru s
ą
okre
ś
lone
ś
ci
ś
le.
Logika rozmyta jest rozwini
ę
ciem logiki wielowarto
ś
ciowej i jest oparta na
koncepcji nieostrych granic pomi
ę
dzy zbiorami elementów, których stopie
ń
przynale
ż
no
ś
ci do zbioru jest warto
ś
ci
ą
z przedziału [0, 1].
Zbiór rozmyty
Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X
zmiennej x nazywamy zbiór par:
{
}
X
x
x
x
A
A
∈
=
);
(
,
µ
gdzie
µ
(x) jest funkcją przynależności (ang. membership funcion)
gdzie
µ
A
(x) jest funkcją przynależności (ang. membership funcion)
zbioru A, która określa stopień przynależności każdemu elementowi
do zbioru rozmytego A:
Zbiór elementów przestrzeni X, dla których
jest nazywany nośnikiem zbioru A (ang. support):
{
}
0
)
(
;
)
(
>
∈
=
x
X
x
A
A
µ
s u p p
]
1
,
0
[
:
)
(
→
X
x
A
µ
0
)
(
>
x
A
µ
X
x ∈
Funkcje przynale
ż
no
ś
ci
<
<
−
−
≤
<
−
−
≤
≤
=
c
x
b
b
c
x
c
b
x
a
a
b
a
x
a
x
c
x
A
,
,
,
0
)
(
µ
−
−
−
−
=
0
,
,
min
max
)
(
b
c
x
c
a
b
a
x
x
A
µ
trójk
ą
tna funkcja przynale
ż
no
ś
ci
A
A
Matlab’s syntax: trimf(x,[a, b, c])
>> x=0:1:10;
>> y=trimf(x,[2 5 8]);
>> plot(x,y);grid;
x=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
y=[0, 0, 0, 0.33, 0.66, 1, 0.66, 0.33, 0, 0, 0]
Funkcje przynale
ż
no
ś
ci
the crossover point
>>trimf(5,[1, 3, 6])
>>0.3333
>>trimf(5,[3, 6, 9])
>>0.6667
Funkcje przynale
ż
no
ś
ci
funkcja Gaussa (krzywa dzwonowa)
2
2
2
)
(
)
(
σ
µ
c
x
A
e
x
−
−
=
A
where:
c and
σ
– are the centre point
X
c and
σ
– are the centre point
and width of the gausian curve
Matlab’s syntax: gaussmf(x,[
σ
σ
σ
σ
, c])
Funkcje przynale
ż
no
ś
ci
trapezoidal MF
S-shaped MF
Z-shaped MF
a
b
c
d
a
b
a
b
trapmf(x,[a, b, c, d])
smf(x,[a, b])
zmf(x,[a, b])
trapmf(x,[a, b, c, d])
smf(x,[a, b])
zmf(x,[a, b])
<
<
−
−
≤
≤
<
<
−
−
≤
≤
=
d
x
c
c
d
x
d
c
x
b
b
x
a
a
b
a
x
a
x
d
x
,
,
1
,
,
0
)
(
µ
−
−
−
−
=
0
,
,
1
,
min
max
)
(
c
d
x
d
a
b
a
x
x
µ
≥
<
<
+
−
−
+
≤
<
−
−
−
≤
=
b
x
b
x
b
a
a
b
x
b
b
a
x
a
a
b
a
x
a
x
x
,
0
2
,
2
2
,
2
1
,
1
)
(
2
2
µ
≥
<
<
+
−
−
−
+
≤
<
−
−
≤
=
b
x
b
x
b
a
a
b
x
b
b
a
x
a
a
b
a
x
a
x
x
,
1
2
,
2
1
2
,
2
,
0
)
(
2
2
µ
Operacje arytmetyczne na zbiorach rozmytych
Operacje koniunkcji (AND) i disjunkcji (OR) realizowane s
ą
z zastosowaniem
norm trójk
ą
tnych (T-norma i T-conorma) w celu wyznaczenia cz
ęś
ci wspólnej
(przeci
ę
cie zbiorów rozmytych) lub sumy zbiorów rozmytych (agregacja zbiorów
rozmytych).
T- norma – iloczyn zbiorów rozmytych.
T- conorma (S-norma) – suma zbiorów rozmytych.
Iloczyn dwóch zbiorów rozmytych:
(
)
)
(
*
)
(
)
(
),
(
)
(
x
x
x
x
T
x
B
T
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
=
=
∩
( )
( )
a
b
T
b
a
T
,
,
=
( )
(
)
(
)
c
b
a
T
T
c
b
T
a
T
),
,
(
,
,
=
( )
( )
d
b
c
a
for
d
c
T
b
a
T
≤
≤
≤
,
,
,
,
( )
a
a
T
=
1
,
T-normy spełniaj
ą
prawa:
przemienno
ść
:
ł
ą
czno
ść
:
monotoniczno
ść
:
to
ż
samo
ść
jedynki:
T-norma – iloczyn (przeci
ę
cie) zbiorów rozmytych,
operacje koniunkcji (AND)
T-norma Zadeha: minimum
(
)
(
)
)
(
),
(
min
)
(
),
(
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
=
=
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
A
6
5
4
3
2
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
=
∩
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
A
(
)
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
⋅
=
T-norma: iloczyn algebraiczny (algebraic product)
A
B
=
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
A
T-norma – iloczyn (przeci
ę
cie) zbiorów rozmyty,
operacje koniunkcji (AND)
=
∩
6
0
,
5
1875
.
0
,
4
25
.
0
,
3
1875
.
0
,
2
0
B
A
6
5
4
3
2
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
(
)
(
)
1
)
(
)
(
,
0
max
)
(
),
(
−
+
=
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
T-norm: iloczyn ograniczony (bounded product)
A
B
=
0
,
33
.
0
,
66
.
0
,
1
A
T-norma – iloczyn (przeci
ę
cie) zbiorów rozmytych,
operacje koniunkcji (AND)
=
∩
6
0
,
5
08
.
0
,
4
16
.
0
,
3
25
.
0
B
A
=
6
0
,
5
33
.
0
,
4
66
.
0
,
3
1
A
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
B
T-normy
(
)
(
)
1
)
(
)
(
,
0
max
)
(
),
(
−
+
=
x
x
x
x
T
µ
µ
µ
µ
- ograniczona ró
ż
nica
(
)
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
⋅
=
(
)
(
)
)
(
),
(
min
)
(
),
(
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
=
- minimum (zwana norm
ą
trójk
ą
tn
ą
Zadeha)
- iloczyn algebraiczny
(
)
(
)
1
)
(
)
(
,
0
max
)
(
),
(
−
+
=
x
x
x
x
T
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
- norma Einsteina
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
x
x
T
B
A
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
+
−
⋅
=
- norma Hamachera
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
x
x
T
B
A
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
+
⋅
=
T-conormy (S-normy: suma zbiorów rozmytych)
T-conormy (S-normy) spełniaj
ą
prawa:
( )
( )
a
b
S
b
a
S
,
,
=
przemienno
ść
:
(
)
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
x
x
x
x
S
x
B
S
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
+
=
=
∪
( )
( )
a
b
S
b
a
S
,
,
=
( )
(
)
(
)
c
b
a
S
S
c
b
S
a
S
),
,
(
,
,
=
( )
( )
d
b
c
a
for
d
c
S
b
a
S
≤
≤
≤
,
,
,
,
( )
1
1
, =
a
S
przemienno
ść
:
ł
ą
czno
ść
:
monotoniczno
ść
:
to
ż
samo
ść
jedynki:
S-norma (T-conorma) – suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
(
)
)
(
),
(
max
)
(
x
x
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
=
∪
S-norma Zadeha: maximum
=
0
,
25
.
0
,
5
.
0
,
75
.
0
,
1
A
=
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
A
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
=
∩
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
B
A
A
B
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
+
=
∪
S-norma: suma algebraiczna
=
0
,
25
.
0
,
5
.
0
,
75
.
0
,
1
A
S-norma (T-conorma) – suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
=
6
0
,
5
25
.
0
,
4
5
.
0
,
3
75
.
0
,
2
1
A
=
6
1
,
5
75
.
0
,
4
5
.
0
,
3
25
.
0
,
2
0
B
=
∩
6
1
,
5
8125
.
0
,
4
75
.
0
,
3
8125
.
0
,
2
1
B
A
A
B
(
)
1
),
(
)
(
min
)
(
x
x
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
+
=
∪
S-norma: suma ograniczona (bounded sum)
S-norma (T-conorma) – suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
A
B
S-normy
(
)
(
)
)
(
)
(
,
1
min
)
(
),
(
x
x
x
x
S
µ
µ
µ
µ
+
=
- ograniczona suma
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
S
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
+
=
(
)
(
)
)
(
),
(
max
)
(
),
(
x
x
x
x
S
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
=
- maksimum (zwana norm
ą
trójk
ą
tn
ą
Zadeha)
- suma algebraiczny
(
)
(
)
)
(
)
(
,
1
min
)
(
),
(
x
x
x
x
S
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
+
=
- norma Einsteina
(
)
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
S
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
+
+
=
- norma Hamachera
(
)
)
(
)
(
1
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
),
(
x
x
x
x
x
x
x
x
S
B
A
B
A
B
A
B
A
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
⋅
−
⋅
⋅
−
+
=
System wnioskowania rozmytego (FRBS) - MISO
IF x
1
is A
j1
(x
1
) and/or x
2
is A
j2
(x
2
) and/or … and/or x
n
is A
jn
(x
n
) THEN y is B
j
(y)
Wnioskowanie rozmyte oparte na bazie reguł
(modelu lingwistycznym)
mały wysoki
bardzo du
ż
y
zmienna wej
ś
ciowa: pr
ę
dko
ść
,
przy
ś
pieszenie, temperatura,
µµµµ
mały
du
ż
y
szybko
zmienna wyj
ś
ciowa: napi
ę
cie,
siła, moc
µµµµ
przy
ś
pieszenie, temperatura,
pozycja
siła, moc
JE
Ż
ELI
temperatura
jest
wysoka
TO
moc grzejnika
jest
mała
przesłanka
konkluzja
Rozmyta reguła warunkowa:
Implikacja rozmyta
Rozmyta relacja:
JE
Ż
ELI x jest A TO y jest B
( )
))
(
),
(
(
,
y
x
T
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
=
→
Fuzzy T-norm implication:
Fuzzy S-norm implication:
( )
))
(
),
(
(
,
y
x
S
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
=
→
Mamdani’s implication:
Larsen’s implication:
Najbardziej popularne implikacje oparte na T-normach:
(
)
)
(
),
(
min
)
(
'
y
x
y
B
A
B
µ
µ
µ
=
)
(
)
(
)
(
'
y
x
y
B
A
B
µ
µ
µ
⋅
=
Mamdani’s implication:
Larsen’s implication:
Implikacje rozmyte z koniunkcyjn
ą
przesłank
ą
(
)
(
)
)
(
,
)
(
),
(
)
(
1
2
1
1
1
'
1
y
x
x
T
T
y
C
B
A
I
C
µ
µ
µ
µ
∩
=
(
)
{
}
)
(
,
)
(
),
(
min
min
)
(
2
1
'
y
x
x
y
C
B
A
C
µ
µ
µ
µ
=
Implikacja Mamdaniego
:
Je
ż
eli x
1
jest A
1
i x
2
jest B
1
TO y jest C
1
(
)
:
1
1
1
C
B
A
→
∩
Implikacja Larsena
:
(
)
)
(
)
(
),
(
min
)
(
2
1
'
y
x
x
y
C
B
A
C
µ
µ
µ
µ
⋅
=
Implikacje rozmyte z dysjunkcyjn
ą
przesłank
ą
(
)
(
)
)
(
,
)
(
),
(
)
(
1
2
1
1
1
'
1
y
x
x
S
T
y
C
B
A
I
C
µ
µ
µ
µ
∩
=
(
)
{
}
)
(
,
)
(
),
(
max
min
)
(
2
1
'
y
x
x
y
C
B
A
C
µ
µ
µ
µ
=
The Mamdani’s implication
:
IF x
1
is A
1
or x
2
is B
1
THEN y is C
1
(
)
:
1
1
1
C
B
A
→
∪
The Larsen’s implication
:
(
)
)
(
)
(
),
(
max
)
(
2
1
'
y
x
x
y
C
B
A
C
µ
µ
µ
µ
⋅
=
Implikacje rozmyte
( )
(
)
)
(
),
(
min
,
y
x
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
=
→
Implikacja Mamdaniego:
Implikacja Larsena:
( )
)
(
)
(
,
y
x
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
⋅
=
→
Implikacja Łukasiewicza:
( )
(
)
)
(
)
(
1
,
1
min
,
y
x
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
+
−
=
→
( )
(
)
)
(
)
(
1
,
1
min
,
y
x
y
x
B
A
B
A
µ
µ
µ
+
−
=
→
Implikacja Yagera:
( ) (
)
)
(
)
(
,
y
A
B
A
B
x
y
x
µ
µ
µ
=
→
Implikacja Goguena:
( )
=
→
1
,
)
(
)
(
min
,
x
y
y
x
A
B
B
A
µ
µ
µ
Agregacja wyników implikacji
1. odpalenie n reguł warunkowych, których wynikiem są zbiory
rozmyte B’
i
:
R
i
: IF x is A
i
THEN y is B
i
gdzie: i = 1, 2, …, n
B’
i
= A
i
→ B
i
2. agregacja wyników wszystkich reguł:
B’=agg(B’ , B’ , …, B’ ) = S(B’ , B’ , …, B’ )
B’=agg(B’
1
, B’
2
, …, B’
n
) = S(B’
1
, B’
2
, …, B’
n
)
W celu otrzymania wyników wszystkich implikacji i zsumowania ich stosuje
się kompozycje T-norm i S-norm:
U
o
n
i
i
i
B
A
B
1
'
=
=
gdzie ‘o’ jest operatorem kompozycji.
Kompozycja typu max-min
0
0
0
1
.
0
2
.
0
2
.
0
2
.
0
1
.
0
0
0
0
0
0
0
3
.
0
4
.
0
4
.
0
4
.
0
3
.
0
0
0
1
.
0
4
.
0
7
.
0
1
6
.
0
2
.
0
0
0
0
0
0
0
1
.
0
5
.
0
1
6
.
0
1
.
0
0
0
0
0
0
0
3
.
0
5
.
0
1
5
.
0
3
.
0
0
5
.
0
2
.
0
4
.
0
'
3
1
=
=
=
=
=
o
o
U
T
n
i
i
i
B
A
B
Implikacja:T-norma minimum.
Agregacja: S-norma maksimum.
[
]
0
1
.
0
4
.
0
5
.
0
5
.
0
5
.
0
4
.
0
4
.
0
3
.
0
0
0
1
.
0
4
.
0
5
.
0
5
.
0
5
.
0
2
.
0
0
0
0
0
0
0
1
.
0
2
.
0
2
.
0
2
.
0
1
.
0
0
0
=
=
Kompozycja typu max-min
(
)
(
)
{
}
)
(
,
)
(
),
(
min
max
)
(
2
1
y
x
x
T
y
C
B
A
Y
y
µ
µ
µ
µ
∩
∈
=
Kompozycja typu max-product
(
)
{
}
)
(
)
(
),
(
min
max
)
(
2
1
y
x
x
y
C
B
A
Y
y
µ
µ
µ
µ
⋅
=
∈
Wyostrzanie - defuzzification
‘centroid’ – center of gravity,
‘bisector’ – bisector vertical line divides the region into two equal areas,
‘lom’ – largest of maximum,
‘mom’ – middle of maximum,
‘som’ – smallest of maximum.
Rozmyte singletony
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y is C
1
T-norma - minimum
Rozmyte singletony
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y is C
1
T-norma : iloczyn algebraiczny
IF x
1
is A
11
and/or x
2
is A
21
and/or … and/or x
n
is A
n1
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
• Takagi T., Sugeno M.: Fuzzy Identification of Systems and its Application to
Modeling and Control. IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics 15(1), s. 116-
132, 1985.
• Sugeno M., Kang T.: Structure Identification of Fuzzy Model. Fuzzy Sets and
Systems 28, s. 15-33, 1988.
IF x
1
is A
11
and/or x
2
is A
21
and/or … and/or x
n
is A
n1
THEN y
k
=f
k
(x
1
, x
2
, …, x
n
)
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
- stopień aktywacji reguły (waga reguły, poziom odpalenia reguły,
ang. firing strength):
IF x
1
is A
11
and/or x
2
is A
21
and/or … and/or x
n
is A
n1
THEN y
k
=f
k
(x
1
, x
2
, …, x
n
)
(
)
)
(
...,
),
(
),
(
1
21
11
2
1
n
A
A
A
k
x
x
x
T
w
n
µ
µ
µ
=
(
)
)
(
...,
),
(
),
(
1
21
11
2
1
n
A
A
A
k
x
x
x
S
w
n
µ
µ
µ
=
∑
∑
=
=
⋅
=
N
k
k
N
k
k
k
w
y
w
y
1
1
Wyostrzanie (obliczenie wartości zmiennej wyjściowej systemu rozmytego)
realizowane jest zazwyczaj jako średnia arytmetyczna ważona wszystkich
wyników implikacji (reguł warunkowych):
1
21
11
2
1
n
A
A
A
k
n
R
1
:
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
and x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
Wnioskowanie TSK - przykład
)
(
)
(
2
1
x
x
w
B
A
k
µ
µ
⋅
=
R
1
:
w
1
=0.5*0.8=0.4;
y
1
= 20
R
2
:
w
2
=0.5* 0.2=0.1;
y
2
= 30
R
1
:
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
and x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
R
1
:
w
1
=0.5*0.8=0.4;
y
1
= 20
R :
w =0.5*0.2=0.1;
y = 30
)
(
)
(
2
1
x
x
w
B
A
k
µ
µ
⋅
=
Wnioskowanie TSK - przykład
R
2
:
w
2
=0.5*0.2=0.1;
y
2
= 30
22
5
.
0
3
8
1
.
0
4
.
0
30
1
.
0
20
4
.
0
2
1
2
1
=
+
=
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∑
∑
=
=
=
=
N
k
k
N
k
k
k
w
y
w
y
R
1
:
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
and x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
Wnioskowanie TSK - przykład
)
(
)
(
2
1
x
x
w
B
A
k
µ
µ
⋅
=
R
1
:
IF x
1
is A
1
or x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
or x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
Wnioskowanie TSK - przykład
R
1
:
w
1
=max(0.5, 0.8)=0.8;
y
1
= 20
R
2
:
w
2
=max(0.5, 0.2)=0.5;
y
2
= 30
(
)
)
(
),
(
max
2
1
x
x
w
B
A
k
µ
µ
=
R
1
:
IF x
1
is A
1
or x
2
is B
1
THEN y
1
=2*x
1
+3*x
2
+4
R
2
:
IF x
1
is A
2
or x
2
is B
2
THEN y
2
=5*x
1
+4*x
2
+4
Wnioskowanie TSK - przykład
R
1
:
w
1
=max(0.5, 0.8)=0.8;
y
1
= 20
R
2
:
w
2
=max(0.5, 0.2)=0.5;
y
2
= 30
85
.
23
3
.
1
15
16
5
.
0
8
.
0
30
5
.
0
20
8
.
0
2
1
2
1
=
+
=
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∑
∑
=
=
=
=
N
k
k
N
k
k
k
w
y
w
y
Zmienna lingwistyczna
Zmienna lingwistyczna jest zmienn
ą
, której warto
ś
ci wyra
ż
one
s
ą
j
ę
zykiem naturalnym lub sztucznym. Temperatura jest zmienn
ą
lingwistyczn
ą
,
je
ż
eli
jej
warto
ść
wyra
ż
ona
jest
terminami
lingwistycznymi: wysoka, bardzo wysoka, ciepło, chłodno, raczej
chłodno. Zamiast: 10
0
, 14
0
, 19
0
, 32
0
…
Rozmyta reguła warunkowa:
JE
Ż
ELI
temperatura
jest
wysoka
TO
moc grzejnika
jest
mała
JE
Ż
ELI
temperatura
jest
wysoka
TO
moc grzejnika
jest
mała
przesłanka
konkluzja
reakcja
decyzja
rada
prognoza
Rozmyte singletony
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y is C
1
T-norma: minimum
Implikacja: minimum (Mamdaniego)
Rozmyte singletony
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y is C
1
T-norma: minimum
Implikacja: product (Larsena)
IF x
1
is A
11
and x
2
is A
21
and … and x
n
is A
n1
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
• Takagi T., Sugeno M.: Fuzzy Identification of Systems and its Application to
Modeling and Control. IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics 15(1), s. 116-
132, 1985.
• Sugeno M., Kang T.: Structure Identification of Fuzzy Model. Fuzzy Sets and
Systems 28, s. 15-33, 1988.
IF x
1
is A
11
and x
2
is A
21
and … and x
n
is A
n1
THEN y
k
=f
k
(x
1
, x
2
, …, x
n
)
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
Wyostrzanie (obliczenie wartości zmiennej wyjściowej systemu rozmytego)
- stopień aktywacji reguły (waga reguły, poziom odpalenia reguły: firing
strength):
IF x
1
is A
11
and x
2
is A
21
and … and x
n
is A
n1
THEN y
k
=f
k
(x
1
, x
2
, …, x
n
)
(
)
)
(
...,
),
(
),
(
1
21
11
2
1
n
A
A
A
k
x
x
x
T
w
n
µ
µ
µ
=
∑
∑
=
=
⋅
=
N
k
k
N
k
k
k
w
y
w
y
1
1
Wyostrzanie (obliczenie wartości zmiennej wyjściowej systemu rozmytego)
realizowane jest zazwyczaj jako średnia arytmetyczna ważona wszystkich
wyników implikacji (reguł warunkowych):
IF x
1
is A
1
and x
2
is B
1
THEN y
k
=2*x
1
+3*x
2
+4
Wnioskowanie Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
w
k
*y
k
=w
k
*(2*x1+3*x2+4) = 8
Identyfikacja parametrów
modelu rozmytego
z zastosowaniem algorytmów
z zastosowaniem algorytmów
grupowania rozmytego
Algorytm samoorganizacji (algorytm c-
ś
rednich)
Fuzzy c-means (FCM)
Dane zarejestrowane w procesie pomiarowym:
{
}
n
X
x
x
x
...,
,
,
2
1
=
{
}
N
c
c
c
C
...,
,
,
2
1
=
Ś
rodki rozmytych podprzestrzeni zmiennych wej
ś
ciowych
nazywanych rozmytymi klastrami (w postaci elipsoid):
Algorytm samoorganizacji (algorytm c-
ś
rednich)
Fuzzy c-means (FCM)
∑∑
= =
−
⋅
=
n
j
N
i
i
j
m
ij
J
1
1
2
c
x
µ
{
}
n
X
x
x
x
...,
,
,
2
1
=
{
}
N
c
c
c
C
...,
,
,
2
1
=
Celem algorytmu c-
ś
rednich jest minimalizacja funkcji celu
wyra
ż
onej jako suma odległo
ś
ci punktów x
j
od c
i
w przestrzeni
euklidesowskiej:
= =
j
i
1
1
ij
µ
- stopie
ń
przynale
ż
no
ś
ci wektora x
j
zmiennych wej
ś
ciowych
(danych ucz
ą
cych) do klastra, którego
ś
rodkiem jest c
i
.
- przyjmowana warto
ść
wykładnika stopnia przynale
ż
no
ś
ci,
zazwyczaj m=2.
[
)
∞
∈ ,
1
m
Algorytm samoorganizacji (algorytm c-
ś
rednich)
Fuzzy c-means (FCM)
∑
∑
=
⋅
=
n
n
j
j
m
ij
i
1
µ
x
c
1
2
1
−
∑
−
=
m
N
i
j
m
ij
c
x
µ
∑
=
n
j
m
ij
1
µ
1
=
∑
−
−
k
k
j
i
j
c
x
c
x
Algorytm grupowania ró
ż
nicowego danych
(subtractive clustering)
{
}
n
X
x
x
x
...,
,
,
2
1
=
Potencjalnymi
ś
rodkami klastrów s
ą
wszystkie próbki ucz
ą
ce x
j
, dla
których wyznaczane s
ą
potencjały:
2
Krok 1
−
−
=
2
2
2
exp
)
(
a
i
j
j
r
P
c
x
x
r
a
– współczynnik okre
ś
laj
ą
cy wielko
ść
s
ą
siedztwa.
Algorytm grupowania ró
ż
nicowego danych
(subtractive clustering)
Pierwszym
ś
rodkiem c
1
rozmytego klastra wybierany jest wektor x
j
o najwi
ę
kszej warto
ś
ci potencjału P(x
j
).
Nast
ę
pnie aktualizowane s
ą
warto
ś
ci potencjałów wszystkich
wektorów warto
ś
ci zmiennych wej
ś
ciowych:
−
2
Krok 2
a
b
b
i
j
j
j
r
r
r
P
P
P
≥
−
−
⋅
−
=
,
2
exp
)
(
)
(
)
(
2
2
1
c
x
c
x
x
zazwyczaj:
a
b
r
r
5
.
1
=
Prowadzi to zredukowania potencjałów próbek, znajduj
ą
cych si
ę
blisko
ś
rodka klastra c
1
.
Algorytm c-
ś
rednich i grupowania ró
ż
nicowego danych
Przykład Matlab:
>> findcluster(‘clusterdemo.dat’)