1

Ćwiczenia 2

WIL, BUDOWNICTWO semestr 1, 2012/13

Na każde zajęcia proszę przynosić notatki z wykładów!

1. Kinematyka punktu materialnego

Proszę przeczytać fragmenty wykładu 2 dotyczące kinematyki i nauczyć się podstawowych

wzorów.

1.

Punkt materialny porusza się po torze danym równaniem:

  cos ·   sin ·  (, ,  stałe dodatnie).

(a) Jaka krzywa jest torem punktu? Naszkicuj jej tor. Równanie toru znajdziesz, jeśli zapiszesz równania:

    i

    a następnie wyeliminujesz z nich czas. (Patrz: przykład z wykładu) (b) Znajdź wektory: prędkości
chwilowej

  i przyspieszenia . (c) Znajdź wektor położenia punktu oraz prędkości po czasie 

య

ర

, gdzie  jest

okresem ruchu (

 

ଶగ

ఠ

, czas jednego obiegu krzywej, będącej torem). (d) Oblicz kąt między wektorami


య

ర

 i



య

ర

. Zaznacz te wektory na rysunku z punktu a.

Rozwiązanie:
a. Równanie toru w postaci jawnej (czyli równanie krzywej, po której porusza się punkt materialny)
znajdziemy eliminując czas z równania

 
  (to też jest równanie toru, ale w postaci

parametrycznej; parametrem jest czas).
Z podanego równania znajdujemy, że:

x(t)

 cos ,    sin .

Następnie obliczamy:

/  cos , /  sin ,

równania podnosimy obustronnie do kwadratu i dodajemy
stronami, dostając równanie elipsy :

௫

మ

௕

మ

௬

మ

௖

మ

 1.

b. Prędkość chwilowa:

  

ௗ௥Ԧ

ௗ௧

 sin ·  cos · ; wektor jest styczny do toru, elipsy.

przyspieszenie:

  

ௗ௩

ሬԦ

ௗ௧

 

ଶ

cos ·   

ଶ

sin ·   

ଶ

 .

Widzimy, że wektor przyspieszenia ma kierunek wektora położenia, ale przeciwny zwrot.

c. Obliczamy wektory położenia ciała i prędkości po czasie t=T/4:

 

்
ସ

   cos 

2





4# ̂  sin 

2





4# ̂  ̂ ,

 

்
ସ

   sin 

2





4# ̂   cos 

2





4# ̂   ̂ ,

Kąty między wektorami w dowolnej chwili t można znaleźć korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny,
np.:

cos%,

&&&  

 · 

|
|||  (.

2.

Koło o promieniu

) toczy się po prostej ruchem jednostajnym z prędkością kątową . Dla punktu A leżącego na

obwodzie koła współrzędne

 ,   dane są równaniami:



஺

 )  ) sin  oraz 

஺

 )  )cos .

x

y

b

c





2

a. Narysować tor punktu przyjmując, że w chwili początkowej

 0, 

஺

 0, 

஺

 0. b. Znaleźć prędkość  i

przyspieszenie

 punktu A. c. Oblicz wartość przyspieszenia – czy zależy ona od czasu?

Rozwiązanie:

a. Torem punktu jest krzywa (czerwona) zwana cykloidą, której równanie dostaniemy eliminując czas t
z obu równań czas. Ponieważ równanie cykloidy jest dość skomplikowane, nie będziemy go wyznaczać.

b.

Obliczamy współrzędne wektora prędkości:

+

࢞



,-

,. 

,

,. )  ) sin   )  ) cos   )1  cos ,

+

࢟



,0

,. 

,

,. )1  cos   12 3452.,

+&&  )1  cos ̂  21 3452. 6̂.

Przyspieszenie:

7

࢞



,+

࢞

,. 

,

,. )1  cos   (,

7

࢟



,+

࢟

,. 

,

,. )sin   (.

7&&  (.

c.

Oblicz wartość przyspieszenia punktu A.

3.

Rozpatrzyć ruch punktu materialnego po jednej gałęzi paraboli o równaniu



ଶ

 28, przy czym rzut wektora prędkości na kierunek stycznej do

wierzchołka paraboli ma stałą wartość



଴

. Znaleźć: a.

  i  , b. wektor

prędkości i jego wartość, c. wektor przyspieszenia i jego wartość.

Metoda rozwiązywania zadania:

1. Uważnie przeczytaj temat i zastanów się, jakie wielkości są podane a jakie

musisz wyznaczyć.

2. Sporządź rysunek w odpowiednio wybranym układzie współrzędnych xy.

Środek koła O porusza się wzdłuż prostej z szybkością

  ); po czasie t przemieści się o

odcinek

  ) . Po tym czasie droga kątowa punktu A będzie równa :   .

Zauważmy, że po czasie

  2 / koło wykona pełny obrót i jednocześnie przemieści się o

odcinek

  2 ). Współrzędne punktu A zmienią się na 

஺

 2 ), 

஺

 0.

W czasie

 /2 punkt A wykonał obrót o kąt i jednocześnie przesunął się wzdłuż osi  o

odcinek

/2  ), stąd położenie punktu A wynosiło 

஺

 ), 

஺

 2).

Mając te informacje możemy naszkicować tor punktu A, ponieważ jego współrzędne będą się
zmieniały cyklicznie.

A

•

•

O

•

•

A

•

O

A

•

:





2ߨܴ

2ܴ

x

y



ଶ

 28



௫



௬



3

3. Znajdź

  oraz  . Jak wykorzystać informację, że 

௬

 

଴

= const? (wskazówka: wzdłuż osi

 ruch

jednostajny prostoliniowy:

  

଴

, a jeśli podstawimy to wyrażenie do wzoru na , to co dostaniemy?)

4. Wykonaj obliczenia składowych prędkości korzystając z podanych na wykładzie wzorów:



௫



ௗ௫ሺ௧ሻ

ௗ௧

, itd.

5. Sprawdź, czy otrzymane wzory na składowe prędkości dają poprawny wymiar tej wielkości. Zapisz wektor

prędkości.

6. Oblicz przyspieszenie kamienia

 ( 

௫



ௗ௩

ೣ

ௗ௧

, itd.)

4.

Przeanalizuj rzut ukośny ciała przy założeniu, że nie występują opory ruchu.

Rzuty (rzut poziomy, ukośny) zaliczamy do ruchów krzywoliniowych płaskich, ponieważ torem ciała w rzucie jest
krzywa leżąca w jednej płaszczyźnie.

Przypuśćmy, że z wieży o wysokości

; zostaje wyrzucony z prędkością 

଴

skierowaną pod kątem

< do poziomu

kamień. Mamy znaleźć: a. równanie toru kamienia, b. maksymalną wysokość

;

௠௔௫

nad powierzchnią gruntu, na

którą się wzniesie, c. zasięg rzutu

= czyli odległość, w której upadnie na ziemię, liczoną od podstawy wieży, d.

wektor prędkości kamienia.

Rozwiązanie

Dane są:

;, 

଴

,

<.

a. Jako układ odniesienia przyjmijmy podstawę wieży. Ruch kamienia w wybranym układzie
współrzędnych (oś

 pozioma, oś  pionowa) możemy rozłożyć na dwa ruchy składowe odbywające się

wzdłuż kierunków osi układu. Musimy zapisać równania na współrzędne

  oraz   kamienia

(równania te często nazywa się kinematycznymi równaniami ruchu).

Wzdłuż osi

 kamień porusza się bez przyspieszenia, ruchem jednostajnym

  

଴௫

, 

଴௫

 

଴

cos < .

Wzdłuż osi

 kamień posiada przyspieszenie ziemskie g, skierowane w dół, przeciwnie do zwrotu osi

(

  >̂). Zatem jest to ruch przyspieszony

  ;  

଴௬



ଵ
ଶ

>

ଶ

, 

଴௬

 

଴

sin <.

Przez eliminację czasu z powyższego układu równań dostajemy równanie toru kamienia, którym jest
parabola

  ;   tg< 

>

2

଴

ଶ

cos

૛

< 

ଶ

.

b. Możemy wyznaczyć współrzędną



௠௔௫

wierzchołka paraboli i w ten sposób znaleźć maksymalną

wysokość rzutu.

c. Zasięg

= znajdziemy z warunku, że w chwili dotknięcia ziemi   0. Wyznaczymy czas trwania

rzutu, a podstawiając go do równania na x=x(t) znajdziemy D.

d. Prędkość kamienia





௫



A

A 

A

A 

଴௫

 

଴௫

 

଴

cos <,



௬



A

A 

A

A  ;  

଴௬



ଵ
ଶ

>

ଶ

  

଴௬

 >  

଴

sin <  > .

Zapisujemy wektor

  (.

4

Obliczmy jeszcze odległość kamienia w dowolnej chwili trwania rzutu od punktu, z którego został
wyrzucony.

Jeśli jego położenie dane jest przez wektor położenia

  

଴௫

B  ;  

଴௬



ଵ
ଶ

>

ଶ

 ̂ ,

to obliczając długość tego wektora znajdziemy szukaną odległość.

5.

W podobny sposób jak postępowaliśmy w zadaniu 4 rozpatrz dwa skrajne przypadki rzutu ukośnego. Pierwszy,

noszący nazwę rzutu pionowego, zachodzi przy prędkości początkowej skierowanej pionowo. Drugi, rzut poziomy,

zachodzi przy prędkości początkowej skierowanej poziomo.

Sprawdź, czy potrafisz odpowiedzieć na poniższe pytania – są to pytania
egzaminacyjne, w nawiasach podana ilość punktów, jakie za nie można otrzymać.

1. a. Wyjaśnij, na czym polega względność położenia i względność ruchu, podaj transformację Galileusza (2p) b.
Podaj sposoby określania położenia ciała. Zrób odpowiednie rysunki. (2p) c. Zdefiniuj przemieszczenie i prędkość
średnią. Zdefiniuj prędkość chwilową i przyspieszenie chwilowe. Jaka jest między nimi różnica? (Rysunki!) (3p) d.
Podaj różnice między torem i drogą. (1p) e. Wyznacz prędkość  i przyspieszenie  ciała, jeśli podane są funkcje



 )  ) sin  i

   )  )cos ),   stałe dodatnie). (2p)

Literatura

D.Halliday,R.Resnick,J.Walker: Podstawy fizyki, t.1.

B.Oleś: Wykłady z fizyki , Wydawnictwo PK.
A.Januszajtis: Fizyka dla politechnik, t.1.