Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

1

ENERGIA JAKO WIELKOŚĆ BAZOWA DO OPISU

ELEKTROMECHANICZNEGO PRZETWARZANIA ENERGII

Zjawiska elektryczne i mechaniczne mają zupełnie inną naturę fizyczną i aby je
rozpatrywać łącznie wykorzystuje się energię, która jest wielkością fizyczną
wspólną dla tych zjawisk.

Układ elektromechaniczny - zbiór elementów elektrycznych i mechanicznych

Elementy elektryczne: cewka, kondensator, rezystor oraz źródło napięcia.

Elementy mechaniczne:
- dla ruchu liniowego: masa, sprężyna, element tłumiący oraz źródło siły,
- dla ruchu obrotowego: masa wirująca, sprężysty element obrotowy oraz źródło
momentu obrotowego.

W układ elektromechanicznym może dochodzić do zmiany charakteru energii –
energia elektryczna może zostać zamieniona (przetworzona) na energię
mechaniczną lub odwrotnie. Proces taki nazywamy elektromechaniczną
przemianą energii.

Do opisu elektromechanicznych przemian energii wykorzystuje się ujednolicony
opis elementów układu elektromechanicznego – zarówno mechanicznych jak i
elektrycznych – polegający na przyporządkowaniu jednakowych formuł
matematycznych typom elementów układu elektromechanicznego, niezależnie od
ich fizycznej natury.

Proces przetwarzania energii zachodzi dzięki tzw. elementom konserwatywnym,
które, w wyidealizowanej postaci, mają zdolność gromadzenia energii i zwracania
jej do układu bez start. Wyróżnia się dwa typy takich elementów:
- elementy typu kinetycznego, które mają zdolność magazynowania energii
kinetycznej, w jej mechanicznej postaci,
- elementy typu potencjalnego, które mogą magazynować energię potencjalną w
rozumieniu mechaniki.

Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

2

OPIS ELEMENÓW TYPU KINETYCZNEGO

- cewka (element ‘L’)

t

i

u

d

d

L



- masa skupiona (element ‘M’)

t

v

f

d

d

M



- masa wirująca (element ‘J’)

t

m

d

d

J





gdzie:
-

m

f

u

,

,

napięcie, siła oraz moment skrętny,

-



,

,v

i

prąd, prędkość liniowa oraz prędkość kątowa.

-

J

M,

L,

parametry charakteryzujące element, które określają ważne
wielkości fizyczne
- strumień skojarzony cewki

i

L





- pęd w ruchu liniowym

v

p

M



- kręt w ruchu obrotowym



J



k

Elementy spełniające takie związki nazywamy liniowymi, gdyż strumień
skojarzony, pęd czy kręt zależą liniowo od – odpowiednio – prądu, prędkości
liniowej czy prędkości obrotowej. W ogólniejszym przypadku obowiązują
związki

t

u

d

d





t

p

f

d

d



t

k

m

d

d



Muszą być one uzupełnione zależnościami

)

(i







,

)

(v

p

p



oraz

)

(



k

k



,

które są one nazywane charakterystykami elementów, a elementy nazywane są
nieliniowymi.

Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

3

OPIS ENERGETYCZNY ELEMENTÓW TYPU KINETYCZNEGO

(na przykładzie cewki, czyli elementu L)

Chwilową wartość mocy cewki L określa elementarny związek

i

u

P



Energia zgromadzona w tym elemencie wynosi







d

d

d

d

d

k













o

t

o

t

o

i

t

i

t

t

i

u

E

W celu obliczenia energii cewki należy znać jednoznaczną funkcję

)

(



i

i



. Dla

cewki o charakterystyce liniowej

i

L







energia wynosi

L

2

1

d

L

d

2

k























o

o

i

E

Interpretacja graficzna energii – pole nad charakterystyką

)

(i







. Pole to

jednoznacznie określa stan cewki jeżeli jej charakterystyka jest jednoznaczna.

i



)

,

(

i



i



)

,

(

i



o

E

o

E

E

E

A

B

Charakterystyka elementu ‘L’ oraz interpretacja graficzna jego energii i koenergii.

Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

4

Stan cewki można również określić podając pole pod charakterystyką. Ta
wartość jest nazywana ko energią

ko

E

, którą oblicza się ze wzoru

i

E

i

o

d

ko







Dla cewki o charakterystyce liniowej koenergia jest określona wzorem

2

ko

L

2

1

d

L

d

i

i

i

i

E

i

o

i

o













oraz jest spełniony związek

ko

k

E

E



, gdyż pola pod i nad krzywa są równe.

Ważne:
- energia cewki jest funkcją strumienia skojarzonego,
- koenergia cewki jest funkcją prądu.

Przez analogię można zapisać wyrażenia określające energię i koenergię masy:
- w ruchu liniowym

p

v

E

p

o

d

k





v

p

E

v

o

d

ko





- w ruchu obrotowym

k

E

k

o

d

k











d

ko





o

k

E

Dla elementów o liniowych charakterystykach otrzymuje się:
- dla ruchu liniowego

energia

M

2

1

2

k

p

E



koenergia

2

ko

M

2

1

v

E



- dla ruchu obrotowego

energia

J

2

1

2

k

k

E



koenergia

2

ko

J

2

1





E

Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

5

OPIS ENERGETYCZNY ELEMENTÓW TYPU POTENCJALNEGO

(na przykładzie sprężyny, czyli elementu sprężystego K)

Elementy potencjalne są opisywane przez charakterystyki wiążące napięcie, siłę
lub moment skrętny z – odpowiednio - ładunkiem kondensatora, przesunięciem
liniowym lub kątem obrotu. W przypadku charakterystyk liniowych są to
związki

C

q

u



x

f

K







K



m

w których:

C

- pojemność kondensatora,

K

– sprężystość w ruchu liniowym,



K

sprężystość w ruch obrotowym. Dla elementów nieliniowych te charakterystyki
są opisywane funkcjami nieliniowymi

)

(q

u

u



,

)

(x

f

f



lub

)

(



m

m



.

Dla elementu K energię zgromadzoną w sprężynie określa całka

x

f

E

x

o

d

p





W przypadku charakterystyki liniowej otrzymuje się

2

p

K

2

1

d

K

x

x

x

E

x

o







Odpowiada to polu powierzchni pod charakterystyką

x

f

)

,

(

x

f

x

f

)

,

(

x

f

po

E

A

B

po

E

p

E

p

E

Charakterystyka elementu ‘K’ oraz interpretacja graficzna jego energii i koenergii.

Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

6

Pole pod krzywą określa wartość ko energii

f

x

E

f

o

d

po





Dla elementu o charakterystyce liniowej koenergia jest określona wzorem

K

2

1

d

K

1

d

2

po

f

i

f

f

x

E

f

o

f

o











oraz jest spełniony związek

po

p

E

E



.

Wyrażenia określające energię i koenergię pozostałych elementów maja postaci:
- obrotowego elementu sprężystego





d

p





o

m

E

m

E

m

o

d

po







- oraz kondensatora

q

u

E

q

o

d

p





u

q

E

u

o

d

po





Dla tych elementów o liniowych charakterystykach otrzymuje się zależności:
- dla obrotowego elementu sprężystego

energia

2

p

K

2

1







E

koenergia

M

2

1

2

po

m

E



- kondensatora

energia

C

2

1

2

p

q

E



koenergia

2

po

C

2

1

u

E



Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

7

Wielkości używane do opisu elementów kinetycznych oraz potencjalnych
spełniają związki

t

q

i

d

d



t

x

v

d

d



t

d

d







które, według nazewnictwa mechaniki, są nazywane:

- współrzędnymi elektromechanicznymi

ładunek –

q

,

przesunięcie –

x

,

kąt obrotu –



.

- prędkościami elektromechanicznymi

prąd –

i

,

prędkość –

v

,

prędkość kątowa –



- pędami elektromechanicznymi

strumień –



,

pęd –

p

,

kręt –

k

- siłami elektromechanicznymi

napięcie – u ,

siłę – f ,

moment skrętny – m.

Zestawiono to w Tabeli

Wielkości
elektromechaniczne

Wielkości
elektryczne

Wielkości
mechaniczne
ruch liniowy

Wielkości
mechaniczne
ruch obrotowy

współrzędna –

x

ładunek –

q

położenie –

x

kąt –



prędkość –

x

prąd –

i

prędkość –

v

prędkość kątowa
–



Pęd –

p

strumień
skojarzony –



pęd –

p

kręt –

k

Siła – f

napięcie –

u

siła – f

moment
obrotowy –

m

Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

8

Opis elektromechanicznego elementu potencjalnego

za pomocą energii lub ko- energii

Energia potencjalna





x

x

x

f

x

E

0

p

d '

)

'

(

)

(

Koenergia potencjalna





f

f

f

f

x

f

E

0

d

po

'

)

'

(

)

(

x

f

f

E

x

E

po

p





)

(

)

(

.

Dla elementu o charakterystyce liniowej energia i koenergia potencjalna są sobie
równe

)

(

)

(

f

E

x

E

po

p



.

Interpretacja graficzna

x

f

)

,

(

x

f

)

(

po

f

E

)

(

p

x

E

Charakterystyka elektromechanicznego elementu potencjalnego

oraz interpretacja graficzna energii i koenergii potencjalnej.

Ważne:

Energia potencjalna elementu jest funkcją współrzędnej elektromechanicznej
Koenergia potencjalna jest funkcją siły elektromechanicznej.

Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

9

Opis elektromechanicznego elementu kinetycznego

za pomocą energii lub ko- energii

Energia kinetyczna





p

p

p

x

p

E

0

k

d

'

)

'

(

)

(



Koenergia kinetyczna





x

x

x

p

x

E









0

ko

d '

)

'

(

)

(

x

p

x

E

p

E





ko

k





)

(

)

(

.

Dla elementu o charakterystyce liniowej energia i koenergia kinetyczna są sobie
równe

)

(

)

(

x

E

p

E



ko

k



.

Interpretacja graficzna

p

)

,

(

x

p 

x

)

(

ko

x

E



)

(

k

p

E

Charakterystyka elektromechanicznego elementu kinetycznego

oraz interpretacja graficzna energii i koenergii kinetycznej.

Ważne:

Energia kinetyczna elementu jest funkcją pędu elektromechanicznego
Koenergia kinetyczna elementu jest funkcją prędkości elektromechanicznej.

Materiały do wykładu z “Elektromechanicznych Przemian Energii”

Opracował: Tadeusz Sobczyk

10

Takie definicje energii i koenergii wymagają jednoznaczności charakterystyki
elementu. Dla elementu potencjalnego energia jednoznacznie określa stan
elementu,

jeżeli

każdej

wartości

współrzędnej

jest

jednoznacznie

przyporządkowana wartość siły, czyli, gdy zależność

)

(x

f

f



jest funkcją,

natomiast koenergia jednoznacznie określa stan elementu, jeżeli każdej wartości
siły jest jednoznacznie przyporządkowana wartość współrzędnej, czyli, gdy
zależność

)

( f

x

x



jest funkcją. Dla elementu kinetycznego natomiast, energia

określa jednoznacznie stan elementu, jeżeli każdej wartości pędu jest
jednoznacznie przyporządkowana wartość prędkości, czyli, jeżeli zależność

)

( p

x

x







jest funkcją, a koenergia, jeżeli każdej wartości prędkości jest

jednoznacznie przyporządkowana wartość pędu, czyli, gdy zależność

)

(x

p

p





jest

funkcją.