O CHROMATYZMIE SOCZEWEK

Dr inż. Marek Zając

Pracownia Optyki Widzenia

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

e-mail:

[e-mail]

(artykuł był publikowany w Ogólnopolskim Kurierze Oftalmicznym "OKO", 1 / 2001)

W roku 1666 sir Isaac Newton (rysunek 1) przeprowadził swoje słynne doświadczenie
z rozszczepieniem światła słonecznego przez pryzmat. W jego notatkach zachował się szkic
przedstawiający to doświadczenie (rysunek 2). Podobny eksperyment możemy z łatwością
powtórzyć skierowując na pryzmat wąską wiązkę światła na przykład od zwykłej lampy
i obserwując na ekranie ustawionym za pryzmatem wielobarwne widmo (rysunek 3). W ten
sposób przekonujemy się o dwóch faktach: że białe światło jest mieszaniną fal wywołujących
wrażenie różnych barw (barwom odpowiadają różne długości fali

λ - rysunek 4), oraz że fale

świetlne o różnych barwach rozchodzą się w szkle z różną prędkością. Ten ostatni fakt oznacza,
że współczynnik załamania n jest różny dla światła o różnych długościach fal

λ . Efekt ten

nazywa się dyspersją.

Rys. 1 Sir Isaac Newton

Rys.2 Oryginalny szkic Isaaca Newona przedstawiający doświadczenie z rozszczepieniem

światła słonecznego przez pryzmat

Rys. 3 Rozszczepienie światła białego przez pryzmat

Rys. 4 Widmo światła białego

Możemy więc powiedzieć, że fala świetlna rozchodząca się w przezroczystym ośrodku takim jak
szkło czy woda ulega dyspersji, czyli rozszczepieniu na składowe jednobarwne
(monochromatyczne). Występowanie dyspersji oznacza, że współczynnik załamania światła
przez dany ośrodek zależy od długości fali świetlnej, jest więc jej funkcją: n = n(

λ ). Zależność

ta jest oczywiście różna dla różnych materiałów. Są materiały o silniejszej i słabszej zależności n
od

λ . Rysunek 5 przedstawia kilka typowych krzywych dyspersji. Widać, że współczynnik

załamania dla fal długich (czerwona część widma) jest mniejszy od współczynnika załamania dla
fal krótkich (niebieska część widma). Nachylenie krzywej dyspersji pokazuje jak bardzo
współczynnik załamania zmienia się wraz ze zmianą długości fali, czyli jak silne rozszczepienie
światła powoduje ten materiał.

Rys. 5 Krzywe dyspersji dla wybranych gatunków szkła optycznego:

1 - kron, 2 - lekki flint, 3 - flint, 4 - ciężki flint

Z tego co powiedziano wyżej wynika, że dla pełnego scharakteryzowania właściwości
optycznych materiału nie wystarcza podać jednej wartości współczynnika załamania, ale należy

znać te wartości przynajmniej dla kilku różnych długości fal w całym zakresie widma. W
katalogach szkieł optycznych podawane są zwykle wartości współczynnika załamania dla kilku
(lub kilkunastu) wybranych długości fal od czerwieni do fioletu. Są to długości fal
odpowiadające światłu wysyłanemu przez niektóre pierwiastki pobudzone do świecenia np.
w łuku elektrycznym. Oznacza się je tradycyjnie pojedynczymi literami alfabetu łacińskiego, np.
C, d, e, F, g. Za podstawową przyjmuje się zwykle długość fali

λ

d

= 0,5876

µm (jest to linia

wodoru) albo bardzo jej bliską

λ

D

= 0,5893

µm (linia sodu; tak świeci płomień palnika gazowego

posypanego zwykłą solą kuchenną). Te długości fali odpowiadają barwie żółtej i przypadają
mniej więcej na środek zakresu widma widzialnego, gdzie oko jest najbardziej czułe. Inne
typowo używane długości fal to linie wodoru: czerwona (

λ

C

= 0,6563

µm) i niebieska

(

λ

F

= 0,4861

µm).

Właściwości dyspersyjne szkła zależą od jego składu chemicznego. Tradycyjnie wyróżnia się
kilka podstawowych gatunków szkła optycznego, z których najważniejszymi są kron
o stosunkowo małym współczynniku załamania i niewielkiej dyspersji oraz flint
o współczynniku załamania znacznie większym, ale też większej dyspersji. Na rysunku 5
przedstawione są wykresy przedstawiające dyspersję podstawowych gatunków szkła
optycznego. Z wykresu widać, jak niewiele zmienia się wraz z barwą światła współczynnik
załamania szkła kronowego, a jak ta zależność jest silniejsza w przypadku ciężkiego flintu.
Wspomniane wyżej klasyczne szkła optyczne to substancje powstałe przez stopienie krzemionki,
czyli piasku kwarcowego, z tlenkami metali. Taka technologia, stosowana od stuleci, a
doprowadzona do perfekcji dzięki wieloletniej praktyce oraz intensywnym badaniom
naukowym, pozwala otrzymywać szkła o dokładnie zadanych parametrach optycznych. Szkła te
stosowane są na odpowiedzialne układy optyczne takie jak obiektywy fotograficzne, czy
mikroskopowe. W optyce okularowej szkło optyczne (nazywane popularnie "szkłem
mineralnym") stosuje się niezbyt chętnie między innymi ze względu na jego dużą masę właściwą
a więc duży ciężar wykonanych z niego soczewek. Powszechnie stosowane są tworzywa
sztuczne takie jak polimetakrylan metylu (czyli PMMA, "plexi", szkło organiczne), estry
celulozy, termoplastyczne żywice poliwęglanowe, czy żywice termoutwardzalne ze szczególnie
popularną CR39



na czele. Wartości współczynników załamania (dla żółtej linii sodu n

d

) dla

szkła oraz wymienionych tworzyw sztucznych zawarte są w tabeli 1.
W celu lepszego scharakteryzowania stopnia dyspersji podaje się zwykle wielkość zwaną liczbą
Abbego

ν zdefiniowaną następującym wzorem:

(1)

Jak widać z postaci tego wzoru im bardziej różnią się od siebie współczynniki załamania dla
światła czerwonego i niebieskiego tym mniejsza jest wartość liczby Abbego. Duża jej wartość
oznacza mniejszą różnicę pomiędzy współczynnikami załamania dla tych dwóch barw. Liczba
Abbego jest ważnym parametrem charakteryzującym właściwości optyczne materiału, a jej
znajomość pozwala zorientować się o stopniu barwnego rozszczepiania światła powodowanego
przez element optyczny wykonany z tego materiału. Wartości liczby Abbego dla różnych
gatunków szkieł zebraliśmy także w tabeli1.
Te dwa parametry: n

d

oraz

ν

d

są podstawowymi parametrami charakteryzującymi każdy materiał

optyczny.
Przyglądając się uważnie liczbom w tabeli 1 można zauważyć, że szkła o niskich
współczynnikach załamania charakteryzują się wyższą liczbą Abbego i odwrotnie. Zależność ta
jest prawdziwa dla większości materiałów optycznych. Wyraźnie to widać na rysunku 6
przedstawiającym tzw. diagram n

d

-

ν

d

. Poszczególne punkty na tym diagramie reprezentują

różne gatunki szkieł optycznych. Symbole literowe opisujące poszczególne grupy szkieł odnoszą
się do ich typowych nazw. Prawie wszystkie punkty układają się wzdłuż jednej linii. Wyjątkiem

są specjalne materiały takie jak np. fluoryt. Ten minerał, stosunkowo miękki i łatwo chłonący
wodę, stosowany jest jednak tylko w bardzo złożonych i szczególnie odpowiedzialnych
obiektywach np. mikroskopowych.

Rys. 6 Diagram n

d

-

ν

d

ilustrujący różne gatunki szkieł optycznych

Dyspersja światła daje o sobie znać we wszystkich elementach optycznych. Dla nas szczególne
znaczenie ma soczewka. Zdolność zbierająca

Φ cienkiej soczewki o dwóch powierzchniach

sferycznych umieszczonej w powietrzu zależy od promieni krzywizn obu jej powierzchni R

1

i R

2

oraz współczynnika załamania n materiału, z którego jest wykonana:

(2)

Rys. 7 Aberracja chromatyczna soczewki

Ponieważ współczynnik załamania zależy od długości fali świetlnej zatem i zdolność zbierająca
soczewki dla światła o różnych długościach fali jest różna. Wiązka światła wielobarwnego
padająca na soczewkę zostaje przez nią załamywana i skupiana w różnych punktach zależnie od
barwy. Nigdy nie można uzyskać ostrego obrazu. Punkt, w którym skupia się światło o krótkich
długościach fali (niebieskie) otoczony jest rozmytą obwódką czerwoną, punkt, w którym skupia
się światło czerwone otoczony jest rozmytym krążkiem niebieskim; punkt skupienia światła
żółtozielonego otoczony jest krążkiem purpurowym (złożeniem czerwieni i błękitu) itd. Ilustruje
to rysunek 7. Zjawisko to nazywa się aberracją chromatyczną lub po prostu chromatyzmem
soczewki. Znaczny chromatyzm w zauważalny sposób pogarsza jakość obrazów dawanych przez
soczewkę. Nietrudno się domyślić, że wielkość chromatyzmu związana jest z wielkością
dyspersji: soczewki wykonane ze szkła o dużej liczbie Abbego cechują się małym
chromatyzmem, zaś soczewki wykonane ze szkła o małej liczbie Abbego mają większy

chromatyzm. Aby scharakteryzować ilościowo aberracje chromatyczną wykorzystamy wzór (2)
by wyrazić zdolności zbierające soczewki dla światła czerwonego (linia C), żółtego (linia d) oraz
niebieskiego (linia F):

(3a)

(3b)

(3c)

Obliczmy teraz jaka jest względna różnica zdolności zbierających soczewki dla światła
niebieskiego i czerwonego w stosunku do podstawowej zdolności zbierającej określonej dla
światła żółtego:

(3d)

Okazuje się więc, że ta względna różnica zdolności zbierającej jest odwrotnie proporcjonalna do
liczby Abbego. Wyjaśnia to dlaczego aberracja chromatyczna jest tym większa im mniejsza
jest liczba Abbego. Aby sobie to jaśniej uzmysłowić zbierzmy w tabeli 2 wielkości względnej
procentowej zmiany zdolności zbierającej dla różnych wartości liczby Abbego. Powyższa tabela
pozwala zorientować się jak wielki jest wpływ chromatyzmu na odwzorowanie dawane przez
soczewkę.

Rys. 8 Wykresy aberracji chromatycznej podłużnej dla soczewek o mocy +2 dptr wykonanych z

różnych szkieł optycznych i przedmiocie położonym w nieskończoności (A) i w odległości 40 cm

przed soczewką (B)

Aberrację chromatyczną soczewki charakteryzuje się jednak najczęściej podając zależność
położenia ogniska soczewki od barwy światła. Jeśli przyjąć, że na soczewkę pada równoległa
wiązka światła (tak jest jeśli przedmiot leży w nieskończoności, czyli myślimy o soczewce
okularowej dla dali), to obraz powstaje w ognisku. Odległość od soczewki do ogniska, czyli jej
ogniskowa, jest odwrotnością zdolności zbierającej. Jeśli wyliczymy ogniskowe soczewki dla
różnych długości fal f

λ

i odejmiemy on nich ogniskową dla światła żółtego f

d

to otrzymamy

krzywą aberracji chromatycznej podłużnej. Rysunek 8 przedstawia krzywe aberracji
chromatycznej podłużnej dla soczewek skupiających o mocy +2 dptr wykonanych z różnych
gatunków szkła i przedmiotu w nieskończoności (soczewki do dali). Warto zauważyć, że
właściwości chromatyczne soczewki nie zależą od jej kształtu. We wzorach opisujących czy to
zdolność zbierającą czy ogniskową soczewki występują, co prawda, promienie krzywizn jej obu
powierzchni R

1

i R

2

, ale nie jako niezależne wielkości lecz zawsze jako różnica odwrotności.

Określoną zdolność zbierającą soczewki np. dodatniej można uzyskać dobierając różnie wartości

R

1

i R

2

(a więc różne kształty soczewek - dwuwypukłych, meniskowych, płasko-wypukłych).

W każdym przypadku aberracja chromatyczna podłużna jest jednak taka sama.
Dla danej soczewki aberracja chromatyczna zależy od położenia obrazu. Przypomnijmy wzór,
z którego wylicza się położenie obrazu w zależności od odległości s przedmiotu od soczewki:

(4)

Stosując ten wzór wyliczymy odległość s' od soczewki do obrazu dla różnych długości fal
świetlnych. Względne przesunięcie tego obrazu w stosunku do położenia obrazu obserwowanego
w świetle żółtym jest podłużną aberracją chromatyczną przy określonym położeniu przedmiotu.
Na rysunku 8 przedstawione są także krzywe aberracji chromatycznej podłużnej dla tych samych
soczewek ale dla przedmiotu leżącego 40 cm przed soczewką (ustawienie "do bliży"). Jak widać
z porównania odpowiednich krzywych charakter aberracji jest taki sam, ale w przypadku
soczewek do bliży wielkość chromatyzmu jest większa.

Rys. 9 Dublet achromatyczny

Niestety, pojedyncza soczewka jest zawsze obarczona chromatyzmem. Jedynym sposobem
kompensacji tej aberracji (czyli achromatyzacji układu optycznego) jest zbudowanie układu
optycznego złożonego z co najmniej dwóch soczewek (dubletu) - rysunek 9. Takie rozwiązanie
nie jest jednak stosowane w przypadku soczewek okularowych ze względów technologicznych.
Jednak bardziej złożone układy optyczne, takie jak choćby lupy, powinny być tak projektowane,
by skorygować chromatyzm przynajmniej dla dwóch długości fali. Można to zrobić budując
układ z dwóch soczewek wykonanych z różnych gatunków szkła (np. flintowego i kronowego).
Jedna z tych soczewek powinna być dodatnia a druga ujemna. Wartości mocy optycznych części
skupiającej i rozpraszającej

Φ

1

i

Φ

2

zależeć powinny od wartości liczb Abbego obu gatunków

szkła

ν

1

i

ν

2

.

(5)

W dubletach achromatycznych położenie obrazu dla dwóch długości fal (zwykle

λ

F

i

λ

C

) jest

takie samo. Jednak promienie odpowiadające pozostałym barwom przecinają się bliżej lub dalej.
Tworzy się tzw. widmo wtórne. Żeby je zmniejszyć trzeba budować układy optyczne złożone
z większej ilości soczewek. Można tak uzyskać układy apochromatyczne (skorygowane dla
trzech długości fal) a nawet apochromatyczne (skorygowane dla czterech długości fal). Krzywe
aberracji chromatycznej odpowiadające poszczególnym rodzajom korekcji przedstawia
rysunek 10.

Rys. 10 Korekcja chromatyzmu: (a) brak korekcji, (b), (c) korekcja achromatyczna, (d), (e), (f)

korekcja apochromatyczna, (g) korekcja superachromatyczna.

W przypadku okularów chromatyzm zależy tylko od dyspersji materiału, z którego wykonane są
soczewki. Za względu na minimalizację chromatyzmu pożądane jest, by było to szkło o jak
największej liczbie Abbego, nie zawsze jest to jednak możliwe do spełnienia. Na szczęście
znaczenie aberracji chromatycznej w okularach nie jest tak wielkie jak w innych układach
optycznych. Wynika to z małej rozwartości kątowej wiązek świetlnych wpadających przez
źrenicę do oka. O wielkości rozmycia barwnego decyduje bowiem nie tyle podłużna aberracja
chromatyczna co wielkość barwnych plamek rozmycia. Rysunek 11 ilustruje zależność wielkości
rozmycia barwnego

∆r (aberracji chromatycznej poprzecznej) od aberracji chromatycznej

podłużnej

∆s oraz kąta aperturowego u. Jak widać z tego rysunku nawet przy znacznej wartości

chromatyzmu podłużnego

∆s rozmycie barwne może być niewielkie jeśli tylko kąt aperturowy

będzie wystarczająco mały.

Rys. 11 Zależność aberracji chromatycznej podłużnej i poprzecznej

W praktyce chromatyzm daje się odczuć tylko podczas patrzenia przez skrajne części soczewki
i to pod sporym kątem. Ciekawe efekty można zaobserwować przyglądając się w ten sposób np.
kolorowym światłom samochodowym, odległym lampom ulicznym czy barwnym neonom
reklamowym.
Czy aberracja chromatyczna jest zawsze szkodliwa? Otóż niekoniecznie. W optometrii może być
nawet pomocna. Jak wiadomo oko cechuje się dużą wartością tej aberracji. Różnica zdolności
mocy optycznych oka dla światła czerwonego i niebieskiego wynosi około 2 dptr. Obraz
tworzony na siatkówce nawet przez miarowe oko jest więc w pewnym stopniu rozmyty barwnie.
Prawdopodobnie oko wykorzystuje to w mechanizmie akomodacji. Tutaj zwrócimy uwagę na
inne efekt wykorzystywany przy dokładnym określaniu wady refrakcji. Chodzi o zastosowanie
tzw. testu duochromatycznego czerwono-zielonego. Jest to plansza składająca się z dwóch
części na których na kolorowym tle - w jednej części zielonym, w drugiej czerwonym
wykreślone są wyraźne czarne znaki (np. koła czy pierścienie) - rysunek 12. Przy odległości
badania wynoszącej 5 m średnice takich pierścieni powinny wynosić około 5 cm (odpowiada to
wielkości kątowej około 5

o

). Maksimum czułości oka przypada na światło o barwie zielonożółtej

i dla tej barwy określamy refrakcję oka. Przy oku miarowym (lub prawidłowej korekcji) na
siatkówce tworzy się więc ostry obraz utworzony przez światło żółte a obrazy zielone i czerwone
są nieznacznie rozmyte (rysunek 13a). Jeśli zdolność zbierająca oka jest nieco za duża (oko
lekko krótkowzroczne lub przekorygowane) to na siatkówce utworzy się ostry obraz czerwony
a obraz zielono-niebieski będzie bardziej rozmyty (rysunek 13b). W przypadku zbyt małej

zdolności zbierającej, czyli oka nieco nadwzrocznego lub niedokorygowanego na siatkówce
powstanie ostry obraz niebiesko-zielony, a obraz czerwony będzie rozmyty (rysunek 13c).

Rys. 12 Test duochromatyczny czerwono-zielony

Rys. 13 Odwzorowanie testu duochromatycznego a) przez oko miarowe,

(b) przez oko nieco krótkowzroczne (c) przez oko nieco nadwzroczne

Stąd następująca zasada: Jeśli pacjent widzi obie czarne figury równo wyraźnie to oznacza
właściwą korekcję refrakcji. Jeśli pacjent widzi wyraźniej figurę na czerwonym tle (określa ją
jako "bardziej czarną", "wyraźniejszą") to mamy do czynienia z niewielką krótkowzrocznością
i koniecznością wstawienia przed oko soczewki ujemnej (w typowej kasecie okulistycznej jest to
soczewka w czerwonej oprawce). Jeśli wyraźniejsza wydaje się pacjentowi figura na zielonym
tle to oznacza niewielką nadwzroczność i konieczność skorygowania wady refrakcji soczewką
dodatnią. Test duochromatyczny jest bardzo czułym narzędziem i przy pewnej wprawie pozwala
określać wadę refrakcji sferycznej z dokładnością do 0,25 dptr.

Tabela 1

Parametry charakteryzujące podstawowe gatunki szkła optycznego

oraz niektórych innych materiałów stosowanych w optyce.

Gatunek szkła

n

d

ν

d

Borowy kron

1,516

64

Kron

1,518

59

Lekki flint

1,573

43

Flint

1,613

37

Klasyczne

szkła

optyczne

Ciężki flint

1,640

35

Szkło kronowe

1,52

58

Szkła o wysokim współczynniku załamania

1,56 - 1,66

47 - 32

Szkła

neralne stosowane

oczewki okularowe

Szkła o bardzo wysokim współczynniku

załamania

1,7 - 1,9

30 - 20

CR39



1,498

58

Żywica poliwęglanowa

1,59

31

Inne szkła organiczne

1,498 - 1,66

58 - 32

worzywa sztuczne

Polistyren przezroczysty

1,59 - 1,60

30,8

Kwarc

1,459

67

Fluoryt

1,434

61

Tabela 2

Wartości procentowej zmiany zdolności zbierającej dla światła niebieskiego i czerwonego

w stosunku do zdolności zbierającej dla światła żółtego w zależności od liczby Abbego.

ν

d

(

Φ

F

-

Φ

C

)/

Φ

d

20

5 %

30

3 %

40

2,5 %

50

2 %

60

1,7 %

70

1,4 %

___________________________
PRZYPISY

1. Sir Isaac Newton (1643-1727), jeden z największych uczonych nowożytnych, astronom, matematyk i fizyk.
2. Warto może zwrócić uwagę że dyspersji nie ulegają fale głosowe, dzięki czemu możemy słyszeć

niezniekształcone dźwięki nawet ze znacznej odległości.

© "OKO" i M. Zając'2001