Microsoft Word - O chromatyzmie.doc

O CHROMATYZMIE SOCZEWEK

Dr inż. Marek Zając

Pracownia Optyki Widzenia

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

e-mail:

zajac@if.pwr.wroc.pl

(artykuł był publikowany w Ogólnopolskim Kurierze Oftalmicznym "OKO", 1 / 2001)

W  roku  1666  sir  Isaac  Newton  (rysunek  1)  przeprowadził  swoje  słynne  doświadczenie
z rozszczepieniem  światła  słonecznego  przez  pryzmat.  W  jego  notatkach  zachował  się  szkic
przedstawiający  to  doświadczenie  (rysunek  2).  Podobny  eksperyment  możemy  z  łatwością
powtórzyć  skierowując  na  pryzmat  wąską  wiązkę  światła  na  przykład  od  zwykłej  lampy
i obserwując  na  ekranie  ustawionym  za  pryzmatem  wielobarwne  widmo  (rysunek  3).  W  ten
sposób  przekonujemy  się  o  dwóch  faktach:  że  białe  światło  jest  mieszaniną  fal  wywołujących
wrażenie  różnych  barw  (barwom  odpowiadają  różne  długości  fali

λ - rysunek 4), oraz że fale

świetlne o różnych barwach rozchodzą się w szkle z różną prędkością. Ten ostatni fakt oznacza,
że współczynnik załamania n jest różny dla światła o różnych długościach fal

λ . Efekt ten

nazywa się dyspersją.

Rys. 1 Sir Isaac Newton

Rys.2 Oryginalny szkic Isaaca Newona przedstawiający doświadczenie z rozszczepieniem

światła słonecznego przez pryzmat

Rys. 3 Rozszczepienie światła białego przez pryzmat

Rys. 4 Widmo światła białego

Możemy więc powiedzieć, że fala świetlna rozchodząca się w przezroczystym ośrodku takim jak
szkło czy woda ulega dyspersji, czyli rozszczepieniu na składowe jednobarwne
(monochromatyczne). Występowanie dyspersji oznacza, że współczynnik załamania światła
przez dany ośrodek zależy od długości fali świetlnej, jest więc jej funkcją: n = n(

λ ). Zależność

ta jest oczywiście różna dla różnych materiałów. Są materiały o silniejszej i słabszej zależności n
od

λ . Rysunek 5 przedstawia kilka typowych krzywych dyspersji. Widać, że współczynnik

załamania dla fal długich (czerwona część widma) jest mniejszy od współczynnika załamania dla
fal krótkich (niebieska część widma). Nachylenie krzywej dyspersji pokazuje jak bardzo
współczynnik załamania zmienia się wraz ze zmianą długości fali, czyli jak silne rozszczepienie
światła powoduje ten materiał.

Rys. 5 Krzywe dyspersji dla wybranych gatunków szkła optycznego:

1 - kron, 2 - lekki flint, 3 - flint, 4 - ciężki flint

Z tego co powiedziano wyżej wynika, że dla pełnego scharakteryzowania właściwości
optycznych materiału nie wystarcza podać jednej wartości współczynnika załamania, ale należy

znać  te  wartości  przynajmniej  dla  kilku  różnych  długości  fal  w  całym  zakresie  widma.  W
katalogach szkieł optycznych podawane są zwykle wartości współczynnika załamania dla kilku
(lub  kilkunastu)  wybranych  długości  fal  od  czerwieni  do  fioletu.  Są  to  długości  fal
odpowiadające  światłu  wysyłanemu  przez  niektóre  pierwiastki  pobudzone  do  świecenia  np.
w łuku elektrycznym. Oznacza się je tradycyjnie pojedynczymi literami alfabetu łacińskiego, np.
C,  d,  e,  F,  g.  Za  podstawową  przyjmuje  się  zwykle  długość  fali

= 0,5876

µm (jest to linia

wodoru) albo bardzo jej bliską

= 0,5893

µm (linia sodu; tak świeci płomień palnika gazowego

posypanego  zwykłą  solą  kuchenną).  Te  długości  fali  odpowiadają  barwie  żółtej  i przypadają
mniej  więcej  na  środek  zakresu  widma  widzialnego,  gdzie  oko  jest  najbardziej  czułe.  Inne
typowo  używane  długości  fal  to  linie  wodoru:  czerwona  (

= 0,6563

µm) i niebieska

(

= 0,4861

µm).

Właściwości  dyspersyjne  szkła  zależą  od  jego  składu  chemicznego.  Tradycyjnie  wyróżnia  się
kilka  podstawowych  gatunków  szkła  optycznego,  z  których  najważniejszymi  są  kron
o stosunkowo  małym  współczynniku  załamania  i  niewielkiej  dyspersji  oraz  flint
o współczynniku  załamania  znacznie  większym,  ale  też  większej  dyspersji.  Na  rysunku  5
przedstawione  są  wykresy  przedstawiające  dyspersję  podstawowych  gatunków  szkła
optycznego.  Z  wykresu  widać,  jak  niewiele  zmienia  się  wraz  z  barwą  światła  współczynnik
załamania szkła kronowego, a jak ta zależność jest silniejsza w przypadku ciężkiego flintu.
Wspomniane wyżej klasyczne szkła optyczne to substancje powstałe przez stopienie krzemionki,
czyli  piasku  kwarcowego,  z  tlenkami  metali.  Taka  technologia,  stosowana  od  stuleci,  a
doprowadzona  do  perfekcji  dzięki  wieloletniej  praktyce  oraz  intensywnym  badaniom
naukowym, pozwala otrzymywać szkła o dokładnie zadanych parametrach optycznych. Szkła te
stosowane  są  na  odpowiedzialne  układy  optyczne  takie  jak  obiektywy  fotograficzne,  czy
mikroskopowe.  W  optyce  okularowej  szkło  optyczne  (nazywane  popularnie  "szkłem
mineralnym") stosuje się niezbyt chętnie między innymi ze względu na jego dużą masę właściwą
a  więc  duży  ciężar  wykonanych  z  niego  soczewek.  Powszechnie  stosowane  są  tworzywa
sztuczne  takie  jak  polimetakrylan  metylu  (czyli  PMMA,  "plexi",  szkło  organiczne),  estry
celulozy, termoplastyczne żywice poliwęglanowe, czy żywice termoutwardzalne ze szczególnie
popularną  CR39



na czele. Wartości współczynników załamania (dla żółtej linii sodu n

) dla

szkła oraz wymienionych tworzyw sztucznych zawarte są w tabeli 1.
W celu lepszego scharakteryzowania stopnia dyspersji podaje się zwykle wielkość zwaną liczbą
Abbego

ν zdefiniowaną następującym wzorem:

(1)

Jak  widać  z  postaci  tego  wzoru  im  bardziej  różnią  się  od  siebie  współczynniki  załamania  dla
światła czerwonego i niebieskiego tym mniejsza jest wartość liczby Abbego. Duża jej wartość
oznacza  mniejszą  różnicę  pomiędzy  współczynnikami  załamania  dla tych dwóch barw. Liczba
Abbego  jest  ważnym  parametrem  charakteryzującym  właściwości  optyczne  materiału,  a  jej
znajomość pozwala zorientować się o stopniu barwnego rozszczepiania światła powodowanego
przez  element  optyczny  wykonany  z  tego  materiału.  Wartości  liczby  Abbego  dla  różnych
gatunków szkieł zebraliśmy także w tabeli1.
Te dwa parametry: n

oraz

są podstawowymi parametrami charakteryzującymi każdy materiał

optyczny.
Przyglądając  się  uważnie  liczbom  w  tabeli  1  można  zauważyć,  że  szkła  o  niskich
współczynnikach załamania charakteryzują się wyższą liczbą Abbego i odwrotnie. Zależność ta
jest  prawdziwa  dla  większości  materiałów  optycznych.  Wyraźnie  to  widać  na  rysunku  6
przedstawiającym  tzw.  diagram  n

. Poszczególne punkty na tym diagramie reprezentują

różne gatunki szkieł optycznych. Symbole literowe opisujące poszczególne grupy szkieł odnoszą
się do ich typowych nazw. Prawie wszystkie punkty układają się wzdłuż jednej linii. Wyjątkiem

są specjalne materiały takie jak np. fluoryt. Ten minerał, stosunkowo miękki i łatwo chłonący
wodę, stosowany jest jednak tylko w bardzo złożonych i szczególnie odpowiedzialnych
obiektywach np. mikroskopowych.

Rys. 6 Diagram n

ilustrujący różne gatunki szkieł optycznych

Dyspersja światła daje o sobie znać we wszystkich elementach optycznych. Dla nas szczególne
znaczenie ma soczewka. Zdolność zbierająca

Φ cienkiej soczewki o dwóch powierzchniach

sferycznych umieszczonej w powietrzu zależy od promieni krzywizn obu jej powierzchni R

i R

oraz współczynnika załamania n materiału, z którego jest wykonana:

(2)

Rys. 7 Aberracja chromatyczna soczewki

Ponieważ współczynnik załamania zależy od długości fali świetlnej zatem i zdolność zbierająca
soczewki  dla  światła  o  różnych  długościach  fali  jest  różna.  Wiązka  światła  wielobarwnego
padająca na soczewkę zostaje przez nią załamywana i skupiana w różnych punktach zależnie od
barwy. Nigdy nie można uzyskać ostrego obrazu. Punkt, w którym skupia się światło o krótkich
długościach fali (niebieskie) otoczony jest rozmytą obwódką czerwoną, punkt, w którym skupia
się  światło  czerwone  otoczony  jest  rozmytym  krążkiem  niebieskim;  punkt  skupienia  światła
żółtozielonego otoczony jest krążkiem purpurowym (złożeniem czerwieni i błękitu) itd. Ilustruje
to rysunek 7. Zjawisko to nazywa się aberracją chromatyczną lub po prostu chromatyzmem
soczewki. Znaczny chromatyzm w zauważalny sposób pogarsza jakość obrazów dawanych przez
soczewkę.  Nietrudno  się  domyślić,  że  wielkość  chromatyzmu  związana  jest  z  wielkością
dyspersji:  soczewki  wykonane  ze  szkła  o dużej  liczbie  Abbego  cechują  się  małym
chromatyzmem,  zaś  soczewki  wykonane  ze  szkła  o małej  liczbie  Abbego  mają  większy

chromatyzm. Aby scharakteryzować ilościowo aberracje chromatyczną wykorzystamy wzór (2)
by wyrazić zdolności zbierające soczewki dla światła czerwonego (linia C), żółtego (linia d) oraz
niebieskiego (linia F):

(3a)

(3b)

(3c)

Obliczmy teraz jaka jest względna różnica zdolności zbierających soczewki dla światła
niebieskiego i czerwonego w stosunku do podstawowej zdolności zbierającej określonej dla
światła żółtego:

(3d)

Okazuje się więc, że ta względna różnica zdolności zbierającej jest odwrotnie proporcjonalna do
liczby Abbego. Wyjaśnia to dlaczego aberracja chromatyczna jest tym większa im mniejsza
jest liczba Abbego. Aby sobie to jaśniej uzmysłowić zbierzmy w tabeli 2 wielkości względnej
procentowej zmiany zdolności zbierającej dla różnych wartości liczby Abbego. Powyższa tabela
pozwala zorientować się jak wielki jest wpływ chromatyzmu na odwzorowanie dawane przez
soczewkę.

Rys. 8 Wykresy aberracji chromatycznej podłużnej dla soczewek o mocy +2 dptr wykonanych z

różnych szkieł optycznych i przedmiocie położonym w nieskończoności (A) i w odległości 40 cm

przed soczewką (B)

Aberrację  chromatyczną  soczewki  charakteryzuje  się  jednak  najczęściej  podając  zależność
położenia  ogniska  soczewki  od  barwy  światła.  Jeśli  przyjąć,  że  na  soczewkę  pada  równoległa
wiązka  światła  (tak  jest  jeśli  przedmiot  leży  w  nieskończoności,  czyli  myślimy  o  soczewce
okularowej dla dali), to obraz powstaje w ognisku. Odległość od soczewki do ogniska, czyli jej
ogniskowa,  jest  odwrotnością  zdolności  zbierającej.  Jeśli  wyliczymy  ogniskowe  soczewki  dla
różnych  długości  fal  f

i odejmiemy on nich ogniskową dla światła żółtego f

to otrzymamy

krzywą  aberracji  chromatycznej  podłużnej.  Rysunek  8  przedstawia  krzywe  aberracji
chromatycznej  podłużnej  dla  soczewek  skupiających  o  mocy  +2  dptr  wykonanych  z różnych
gatunków  szkła  i  przedmiotu  w  nieskończoności  (soczewki  do  dali).  Warto  zauważyć,  że
właściwości chromatyczne soczewki nie zależą od jej kształtu. We wzorach opisujących czy to
zdolność zbierającą czy ogniskową soczewki występują, co prawda, promienie krzywizn jej obu
powierzchni  R

i R

, ale nie jako niezależne wielkości lecz zawsze jako różnica odwrotności.

Określoną zdolność zbierającą soczewki np. dodatniej można uzyskać dobierając różnie wartości

i R

(a więc różne kształty soczewek - dwuwypukłych, meniskowych, płasko-wypukłych).

W każdym przypadku aberracja chromatyczna podłużna jest jednak taka sama.
Dla danej soczewki aberracja chromatyczna zależy od położenia obrazu. Przypomnijmy wzór,
z którego wylicza się położenie obrazu w zależności od odległości s przedmiotu od soczewki:

(4)

Stosując ten wzór wyliczymy odległość s' od soczewki do obrazu dla różnych długości fal
świetlnych. Względne przesunięcie tego obrazu w stosunku do położenia obrazu obserwowanego
w świetle żółtym jest podłużną aberracją chromatyczną przy określonym położeniu przedmiotu.
Na rysunku 8 przedstawione są także krzywe aberracji chromatycznej podłużnej dla tych samych
soczewek ale dla przedmiotu leżącego 40 cm przed soczewką (ustawienie "do bliży"). Jak widać
z porównania odpowiednich krzywych charakter aberracji jest taki sam, ale w przypadku
soczewek do bliży wielkość chromatyzmu jest większa.

Rys. 9 Dublet achromatyczny

Niestety,  pojedyncza  soczewka  jest  zawsze  obarczona  chromatyzmem.  Jedynym  sposobem
kompensacji  tej  aberracji  (czyli  achromatyzacji  układu  optycznego)  jest  zbudowanie  układu
optycznego złożonego z co najmniej dwóch soczewek (dubletu) - rysunek 9. Takie rozwiązanie
nie jest jednak stosowane w przypadku soczewek okularowych ze względów technologicznych.
Jednak bardziej złożone układy optyczne, takie jak choćby lupy, powinny być tak projektowane,
by  skorygować  chromatyzm  przynajmniej  dla  dwóch  długości  fali.  Można  to  zrobić  budując
układ z dwóch soczewek wykonanych z różnych gatunków szkła (np. flintowego i kronowego).
Jedna z tych soczewek powinna być dodatnia a druga ujemna. Wartości mocy optycznych części
skupiającej i rozpraszającej

zależeć powinny od wartości liczb Abbego obu gatunków

szkła

(5)

W dubletach achromatycznych położenie obrazu dla dwóch długości fal (zwykle

) jest

takie samo. Jednak promienie odpowiadające pozostałym barwom przecinają się bliżej lub dalej.
Tworzy  się  tzw.  widmo  wtórne.  Żeby  je  zmniejszyć  trzeba  budować  układy  optyczne  złożone
z większej  ilości  soczewek.  Można  tak  uzyskać  układy  apochromatyczne  (skorygowane  dla
trzech długości fal) a nawet apochromatyczne (skorygowane dla czterech długości fal). Krzywe
aberracji  chromatycznej  odpowiadające  poszczególnym  rodzajom  korekcji  przedstawia
rysunek 10.

Rys. 10 Korekcja chromatyzmu: (a) brak korekcji, (b), (c) korekcja achromatyczna, (d), (e), (f)

korekcja apochromatyczna, (g) korekcja superachromatyczna.

W przypadku okularów chromatyzm zależy tylko od dyspersji materiału, z którego wykonane są
soczewki.  Za  względu  na  minimalizację  chromatyzmu  pożądane  jest,  by  było  to  szkło  o  jak
największej  liczbie  Abbego,  nie  zawsze  jest  to  jednak  możliwe  do  spełnienia.  Na  szczęście
znaczenie  aberracji  chromatycznej  w  okularach  nie  jest  tak  wielkie  jak  w  innych  układach
optycznych.  Wynika  to  z  małej  rozwartości  kątowej  wiązek  świetlnych  wpadających  przez
źrenicę do oka. O wielkości rozmycia barwnego decyduje bowiem nie tyle podłużna aberracja
chromatyczna co wielkość barwnych plamek rozmycia. Rysunek 11 ilustruje zależność wielkości
rozmycia  barwnego

∆r (aberracji chromatycznej poprzecznej) od aberracji chromatycznej

podłużnej

∆s oraz kąta aperturowego u. Jak widać z tego rysunku nawet przy znacznej wartości

chromatyzmu podłużnego

∆s rozmycie barwne może być niewielkie jeśli tylko kąt aperturowy

będzie wystarczająco mały.

Rys. 11 Zależność aberracji chromatycznej podłużnej i poprzecznej

W praktyce chromatyzm daje się odczuć tylko podczas patrzenia przez skrajne części soczewki
i to pod sporym kątem. Ciekawe efekty można zaobserwować przyglądając się w ten sposób np.
kolorowym  światłom  samochodowym,  odległym  lampom  ulicznym  czy  barwnym  neonom
reklamowym.
Czy aberracja chromatyczna jest zawsze szkodliwa? Otóż niekoniecznie. W optometrii może być
nawet  pomocna.  Jak  wiadomo  oko  cechuje  się  dużą  wartością tej aberracji. Różnica zdolności
mocy  optycznych  oka  dla  światła  czerwonego  i  niebieskiego  wynosi  około  2  dptr.  Obraz
tworzony na siatkówce nawet przez miarowe oko jest więc w pewnym stopniu rozmyty barwnie.
Prawdopodobnie  oko  wykorzystuje  to  w  mechanizmie  akomodacji.  Tutaj  zwrócimy  uwagę  na
inne efekt wykorzystywany przy dokładnym określaniu wady refrakcji. Chodzi o zastosowanie
tzw.  testu  duochromatycznego  czerwono-zielonego.  Jest  to  plansza  składająca  się  z  dwóch
części  na  których  na  kolorowym  tle  -  w  jednej  części  zielonym,  w  drugiej  czerwonym
wykreślone  są  wyraźne  czarne  znaki  (np.  koła  czy  pierścienie)  -  rysunek  12.  Przy  odległości
badania wynoszącej 5 m średnice takich pierścieni powinny wynosić około 5 cm (odpowiada to
wielkości kątowej około 5

). Maksimum czułości oka przypada na światło o barwie zielonożółtej

i  dla  tej  barwy  określamy  refrakcję  oka.  Przy  oku  miarowym  (lub  prawidłowej  korekcji)  na
siatkówce tworzy się więc ostry obraz utworzony przez światło żółte a obrazy zielone i czerwone
są  nieznacznie  rozmyte  (rysunek  13a).  Jeśli  zdolność  zbierająca  oka  jest  nieco  za  duża  (oko
lekko krótkowzroczne lub przekorygowane) to na siatkówce utworzy się ostry obraz czerwony
a obraz  zielono-niebieski  będzie  bardziej  rozmyty  (rysunek  13b).  W  przypadku  zbyt  małej

zdolności zbierającej, czyli oka nieco nadwzrocznego lub niedokorygowanego na siatkówce
powstanie ostry obraz niebiesko-zielony, a obraz czerwony będzie rozmyty (rysunek 13c).

Rys. 12 Test duochromatyczny czerwono-zielony

Rys. 13 Odwzorowanie testu duochromatycznego a) przez oko miarowe,

(b) przez oko nieco krótkowzroczne (c) przez oko nieco nadwzroczne

Stąd  następująca  zasada:  Jeśli  pacjent  widzi  obie  czarne  figury  równo  wyraźnie  to  oznacza
właściwą  korekcję  refrakcji.  Jeśli  pacjent  widzi  wyraźniej  figurę  na  czerwonym  tle (określa ją
jako "bardziej czarną", "wyraźniejszą") to mamy do czynienia z  niewielką krótkowzrocznością
i koniecznością wstawienia przed oko soczewki ujemnej (w typowej kasecie okulistycznej jest to
soczewka w czerwonej oprawce). Jeśli wyraźniejsza wydaje się pacjentowi figura na zielonym
tle  to  oznacza  niewielką  nadwzroczność  i  konieczność skorygowania wady refrakcji soczewką
dodatnią. Test duochromatyczny jest bardzo czułym narzędziem i przy pewnej wprawie pozwala
określać wadę refrakcji sferycznej z dokładnością do 0,25 dptr.

Tabela 1

Parametry charakteryzujące podstawowe gatunki szkła optycznego

oraz niektórych innych materiałów stosowanych w optyce.

Gatunek szkła

Borowy kron

1,516

Kron

1,518

Lekki flint

1,573

Flint

1,613

Klasyczne

szkła

optyczne

Ciężki flint

1,640

Szkło kronowe

1,52

Szkła o wysokim współczynniku załamania

1,56 - 1,66

47 - 32

Szkła

neralne stosowane

oczewki okularowe

Szkła o bardzo wysokim współczynniku

załamania

1,7 - 1,9

30 - 20

CR39



1,498

Żywica poliwęglanowa

1,59

Inne szkła organiczne

1,498 - 1,66

58 - 32

worzywa sztuczne

Polistyren przezroczysty

1,59 - 1,60

30,8

Kwarc

1,459

Fluoryt

1,434

Tabela 2

Wartości procentowej zmiany zdolności zbierającej dla światła niebieskiego i czerwonego

w stosunku do zdolności zbierającej dla światła żółtego w zależności od liczby Abbego.

(

5 %

3 %

2,5 %

2 %

1,7 %

1,4 %

___________________________
PRZYPISY

1. Sir Isaac Newton (1643-1727), jeden z największych uczonych nowożytnych, astronom, matematyk i fizyk.
2. Warto może zwrócić uwagę że dyspersji nie ulegają fale głosowe, dzięki czemu możemy słyszeć

niezniekształcone dźwięki nawet ze znacznej odległości.