Wykład 25
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
Wykład 25
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=1
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=1
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=1
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=1
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
{∆
n
}
∞
n=1
oraz {∆
0
n
}
∞
n=1
. Niech ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
oraz ∆
0
n
= {x
(n)0
j
}
p
0
n
j=0
Niech ponadto
S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
), S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
oraz S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
M
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
), S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
m
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
).
Ustalmy n, k i rozważmy S
n
oraz S
0
k
.
Niech Z(n, k) = {j ∈ Z
p
n
: ∃l ∈ Z
p
0
k
(x
n
j−1
, x
n
j
) ⊂ (x
(k)0
l−1
, x
(k)0
l
)}
oraz U (n, k) = Z
p
n
\ Z(n, k).
Wówczas
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
{∆
n
}
∞
n=1
oraz {∆
0
n
}
∞
n=1
. Niech ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
oraz ∆
0
n
= {x
(n)0
j
}
p
0
n
j=0
Niech ponadto
S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
), S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
oraz S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
M
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
), S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
m
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
).
Ustalmy n, k i rozważmy S
n
oraz S
0
k
.
Niech Z(n, k) = {j ∈ Z
p
n
: ∃l ∈ Z
p
0
k
(x
n
j−1
, x
n
j
) ⊂ (x
(k)0
l−1
, x
(k)0
l
)}
oraz U (n, k) = Z
p
n
\ Z(n, k).
Wówczas
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
{∆
n
}
∞
n=1
oraz {∆
0
n
}
∞
n=1
. Niech ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
oraz ∆
0
n
= {x
(n)0
j
}
p
0
n
j=0
Niech ponadto
S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
), S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
oraz S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
M
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
), S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
m
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
).
Ustalmy n, k i rozważmy S
n
oraz S
0
k
.
Niech Z(n, k) = {j ∈ Z
p
n
: ∃l ∈ Z
p
0
k
(x
n
j−1
, x
n
j
) ⊂ (x
(k)0
l−1
, x
(k)0
l
)}
oraz U (n, k) = Z
p
n
\ Z(n, k).
Wówczas
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
{∆
n
}
∞
n=1
oraz {∆
0
n
}
∞
n=1
. Niech ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
oraz ∆
0
n
= {x
(n)0
j
}
p
0
n
j=0
Niech ponadto
S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
), S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
oraz S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
M
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
), S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
m
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
).
Ustalmy n, k i rozważmy S
n
oraz S
0
k
.
Niech Z(n, k) = {j ∈ Z
p
n
: ∃l ∈ Z
p
0
k
(x
n
j−1
, x
n
j
) ⊂ (x
(k)0
l−1
, x
(k)0
l
)}
oraz U (n, k) = Z
p
n
\ Z(n, k).
Wówczas
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
{∆
n
}
∞
n=1
oraz {∆
0
n
}
∞
n=1
. Niech ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
oraz ∆
0
n
= {x
(n)0
j
}
p
0
n
j=0
Niech ponadto
S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
), S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
oraz S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
M
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
), S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
m
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
).
Ustalmy n, k i rozważmy S
n
oraz S
0
k
.
Niech Z(n, k) = {j ∈ Z
p
n
: ∃l ∈ Z
p
0
k
(x
n
j−1
, x
n
j
) ⊂ (x
(k)0
l−1
, x
(k)0
l
)}
oraz U (n, k) = Z
p
n
\ Z(n, k).
Wówczas
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
{∆
n
}
∞
n=1
oraz {∆
0
n
}
∞
n=1
. Niech ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
oraz ∆
0
n
= {x
(n)0
j
}
p
0
n
j=0
Niech ponadto
S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
), S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
oraz S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
M
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
), S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
m
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
).
Ustalmy n, k i rozważmy S
n
oraz S
0
k
.
Niech Z(n, k) = {j ∈ Z
p
n
: ∃l ∈ Z
p
0
k
(x
n
j−1
, x
n
j
) ⊂ (x
(k)0
l−1
, x
(k)0
l
)}
oraz U (n, k) = Z
p
n
\ Z(n, k).
Wówczas
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
{∆
n
}
∞
n=1
oraz {∆
0
n
}
∞
n=1
. Niech ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
oraz ∆
0
n
= {x
(n)0
j
}
p
0
n
j=0
Niech ponadto
S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
), S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
oraz S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
M
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
), S
0
n
=
p
0
n
P
j=1
m
(n)0
j
(x
(n)0
j
− x
(n)0
j−1
).
Ustalmy n, k i rozważmy S
n
oraz S
0
k
.
Niech Z(n, k) = {j ∈ Z
p
n
: ∃l ∈ Z
p
0
k
(x
n
j−1
, x
n
j
) ⊂ (x
(k)0
l−1
, x
(k)0
l
)}
oraz U (n, k) = Z
p
n
\ Z(n, k).
Wówczas
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
CAŁKA OZNACZONA
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) ≤
S
0
k
+
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)≤ S
0
k
+ (M − m)p
0
m
δ
n
Mamy stąd lim sup
n→∞
S
n
≤ S
0
k
,
a także lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
Analogicznie dowodzimy, że lim inf
n→∞
S
n
≥ lim sup
k→∞
S
0
k
CAŁKA OZNACZONA
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) ≤
S
0
k
+
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
≤ S
0
k
+ (M − m)p
0
m
δ
n
Mamy stąd lim sup
n→∞
S
n
≤ S
0
k
,
a także lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
Analogicznie dowodzimy, że lim inf
n→∞
S
n
≥ lim sup
k→∞
S
0
k
CAŁKA OZNACZONA
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) ≤
S
0
k
+
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
≤ S
0
k
+ (M − m)p
0
m
δ
n
Mamy stąd lim sup
n→∞
S
n
≤ S
0
k
,
a także lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
Analogicznie dowodzimy, że lim inf
n→∞
S
n
≥ lim sup
k→∞
S
0
k
CAŁKA OZNACZONA
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) ≤
S
0
k
+
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
≤ S
0
k
+ (M − m)p
0
m
δ
n
Mamy stąd lim sup
n→∞
S
n
≤ S
0
k
,
a także lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
Analogicznie dowodzimy, że lim inf
n→∞
S
n
≥ lim sup
k→∞
S
0
k
CAŁKA OZNACZONA
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) ≤
S
0
k
+
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
≤ S
0
k
+ (M − m)p
0
m
δ
n
Mamy stąd lim sup
n→∞
S
n
≤ S
0
k
,
a także lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
Analogicznie dowodzimy, że lim inf
n→∞
S
n
≥ lim sup
k→∞
S
0
k
CAŁKA OZNACZONA
S
n
=
P
j∈Z(n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) +
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) ≤
S
0
k
+
P
j∈U (n,m)
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
)
≤ S
0
k
+ (M − m)p
0
m
δ
n
Mamy stąd lim sup
n→∞
S
n
≤ S
0
k
,
a także lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
Analogicznie dowodzimy, że lim inf
n→∞
S
n
≥ lim sup
k→∞
S
0
k
CAŁKA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
n→∞
S
n
wnioskujemy lim sup
n→∞
S
n
= lim inf
k→∞
S
0
k
= lim sup
k→∞
S
0
k
= lim inf
n→∞
S
n
bowiem zawsze lim sup
n→∞
S
n
≥ lim inf
n→∞
S
n
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAŁKA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
n→∞
S
n
wnioskujemy lim sup
n→∞
S
n
= lim inf
k→∞
S
0
k
= lim sup
k→∞
S
0
k
= lim inf
n→∞
S
n
bowiem zawsze lim sup
n→∞
S
n
≥ lim inf
n→∞
S
n
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAŁKA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
n→∞
S
n
wnioskujemy lim sup
n→∞
S
n
= lim inf
k→∞
S
0
k
= lim sup
k→∞
S
0
k
= lim inf
n→∞
S
n
bowiem zawsze lim sup
n→∞
S
n
≥ lim inf
n→∞
S
n
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAŁKA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
n→∞
S
n
wnioskujemy lim sup
n→∞
S
n
= lim inf
k→∞
S
0
k
= lim sup
k→∞
S
0
k
= lim inf
n→∞
S
n
bowiem zawsze lim sup
n→∞
S
n
≥ lim inf
n→∞
S
n
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAŁKA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
n→∞
S
n
wnioskujemy lim sup
n→∞
S
n
= lim inf
k→∞
S
0
k
= lim sup
k→∞
S
0
k
= lim inf
n→∞
S
n
bowiem zawsze lim sup
n→∞
S
n
≥ lim inf
n→∞
S
n
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAŁKA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup
n→∞
S
n
≤ lim inf
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
k→∞
S
0
k
≤ lim sup
n→∞
S
n
wnioskujemy lim sup
n→∞
S
n
= lim inf
k→∞
S
0
k
= lim sup
k→∞
S
0
k
= lim inf
n→∞
S
n
bowiem zawsze lim sup
n→∞
S
n
≥ lim inf
n→∞
S
n
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S
n
≤ S
n
≤ S
n
wnioskujemy istnienie granicy lim
n→∞
S
n
niezaleznej od wyboru normalnego
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim
n→∞
S
n
− lim
n→∞
S
n
> 6ε.
Wówczas istnieje n
0
takie, że dla n > n
0
mamy S
n
− S
n
> 4ε.
Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
oraz {η
(n)
j
}
p
n
j=1
tak
aby f (ξ
(n)
j
) < m
(n)
j
+
ε
b−a
oraz f (η
(n)
j
) > M
(n)
j
−
ε
b−a
Wówczas
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) −
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) > 2ε
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S
n
≤ S
n
≤ S
n
wnioskujemy istnienie granicy lim
n→∞
S
n
niezaleznej od wyboru normalnego
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim
n→∞
S
n
− lim
n→∞
S
n
> 6ε.
Wówczas istnieje n
0
takie, że dla n > n
0
mamy S
n
− S
n
> 4ε.
Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
oraz {η
(n)
j
}
p
n
j=1
tak
aby f (ξ
(n)
j
) < m
(n)
j
+
ε
b−a
oraz f (η
(n)
j
) > M
(n)
j
−
ε
b−a
Wówczas
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) −
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) > 2ε
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S
n
≤ S
n
≤ S
n
wnioskujemy istnienie granicy lim
n→∞
S
n
niezaleznej od wyboru normalnego
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim
n→∞
S
n
− lim
n→∞
S
n
> 6ε.
Wówczas istnieje n
0
takie, że dla n > n
0
mamy S
n
− S
n
> 4ε.
Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
oraz {η
(n)
j
}
p
n
j=1
tak
aby f (ξ
(n)
j
) < m
(n)
j
+
ε
b−a
oraz f (η
(n)
j
) > M
(n)
j
−
ε
b−a
Wówczas
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) −
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) > 2ε
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S
n
≤ S
n
≤ S
n
wnioskujemy istnienie granicy lim
n→∞
S
n
niezaleznej od wyboru normalnego
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim
n→∞
S
n
− lim
n→∞
S
n
> 6ε.
Wówczas istnieje n
0
takie, że dla n > n
0
mamy S
n
− S
n
> 4ε.
Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
oraz {η
(n)
j
}
p
n
j=1
tak
aby f (ξ
(n)
j
) < m
(n)
j
+
ε
b−a
oraz f (η
(n)
j
) > M
(n)
j
−
ε
b−a
Wówczas
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) −
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) > 2ε
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S
n
≤ S
n
≤ S
n
wnioskujemy istnienie granicy lim
n→∞
S
n
niezaleznej od wyboru normalnego
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim
n→∞
S
n
− lim
n→∞
S
n
> 6ε.
Wówczas istnieje n
0
takie, że dla n > n
0
mamy S
n
− S
n
> 4ε.
Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
oraz {η
(n)
j
}
p
n
j=1
tak
aby f (ξ
(n)
j
) < m
(n)
j
+
ε
b−a
oraz f (η
(n)
j
) > M
(n)
j
−
ε
b−a
Wówczas
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) −
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) > 2ε
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S
n
≤ S
n
≤ S
n
wnioskujemy istnienie granicy lim
n→∞
S
n
niezaleznej od wyboru normalnego
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim
n→∞
S
n
− lim
n→∞
S
n
> 6ε.
Wówczas istnieje n
0
takie, że dla n > n
0
mamy S
n
− S
n
> 4ε.
Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
oraz {η
(n)
j
}
p
n
j=1
tak
aby f (ξ
(n)
j
) < m
(n)
j
+
ε
b−a
oraz f (η
(n)
j
) > M
(n)
j
−
ε
b−a
Wówczas
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) −
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) > 2ε
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S
n
≤ S
n
≤ S
n
wnioskujemy istnienie granicy lim
n→∞
S
n
niezaleznej od wyboru normalnego
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim
n→∞
S
n
− lim
n→∞
S
n
> 6ε.
Wówczas istnieje n
0
takie, że dla n > n
0
mamy S
n
− S
n
> 4ε.
Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
oraz {η
(n)
j
}
p
n
j=1
tak
aby f (ξ
(n)
j
) < m
(n)
j
+
ε
b−a
oraz f (η
(n)
j
) > M
(n)
j
−
ε
b−a
Wówczas
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) −
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) > 2ε
CAŁKA OZNACZONA
Przechodząc do granicy otrzymamy
lim
n→∞
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
)− lim
n→∞
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) ≥ 2ε > ε > 0.
Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.
WNIOSEK 369
Jeżeli dla funkcji f : [a, b] −→ R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziału [a, b] dla każdego ε > 0 istnieje n takie, że S
n
− S
n
< ε to f
jest całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciągu podziałów. Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje n
takie, że S
n
− S
n
< ε to lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
S
n
.
CAŁKA OZNACZONA
Przechodząc do granicy otrzymamy
lim
n→∞
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
)− lim
n→∞
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) ≥ 2ε > ε > 0.
Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.
WNIOSEK 369
Jeżeli dla funkcji f : [a, b] −→ R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziału [a, b] dla każdego ε > 0 istnieje n takie, że S
n
− S
n
< ε to f
jest całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciągu podziałów. Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje n
takie, że S
n
− S
n
< ε to lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
S
n
.
CAŁKA OZNACZONA
Przechodząc do granicy otrzymamy
lim
n→∞
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
)− lim
n→∞
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) ≥ 2ε > ε > 0.
Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.
WNIOSEK 369
Jeżeli dla funkcji f : [a, b] −→ R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziału [a, b] dla każdego ε > 0 istnieje n takie, że S
n
− S
n
< ε to f
jest całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciągu podziałów. Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje n
takie, że S
n
− S
n
< ε to lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
S
n
.
CAŁKA OZNACZONA
Przechodząc do granicy otrzymamy
lim
n→∞
p
n
P
j=1
f (ξ
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
)− lim
n→∞
p
n
P
j=1
f (η
(n)
j
)(x
(n)
j−1
, x
(n)
j
) ≥ 2ε > ε > 0.
Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.
WNIOSEK 369
Jeżeli dla funkcji f : [a, b] −→ R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziału [a, b] dla każdego ε > 0 istnieje n takie, że S
n
− S
n
< ε to f
jest całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciągu podziałów. Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje n
takie, że S
n
− S
n
< ε to lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
S
n
.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 370
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i ci
,
agła
wtedy istnieje całk
,
a Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnego dodatniego ε istnieje
δ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <
ε
2(b−a)
.
Niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału [a, b]
Istnieje n
0
takie, że dla wszystkich n > n
0
mamy δ
n
= δ(∆
n
) < δ.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 370
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i ci
,
agła
wtedy istnieje całk
,
a Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnego dodatniego ε istnieje
δ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <
ε
2(b−a)
.
Niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału [a, b]
Istnieje n
0
takie, że dla wszystkich n > n
0
mamy δ
n
= δ(∆
n
) < δ.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 370
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i ci
,
agła
wtedy istnieje całk
,
a Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnego dodatniego ε istnieje
δ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <
ε
2(b−a)
.
Niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału [a, b]
Istnieje n
0
takie, że dla wszystkich n > n
0
mamy δ
n
= δ(∆
n
) < δ.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 370
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i ci
,
agła
wtedy istnieje całk
,
a Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnego dodatniego ε istnieje
δ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <
ε
2(b−a)
.
Niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału [a, b]
Istnieje n
0
takie, że dla wszystkich n > n
0
mamy δ
n
= δ(∆
n
) < δ.
CAŁKA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
S
n
− S
n
=
p
n
P
k=1
(M
(n)
k
− m
(n)
k
)(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) ≤
p
n
P
k=1
ε
b−a
(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) = ε.
Wynika stąd, że lim
n→∞
S
n
− S
n
= 0.
Z istnienia granic lim
n→∞
S
n
oraz lim
n→∞
S
n
wynika ich równość i istnienie
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
S
n
− S
n
=
p
n
P
k=1
(M
(n)
k
− m
(n)
k
)(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) ≤
p
n
P
k=1
ε
b−a
(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) = ε.
Wynika stąd, że lim
n→∞
S
n
− S
n
= 0.
Z istnienia granic lim
n→∞
S
n
oraz lim
n→∞
S
n
wynika ich równość i istnienie
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
S
n
− S
n
=
p
n
P
k=1
(M
(n)
k
− m
(n)
k
)(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) ≤
p
n
P
k=1
ε
b−a
(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) = ε.
Wynika stąd, że lim
n→∞
S
n
− S
n
= 0.
Z istnienia granic lim
n→∞
S
n
oraz lim
n→∞
S
n
wynika ich równość i istnienie
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
S
n
− S
n
=
p
n
P
k=1
(M
(n)
k
− m
(n)
k
)(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) ≤
p
n
P
k=1
ε
b−a
(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) = ε.
Wynika stąd, że lim
n→∞
S
n
− S
n
= 0.
Z istnienia granic lim
n→∞
S
n
oraz lim
n→∞
S
n
wynika ich równość i istnienie
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
S
n
− S
n
=
p
n
P
k=1
(M
(n)
k
− m
(n)
k
)(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) ≤
p
n
P
k=1
ε
b−a
(x
(n)
k
− x
(n)
k−1
) = ε.
Wynika stąd, że lim
n→∞
S
n
− S
n
= 0.
Z istnienia granic lim
n→∞
S
n
oraz lim
n→∞
S
n
wynika ich równość i istnienie
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {∆
0
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
{∆
00
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
Określamy {∆
n
}
∞
n=1
jako ∆
n
= {y
n
k
}
p
0
n
+p
00
n
k=0
,
gdzie y
k
=
(
x
(n)0
k
gdy
k ≤ p
0
n
x
(n)00
k−p
0
n
gdy
k > p
0
n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
oraz
S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
Stąd
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f )
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {∆
0
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
{∆
00
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
Określamy {∆
n
}
∞
n=1
jako ∆
n
= {y
n
k
}
p
0
n
+p
00
n
k=0
,
gdzie y
k
=
(
x
(n)0
k
gdy
k ≤ p
0
n
x
(n)00
k−p
0
n
gdy
k > p
0
n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
oraz
S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
Stąd
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f )
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {∆
0
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
{∆
00
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
Określamy {∆
n
}
∞
n=1
jako ∆
n
= {y
n
k
}
p
0
n
+p
00
n
k=0
,
gdzie y
k
=
(
x
(n)0
k
gdy
k ≤ p
0
n
x
(n)00
k−p
0
n
gdy
k > p
0
n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
oraz
S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
Stąd
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f )
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {∆
0
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
{∆
00
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
Określamy {∆
n
}
∞
n=1
jako ∆
n
= {y
n
k
}
p
0
n
+p
00
n
k=0
,
gdzie y
k
=
(
x
(n)0
k
gdy
k ≤ p
0
n
x
(n)00
k−p
0
n
gdy
k > p
0
n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
oraz
S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
Stąd
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f )
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {∆
0
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
{∆
00
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
Określamy {∆
n
}
∞
n=1
jako ∆
n
= {y
n
k
}
p
0
n
+p
00
n
k=0
,
gdzie y
k
=
(
x
(n)0
k
gdy
k ≤ p
0
n
x
(n)00
k−p
0
n
gdy
k > p
0
n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
oraz
S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
Stąd
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f )
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {∆
0
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
{∆
00
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
Określamy {∆
n
}
∞
n=1
jako ∆
n
= {y
n
k
}
p
0
n
+p
00
n
k=0
,
gdzie y
k
=
(
x
(n)0
k
gdy
k ≤ p
0
n
x
(n)00
k−p
0
n
gdy
k > p
0
n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
oraz
S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
Stąd
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f )
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {∆
0
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
{∆
00
n
}
∞
n=1
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
Określamy {∆
n
}
∞
n=1
jako ∆
n
= {y
n
k
}
p
0
n
+p
00
n
k=0
,
gdzie y
k
=
(
x
(n)0
k
gdy
k ≤ p
0
n
x
(n)00
k−p
0
n
gdy
k > p
0
n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
oraz
S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f )
Stąd
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) = S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f )
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆
000
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ
000
M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {∆
000
n
} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 ≤ S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
) ≤
≤ S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f ) + 4δ
000
n
M
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆
000
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ
000
M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {∆
000
n
} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 ≤ S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
) ≤
≤ S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f ) + 4δ
000
n
M
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆
000
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ
000
M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {∆
000
n
} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 ≤ S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
) ≤
≤ S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f ) + 4δ
000
n
M
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆
000
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ
000
M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {∆
000
n
} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 ≤ S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
) ≤
≤ S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f ) + 4δ
000
n
M
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆
000
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ
000
M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {∆
000
n
} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 ≤ S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
) ≤
≤ S(∆
0
n
, f ) − S(∆
0
n
, f ) + S(∆
00
n
, f ) − S(∆
00
n
, f ) + 4δ
000
n
M
CAŁKA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
)}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b] i ci
,
agła poza skończon
,
a ilości
,
a punktów wtedy istnieje całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAŁKA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
)}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b] i ci
,
agła poza skończon
,
a ilości
,
a punktów wtedy istnieje całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAŁKA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
)}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b] i ci
,
agła poza skończon
,
a ilości
,
a punktów wtedy istnieje całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAŁKA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
)}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b] i ci
,
agła poza skończon
,
a ilości
,
a punktów wtedy istnieje całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAŁKA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆
000
n
) − S(∆
000
n
)}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b] i ci
,
agła poza skończon
,
a ilości
,
a punktów wtedy istnieje całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAŁKA OZNACZONA
Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <
ε
2
i dowolnego {∆
n
} normalnego ciągu
podziałów [a, b] mamy
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) ≤
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) + 2δ
n
M +
ε
4
,
gdzie x
n
q
n
≤ b − η < x
n
q
n
+1
.
Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n
0
dla n > n
0
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) <
ε
4
oraz
δ
n
<
ε
8M
Reasumując S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) < ε.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <
ε
2
i dowolnego {∆
n
} normalnego ciągu
podziałów [a, b] mamy
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) ≤
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) + 2δ
n
M +
ε
4
,
gdzie x
n
q
n
≤ b − η < x
n
q
n
+1
.
Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n
0
dla n > n
0
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) <
ε
4
oraz
δ
n
<
ε
8M
Reasumując S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) < ε.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <
ε
2
i dowolnego {∆
n
} normalnego ciągu
podziałów [a, b] mamy
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) ≤
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) + 2δ
n
M +
ε
4
,
gdzie x
n
q
n
≤ b − η < x
n
q
n
+1
.
Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n
0
dla n > n
0
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) <
ε
4
oraz
δ
n
<
ε
8M
Reasumując S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) < ε.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <
ε
2
i dowolnego {∆
n
} normalnego ciągu
podziałów [a, b] mamy
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) ≤
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) + 2δ
n
M +
ε
4
,
gdzie x
n
q
n
≤ b − η < x
n
q
n
+1
.
Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n
0
dla n > n
0
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) <
ε
4
oraz
δ
n
<
ε
8M
Reasumując S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) < ε.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <
ε
2
i dowolnego {∆
n
} normalnego ciągu
podziałów [a, b] mamy
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) ≤
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) + 2δ
n
M +
ε
4
,
gdzie x
n
q
n
≤ b − η < x
n
q
n
+1
.
Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n
0
dla n > n
0
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) <
ε
4
oraz
δ
n
<
ε
8M
Reasumując S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) < ε.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <
ε
2
i dowolnego {∆
n
} normalnego ciągu
podziałów [a, b] mamy
S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) ≤
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) + 2δ
n
M +
ε
4
,
gdzie x
n
q
n
≤ b − η < x
n
q
n
+1
.
Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n
0
dla n > n
0
q
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
) <
ε
4
oraz
δ
n
<
ε
8M
Reasumując S(∆
n
, f ) − S(∆
n
, f ) < ε.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
M
(n)
j
− m
(n)
j
=
b−a
n
n
P
j=1
f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
=
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
M
(n)
j
− m
(n)
j
=
b−a
n
n
P
j=1
f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
=
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
M
(n)
j
− m
(n)
j
=
b−a
n
n
P
j=1
f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
=
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
M
(n)
j
− m
(n)
j
=
b−a
n
n
P
j=1
f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
=
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
M
(n)
j
− m
(n)
j
=
b−a
n
n
P
j=1
f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
=
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
M
(n)
j
− m
(n)
j
=
b−a
n
n
P
j=1
f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
=
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
M
(n)
j
− m
(n)
j
=
b−a
n
n
P
j=1
f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
=
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.