Wykład 25

Witold Obłoza

3 kwietnia 2011

CAŁKA OZNACZONA

DEFINICJA 366

Niech funkcja f b

,

edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni

,

etym

[a, b], niech {∆

n

}

∞

n=1

b

,

edzie normalnym ci

,

agiem podziałów przedziału

zamkni

,

etego [a, b], gdzie ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=1

i niech

M

(n)

i

= sup{f (x) : x ∈ [x

(n)
i−1

, x

(n)
i

]} m

i

= inf{f (x) : x ∈ [x

(n)
i−1

, x

(n)
i

]}

Niech ponadto S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

),

S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim

n→∞

S

n

, zaś całką

dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim

n→∞

S

n

.

UWAGA 367

Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.

CAŁKA OZNACZONA

DEFINICJA 366

Niech funkcja f b

,

edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni

,

etym

[a, b], niech {∆

n

}

∞

n=1

b

,

edzie normalnym ci

,

agiem podziałów przedziału

zamkni

,

etego [a, b], gdzie ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=1

i niech

M

(n)

i

= sup{f (x) : x ∈ [x

(n)
i−1

, x

(n)
i

]} m

i

= inf{f (x) : x ∈ [x

(n)
i−1

, x

(n)
i

]}

Niech ponadto S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

),

S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim

n→∞

S

n

, zaś całką

dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim

n→∞

S

n

.

UWAGA 367

Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.

CAŁKA OZNACZONA

DEFINICJA 366

Niech funkcja f b

,

edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni

,

etym

[a, b], niech {∆

n

}

∞

n=1

b

,

edzie normalnym ci

,

agiem podziałów przedziału

zamkni

,

etego [a, b], gdzie ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=1

i niech

M

(n)

i

= sup{f (x) : x ∈ [x

(n)
i−1

, x

(n)
i

]} m

i

= inf{f (x) : x ∈ [x

(n)
i−1

, x

(n)
i

]}

Niech ponadto S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

),

S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim

n→∞

S

n

, zaś całką

dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim

n→∞

S

n

.

UWAGA 367

Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.

CAŁKA OZNACZONA

DEFINICJA 366

Niech funkcja f b

,

edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni

,

etym

[a, b], niech {∆

n

}

∞

n=1

b

,

edzie normalnym ci

,

agiem podziałów przedziału

zamkni

,

etego [a, b], gdzie ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=1

i niech

M

(n)

i

= sup{f (x) : x ∈ [x

(n)
i−1

, x

(n)
i

]} m

i

= inf{f (x) : x ∈ [x

(n)
i−1

, x

(n)
i

]}

Niech ponadto S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

),

S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim

n→∞

S

n

, zaś całką

dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim

n→∞

S

n

.

UWAGA 367

Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg

{∆

n

}

∞

n=1

oraz {∆

0

n

}

∞

n=1

. Niech ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=0

oraz ∆

0

n

= {x

(n)0
j

}

p

0
n

j=0

Niech ponadto

S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

), S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

oraz S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

M

(n)0

j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

), S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

m

(n)0
j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

).

Ustalmy n, k i rozważmy S

n

oraz S

0

k

.

Niech Z(n, k) = {j ∈ Z

p

n

: ∃l ∈ Z

p

0
k

(x

n
j−1

, x

n
j

) ⊂ (x

(k)0
l−1

, x

(k)0
l

)}

oraz U (n, k) = Z

p

n

\ Z(n, k).

Wówczas

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg

{∆

n

}

∞

n=1

oraz {∆

0

n

}

∞

n=1

. Niech ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=0

oraz ∆

0

n

= {x

(n)0
j

}

p

0
n

j=0

Niech ponadto

S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

), S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

oraz S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

M

(n)0

j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

), S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

m

(n)0
j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

).

Ustalmy n, k i rozważmy S

n

oraz S

0

k

.

Niech Z(n, k) = {j ∈ Z

p

n

: ∃l ∈ Z

p

0
k

(x

n
j−1

, x

n
j

) ⊂ (x

(k)0
l−1

, x

(k)0
l

)}

oraz U (n, k) = Z

p

n

\ Z(n, k).

Wówczas

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg

{∆

n

}

∞

n=1

oraz {∆

0

n

}

∞

n=1

. Niech ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=0

oraz ∆

0

n

= {x

(n)0
j

}

p

0
n

j=0

Niech ponadto

S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

), S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

oraz S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

M

(n)0

j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

), S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

m

(n)0
j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

).

Ustalmy n, k i rozważmy S

n

oraz S

0

k

.

Niech Z(n, k) = {j ∈ Z

p

n

: ∃l ∈ Z

p

0
k

(x

n
j−1

, x

n
j

) ⊂ (x

(k)0
l−1

, x

(k)0
l

)}

oraz U (n, k) = Z

p

n

\ Z(n, k).

Wówczas

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg

{∆

n

}

∞

n=1

oraz {∆

0

n

}

∞

n=1

. Niech ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=0

oraz ∆

0

n

= {x

(n)0
j

}

p

0
n

j=0

Niech ponadto

S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

), S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

oraz S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

M

(n)0

j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

), S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

m

(n)0
j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

).

Ustalmy n, k i rozważmy S

n

oraz S

0

k

.

Niech Z(n, k) = {j ∈ Z

p

n

: ∃l ∈ Z

p

0
k

(x

n
j−1

, x

n
j

) ⊂ (x

(k)0
l−1

, x

(k)0
l

)}

oraz U (n, k) = Z

p

n

\ Z(n, k).

Wówczas

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg

{∆

n

}

∞

n=1

oraz {∆

0

n

}

∞

n=1

. Niech ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=0

oraz ∆

0

n

= {x

(n)0
j

}

p

0
n

j=0

Niech ponadto

S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

), S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

oraz S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

M

(n)0

j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

), S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

m

(n)0
j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

).

Ustalmy n, k i rozważmy S

n

oraz S

0

k

.

Niech Z(n, k) = {j ∈ Z

p

n

: ∃l ∈ Z

p

0
k

(x

n
j−1

, x

n
j

) ⊂ (x

(k)0
l−1

, x

(k)0
l

)}

oraz U (n, k) = Z

p

n

\ Z(n, k).

Wówczas

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg

{∆

n

}

∞

n=1

oraz {∆

0

n

}

∞

n=1

. Niech ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=0

oraz ∆

0

n

= {x

(n)0
j

}

p

0
n

j=0

Niech ponadto

S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

), S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

oraz S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

M

(n)0

j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

), S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

m

(n)0
j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

).

Ustalmy n, k i rozważmy S

n

oraz S

0

k

.

Niech Z(n, k) = {j ∈ Z

p

n

: ∃l ∈ Z

p

0
k

(x

n
j−1

, x

n
j

) ⊂ (x

(k)0
l−1

, x

(k)0
l

)}

oraz U (n, k) = Z

p

n

\ Z(n, k).

Wówczas

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg

{∆

n

}

∞

n=1

oraz {∆

0

n

}

∞

n=1

. Niech ∆

n

= {x

(n)
j

}

p

n

j=0

oraz ∆

0

n

= {x

(n)0
j

}

p

0
n

j=0

Niech ponadto

S

n

=

p

n

P

j=1

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

), S

n

=

p

n

P

j=1

m

(n)
j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

oraz S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

M

(n)0

j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

), S

0

n

=

p

0
n

P

j=1

m

(n)0
j

(x

(n)0
j

− x

(n)0
j−1

).

Ustalmy n, k i rozważmy S

n

oraz S

0

k

.

Niech Z(n, k) = {j ∈ Z

p

n

: ∃l ∈ Z

p

0
k

(x

n
j−1

, x

n
j

) ⊂ (x

(k)0
l−1

, x

(k)0
l

)}

oraz U (n, k) = Z

p

n

\ Z(n, k).

Wówczas

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

).

CAŁKA OZNACZONA

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) ≤

S

0

k

+

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)≤ S

0

k

+ (M − m)p

0

m

δ

n

Mamy stąd lim sup

n→∞

S

n

≤ S

0

k

,

a także lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

Analogicznie dowodzimy, że lim inf

n→∞

S

n

≥ lim sup

k→∞

S

0

k

CAŁKA OZNACZONA

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) ≤

S

0

k

+

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

≤ S

0

k

+ (M − m)p

0

m

δ

n

Mamy stąd lim sup

n→∞

S

n

≤ S

0

k

,

a także lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

Analogicznie dowodzimy, że lim inf

n→∞

S

n

≥ lim sup

k→∞

S

0

k

CAŁKA OZNACZONA

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) ≤

S

0

k

+

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

≤ S

0

k

+ (M − m)p

0

m

δ

n

Mamy stąd lim sup

n→∞

S

n

≤ S

0

k

,

a także lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

Analogicznie dowodzimy, że lim inf

n→∞

S

n

≥ lim sup

k→∞

S

0

k

CAŁKA OZNACZONA

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) ≤

S

0

k

+

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

≤ S

0

k

+ (M − m)p

0

m

δ

n

Mamy stąd lim sup

n→∞

S

n

≤ S

0

k

,

a także lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

Analogicznie dowodzimy, że lim inf

n→∞

S

n

≥ lim sup

k→∞

S

0

k

CAŁKA OZNACZONA

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) ≤

S

0

k

+

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

≤ S

0

k

+ (M − m)p

0

m

δ

n

Mamy stąd lim sup

n→∞

S

n

≤ S

0

k

,

a także lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

Analogicznie dowodzimy, że lim inf

n→∞

S

n

≥ lim sup

k→∞

S

0

k

CAŁKA OZNACZONA

S

n

=

P

j∈Z(n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

M

(n)

j

(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) +

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) ≤

S

0

k

+

P

j∈U (n,m)

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

)

≤ S

0

k

+ (M − m)p

0

m

δ

n

Mamy stąd lim sup

n→∞

S

n

≤ S

0

k

,

a także lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

Analogicznie dowodzimy, że lim inf

n→∞

S

n

≥ lim sup

k→∞

S

0

k

CAŁKA OZNACZONA

Z ciągu nierówności lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

n→∞

S

n

wnioskujemy lim sup

n→∞

S

n

= lim inf

k→∞

S

0

k

= lim sup

k→∞

S

0

k

= lim inf

n→∞

S

n

bowiem zawsze lim sup

n→∞

S

n

≥ lim inf

n→∞

S

n

Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.

Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.

TWIERDZENIE 368

Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.

CAŁKA OZNACZONA

Z ciągu nierówności lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

n→∞

S

n

wnioskujemy lim sup

n→∞

S

n

= lim inf

k→∞

S

0

k

= lim sup

k→∞

S

0

k

= lim inf

n→∞

S

n

bowiem zawsze lim sup

n→∞

S

n

≥ lim inf

n→∞

S

n

Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.

Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.

TWIERDZENIE 368

Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.

CAŁKA OZNACZONA

Z ciągu nierówności lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

n→∞

S

n

wnioskujemy lim sup

n→∞

S

n

= lim inf

k→∞

S

0

k

= lim sup

k→∞

S

0

k

= lim inf

n→∞

S

n

bowiem zawsze lim sup

n→∞

S

n

≥ lim inf

n→∞

S

n

Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.

Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.

TWIERDZENIE 368

Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.

CAŁKA OZNACZONA

Z ciągu nierówności lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

n→∞

S

n

wnioskujemy lim sup

n→∞

S

n

= lim inf

k→∞

S

0

k

= lim sup

k→∞

S

0

k

= lim inf

n→∞

S

n

bowiem zawsze lim sup

n→∞

S

n

≥ lim inf

n→∞

S

n

Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.

Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.

TWIERDZENIE 368

Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.

CAŁKA OZNACZONA

Z ciągu nierówności lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

n→∞

S

n

wnioskujemy lim sup

n→∞

S

n

= lim inf

k→∞

S

0

k

= lim sup

k→∞

S

0

k

= lim inf

n→∞

S

n

bowiem zawsze lim sup

n→∞

S

n

≥ lim inf

n→∞

S

n

Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.

Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.

TWIERDZENIE 368

Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.

CAŁKA OZNACZONA

Z ciągu nierówności lim sup

n→∞

S

n

≤ lim inf

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

k→∞

S

0

k

≤ lim sup

n→∞

S

n

wnioskujemy lim sup

n→∞

S

n

= lim inf

k→∞

S

0

k

= lim sup

k→∞

S

0

k

= lim inf

n→∞

S

n

bowiem zawsze lim sup

n→∞

S

n

≥ lim inf

n→∞

S

n

Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.

Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.

TWIERDZENIE 368

Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S

n

≤ S

n

≤ S

n

wnioskujemy istnienie granicy lim

n→∞

S

n

niezaleznej od wyboru normalnego

ciągu podziałów.

Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

lim

n→∞

S

n

− lim

n→∞

S

n

> 6ε.

Wówczas istnieje n

0

takie, że dla n > n

0

mamy S

n

− S

n

> 4ε.

Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ

(n)

j

}

p

n

j=1

oraz {η

(n)

j

}

p

n

j=1

tak

aby f (ξ

(n)

j

) < m

(n)
j

+

ε

b−a

oraz f (η

(n)

j

) > M

(n)

j

−

ε

b−a

Wówczas

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) −

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) > 2ε

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S

n

≤ S

n

≤ S

n

wnioskujemy istnienie granicy lim

n→∞

S

n

niezaleznej od wyboru normalnego

ciągu podziałów.

Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

lim

n→∞

S

n

− lim

n→∞

S

n

> 6ε.

Wówczas istnieje n

0

takie, że dla n > n

0

mamy S

n

− S

n

> 4ε.

Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ

(n)

j

}

p

n

j=1

oraz {η

(n)

j

}

p

n

j=1

tak

aby f (ξ

(n)

j

) < m

(n)
j

+

ε

b−a

oraz f (η

(n)

j

) > M

(n)

j

−

ε

b−a

Wówczas

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) −

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) > 2ε

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S

n

≤ S

n

≤ S

n

wnioskujemy istnienie granicy lim

n→∞

S

n

niezaleznej od wyboru normalnego

ciągu podziałów.

Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

lim

n→∞

S

n

− lim

n→∞

S

n

> 6ε.

Wówczas istnieje n

0

takie, że dla n > n

0

mamy S

n

− S

n

> 4ε.

Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ

(n)

j

}

p

n

j=1

oraz {η

(n)

j

}

p

n

j=1

tak

aby f (ξ

(n)

j

) < m

(n)
j

+

ε

b−a

oraz f (η

(n)

j

) > M

(n)

j

−

ε

b−a

Wówczas

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) −

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) > 2ε

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S

n

≤ S

n

≤ S

n

wnioskujemy istnienie granicy lim

n→∞

S

n

niezaleznej od wyboru normalnego

ciągu podziałów.

Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

lim

n→∞

S

n

− lim

n→∞

S

n

> 6ε.

Wówczas istnieje n

0

takie, że dla n > n

0

mamy S

n

− S

n

> 4ε.

Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ

(n)

j

}

p

n

j=1

oraz {η

(n)

j

}

p

n

j=1

tak

aby f (ξ

(n)

j

) < m

(n)
j

+

ε

b−a

oraz f (η

(n)

j

) > M

(n)

j

−

ε

b−a

Wówczas

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) −

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) > 2ε

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S

n

≤ S

n

≤ S

n

wnioskujemy istnienie granicy lim

n→∞

S

n

niezaleznej od wyboru normalnego

ciągu podziałów.

Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

lim

n→∞

S

n

− lim

n→∞

S

n

> 6ε.

Wówczas istnieje n

0

takie, że dla n > n

0

mamy S

n

− S

n

> 4ε.

Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ

(n)

j

}

p

n

j=1

oraz {η

(n)

j

}

p

n

j=1

tak

aby f (ξ

(n)

j

) < m

(n)
j

+

ε

b−a

oraz f (η

(n)

j

) > M

(n)

j

−

ε

b−a

Wówczas

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) −

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) > 2ε

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S

n

≤ S

n

≤ S

n

wnioskujemy istnienie granicy lim

n→∞

S

n

niezaleznej od wyboru normalnego

ciągu podziałów.

Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

lim

n→∞

S

n

− lim

n→∞

S

n

> 6ε.

Wówczas istnieje n

0

takie, że dla n > n

0

mamy S

n

− S

n

> 4ε.

Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ

(n)

j

}

p

n

j=1

oraz {η

(n)

j

}

p

n

j=1

tak

aby f (ξ

(n)

j

) < m

(n)
j

+

ε

b−a

oraz f (η

(n)

j

) > M

(n)

j

−

ε

b−a

Wówczas

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) −

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) > 2ε

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
S

n

≤ S

n

≤ S

n

wnioskujemy istnienie granicy lim

n→∞

S

n

niezaleznej od wyboru normalnego

ciągu podziałów.

Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

lim

n→∞

S

n

− lim

n→∞

S

n

> 6ε.

Wówczas istnieje n

0

takie, że dla n > n

0

mamy S

n

− S

n

> 4ε.

Możemy wybrać ciągi punktów pośrednich {ξ

(n)

j

}

p

n

j=1

oraz {η

(n)

j

}

p

n

j=1

tak

aby f (ξ

(n)

j

) < m

(n)
j

+

ε

b−a

oraz f (η

(n)

j

) > M

(n)

j

−

ε

b−a

Wówczas

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) −

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) > 2ε

CAŁKA OZNACZONA

Przechodząc do granicy otrzymamy

lim

n→∞

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

)− lim

n→∞

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) ≥ 2ε > ε > 0.

Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.

WNIOSEK 369

Jeżeli dla funkcji f : [a, b] −→ R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziału [a, b] dla każdego ε > 0 istnieje n takie, że S

n

− S

n

< ε to f

jest całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciągu podziałów. Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje n
takie, że S

n

− S

n

< ε to lim

n→∞

S

n

= lim

n→∞

S

n

.

CAŁKA OZNACZONA

Przechodząc do granicy otrzymamy

lim

n→∞

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

)− lim

n→∞

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) ≥ 2ε > ε > 0.

Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.

WNIOSEK 369

Jeżeli dla funkcji f : [a, b] −→ R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziału [a, b] dla każdego ε > 0 istnieje n takie, że S

n

− S

n

< ε to f

jest całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciągu podziałów. Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje n
takie, że S

n

− S

n

< ε to lim

n→∞

S

n

= lim

n→∞

S

n

.

CAŁKA OZNACZONA

Przechodząc do granicy otrzymamy

lim

n→∞

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

)− lim

n→∞

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) ≥ 2ε > ε > 0.

Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.

WNIOSEK 369

Jeżeli dla funkcji f : [a, b] −→ R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziału [a, b] dla każdego ε > 0 istnieje n takie, że S

n

− S

n

< ε to f

jest całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciągu podziałów. Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje n
takie, że S

n

− S

n

< ε to lim

n→∞

S

n

= lim

n→∞

S

n

.

CAŁKA OZNACZONA

Przechodząc do granicy otrzymamy

lim

n→∞

p

n

P

j=1

f (ξ

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

)− lim

n→∞

p

n

P

j=1

f (η

(n)

j

)(x

(n)
j−1

, x

(n)
j

) ≥ 2ε > ε > 0.

Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.

WNIOSEK 369

Jeżeli dla funkcji f : [a, b] −→ R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziału [a, b] dla każdego ε > 0 istnieje n takie, że S

n

− S

n

< ε to f

jest całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciągu podziałów. Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje n
takie, że S

n

− S

n

< ε to lim

n→∞

S

n

= lim

n→∞

S

n

.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 370

Niech funkcja f b

,

edzie określona na przedziale zamkni

,

etym [a, b] i ci

,

agła

wtedy istnieje całk

,

a Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].

DOWÓD:

Funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnego dodatniego ε istnieje
δ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <

ε

2(b−a)

.

Niech {∆

n

}

∞

n=1

b

,

edzie normalnym ci

,

agiem podziałów przedziału [a, b]

Istnieje n

0

takie, że dla wszystkich n > n

0

mamy δ

n

= δ(∆

n

) < δ.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 370

Niech funkcja f b

,

edzie określona na przedziale zamkni

,

etym [a, b] i ci

,

agła

wtedy istnieje całk

,

a Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].

DOWÓD:

Funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnego dodatniego ε istnieje
δ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <

ε

2(b−a)

.

Niech {∆

n

}

∞

n=1

b

,

edzie normalnym ci

,

agiem podziałów przedziału [a, b]

Istnieje n

0

takie, że dla wszystkich n > n

0

mamy δ

n

= δ(∆

n

) < δ.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 370

Niech funkcja f b

,

edzie określona na przedziale zamkni

,

etym [a, b] i ci

,

agła

wtedy istnieje całk

,

a Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].

DOWÓD:

Funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnego dodatniego ε istnieje
δ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <

ε

2(b−a)

.

Niech {∆

n

}

∞

n=1

b

,

edzie normalnym ci

,

agiem podziałów przedziału [a, b]

Istnieje n

0

takie, że dla wszystkich n > n

0

mamy δ

n

= δ(∆

n

) < δ.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 370

Niech funkcja f b

,

edzie określona na przedziale zamkni

,

etym [a, b] i ci

,

agła

wtedy istnieje całk

,

a Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].

DOWÓD:

Funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnego dodatniego ε istnieje
δ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <

ε

2(b−a)

.

Niech {∆

n

}

∞

n=1

b

,

edzie normalnym ci

,

agiem podziałów przedziału [a, b]

Istnieje n

0

takie, że dla wszystkich n > n

0

mamy δ

n

= δ(∆

n

) < δ.

CAŁKA OZNACZONA

Dla takich n zachodzi nierówność

S

n

− S

n

=

p

n

P

k=1

(M

(n)

k

− m

(n)
k

)(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) ≤

p

n

P

k=1

ε

b−a

(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) = ε.

Wynika stąd, że lim

n→∞

S

n

− S

n

= 0.

Z istnienia granic lim

n→∞

S

n

oraz lim

n→∞

S

n

wynika ich równość i istnienie

całki.

TWIERDZENIE 371

Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

Dla takich n zachodzi nierówność

S

n

− S

n

=

p

n

P

k=1

(M

(n)

k

− m

(n)
k

)(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) ≤

p

n

P

k=1

ε

b−a

(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) = ε.

Wynika stąd, że lim

n→∞

S

n

− S

n

= 0.

Z istnienia granic lim

n→∞

S

n

oraz lim

n→∞

S

n

wynika ich równość i istnienie

całki.

TWIERDZENIE 371

Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

Dla takich n zachodzi nierówność

S

n

− S

n

=

p

n

P

k=1

(M

(n)

k

− m

(n)
k

)(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) ≤

p

n

P

k=1

ε

b−a

(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) = ε.

Wynika stąd, że lim

n→∞

S

n

− S

n

= 0.

Z istnienia granic lim

n→∞

S

n

oraz lim

n→∞

S

n

wynika ich równość i istnienie

całki.

TWIERDZENIE 371

Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

Dla takich n zachodzi nierówność

S

n

− S

n

=

p

n

P

k=1

(M

(n)

k

− m

(n)
k

)(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) ≤

p

n

P

k=1

ε

b−a

(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) = ε.

Wynika stąd, że lim

n→∞

S

n

− S

n

= 0.

Z istnienia granic lim

n→∞

S

n

oraz lim

n→∞

S

n

wynika ich równość i istnienie

całki.

TWIERDZENIE 371

Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

Dla takich n zachodzi nierówność

S

n

− S

n

=

p

n

P

k=1

(M

(n)

k

− m

(n)
k

)(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) ≤

p

n

P

k=1

ε

b−a

(x

(n)
k

− x

(n)
k−1

) = ε.

Wynika stąd, że lim

n→∞

S

n

− S

n

= 0.

Z istnienia granic lim

n→∞

S

n

oraz lim

n→∞

S

n

wynika ich równość i istnienie

całki.

TWIERDZENIE 371

Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c ∈ (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech {∆

0

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś

{∆

00

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].

Określamy {∆

n

}

∞

n=1

jako ∆

n

= {y

n

k

}

p

0
n

+p

00
n

k=0

,

gdzie y

k

=

(

x

(n)0
k

gdy

k ≤ p

0

n

x

(n)00
k−p

0

n

gdy

k > p

0

n

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].

Wówczas S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

oraz

S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

Stąd

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f )

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech {∆

0

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś

{∆

00

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].

Określamy {∆

n

}

∞

n=1

jako ∆

n

= {y

n

k

}

p

0
n

+p

00
n

k=0

,

gdzie y

k

=

(

x

(n)0
k

gdy

k ≤ p

0

n

x

(n)00
k−p

0

n

gdy

k > p

0

n

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].

Wówczas S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

oraz

S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

Stąd

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f )

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech {∆

0

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś

{∆

00

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].

Określamy {∆

n

}

∞

n=1

jako ∆

n

= {y

n

k

}

p

0
n

+p

00
n

k=0

,

gdzie y

k

=

(

x

(n)0
k

gdy

k ≤ p

0

n

x

(n)00
k−p

0

n

gdy

k > p

0

n

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].

Wówczas S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

oraz

S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

Stąd

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f )

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech {∆

0

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś

{∆

00

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].

Określamy {∆

n

}

∞

n=1

jako ∆

n

= {y

n

k

}

p

0
n

+p

00
n

k=0

,

gdzie y

k

=

(

x

(n)0
k

gdy

k ≤ p

0

n

x

(n)00
k−p

0

n

gdy

k > p

0

n

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].

Wówczas S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

oraz

S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

Stąd

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f )

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech {∆

0

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś

{∆

00

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].

Określamy {∆

n

}

∞

n=1

jako ∆

n

= {y

n

k

}

p

0
n

+p

00
n

k=0

,

gdzie y

k

=

(

x

(n)0
k

gdy

k ≤ p

0

n

x

(n)00
k−p

0

n

gdy

k > p

0

n

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].

Wówczas S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

oraz

S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

Stąd

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f )

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech {∆

0

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś

{∆

00

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].

Określamy {∆

n

}

∞

n=1

jako ∆

n

= {y

n

k

}

p

0
n

+p

00
n

k=0

,

gdzie y

k

=

(

x

(n)0
k

gdy

k ≤ p

0

n

x

(n)00
k−p

0

n

gdy

k > p

0

n

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].

Wówczas S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

oraz

S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

Stąd

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f )

CAŁKA OZNACZONA

DOWÓD:

Niech {∆

0

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś

{∆

00

n

}

∞

n=1

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].

Określamy {∆

n

}

∞

n=1

jako ∆

n

= {y

n

k

}

p

0
n

+p

00
n

k=0

,

gdzie y

k

=

(

x

(n)0
k

gdy

k ≤ p

0

n

x

(n)00
k−p

0

n

gdy

k > p

0

n

jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].

Wówczas S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

oraz

S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f )

Stąd

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) = S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f )

CAŁKA OZNACZONA

Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.

Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.

Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆

000

przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ

000

M.

Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.

Mamy dla dowolnego {∆

000

n

} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]

0 ≤ S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

) ≤

≤ S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f ) + 4δ

000

n

M

CAŁKA OZNACZONA

Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.

Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.

Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆

000

przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ

000

M.

Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.

Mamy dla dowolnego {∆

000

n

} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]

0 ≤ S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

) ≤

≤ S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f ) + 4δ

000

n

M

CAŁKA OZNACZONA

Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.

Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.

Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆

000

przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ

000

M.

Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.

Mamy dla dowolnego {∆

000

n

} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]

0 ≤ S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

) ≤

≤ S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f ) + 4δ

000

n

M

CAŁKA OZNACZONA

Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.

Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.

Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆

000

przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ

000

M.

Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.

Mamy dla dowolnego {∆

000

n

} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]

0 ≤ S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

) ≤

≤ S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f ) + 4δ

000

n

M

CAŁKA OZNACZONA

Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.

Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.

Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału ∆

000

przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2δ

000

M.

Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.

Mamy dla dowolnego {∆

000

n

} normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]

0 ≤ S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

) ≤

≤ S(∆

0

n

, f ) − S(∆

0

n

, f ) + S(∆

00

n

, f ) − S(∆

00

n

, f ) + 4δ

000

n

M

CAŁKA OZNACZONA

Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

)}

i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].

WNIOSEK 372

Niech funkcja ograniczona f b

,

edzie określona na przedziale zamkni

,

etym

[a, b] i ci

,

agła poza skończon

,

a ilości

,

a punktów wtedy istnieje całk

,

a

Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].

DOWÓD:

Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).

CAŁKA OZNACZONA

Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

)}

i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].

WNIOSEK 372

Niech funkcja ograniczona f b

,

edzie określona na przedziale zamkni

,

etym

[a, b] i ci

,

agła poza skończon

,

a ilości

,

a punktów wtedy istnieje całk

,

a

Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].

DOWÓD:

Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).

CAŁKA OZNACZONA

Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

)}

i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].

WNIOSEK 372

Niech funkcja ograniczona f b

,

edzie określona na przedziale zamkni

,

etym

[a, b] i ci

,

agła poza skończon

,

a ilości

,

a punktów wtedy istnieje całk

,

a

Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].

DOWÓD:

Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).

CAŁKA OZNACZONA

Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

)}

i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].

WNIOSEK 372

Niech funkcja ograniczona f b

,

edzie określona na przedziale zamkni

,

etym

[a, b] i ci

,

agła poza skończon

,

a ilości

,

a punktów wtedy istnieje całk

,

a

Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].

DOWÓD:

Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).

CAŁKA OZNACZONA

Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(∆

000

n

) − S(∆

000

n

)}

i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].

WNIOSEK 372

Niech funkcja ograniczona f b

,

edzie określona na przedziale zamkni

,

etym

[a, b] i ci

,

agła poza skończon

,

a ilości

,

a punktów wtedy istnieje całk

,

a

Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].

DOWÓD:

Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).

CAŁKA OZNACZONA

Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <

ε
2

i dowolnego {∆

n

} normalnego ciągu

podziałów [a, b] mamy

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) ≤

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) + 2δ

n

M +

ε
4

,

gdzie x

n

q

n

≤ b − η < x

n

q

n

+1

.

Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n

0

dla n > n

0

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) <

ε
4

oraz

δ

n

<

ε

8M

Reasumując S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) < ε.

Zatem f jest całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <

ε
2

i dowolnego {∆

n

} normalnego ciągu

podziałów [a, b] mamy

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) ≤

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) + 2δ

n

M +

ε
4

,

gdzie x

n

q

n

≤ b − η < x

n

q

n

+1

.

Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n

0

dla n > n

0

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) <

ε
4

oraz

δ

n

<

ε

8M

Reasumując S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) < ε.

Zatem f jest całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <

ε
2

i dowolnego {∆

n

} normalnego ciągu

podziałów [a, b] mamy

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) ≤

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) + 2δ

n

M +

ε
4

,

gdzie x

n

q

n

≤ b − η < x

n

q

n

+1

.

Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n

0

dla n > n

0

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) <

ε
4

oraz

δ

n

<

ε

8M

Reasumując S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) < ε.

Zatem f jest całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <

ε
2

i dowolnego {∆

n

} normalnego ciągu

podziałów [a, b] mamy

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) ≤

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) + 2δ

n

M +

ε
4

,

gdzie x

n

q

n

≤ b − η < x

n

q

n

+1

.

Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n

0

dla n > n

0

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) <

ε
4

oraz

δ

n

<

ε

8M

Reasumując S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) < ε.

Zatem f jest całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <

ε
2

i dowolnego {∆

n

} normalnego ciągu

podziałów [a, b] mamy

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) ≤

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) + 2δ

n

M +

ε
4

,

gdzie x

n

q

n

≤ b − η < x

n

q

n

+1

.

Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n

0

dla n > n

0

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) <

ε
4

oraz

δ

n

<

ε

8M

Reasumując S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) < ε.

Zatem f jest całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

Dla dowolnego ε > 0 dla 0 < η <

ε
2

i dowolnego {∆

n

} normalnego ciągu

podziałów [a, b] mamy

S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) ≤

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) + 2δ

n

M +

ε
4

,

gdzie x

n

q

n

≤ b − η < x

n

q

n

+1

.

Z ciągłości funkcji f na [a, b − η] istnieje n

0

dla n > n

0

q

n

P

j=1

(M

(n)

j

− m

(n)
j

)(x

(n)
j

− x

(n)
j−1

) <

ε
4

oraz

δ

n

<

ε

8M

Reasumując S(∆

n

, f ) − S(∆

n

, f ) < ε.

Zatem f jest całkowalna na [a, b].

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 373

Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Rozważmy normalny ciąg podziałów {x

(n)
j

}

n
j=0

określony wzorem

x

(n)
j

= a + j

b−a

n

.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.

Mamy S

n

− S

n

=

b−a

n

n

P

j=1

M

(n)

j

− m

(n)
j

=

b−a

n

n

P

j=1

f (x

(n)
j

) − f (x

(n)
j−1

=

b−a

n

(f (b) − f (a)).

Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 373

Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Rozważmy normalny ciąg podziałów {x

(n)
j

}

n
j=0

określony wzorem

x

(n)
j

= a + j

b−a

n

.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.

Mamy S

n

− S

n

=

b−a

n

n

P

j=1

M

(n)

j

− m

(n)
j

=

b−a

n

n

P

j=1

f (x

(n)
j

) − f (x

(n)
j−1

=

b−a

n

(f (b) − f (a)).

Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 373

Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Rozważmy normalny ciąg podziałów {x

(n)
j

}

n
j=0

określony wzorem

x

(n)
j

= a + j

b−a

n

.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.

Mamy S

n

− S

n

=

b−a

n

n

P

j=1

M

(n)

j

− m

(n)
j

=

b−a

n

n

P

j=1

f (x

(n)
j

) − f (x

(n)
j−1

=

b−a

n

(f (b) − f (a)).

Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 373

Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Rozważmy normalny ciąg podziałów {x

(n)
j

}

n
j=0

określony wzorem

x

(n)
j

= a + j

b−a

n

.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.

Mamy S

n

− S

n

=

b−a

n

n

P

j=1

M

(n)

j

− m

(n)
j

=

b−a

n

n

P

j=1

f (x

(n)
j

) − f (x

(n)
j−1

=

b−a

n

(f (b) − f (a)).

Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 373

Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Rozważmy normalny ciąg podziałów {x

(n)
j

}

n
j=0

określony wzorem

x

(n)
j

= a + j

b−a

n

.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.

Mamy S

n

− S

n

=

b−a

n

n

P

j=1

M

(n)

j

− m

(n)
j

=

b−a

n

n

P

j=1

f (x

(n)
j

) − f (x

(n)
j−1

=

b−a

n

(f (b) − f (a)).

Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 373

Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Rozważmy normalny ciąg podziałów {x

(n)
j

}

n
j=0

określony wzorem

x

(n)
j

= a + j

b−a

n

.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.

Mamy S

n

− S

n

=

b−a

n

n

P

j=1

M

(n)

j

− m

(n)
j

=

b−a

n

n

P

j=1

f (x

(n)
j

) − f (x

(n)
j−1

=

b−a

n

(f (b) − f (a)).

Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.

CAŁKA OZNACZONA

TWIERDZENIE 373

Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].

DOWÓD:

Rozważmy normalny ciąg podziałów {x

(n)
j

}

n
j=0

określony wzorem

x

(n)
j

= a + j

b−a

n

.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.

Mamy S

n

− S

n

=

b−a

n

n

P

j=1

M

(n)

j

− m

(n)
j

=

b−a

n

n

P

j=1

f (x

(n)
j

) − f (x

(n)
j−1

=

b−a

n

(f (b) − f (a)).

Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.