Egzamin dla Aktuariuszy z 23 października 1999 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
3
var
),
3
;
3
(
3
var
),
1
;
3
(
=
≅
=
Γ
≅
Y
N
Y
X
X
→
−
=
1
3
)
,
cov(
Y
X
liniowo zaleŜne
X=aY+b, z tego musi być normalny a nie jest
Z tego wynika sprzeczność
Czyli podane informacje o parze zmiennych losowych są sprzeczne
Zadanie 2
11
10
.....
10
20
0
9
10
1
10
9
...
8
17
2
9
18
1
=
=
+
+
+
+
⋅
=
ODP
Zadanie 3
(
)
51
4
51
9
4
9
1
2
2
=
⋅
⋅
=
∩
A
T
K
P
(
)
51
16
51
9
)
4
12
(
9
1
2
=
⋅
+
=
A
K
P
(
)
51
13
51
9
13
9
1
2
=
⋅
⋅
=
A
T
P
NIE
(
)
51
4
51
9
4
9
1
2
2
=
⋅
⋅
=
∩
B
T
K
P
(
)
3
1
51
17
51
9
)
4
13
(
9
1
2
=
=
⋅
+
=
B
K
P
(
)
51
12
51
9
12
9
1
2
=
⋅
⋅
=
B
T
P
TAK
bo
51
4
51
12
3
1
=
czyli odpowiedź B jest prawidłowa
Zadanie 4
t
e
f
12
13
min
12
13
−
=
∫ ∫
∞ ∞
−
−
=
=
0
12
13
48
,
0
12
13
x
x
y
dydx
e
e
ODP
Zadanie 5
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
5
,
0
5
,
0
1
1
1
1
=
−
=
−
=
−
=
−
+
=
=
=
µ
µ
ε
P
ε
X
E
ε
P
ε
X
E
X
ε
E
i
i
i
i
i
i
i
i
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
µ
σ
ε
P
ε
X
E
ε
P
ε
X
E
X
ε
E
i
i
i
i
i
i
i
i
+
=
−
=
−
=
+
=
=
=
(
)
2
2
var
µ
σ
X
ε
i
i
+
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
−
=
−
=
−
+
=
=
=
1
1
1
1
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
ε
ε
P
ε
ε
X
X
E
ε
ε
P
ε
ε
X
X
E
X
X
ε
ε
E
