Ci
ągłe zmienne losowe
Definicja.
Zmienn
ą losową X nazywamy
ci
ągłą
zmienn
ą losową, jeśli istnieje nieujemna funkcja f, zwana
g
ęstością
, taka
że dla dowolnych a, b ,
b
a
,
b
a
dx
x
f
b
X
a
P
)
(
)
(
.
Definicja.
Funkcję
x
ds
s
f
x
F
)
(
)
(
,
)
,
(
x
,
nazywamy
dystrybuantą
zmiennej losowej X.
)
(
)
(
x
X
P
x
F
,
dla każdego x
1
)
(
)
(
)
(
ds
s
f
X
P
X
P
0
)
(
x
f
, dla każdego x
0
)
(
c
X
P
, dla każdej stałej c
Stwierdzenie.
Dla ci
ągłej zmiennej losowej o
dystrybuancie F zachodzi
)
(
)
(
)
(
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P
=
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
b
X
a
P
.
D.
0
)
(
)
(
a
X
P
b
X
P
. Zatem do
łączenie lub
usuni
ęcie brzegu przedziału nie wpływa na wartość
prawdopodobie
ństwa, np.
}
{
}
{
)
,
(
]
,
[
b
a
b
a
b
a
,
)
(
)
(
)
(
)
(
b
X
P
a
X
P
b
X
a
P
b
X
a
P
,
)
(
)
(
a
F
b
F
)
(
b
X
a
P
.
Twierdzenie
. Je
śli gęstość zmiennej losowej X jest
funkcj
ą ciągłą, to dla każdego x zachodzi
)
(
)
(
'
x
f
x
F
.
D
.
)
(
)
(
)
(
x
f
ds
s
f
dx
d
x
F
x
.
Definicja.
Funkcja
),
,
(
),
(
x
x
f
spe
łniająca
warunki:
0
)
(
x
f
,
),
,
(
x
,
1
)
( dx
x
f
nazywana jest g
ęstością.
Przyk
ład.
Dla jakiej warto
ści stałej A funkcja
0
)
(
2
Ax
x
f
dla
).
1
,
0
(
),
1
,
0
(
x
x
jest g
ęstością zmiennej losowej ?
0
)
(
x
f
, stąd A - nieujemne
.
1
)
0
3
/
1
(
0
1
)
3
/
(
)
(
1
0
3
2
A
x
A
dx
Ax
dx
x
f
A = 3
Przyk
ład.
Zmienna losowa X ma g
ęstość
0
2
/
1
)
(x
f
dla
)
2
,
0
(
)
2
,
0
(
x
x
Wówczas dystrybuanta ma posta
ć:
1
5
,
0
0
)
(
x
x
F
dla
.
2
,
2
0
,
0
x
x
x
Niech
.
2
0
x
x
x
x
x
x
s
ds
ds
s
f
x
F
0
.
5
,
0
)
0
(
5
,
0
0
5
,
0
5
,
0
)
(
)
(
Niech
.
2
x
x
ds
ds
s
f
x
F
.
1
5
,
0
2
5
,
0
)
(
)
(
2
0
1
5
,
0
0
)
(
x
x
F
dla
.
2
,
2
0
,
0
x
x
x
Przykład.
Niech gęstość ma postać
0
3
/
2
)
(
2
x
x
f
dla
)
1
,
0
(
1
0
x
x
.
Niech
.
0
x
x
ds
x
F
0
)
(
= 0.
Niech
1
0
x
.
x
x
x
x
ds
s
ds
s
f
x
X
P
x
F
0
3
2
.
3
1
3
2
)
3
2
(
)
(
)
(
)
(
F(1) =
1
)
1
(
X
P
. St
ąd F(x) = 1, dla
1
x
.
1
)
2
(
3
1
0
)
(
3
x
x
x
F
dla
.
1
,
1
0
,
0
x
x
x
375
,
0
1
)
5
,
0
(
1
)
5
,
0
(
1
)
5
,
0
(
F
X
P
X
P
=
= 0,625.
Wska
źniki położenia i rozproszenia dla
ci
ągłych zmiennych losowych
Definicja.
Warto
ścią średnią
( oczekiwan
ą ) ciągłej
zmiennej losowej X maj
ącej gęstość f nazywamy liczbę
ds
s
sf
X
)
(
Definicja.
Niech X b
ędzie ciągłą zmienną losową o
g
ęstości f, a h funkcją określoną na zbiorze wartości X.
Wówczas
warto
ścią oczekiwaną
(
średnią ) zmiennej
losowej
)
( X
h
Y
nazywamy liczb
ę
ds
s
f
s
h
Y
)
(
)
(
.
( je
śli całka istnieje ).
Stwierdzenie.
b
a
X
b
aX
D.
b
aX
X
h
Y
)
(
.
ds
s
f
b
ds
s
sf
a
ds
s
f
b
as
Y
)
(
)
(
)
(
)
(
=
.
b
a
X
Definicja.
Wariancją
ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f
nazywamy liczbę
ds
s
f
s
X
X
)
(
)
(
2
2
Odchylenie standardowe:
2
X
X
.
Uwaga.
Z definicji wariancji oraz wartości oczekiwanej funkcji
zmiennej losowej
2
2
)
(
X
X
X
E
Twierdzenie
.
Jeśli ciągła zmienna losowa ma
wariancję, to dla dowolnych liczb a, b zachodzą wzory
2
2
2
X
b
aX
a
2
2
2
X
X
X
.
D.
2
2
2
))
(
(
)
(
b
a
b
aX
E
b
aX
E
X
b
aX
b
aX
.
)
(
)
)
(
(
)
(
2
2
2
2
2
X
X
X
X
E
a
X
a
E
a
aX
E
)
2
(
)
(
2
2
2
X
X
X
X
X
E
X
E
.
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
2
X
X
X
X
X
E
X
E
Stwierdzenie.
(
standaryzacja
)
Jeśli zmienna losowa
X
ma wartość średnią
X
oraz
wariancję
2
X
, to standaryzowana zmienna losowa
Z
ma wartość średnią
0
i wariancję
1
.
D.
)
(
X
X
Z
X
E
))
(
1
(
X
X
X
E
=
.
0
))
(
)
(
(
1
)
(
1
X
E
X
E
X
E
X
X
X
.
1
)
(
1
)
(
2
2
2
2
X
X
X
X
Z
X
E
X
E
Przyk
łady ciągłych zmiennych losowych
Zmienna losowa o rozk
ładzie normalnym
2
2
2
/
)
(
2
1
)
(
x
e
x
f
,
x
Twierdzenie.
Niech
)
,
(
~
N
X
,
X
Z
.
Wówczas
)
1
,
0
(
~ N
Z
X
,
2
2
X
D.
)
(
)
(
)
(
z
X
P
z
X
P
z
Z
P
=
dx
e
z
x
2
)
(
)
2
/
1
(
2
1
=
( podstawienie
x
y
)
=
z
y
z
dy
e
).
(
2
1
2
)
2
/
1
(
,
0
)
( dz
z
z
Z
( bo funkcja podca
łkowa jest
nieparzysta
:
),
(
)
(
z
z
sk
ąd
)
(
)]
(
[
z
z
z
z
).
1
2
Z
( bez dowodu )
0
Z
0
X
E
. Zatem
X
E
-
E
=
0
)
(
1
X
E
, czyli
)
( X
E
1
1
)
(
1
2
2
2
2
2
2
X
Z
X
E
X
E
2
2
X
Twierdzenie
Je
śli
)
,
(
~
N
X
,
,
b
aX
Y
to
)
,
(
~
2
2
a
b
a
N
Y
.
Zmienna losowa o rozk
ładzie jednostajnym.
Zmienna losowa X ma rozk
ład
jednostajny
na przedziale
[0,1] (
notacja
:
)
1
,
0
(
~ U
X
), je
śli ma gęstość:
0
1
)
(x
f
dla
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
x
x
.
x
x
ds
s
f
x
F
1
0
)
(
)
(
dla
1
]
1
,
0
[
0
x
x
x
.
Zmienna losowa X ma rozk
ład
jednostajny na
przedziale [a,b],
je
śli ma gęstość:
0
)
/(
1
)
(
a
b
x
f
dla
]
,
[
]
,
[
b
a
x
b
a
x
2
b
a
X
,
12
2
2
a
b
X
Zmienna losowa o rozk
ładzie wykładniczym
Niech
t
X
ma rozk
ład Poissona
)
( t
P
( liczba zdarze
ń
w przedziale czasu [0,t] ). Wówczas
czas oczekiwania
na
zdarzenie jest zmienn
ą losową
T
, tak
ą że
t
t
t
e
t
e
X
P
t
T
P
!
0
)
(
)
0
(
)
(
0
, dla
.
0
t
Zmienna losowa
T
ma
dystrybuant
ę
t
e
t
T
P
t
F
1
0
)
(
1
)
(
dla
0
0
t
t
Zmienna losowa ma rozk
ład
wyk
ładniczy
, je
śli ma
g
ęstość
)
(
)
(
t
F
t
f
:
t
e
t
f
0
)
(
dla
0
0
t
t
.
0
0
0
dx
e
xe
dx
e
x
x
x
x
T
=
1
0
0
x
e
,
2
2
2
2
2
1
1
2
2
T
T
T
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
zmienne losowe ciagle 2 id 5914 Nieznany
zmienne losowe ciagle 2 id 5914 Nieznany
zmienne losowe dyskretne id 591 Nieznany
zmienne losowe dyskretne id 591 Nieznany
zmienne losowe gestosci typu ci Nieznany
Pomiary napiec zmiennych id 374 Nieznany
zmienna zalezna i niezalezna id Nieznany
4IMIR prady zmienne id 39330 Nieznany (2)
AM2 11 Zamiana zmiennych id 587 Nieznany (2)
MM ETK W04 zmiennestanu id 3442 Nieznany
Pradnica pradu zmiennego id 382 Nieznany
6 zmienna losowa id 44007 Nieznany
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ id 1820 Nieznany
miary zmiennosci id 298408 Nieznany
5 napieci zmienne cw5 id 60977 Nieznany (2)
Przekształcenia ciągłe zmiennej losowej
więcej podobnych podstron