Ci
ągłe zmienne losowe
Definicja.
Zmienn
ą losową X nazywamy
ci
ągłą
zmienn
ą losową, jeśli istnieje nieujemna funkcja f, zwana
g
ęstością
, taka
że dla dowolnych a, b ,
b
a
,
b
a
dx
x
f
b
X
a
P
)
(
)
(
.
Ci
ągłe zmienne losowe
Definicja.
Zmienn
ą losową X nazywamy
ci
ągłą
zmienn
ą losową, jeśli istnieje nieujemna funkcja f, zwana
g
ęstością
, taka
że dla dowolnych a, b ,
b
a
,
b
a
dx
x
f
b
X
a
P
)
(
)
(
.
Definicja.
Funkcję
x
ds
s
f
x
F
)
(
)
(
,
)
,
(
x
,
nazywamy
dystrybuantą
zmiennej losowej X.
)
(
)
(
x
X
P
x
F
,
dla każdego x
1
)
(
)
(
)
(
ds
s
f
X
P
X
P
0
)
(
x
f
, dla każdego x
0
)
(
c
X
P
, dla każdej stałej c
Stwierdzenie.
Dla ci
ągłej zmiennej losowej o
dystrybuancie F zachodzi
)
(
)
(
)
(
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P
=
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
b
X
a
P
.
D.
0
)
(
)
(
a
X
P
b
X
P
. Zatem do
łączenie lub
usuni
ęcie brzegu przedziału nie wpływa na wartość
prawdopodobie
ństwa, np.
}
{
}
{
)
,
(
]
,
[
b
a
b
a
b
a
,
)
(
)
(
)
(
)
(
b
X
P
a
X
P
b
X
a
P
b
X
a
P
,
)
(
)
(
a
F
b
F
)
(
b
X
a
P
.
Twierdzenie
. Je
śli gęstość zmiennej losowej X jest
funkcj
ą ciągłą, to dla każdego x zachodzi
)
(
)
(
'
x
f
x
F
.
D
.
)
(
)
(
)
(
x
f
ds
s
f
dx
d
x
F
x
.
Definicja.
Funkcja
),
,
(
),
(
x
x
f
spe
łniająca
warunki:
0
)
(
x
f
,
),
,
(
x
,
1
)
( dx
x
f
nazywana jest g
ęstością.
Przyk
ład.
Dla jakiej warto
ści stałej A funkcja
0
)
(
2
Ax
x
f
dla
).
1
,
0
(
),
1
,
0
(
x
x
jest g
ęstością zmiennej losowej ?
0
)
(
x
f
, stąd A - nieujemne
.
1
)
0
3
/
1
(
0
1
)
3
/
(
)
(
1
0
3
2
A
x
A
dx
Ax
dx
x
f
A = 3
Przyk
ład.
Zmienna losowa X ma g
ęstość
0
2
/
1
)
(x
f
dla
)
2
,
0
(
)
2
,
0
(
x
x
Wówczas dystrybuanta ma posta
ć:
1
5
,
0
0
)
(
x
x
F
dla
.
2
,
2
0
,
0
x
x
x
Niech
.
2
0
x
x
x
x
x
x
s
ds
ds
s
f
x
F
0
.
5
,
0
)
0
(
5
,
0
0
5
,
0
5
,
0
)
(
)
(
Niech
.
2
x
x
ds
ds
s
f
x
F
.
1
5
,
0
2
5
,
0
)
(
)
(
2
0
1
5
,
0
0
)
(
x
x
F
dla
.
2
,
2
0
,
0
x
x
x
Przykład.
Niech gęstość ma postać
0
3
/
2
)
(
2
x
x
f
dla
)
1
,
0
(
1
0
x
x
.
Niech
.
0
x
x
ds
x
F
0
)
(
= 0.
Niech
1
0
x
.
x
x
x
x
ds
s
ds
s
f
x
X
P
x
F
0
3
2
.
3
1
3
2
)
3
2
(
)
(
)
(
)
(
F(1) =
1
)
1
(
X
P
. St
ąd F(x) = 1, dla
1
x
.
1
)
2
(
3
1
0
)
(
3
x
x
x
F
dla
.
1
,
1
0
,
0
x
x
x
375
,
0
1
)
5
,
0
(
1
)
5
,
0
(
1
)
5
,
0
(
F
X
P
X
P
=
= 0,625.
Wska
źniki położenia i rozproszenia dla
ci
ągłych zmiennych losowych
Definicja.
Warto
ścią średnią
( oczekiwan
ą ) ciągłej
zmiennej losowej X maj
ącej gęstość f nazywamy liczbę
ds
s
sf
X
)
(
Definicja.
Niech X b
ędzie ciągłą zmienną losową o
g
ęstości f, a h funkcją określoną na zbiorze wartości X.
Wówczas
warto
ścią oczekiwaną
(
średnią ) zmiennej
losowej
)
( X
h
Y
nazywamy liczb
ę
ds
s
f
s
h
Y
)
(
)
(
.
( je
śli całka istnieje ).
Stwierdzenie.
b
a
X
b
aX
D.
b
aX
X
h
Y
)
(
.
ds
s
f
b
ds
s
sf
a
ds
s
f
b
as
Y
)
(
)
(
)
(
)
(
=
.
b
a
X
Definicja.
Wariancją
ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f
nazywamy liczbę
ds
s
f
s
X
X
)
(
)
(
2
2
Odchylenie standardowe:
2
X
X
.
Uwaga.
Z definicji wariancji oraz wartości oczekiwanej funkcji
zmiennej losowej
2
2
)
(
X
X
X
E
Twierdzenie
.
Jeśli ciągła zmienna losowa ma
wariancję, to dla dowolnych liczb a, b zachodzą wzory
2
2
2
X
b
aX
a
2
2
2
X
X
X
.
D.
2
2
2
))
(
(
)
(
b
a
b
aX
E
b
aX
E
X
b
aX
b
aX
.
)
(
)
)
(
(
)
(
2
2
2
2
2
X
X
X
X
E
a
X
a
E
a
aX
E
)
2
(
)
(
2
2
2
X
X
X
X
X
E
X
E
.
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
2
X
X
X
X
X
E
X
E
Stwierdzenie.
(
standaryzacja
)
Jeśli zmienna losowa
X
ma wartość średnią
X
oraz
wariancję
2
X
, to standaryzowana zmienna losowa
Z
ma wartość średnią
0
i wariancję
1
.
D.
)
(
X
X
Z
X
E
))
(
1
(
X
X
X
E
=
.
0
))
(
)
(
(
1
)
(
1
X
E
X
E
X
E
X
X
X
.
1
)
(
1
)
(
2
2
2
2
X
X
X
X
Z
X
E
X
E
Przyk
łady ciągłych zmiennych losowych
Zmienna losowa o rozk
ładzie normalnym
2
2
2
/
)
(
2
1
)
(
x
e
x
f
,
x
Twierdzenie.
Niech
)
,
(
~
N
X
,
X
Z
.
Wówczas
)
1
,
0
(
~ N
Z
X
,
2
2
X
D.
)
(
)
(
)
(
z
X
P
z
X
P
z
Z
P
=
dx
e
z
x
2
)
(
)
2
/
1
(
2
1
=
( podstawienie
x
y
)
=
z
y
z
dy
e
).
(
2
1
2
)
2
/
1
(
,
0
)
( dz
z
z
Z
( bo funkcja podca
łkowa jest
nieparzysta
:
),
(
)
(
z
z
sk
ąd
)
(
)]
(
[
z
z
z
z
).
1
2
Z
( bez dowodu )
0
Z
0
X
E
. Zatem
X
E
-
E
=
0
)
(
1
X
E
, czyli
)
( X
E
1
1
)
(
1
2
2
2
2
2
2
X
Z
X
E
X
E
2
2
X
Twierdzenie
Je
śli
)
,
(
~
N
X
,
,
b
aX
Y
to
)
,
(
~
2
2
a
b
a
N
Y
.
Zmienna losowa o rozk
ładzie jednostajnym.
Zmienna losowa X ma rozk
ład
jednostajny
na przedziale
[0,1] (
notacja
:
)
1
,
0
(
~ U
X
), je
śli ma gęstość:
0
1
)
(x
f
dla
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
x
x
.
x
x
ds
s
f
x
F
1
0
)
(
)
(
dla
1
]
1
,
0
[
0
x
x
x
.
Zmienna losowa X ma rozk
ład
jednostajny na
przedziale [a,b],
je
śli ma gęstość:
0
)
/(
1
)
(
a
b
x
f
dla
]
,
[
]
,
[
b
a
x
b
a
x
2
b
a
X
,
12
2
2
a
b
X
Zmienna losowa o rozk
ładzie wykładniczym
Niech
t
X
ma rozk
ład Poissona
)
( t
P
( liczba zdarze
ń
w przedziale czasu [0,t] ). Wówczas
czas oczekiwania
na
zdarzenie jest zmienn
ą losową
T
, tak
ą że
t
t
t
e
t
e
X
P
t
T
P
!
0
)
(
)
0
(
)
(
0
, dla
.
0
t
Zmienna losowa
T
ma
dystrybuant
ę
t
e
t
T
P
t
F
1
0
)
(
1
)
(
dla
0
0
t
t
Zmienna losowa ma rozk
ład
wyk
ładniczy
, je
śli ma
g
ęstość
)
(
)
(
t
F
t
f
:
t
e
t
f
0
)
(
dla
0
0
t
t
.
0
0
0
dx
e
xe
dx
e
x
x
x
x
T
=
1
0
0
x
e
,
2
2
2
2
2
1
1
2
2
T
T
T
.