Praca domowa nr 11  z przedmiotu „Rachunek prawdopodobieństwa i Statystyka” 

Zad. 1. Dwuwymiarowa zmienna losowa 





Y

X ,

 ma rozkład skokowy podany w tabeli: 

X              Y 

-1 

0 

1 

1 

1/11 

3/11 

2/11 

3 

3/11 

1/11 

2/11 

Wyznaczyć następujące rozkłady warunkowe: 

a) rozkład zmiennej losowej 

1





Y

X

, b) rozkład zmiennej losowej 

3



X

Y

. 

Zad.  2.  Obliczyć:  a)  wartość oczekiwaną b) drugi moment zwykły, c) wariancję, zmiennej losowej 
z zad. 1 b). 

Zad. 3. Dwuwymiarowa zmienna losowa 





Y

X ,

 ma rozkład o gęstości  danej wzorem: 

 



















. 

p.p

  

w

,

0

,

4

0

 ,

3

0

gdy  

,

18

1

,

x

y

x

y

x

f

 

Wyznaczyć: a) gęstości brzegowe, b) gęstości warunkowe. 

Odpowiedzi: 
Zad. 1: 
a) 

 

 

 

 

 

b) 

i

x  

1 

3

 

 

j

y

 

1



 

0

 

1  

 





1







Y

x

X

P

i

 

4

/

1

 

4

/

3

 

 





3





X

y

Y

P

j

 

2

/

1

 

6

/

1

 

3

/

1

 

 

 

Zad. 2: a) 





6

1

3







X

Y

E

, b) 









6

5

3

3

2

2









X

Y

E

X

Y

E

, c) 





36

29

36

1

6

5

3

2









X

Y

D

. 

Zad. 3: a) 

 

 
 















,

0,3

gdy  

,

0

,

0,3

gdy  

,

9

2

1

x

x

x

x

f

 

 

























,

0,12

gdy  

,

0

,

0,12

gdy  

,

72

1

6

1

2

y

y

y

y

f

 

b) 

 





 

































,

p.p.

   

w

,

0

,

0,12

 

4

0

 ,

3

0

gdy  

,

4

3

1

72

1

6

1

18

1

y

x

y

x

y

y

y

x

f

Y

X



 





12

,

0

gdy 

 

,

4

3

1

3

,

4



















y

x

I

y

y

, 

 





 





























p.p.

   

w

,

0

,

0,3

 

4

0

 ,

3

0

gdy  

,

4

1

9

2

18

1

x

x

y

x

x

x

x

y

f

X

Y







 

 

3

,

0

gdy 

 

,

4

1

4

,

0





x

y

I

x

x

. 

UWAGA:  w  zad.  3  b)  wystarczyłyby  mi odpowiedzi bez użycia funkcji indykator ( I ), choć są one 
niezgrabne (jeśli znajdę czas, to odpowiedzi z indykatorami wyjaśnię na ćwiczeniach lub wykładzie).