2015-04-28

1

Agnieszka Pobłocka, dr

•

Katedra Statystyki

•

Uniwersytet Gdański.

•

[e-mail]

•

Konsultacje:

–

wtorek godz. 8.00 - 9.00

–

czwartek godz. 8.00 - 9.00

•

Uwaga:

–

Konsultacje odbywają się w

pok. 231,

–

Wydział Zarządzania, Uniwersytet Gdański,

–

Ul. Armii Krajowej 101,

–

Sopot

Metody aktuarialne

wykład 5

Kalkulacja składek

ubezpieczeniowych

dr Agnieszka Pobłocka

Katedra Statystyki UG

[e-mail]

Rok akademicki 2014/2015

Program przedmiotu

•

W 5. Metody kalkulacji składek ubezpieczeniowych

–

W ubezpieczeniach typu non-life:

–

W ubezpieczeniach typu life:

Składka ubezpieczeniowa

•

Jednym z najważniejszych problemów prowadzenia działalności ubezpieczeniowej
jest prawidłowa ocena ryzyka ubezpieczeniowego i związana z tym kalkulacja
wysokości składek ubezpieczeniowych.

•

Składka ubezpieczeniowa (ang. premium) to cena, jaką ubezpieczający płaci za
ochronę ubezpieczeniową w okresie ubezpieczenia udzieloną przez zakład
ubezpieczeń

•

Składka zapewnia:

–

środki finansowe na wypłatę odszkodowań i świadczeń,

(tworzenie rezerw techniczno-ubezpieczeniowych i funduszy rezerwowych) oraz

–

na pokrycie kosztów działalności ubezpieczeniowej.

•

Wysokość składki ustala się na podstawie stopy składki.

Składka

ubezpieczeniowa

brutto

Składka netto

Koszty

administracyjne

akwizycji

inkasa składki

korekt

inflacyjnych i

reasekuracyjnych

dodatków na

działalność

prewencyjną

Składka ubezpieczeniowa brutto

•

Składka ubezpieczeniowa brutto składa się z:

–

składki netto – pokrywającej odszkodowania i świadczenia oraz

–

kosztów - związanych z funkcjonowaniem zakładu ubezpieczeń:

•

administracyjnych

•

akwizycji

•

Inkasa składki

•

dodatków na działalność prewencyjną

•

korekty inflacyjnej

–

związanej z realnym spadkiem wartości zebranej składki w czasie

•

i reasekuracyjnej

–

związanej ze skalą i strukturą prowadzonej przez ubezpieczyciela
reasekuracji biernej, itp.

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

2

Składka ubezpieczeniowa

•

Wysokość składki ustala się na podstawie stopy składki.

•

Stopa składki (stopa taryfowa) to należność za roczny okres ochrony
ubezpieczeniowej przypadająca na 1000 (ew. 100) j.p. Sumy Ubezpieczenia (SU).

–

Jeżeli stopa składki przypada na 1000j.p. SU, to wyrażona jest w promilach ⁄

.

–

Jeżeli stopa składki przypada na 100j.p. SU, to wyrażona jest w procentach [%] .

•

Taryfa składek to uporządkowany zbiór stóp składek tzw. "składek taryfowych"
odpowiadający wszystkim oferowanym ryzykom. Dodatkowo taryfa składek zawiera
m.in.:

1.

wysokości zniżek (bonusów) zmniejszających stopień ryzyka

2.

wysokości zwyżek (malusów) zwiększających stopień ryzyka

3.

zwyżki za częstotliwość opłacania składek

4.

wzory na obliczanie składek o okresie ubezpieczenia krótszym niż rok.

Składka ubezpieczeniowa

•

Składki taryfowe

–

zależą do klas ryzyka, do których zaliczany jest objęty ochroną obiekt.

•

Klasy ryzyka

–

w ubezpieczeniach życiowych zależą m.in. od wieku, stanu zdrowia,

uprawianych dyscyplin sportowych, palenia papierosów itp.

–

w ubezpieczeniach majątkowych zależą m.in. od miejsca położenia

ubezpieczanego obiektu, jego wieku i stanu technicznego np. w

ubezpieczeniach samochodowych od pojemności silnika, zabezpieczeń przed

zniszczeniem itd.

•

Wyznaczenie składek w ubezpieczeniach życiowych i majątkowych różnią się znacznie,
gdyż ubezpieczenia życiowe są długoterminowe, a ubezpieczenia majątkowe są

krótkoterminowe.

–

W ubezpieczeniach życiowych znaczny wpływ na wielkość składki posiada

czynnik czasu (dyskonto aktuarialne) wpływający na wzrost wielkości rezerw

techniczno – ubezpieczeniowych i lokat aktuarialnych.

–

W ubezpieczeniach majątkowych okres trwania ochrony ubezpieczenia jest

krótki (zazwyczaj 1 rok) i raczej nie związany z czynnikiem czasu.

Składka

ubezpieczeniowa

Pokrycie

odszkodowań i

świadczeń

oczekiwana

wysokość szkody

dodatek

bezpieczeństwa

(security loading)

kompensacja straty

Pokrycie kosztów

związanych z

funkcjonowaniem

zakładu ubezpieczeń

Metody kompensacji straty

•

Niech:

–

U to suma ubezpieczenia (górna granica odpowiedzialności ubezpieczyciela)

–

Z to szkoda ubezpieczeniowa

–

g(Z) to kompensacja straty Z przez ubezpieczyciela:

   ≤   

•

Z istoty ubezpieczenia wynika także, że:

0   ≤    ( )   ≤   

•

Stąd:

0   ≤    ( )   ≤   min( , ) dla Z > 0

Zasady kompensacji straty c.d.

•

W praktyce ubezpieczeniowej stosuje się następujące zasady (funkcje) kompensacji

straty:

1. Zasada pro-rate:

( )   =    ⋅

,

–

gdzie: V to wartość majątku w momencie realizacji ubezpieczonego ryzyka,
generującego stratę Z

2. Zasada pierwszego ryzyka:

( )   =   

( , )

–

stosowana, gdy trudno jest ustalić wartość V

3. Zasada pełnego pokrycia:

( )

=

Franszyza i jej rodzaje

•

Franszyza (ang. deductible)

–

to udział ubezpieczonego w odszkodowaniu

–

to z góry określona

wartość szkody

, o którą ubezpieczyciel obniża

odszkodowanie, albo za którą w ogóle nie wypłaca odszkodowania

–

jest używana wyłącznie w ubezpieczeniach majątkowych

–

ma na celu ograniczenie liczby i wielkości szkód

–

wpływa na wysokość czystej składki ubezpieczeniowej i wypłacanego
odszkodowania.

•

Franszyza występuje w dwóch postaciach:

–

franszyza integralna (warunkowa)

•

polega na tym, że ubezpieczyciel nie ponosi odpowiedzialności za straty do
pewnej oznaczonej wysokości, a jeśli szkoda przekroczy tę wysokość,
wówczas odszkodowanie wypłaca się w pełnej wysokości

–

franszyza redukcyjna (bezwarunkowa)

•

działa w każdym przypadku i odszkodowanie pomniejszone zostaje zawsze o
oznaczoną część.

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

3

Franszyza integralna (warunkowa)

•

jest to kwota, do wysokości której ubezpieczający sam ponosi ciężar szkody

•

jeżeli wartość szkody przekroczy tę kwotę, to odszkodowanie będzie wypłacone w
pełnej wysokości

•

Przykład 1:
szkoda = 1000, franszyza integralna = 300, odszkodowanie = 1000

•

Przykład 2:
szkoda = 250, franszyza integralna = 300,

odszkodowanie nie będzie wypłacone

•

Przykład 3:
Pani Janka cofając się stłukła tylne światło w swoim samochodzie. ZU wycenił
szkodę na kwotę 200zł i odmówił wypłaty odszkodowania. Czy słusznie postąpił?

Franszyza redukcyjna (bezwarunkowa)

•

jest to

kwota, która będzie potrącana z każdego należnego odszkodowania,

•

jeżeli wartość szkody nie przekroczy tej kwoty, to ubezpieczający sam ponosi
ciężar szkody

•

Przykład 1:
szkoda = 1000, franszyza redukcyjna = 300, odszkodowanie = 1000 – 300 = 700

•

Przykład 2:
szkoda = 250, franszyza redukcyjna = 300,

odszkodowanie nie będzie wypłacone

Funkcje franszyz

•

Stosowanie franszyzy to ważny element selekcji ryzyka ubezpieczeniowego i
ważne narzędzie optymalizacji portfela ubezpieczeń

•

Funkcje franszyz

–

franszyza integralna

•

minimalizuje koszty obsługi szkód przez brak likwidacji drobnych szkód

–

franszyza redukcyjna

•

działa jak „samoubezpieczenie”

•

ma zachęcić ubezpieczonego do zapobiegania powstawaniu szkód i dlatego
nazywana jest „ryzykiem własnym ubezpieczonego”

Udział własny

•

jest to „procent”,

który jest potrącany z każdego należnego odszkodowania

•

Przykład 3:

Pan Tomasz z Gdańska spowodował wiosną niewielką stłuczkę.
Miał wykupione ubezpieczenie AC z udziałem własnym 10%.
Zaoszczędził 300zł przy opłacaniu składki.
Warsztat wycenił szkodę na 2 tys. zł.
Czy dostanie z polisy odszkodowanie? wartość samochodu to 30 tys.zł

•

szkoda = 2000, udział własny = 10 %, suma ubezpieczenia = 30 000,
odszkodowanie = ????

–

Udział własny to procent szkody:

•

Udział własny = 10%* 2000; odszkodowanie = 1800= 2000 - 10%* 2000 = 2000 – 200? czy

–

Udział własny to procent sumy ubezpieczenia:

•

Udział własny = 10%* 30 000 = 3 000,

odszkodowanie = Zero

?

Ograniczenia odpowiedzialności zakładu ubezpieczeń

1.

Udział własny

2.

Franszyza

•

redukcyjna

•

integralna

3.

Górny limit odpowiedzialności – suma ubezpieczenia i suma gwarancyjna

Potrącenie jako metoda kompensacji straty

•

Potrącenie to dalsza redukcja straty w celu:

–

uniknięcia małych wypłat (wysokie koszty administracyjne),

–

ograniczenia liczby szkód i skłonienia ubezpieczonego do zapobiegania stratom i

–

zmniejszenia składki ubezpieczeniowej.

•

Niech:

–

Y = ( ). to pierwotna kompensacja straty , a

–

( ) =

( ) jej potrącenie

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

4

Funkcje potrąceń

•

Funkcje potrąceń:

1. Ubezpieczenie proporcjonalne:

( ) = (1 − ) ⋅ ,

0 <

< 1

2. Ubezpieczenie z franszyzą redukcyjną:

=

−

=

0 dla Y ≤ d

Y−d dla Y > d

gdzie: d > 0

3. Ubezpieczenie z franszyzą redukcyjną i ograniczoną odpowiedzialnością:

( ) =

0 dla Y ≤ d

− dla d < Y < M

dla Y ≥ M

,

gdzie: 0 < d < M < ∞

4. Ubezpieczenie proporcjonalne z franszyzą redukcyjną i ograniczoną

odpowiedzialnością:

( ) =

0 dla Y ≤ d

( − ) dla d < Y < M

(

− ) dla Y ≥ M

, gdzie: 0 < d < M < ∞

Funkcje potrąceń c.d.

•

Funkcje potrąceń:

5. Ubezpieczenie ze znikającą franszyzą redukcyjną:

( ) =

0 dla Y ≤ d1

⋅ ( −

) dla d1< ≤

dla d2 < Y ≤ M

dla >

, gdzie: 0 < d

1

< d

2

< M < ∞

6. Ubezpieczenie z franszyzą integralną:

( ) =

0 dla Y ≤ d

dla Y > d

7. Ubezpieczenie z franszyzą integralną i ograniczoną odpowiedzialnością:

( ) =

0 dla Y ≤ d

dla d < Y < M

dla Y ≥ M

Potrącenie jako metoda kompensacji straty

•

Jeżeli:

•

Y = ( ) to pierwotna kompensacja straty , a jej potrącenie ( ) =

( )

•

to znając rozkład zmiennej losowej Y, łatwo można podać rozkład zmiennej losowej

:

–

( ) =

( ) to aktualna kompensacja ubezpieczyciela

(kompensacja z potrąceniem)

–

( ) =

− ( ) to udział własny ubezpieczonego

(szkoda – kompensacja ub.)

–

( ) − ( ) to retencja

(pierwotna kompensacja – kompensacja z potrąceniem)

•

Odszkodowanie (wypłata):

–

( ) =

( )

lub

–

Y = ( ), gdy funkcja f jest funkcją tożsamościową.

(Szerzej na ten temat: W. Ostasiewicz (red.), Metody aktuarialne, Wyd. AE we Wrocławiu,
Wrocław 2000, s. rozdz. 3.)

Zasada wartości oczekiwanej

– preferencje

•

Różne wyniki decyzji (w warunkach niepewności) można wyrazić liczbowo.

•

Jeżeli znamy prawdopodobieństwa możliwych rezultatów podjętej decyzji, to
decyzję taką można utożsamiać z pewną zmienną losową i wtedy:

–

decyzja

•

to zmienna losowa, przyjmująca z góry określone wartości z pewnymi
prawdopodobieństwami.

•

Do oceny różnych decyzji stosuje się najczęściej

•

zasadę wartości oczekiwanej

(przy wyborze decyzji):

–

jeżeli E(X) > E(Y),

–

to zmienna losowa X jest preferowana przed zmienną losową Y,

Przykład zasady wartości oczekiwanej

•

Przedsiębiorca ma do wyboru 2 kontrakty, z których każdy w określonych
(nieznanych) okolicznościach może przynieść zysk lub stratę.

•

Kontrakt 1

•

Wartość oczekiwana:

= 0,6 ⋅ 80 + 0,1 ⋅ 10 − 0,3 ⋅ 30   =   40

•

Kontrakt 2

•

Wartość oczekiwana:

= 0,5 ⋅ 50 + 0,3 ⋅ 30 − 0,2 ⋅ 10   =   32

80

10

-30

0,6

0,1

0,3

i

x

i

p

50

30

-10

0,5

0,3

0,2

i

y

i

p

Przykład zasady wartości oczekiwanej c.d.

•

Jeżeli przedsiębiorca będzie miał szansę stawać wielokrotnie przed opisanym
wyborem i za każdym razem wybierze kontrakt 1,

•

to suma jego zysków i strat będzie tym bliższa 40, im większa będzie liczba
powtórzeń tego wyboru.

•

Zasada wartości oczekiwanej jest w pełni uzasadniona przy dużej liczbie
powtórzeń.

•

Inaczej jest, gdy sytuacja jest niepowtarzalna (jednorazowa).

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

5

Przykład zasady wartości oczekiwanej c.d.

•

Niech przedsiębiorca, właściciel małej firmy, uzna, że

–

ewentualna strata w wys. 30 jednostek doprowadzi do bankructwa,

–

natomiast strata w wys. 10 jednostek stworzy trudności, ale jest do odrobienia.

•

Decydent

–

nie wybierze kontraktu 1

–

wybierze kontrakt 2, który jest lepszy dla niego i bardziej użyteczny

–

jeżeli jednak strata 10 jedn. jest zbyt groźna, to zrezygnuje z obu kontraktów.

•

Wniosek:

•

Każdy decydent, w danym momencie, przy ustalonych warunkach, charakteryzuje
się indywidualnym, jemu tylko właściwym systemem preferencji.

•

System taki przyjmuje postać funkcji, zwanej funkcją użyteczności.

Kalkulacja składki w teorii użyteczności

•

Funkcja użyteczności (ang. utility function) ( ):

–

odzwierciedla preferencje ubezpieczających się lub preferencje towarzystw
ubezpieczeniowych

–

jest różna dla różnych osób

–

przypisuje wartość ( ) do danej kwoty pieniędzy

•

Równoważność funkcji użyteczności

–

Dwie funkcje użyteczności

( ) i

( ) (w celu porównania) są równoważne

(equivalent), jeżeli jedna z nich jest kombinacją liniową drugiej:

( ) ≡

( ) jeżeli (x)=a ⋅

( )

+

b dla a>0

•

Funkcje użyteczności są zwykle definiowane tylko z dokładnością do liniowej
transformacji, co umożliwia ich unormowanie takie, że:

(0) = 0 i ′(0) = 1

Kalkulacja składki w teorii użyteczności

•

Niech:

•

P – składka netto („sprawiedliwa”)

•

Z – wielkość szkody (zmienna losowa) z tytułu ubezpieczanego ryzyka

•

E(Z) – wartość oczekiwana szkody

•

Zasada zerowej użyteczności

(przy kalkulacji składki):

–

mówi, że składka P dla ryzyka Z powinna być skalkulowana w taki sposób,
aby oczekiwana użyteczność była co najmniej równa zerowej użyteczności:

( − ) = (0) (=0 najczęściej)

–

zasada ta określa minimalną składkę w tym sensie, że ryzyko Z nie powinno
zostać zaakceptowane przy składce poniżej P.

•

Rozważmy dwa szczególne przypadki funkcji użyteczności i wykorzystanie podanej
zasady.

Kalkulacja składki w teorii użyteczności

- liniowa funkcja użyteczności

1. Liniowa funkcja użyteczności ( ) =

–

jeżeli ( ) =

, to

=

składka netto jest równa wartości oczekiwanej szkody (zasada

równoważności)

Dowód: ( − ) =

−

, (0) = 0

( − ) = (0) ⇒

−

= 0 => P −

= 0 ⇒

=

•

Własności liniowej funkcji użyteczności:

–

horyzont czasowy przy ustalaniu składek jest skończony, więc ruina nie jest
nieunikniona,

–

są pośrednie drogi podwyższania składki, np. przez nie wyrażone explicite
odsetki od składek,

–

może być podstawą mniej ryzykownych formuł ustalania składek.

Kalkulacja składki w teorii użyteczności

- wykładnicza funkcja użyteczności

2.

Wykładnicza funkcja użyteczności ( ) = ⋅

−

–

jeżeli ( ) = ⋅ 1 −

,

≠ 0 to = ⋅

Dowód:

⋅ 1 −

(

)

= 0

− ⋅

(

)

= 0

1 =

(

)

1 =

⋅

=

= ln

=

1

⋅ ln

gdzie: a to współczynnik bezpieczeństwa

Zasady kalkulacji składek

- zasada równoważności

1. Zasada równoważności

(ekwiwalentności)

składek i świadczeń

(pure risk premium):

=

Składka netto jest równa wartości oczekiwanej szkody

–

jest to najprostsza zasada kalkulacji składek

–

często stosowana w ubezpieczeniach (życiowych i masowych ubezpieczeniach
gospodarczych)

–

może prowadzić do ruiny w dłuższym horyzoncie czasowym, nawet przy dużych
(zawsze ograniczonych) rezerwach wstępnych.

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

6

Zasady kalkulacji składek

c.d.

- sposoby ulepszenia składki netto

2. Zasada zwiększenia składki o narzut bezpieczeństwa

(security loading built into

the premium):

= ( + ) ⋅

•

Składka netto to wartość oczekiwana szkody powiększona o stały czynnik

•

gdzie: – constans security loading to narzut bezpieczeństwa, który zależy od
stopnia rozproszenia szkody (Z)

•

Zabezpieczenie to jest pożądane, gdyż:

–

przyszłe koszty Z mogą się istotnie różnić od E(Z),

–

Estymator (

uzyskany z analizy przeszłych odszkodowań i pewnych projekcji

na przyszłość może się różnić od prawdziwego, ale nieznanego średniego kosztu
E(Z).

Zasady kalkulacji składki c.d.

- sposoby ulepszenia składki czystego ryzyka

•

W ten sposób powstają dwie nowe zasady, (często wykorzystywane w praktyce):

3. Zasada odchylenia standardowego

( -loading principle):

=

+

⋅ ( ), gdzie: = D(Z) to odchylenie standardowe szkody

Składka netto to wartość oczekiwana szkody powiększona o czynnik
zależny od odchylenia standardowego

4. Zasada wariancji

(

-loading principle):

=

+ ⋅

(

, gdzie:

= Var(Z)=

to wariancja szkody

Składka netto to wartość oczekiwana szkody powiększona o czynnik

zależny od wariancji

•

Kontrowersje związane z addytywnością tych formuł doprowadziły do rozwiązań
kompromisowych:

=

+

⋅ ( ) + ⋅

( )

Składka za ryzyko

•

to dodatek bezpieczeństwa, o który powiększana jest składka netto, np:

–

w zasadzie

zwiększenia składki o narzut bezpieczeństwa

(security loading):

R=

–

w zasadzie

odchylenia standardowego

( -loading principle):

=

⋅ ( ),

gdzie: = D(Z) to odchylenie standardowe szkody

–

w zasadzie

wariancji

(

-loading principle):

=

⋅

(

,

gdzie:

= Var(Z)=

to wariancja szkody

–

w zasadzie

odchylenia standardowego i wariancji

:

R=

⋅ ( ) + ⋅

(

Przykład kalkulacji składki

•

Portfel ubezpieczeń zawiera N jednorodnych polis, których rozkład wartości
indywidualnej szkody jest następujący

•

Wyznaczyć składkę ubezpieczeniową przyjmując narzut bezpieczeństwa 10% ( = 0,1)
oraz = 0,1 , =0,001.

•

= 0,6 ⋅ 0 + 0,1 ⋅ 100 + 0,3 ⋅ 200   =   70

•

= 0,6 ⋅ 0 + 0,1 ⋅ 100 + 0,3 ⋅ 200    = 13 000 

•

=

−

=13 000 - 70 = 8100

•

D

= 90

•

Pure risk premium

=

= 70

•

Security loading

=

+

⋅

= 1 + 0,1 ⋅ 70 = 77

•

-loading principle

=

+

⋅ ( ) = 70 + 0,1 ⋅ 90 = 79

•

-loading principle

=

+

⋅

(

= 70 + 0,001 ⋅ 8100 = 78,1

0

100

200

0,6

0,1

0,3

i

x

i

p

Zasady kalkulacji składki c.d.

5. Zasada maksymalnych możliwych odszkodowań

(maximum possible claims

principle):

=

⋅ ( ) + (1 − ) ⋅

( ) dla

≥ 0

Składka netto to funkcja wartości oczekiwanej szkody oraz maksymalnej
szkody

•

Gdzie:

•

( ) to maksymalna szkoda za dane ryzyko,

–

zakłada się, że

( ) jest skończona

–

jeżeli

( ) nie jest skończona, to = ∞ , co oznacza że ryzyko Z jest

nieubezpieczalne (ang. uninsurable).

Przykład kalkulacji składki bez franszyzy

•

Rozpatrzmy pewien rodzaj ubezpieczenia, w którym mamy N = 1945 ubezpieczonych
obiektów, dla którego charakterystyka przebiegu szkodowości opisuje tablica

•

(Źródło: Diacon S. (red.), 1990, A Gaide to insurance Managment, The Mac Millian Press, s. 180)

•

Przeciętna wysokość szkody ̅ =

•

= 1171,24

•

=

137∗21+373∗95+736∗63+1410∗35+3051∗19+5803∗11+11155∗3

Rozmiary szkód [PLN]

Przeciętna wartość

szkody [PLN]

Przeciętny koszt

obsługi [PLN]

Przeciętny koszt

szkód [PLN]

Liczba szkód

(1)

(2)

(3)

(4)=(2)+(3)

(5)

0-250

137

27

164

21

250-500

373

32

405

95

500-1000

736

59

795

63

1000-2000

1410

67

1477

35

2000-4000

3051

119

3170

19

4000-8000

5803

207

6010

11

pow. 8000

11155

298

11453

3

Razem

1171,24

57,05

1228,29

247

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

7

Przykład kalkulacji składki bez franszyzy

•

Rozpatrzmy pewien rodzaj ubezpieczenia, w którym mamy N = 1945 ubezpieczonych
obiektów, dla którego charakterystyka przebiegu szkodowości opisuje tablica:

•

Przeciętny koszt obsługi ̅ =

•

= 57,05

•

=

27∗21+32∗95+59∗63+67∗35+119∗19+207∗11+298∗3

Rozmiary szkód [PLN]

Przeciętna wartość

szkody [PLN]

Przeciętny koszt

obsługi [PLN]

Przeciętny koszt

szkód [PLN]

Liczba szkód

(1)

(2)

(3)

(4)=(2)+(3)

(5)

0-250

137

27

164

21

250-500

373

32

405

95

500-1000

736

59

795

63

1000-2000

1410

67

1477

35

2000-4000

3051

119

3170

19

4000-8000

5803

207

6010

11

pow. 8000

11155

298

11453

3

Razem

1171,24

57,05

1228,29

247

Przykład kalkulacji składki bez franszyzy

•

Przeciętny koszt szkód μ = 1171,24 + 57,05 =

,

•

Częstotliwość szkód

q =

=0,127

•

Składka czysta

P = μ = 1228,29 ∗ 0,127 =

,

Rozmiary szkód [PLN]

Przeciętna wartość

szkody [PLN]

Przeciętny koszt

obsługi [PLN]

Przeciętny koszt

szkód [PLN]

Liczba szkód

(1)

(2)

(3)

(4)=(2)+(3)

(5)

0-250

137

27

164

21

250-500

373

32

405

95

500-1000

736

59

795

63

1000-2000

1410

67

1477

35

2000-4000

3051

119

3170

19

4000-8000

5803

207

6010

11

pow. 8000

11155

298

11453

3

Razem

1171,24

57,05

1228,29

247

Przykład kalkulacji składki z franszyzą redukcyjną

•

Franszyza redukcyjna

d =

•

Przeciętny koszt szkód z franszyzą μ = 1017,35 + 63,15 =

,

•

Częstotliwość szkód z franszyzą

q =

=0,166

•

Składka czysta z franszyzą

P = μ = 1080,5 ∗ 0,166 =

,

Rozmiary szkód [PLN]

Przeciętna wartość

szkody [PLN]

Przeciętny koszt

obsługi [PLN]

Przeciętny koszt

szkód [PLN]

Liczba szkód

(1)

(2)

(3)

(4)=(2)+(3)

(5)

0-250

137

27

164

21

250-500

373

32

405

95

500-1000

736

59

795

63

1000-2000

1410

67

1477

35

2000-4000

3051

119

3170

19

4000-8000

5803

207

6010

11

pow. 8000

11155

298

11453

3

Razem

1171,24

57,05

1228,29

247

0-250

123

32

155

95

250-750

486

59

545

63

750-1750

1160

67

1227

35

1750-3750

2801

119

2920

19

3750-7750

5553

207

5760

11

pow.7750

10905

298

11203

3

Razem

1017,35

63,15

1080,5

226

Przykład kalkulacji składki bez i z franszyzą redukcyjną

•

N = 1945 liczba ubezpieczonych obiektów

•

Bez franszyzy

–

liczba szkód

n = 247

–

przeciętny koszt szkód μ = 1171,24 + 57,05 =

,

–

częstotliwość szkód

q =

=

=0,127

–

składka czysta

P = μ = 1228,29 ∗ 0,127 =

,

•

Z franszyzą redukcyjną

–

Franszyza redukcyjna

d =

–

liczba szkód

n = 226

–

Przeciętny koszt szkód μ = 1017,35 + 63,15 =

,

–

Częstotliwość szkód

q =

=0,166

–

Składka czysta z franszyzą

P = μ = 1080,5 ∗ 0,166 =

,

Podstawy kalkulacji składek

w ubezpieczeniach typu life

Składka brutto (P)

Jednorazowa

składka netto

(JSN)

Dodatek

bezpieczeństwa

(R - składka za

ryzyko)

Koszty

(K - składka na

pokrycie kosztów)

Składka brutto

•

Składka netto

•

Nie gwarantuje bezpieczeństwa zakładu ubezpieczeń

•

Składka brutto

•

Powinna zagwarantować ochroną ubezpieczeniowa i zysk dla zakładu
ubezpieczeń

•

Uwaga:
•

W razie zajścia zdarzenia określonego w umowie, ZU wypłaca całą sumę
ubezpieczenia, choćby zapłacono tylko jedną składkę

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

8

Zasady kalkulacji składki

w ubezpieczeniach typu life

•

Składka brutto w ubezpieczeniach na życie:

P = JSN + R + K

gdzie:

–

P to jednorazowa składka brutto

–

JSN to jednorazowa składka netto

–

R to składka za ryzyko (dodatek bezpieczeństwa)

–

K to składka na pokrycie kosztów ubezpieczyciela:

–

koszty administracyjne

–

koszty związane z inkasem składki

–

koszty prowizji agenta

Zasady kalkulacji składki

w ubezpieczeniach typu life

•

Biorąc pod uwagę sposób wyznaczania składki za ryzyko R, możemy wyodrębnić
cztery najczęściej spotykane zasady kalkulacji P_1=JSN+R

1. Zasada równoważności

=

–

gdzie: E(S) – zaktualizowana wartość oczekiwana przyszłych świadczeń

2. Zasada zwiększenia składki o stały czynnik

=

+

⋅

3. Zasada odchylenia standardowego

=

+

⋅ ( )

4. Zasada wariancji

=

+

⋅

( )

•

Parametry , , to narzuty bezpieczeństwa

(loading factor, security loading lub safety loading coefficient)

Jednorazowa składka netto

w ubezpieczeniach typu life

•

Jednorazowa składka netto (JSN)

–

wyznaczana wg

zasady równoważności składek i świadczeń

:

WB_składek = WB_świadczeń

•

wartość obecna (bieżących i przyszłych) składek jest równa

•

wartości obecnej (bieżących i przyszłych) świadczeń (Z) zaktualizowanych
(zdyskontowanych) na moment zawierania ubezpieczenia, stąd:

–

JSN=E(Z)

JSN jest równa wartości oczekiwanej przyszłych świadczeń zdyskontowanych na
moment podpisania umowy
–

Jednorazowa składka netto nie odzwierciedla ryzyka związanego z
ubezpieczeniem.

Zasady kalkulacji składki

w ubezpieczeniach typu life

•

Techniczna stopa procentowa „i”:

–

to efektywna roczna stopa procentowa używana jest do dyskontowania
płatności (v=1/(1+i) czynnik dyskontujący)

–

szacowana na podstawie oczekiwanej stopie zwrotu z lokat dokonywanych
przez zakład ubezpieczeń w trakcie ochrony

•

Czynnik dyskontujący „v”:

–

to wartość kapitału początkowego, który w ciągu roku wzrośnie przy stopie
procentowej do wartości końcowej równej 1 j.p.

–

v=1/(1+i)

–

używany do dyskontowania płatności

Jednorazowa składka netto

-założenia

•

Niech:

–

świadczenie jest płatne na końcu roku, w którym nastąpiła śmierć

–

K = K(x) zmienna losowa opisująca liczbę pełnych lat, jakie pozostały do
przeżycia osobie w wieku x

•

Np. K+1 to czas od momentu podpisania polisy do momentu realizacji
świadczenia, czyli końca roku, w którym nastąpiła śmierć

–

b

k+1

to nominalna wartość świadczenia wypłacana na końcu roku K+1

–

v

k+1

to czynnik dyskontujący

•

k+1 to okres pomiędzy wykupieniem ubezpieczenia a wypłatą świadczenia

•

v

k+1

= v

k+1

–

z

k+1

= b

k+1

v

k+1

to wartość bieżąca (aktuarialna) świadczenia w momencie

wykupienia ubezpieczenia wypłacanego na końcu roku śmierci

–

E[Z] = E[z

K+1

] to oczekiwana wartość bieżąca świadczenia

tzw.

Jednorazowa Składka Netto

(JSN)

Jednorazowa składka netto

w ubezpieczeniach na życie

1. Bezterminowe ubezpieczenie na życie (whole life insurance)

•

zapewnia wypłatę świadczenia w wysokości 1 jednostki na końcu roku w którym
nastąpiła śmierć ubezpieczonego

=

 

=

 

=

 

=

=

∑

=

2. Terminowe (n-letnie) ubezpieczenie na życie (n-year term insurance)

–

zapewnia wypłatę świadczenia w wysokości 1 jednostki na końcu roku w którym
nastąpiła śmierć, o ile ubezpieczony umrze w ciągu n-lat od zawarcia ubezpieczenia

v

k+1

= v

k+1

,

: |

=

 

=

1

0

k

x

k

x

x k

k

A

v

p q













1

1

1

:

0

[ ]

n

k

k

x

x k

x n

k

A

E Z

v

p q















k 1

1,

0,1,...,

1

b

0,

,

1,...

k

n

k

n n











 









1

,

0,1,...,

1

0,

,

1,...

K

v

K

n

Z

K

n n











 









You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

9

Jednorazowa składka netto

w ubezpieczeniach: na dożycie oraz na życie i dożycie

3. (n-letnie) ubezpieczenie na dożycie (n-year pure endowment)

•

zapewnia wypłatę świadczenia w wysokości 1 jednostki o ile ubezpieczony dożyje n-lat

, v

k+1

= v

n

: |

   

= [

] =

[ ] =

⋅

=

0,

= 0,1, . . . , − 1

,

= , + 1, . . .

: |

   

=

⋅

=

⋅

=

⋅
⋅

=

4. Terminowe (n-letnie) ubezpieczenie na życie i dożycie (n-year endowment)

–

to złożenie n-letniego ubezpieczenia na życie i n-letniego ubezpieczenia na dożycie

b

k+1

= 1, k = 0, 1, ...

=

=       ,   =  0,  1,  . . . ,   − 1

=

,   =   ,   + 1,  . . .     

: |

=

k 1

0,

1

b

1,

1

k

n

k

n











 

 





1

1

0,1, ...,

1

,

1,...

k

k

n

v

k

n

v

v

k

n n











 







1

1

1

1

n

n

x

:

:

:

0

v

p

n

k

k

x

x k

x n

x n

x n

k

A

A

A

v

p q





















Ubezpieczenie rentowe

-założenia

•

Renta życiowa

–

to ciąg płatności wykonywanych

•

w równych odstępach czasu

(miesięcznych, kwartalnych, półrocznych, rocznych) lub
•

ciągle

osobie ubezpieczonej lub uposażonej, o ile dana osoba dożyje momentu
wypłaty.

•

Renta może być wypłacana

–

czasowo (płatności ograniczone pewnym przedziałem czasowym) lub przez całe
życie

–

na początku okresu (renty płatne z góry) lub na końcu okresu (renty płatne z
dołu).

–

natychmiast lub być odroczona.

Ubezpieczenie rentowe

-założenia

•

Niech:

–

i to efektywna (stała) roczna stopa procentowa (równoważna intensywności
oprocentowania)

–

v

k+1

to czynnik dyskontujący (v

k+1

= v

k+1

)

–

=

to aktuarialna wartość bieżąca płatności w wysokości 1

wypłacanej w momencie k

–

̈ to nominalna wartość bieżąca renty płatnej dożywotnio z góry w wysokości

równej 1 jednotki na początku każdego roku

Ubezpieczenie rentowe

-metody kalkulacji

•

Metody kalkulacji rent:

–

Metoda zagregowanych płatności

•

to suma iloczynów wartości bieżących wszystkich płatności oraz funkcji
prawdopodobieństwa wypłaty świadczeń

–

Metoda bieżącej płatności

•

to suma aktuarialnych wartości bieżących wszystkich płatności (suma
iloczynów płatności i czynników dyskontujących tEx)

Bezterminowa renta życiowa

•

to oczekiwana wartość bieżąca (aktuarialna wartoć bieżąca) świadczeń rentowych
wypłacanych corocznie dożywotnio, tj. do końca życia osoby aktualnie w wieku x w
wysokości 1 jednostki pieniężnej

•

Bezterminowa renta:

–

płatna z góry

–

płatna z dołu

Bezterminowa renta życiowa płatna z góry

•

to oczekiwana wartość bieżąca (aktuarialna wartoć bieżąca) wypłacanych

bezterminowo świadczeń rentowych, tj. do końca życia osoby w wieku x w

wysokości 1 jednostki pieniężnej na początku każdego roku (tzw. płatności z góry)

•

Nieskończona renta finansowa płatna z góry w wysokości 1 j.p.:

̈

= 1 +

+

+

+. . . =

=

1

•

Dożywotnia renta życiowa dla (x) płatna z góry w wysokości 1 j.p.:

•

z metody bieżącej płatności:

̈ =

=

•

z metody zagregowanych wartości :

̈ =

=

̈

|

=

̈

|

Pr

=

=

̈

|

    =

̈

| |

•

za pomocą funkcji komutacyjnych: ̈ =

=

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

10

Bezterminowa renta życiowa płatna z dołu

•

t

o oczekiwana wartość bieżąca (aktuarialna wartoć bieżąca) wypłacanych

bezterminowo świadczeń rentowych, tj. do końca życia osoby w wieku x w
wysokości 1 jednostki pieniężnej na końcu każdego roku (tzw. płatności z dołu)

1.

Nieskończona renta finansowa płatna z dołu w wysokości 1 j.p.:

=

+

+

+. . . =

=

1

•

Dożywotnia renta życiowa dla (x) płatna z dołu w wysokości 1 j.p.:

•

z metody bieżącej płatności:

=

=

=

̈ −

•

z metody zagregowanych wartości:

=

=

|

=

̈

|

 Pr

=

 

   

=

|

 

    =

 

   

|

 

|

 

   

•

za pomocą funkcji komutacyjnych

=

=

Równanie równoważności

–

=

⋅ ̈ +

•

1 jednostka pieniężna zainwestowana dziś zapewni osobie w wieku x lat
wypłatę:

–

(odsetek) w wysokości d wypłacanych z góry na początku każdego roku do
końca życia plus

–

zwrot zainwestowanej jednostki (świadczenie w wysokości 1 j.p.)
wypłaconej na końcu roku śmierci

•

= ⋅

+

+

•

1 jednostka pieniężna zainwestowana dziś zapewni osobie w wieku x lat
wypłatę:

–

(odsetek) w wysokości i wypłacanych z dołu na końcu każdego roku do
końca życia plus

–

zwrot zainwestowanej jednostki (świadczenie w wysokości 1 j.p.) z
odsetkami wypłaconych na końcu roku śmierci

Zależności

•

=

⋅ ̈

Okresowa (czasowa) renta życiowa

•

to oczekiwana wartość bieżąca wypłacanych rocznie do momentu śmierci osobie w
wieku x-lat, ale nie dłużej niż przez n-lat świadczeń rentowych w wysokości
1jednostki pieniężnej

•

Okresowa renta:

–

płatna z góry

–

płatna z dołu

Okresowa renta życiowa płatna z góry

•

to oczekiwana wartość bieżąca (aktuarialna wartość bieżąca) świadczeń rentowych w

wysokości 1 jednostki wypłacanych na początku każdego roku przez n-lat osobie aktualnie w

wieku x, o ile osoba żyje.

•

N-letnia renta finansowa płatna z góry w wysokości 1 j.p.:

̈

: |

= 1 +

+

+. . . +

=

=

1 −

•

N-letnia renta życiowa dla (x) płatna z góry w wysokości 1 j.p.:

•

z metody bieżącej płatności:

̈

: |

=

=

  

   

   

•

z metody zagregowanych wartości :

̈

: |

=

=

1 −

=

1

1 −

=

1

1 −

: |

=

̈

|

 Pr

=

+ ̈

|

⋅ p

n

   

   

=

̈

|

 

_x     + ̈

|

⋅ p

n

   

   

•

za pomocą funkcji komutacyjnych:

̈

: |

=

=

Okresowa renta życiowa płatna z dołu

•

to oczekiwana wartość bieżąca (aktuarialna wartość bieżąca) świadczeń

rentowych w wysokości 1 jednostki wypłacanych na końcu każdego roku

przez n-lat osobie aktualnie w wieku x, o ile osoba żyje.

•

N=letnia renta finansowa płatna z dołu w wysokości 1 j.p.:

: |

=

+

+. . . +

=

=

1 −

•

N-letnia renta życiowa dla (x) płatna z dołu w wysokości 1 j.p.:

•

z metody bieżącej płatności:

: |

=

=

  

 

   

•

z metody zagregowanych wartości :

•

za pomocą funkcji komutacyjnych:

: |

=

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

11

Bezterminowa renta życiowa płatna z dołu

•

t

o oczekiwana wartość bieżąca (aktuarialna wartoć bieżąca) wypłacanych

bezterminowo świadczeń rentowych, tj. do końca życia osoby w wieku x w
wysokości 1 jednostki pieniężnej na końcu każdego roku (tzw. płatności z dołu)

1.

Nieskończona renta finansowa płatna z dołu w wysokości 1 j.p.:

=

+

+

+. . . =

=

1

•

Dożywotnia renta życiowa dla (x) płatna z dołu w wysokości 1 j.p.:

•

z metody bieżącej płatności:

=

 

=

=

̈ −

•

z metody zagregowanych wartości:

=

=

|

=

̈

|

 Pr

=

 

   

=

|

 

      =

 

   

|

 

|

 

   

•

za pomocą funkcji komutacyjnych

=

=

Równanie równoważności

–

=

⋅ ̈ +

•

1 jednostka pieniężna zainwestowana dziś zapewni osobie w wieku x lat
wypłatę:

–

(odsetek) w wysokości d wypłacanych z góry na początku każdego roku do
końca życia plus

–

zwrot zainwestowanej jednostki (świadczenie w wysokości 1 j.p.)
wypłaconej na końcu roku śmierci

•

= ⋅

+

+

•

1 jednostka pieniężna zainwestowana dziś zapewni osobie w wieku x lat
wypłatę:

–

(odsetek) w wysokości i wypłacanych z dołu na końcu każdego roku do
końca życia plus

–

zwrot zainwestowanej jednostki (świadczenie w wysokości 1 j.p.) z
odsetkami wypłaconych na końcu roku śmierci

Zależności

•

=

⋅ ̈

Składki przypisane brutto

•

Obejmują kwoty należne w trakcie okresu sprawozdawczego z tytułu zawartych

umów ubezpieczenia bez względu na to, czy kwoty takie odnoszą się w całości lub

w części do następnych okresów sprawozdawczych.

•

W tej pozycji uwzględniane są między innymi:

–

Składki zarachowane tytułem świadczonej w okresie sprawozdawczym ochrony

ubezpieczeniowej, których faktyczne rozliczenie nastąpi w następnych okresach

sprawozdawczych,

–

Składki jednorazowe łącznie ze składkami na ubezpieczenie rentowe, w zakresie

ubezpieczeń na życie, składki jednorazowe wynikające z rezerw na premie i

rabaty, jeśli wynika to z umów ubezpieczenia,

–

Dodatkowe składki w przypadku płatności półrocznych, kwartalnych lub

miesięcznych oraz dodatkowych płatności ze strony posiadaczy polis na wydatki

poniesione przez zakład ubezpieczeń,

–

W przypadku koasekuracji, część całkowitej składki

Od czego zależy cena ubezpieczenia na życie?

•

przede wszystkim od

wieku

osoby ubezpieczonej,

to wynika tablic trwania życia (TTŻ) opracowywanych przez GUS,
zawierających oszacowania prawdopodobieństwa śmierci wg płci i wieku

–

młodsi płacą mniej

, gdyż chociaż kobiety żyją przeciętnie dłużej od mężczyzn

•

Np. z TTŻ 2008r.:

–

Prawdopodobieństwo śmierci 21-latka

»

kobiety

0,00025

»

mężczyzny

0,00112

–

Przeciętne dalsze trwanie życia 21-latka

»

kobiety

59,63 lat

»

mężczyzny

51,14 lat

od czego zależy cena polisy na życie? c.d.

–

z tablic trwania życia wynika

Mężczyźni

Kobiety

Wiek

prawdopodobieństwo

śmierci

przeciętnie zostało

życia [w latach]

prawdopodobieństwo

śmierci

przeciętnie

zostało życia [w

latach]

25

0,11%

47,08

0,03%

55,49

35

0,22%

37,68

0,06%

45,69

40

0,35%

33,15

0,11%

40,85

50

0,96%

24,81

0,34%

31,55

60

2,00%

17,69

0,78%

22,94

70

3,98%

11,69

1,71%

15

80

8,69%

6,95

5,63%

8,35

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

2015-04-28

12

od czego zależy cena polisy na życie? c.d.

–

od

stanu zdrowia ubezpieczonego

w chwili zawierania umowy

•

ZU nie ma prawa zmienić zasad ubezpieczenia w późniejszym czasie,
nawet gdy u klienta wystąpią jakiekolwiek komplikacje zdrowotne

–

od

okresu ubezpieczenia

(krótszy determinuje niższą składkę)

–

od

technicznej stopy procentowej

, tj. stopy procentowej, którą zakład

ubezpieczeń przyjmuje do kalkulacji taryf ubezpieczeniowych Np. i=3,5%

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)