KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Ćwiczenie 7

METODA PRZEMIESZCZEŃ

Zestawienie momentów wyjściowych – momentów utwierdzenia w belkach, przy różnych
schematach obciążenia

Rys. 7.0.1

C16-2005-cw07

57

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 7.1
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M

Rys. 7.1.1

Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny.

Schemat geometrycznie wyznaczalny z obciążeniem zewnętrznym:

Rys. 7.1.2

Momenty wyjściowe:

2

0

1

0

1

2

0

1

3 4

4 [

]

12

3

16 3 9 [

]

16

3 4

4 [

]

12

C

B

C

M

kNm

M

kNm

M

kN

⋅

= −

= −

=

⋅ ⋅ =

⋅

=

=

m

Momenty przywęzłowe pochodzące od kata obrotu

1

ϕ

= :

Rys. 7.1.3

Sumaryczne momenty przywęzłowe:

1

1

1

1

2

9

4 2

4

A

B

C

C

M

EI

M

EI

M

EI

M

EI

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=
= +
= − +
= +

C16-2005-cw07

58

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Równanie równowagi :

1

1

1

1

0

A

B

C

M

M

M

M

Σ

=

+

+

=

Stąd:

1

5 5

0

EI

EI

ϕ

ϕ

+

=

⇒

= −

Wartości momentów przywęzłowych:

1

1

1

1

1

2

2 [

]

1

9

8 [

1

4 2

6 [

]

1

4

3[

A

B

C

C

M

EI

kNm

EI

M

EI

kNm

EI

]

]

M

EI

kNm

EI

M

EI

kNm

EI

= −

⋅

= −

⎛

⎞

= +

−

=

⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

= − +

−

= −

⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

= +

−

=

⎜

⎟

⎝

⎠

Rozwiązanie:

Rys. 7.1.4

Wartości sił normalnych przywęzłowych:

1

1

1

0

6,75 0,667

6,0833[

]

10,667 [

]

A

B

C

N

N

k

N

kN

=
= −

+

= −

= −

N

Rys. 7.1.5

C16-2005-cw07

59

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 7.2
Sporządzić wykresy M

Rys. 7.2.1

Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny:

1

2

2( , )

g

n

ϕ ϕ

=

Schemat geometrycznie wyznaczalny z obciążeniem zewnętrznym:

Rys. 7.2.2

Momenty wyjściowe:

0

0

1

1

2

0

0

12

21

0

13

8 4

4 [

]

4 [

]

8

3 4

4 [

]

4 [

]

12

2 [

]

A

A

M

kNm

M

kNm

M

kNm

M

M

kNm

⋅

=

=

= −

⋅

= −

= −

=

=

kNm

Momenty zginające wywołane jednostkowymi katami obrotu:

1

2

i

ϕ

ϕ

Rys. 7.2.3

C16-2005-cw07

60

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Sumaryczne momenty przywęzłowe:

1

1

12

1

2

13

21

1

2

2

2

2

2

1

1

2

2

4

4 2

2

4

2

4

1

4

2

2

A

B

C

A

C

M

EI

M

EI

EI

M

M

EI

EI

M

EI

M

EI

M

EI

M

EI

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

= +

= − +

+

=

= +

+

=
=

= − +

=

Równania równowagi :

1

1

12

13

1

2

1

2

2

21

2

2

1

2

1

2

0

2 3

2

3

(

0

4

7

4

7

(

A

B

C

M

M

M

M

EI

EI

EI

M

M

M

M

EI

EI

0

1)

0

2)

EI

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Σ

=

+

+

=

⇒

+

+

=

+

= −

Σ

=

+

+

=

⇒

+

+

=

+

= −

Z (1), (2):

1

2

1

2EI

ϕ ϕ

⇒

=

= −

Wartości momentów przywęzłowych:

1

12

13

21

2

2

1

2

4 0,5 3,5 [

]

4 1 0,5

5,5 [

]

2 [

]

4 0,5 1 2,5 [

]

0,5 [

]

2 [

]

4 0, 25

4, 25 [

]

1[

]

A

B

C

A

C

M

kNm

M

kNm

M

kNm

M

k

M

kNm

M

kNm

Nm

M

kNm

M

kNm

= +

=

= − − −

= −

=

= −

− =

= −
= −

= − −

= −

= −

Rozwiązanie:

Rys. 7.2.4

C16-2005-cw07

61

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 7.3
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M

Rys. 7.3.1

Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny.

1( )

g

n

ϕ

=

Układ geometrycznie wyznaczalny:

Rys. 7.3.2

Momenty wyjściowe:

5

0

1

0

1

10

40

2,5

5000

10 [

]

0, 2

10 [

]

t

A

A

t

M

EI

kNm

h

M

kNm

α

−

∆

⋅

= −

= −

⋅

= −

=

Momenty przywęzłowe wywołane kątem obrotu

1

ϕ

= :

Rys. 7.3.3

C16-2005-cw07

62

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Sumaryczne momenty przywęzłowe:

1

1

1

1

1

10 2

2

10

0,5

A

B

C

A

B

M

EI

M

EI

M

EI

M

EI

M

EI

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

+

=
=
= − +
=

Równanie równowagi :

1

1

1

1

0

A

B

C

M

M

M

M

Σ

=

+

+

=

Stąd:

2

10 5

0

EI

EI

ϕ

ϕ

+

=

⇒

= −

Wartości momentów przywęzłowych:

1

1

1

1

1

10 4 6 [

]

2 [

]

4 [

]

10 2

12 [

]

1[

]

A

B

C

A

B

M

kN

M

kNm

M

kNm

m

M

kNm

M

kNm

=

− =

= −
= −
= − − = −
= −

Rozwiązanie:

Rys. 7.3.4

Wartości sił normalnych przywęzłowych:

1

1

1

1

1

0

0,75 0,72 0,8

0

0,038 [

]

0

0,6

0,96 1,333

0

0,396 [

]

X

A

A

Y

A

B

B

P

N

N

kN

P

N

N

N

k

Σ

=

⇒

−

+

=

⇒

= −

Σ =

⇒

+

−

−

=

⇒

= −

N

C16-2005-cw07

63