1
Lista Nr 1
CIĄGI LICZBOWE
Zad.1. Wyznaczyć następujące wyrazy ciągów liczbowych:
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
100
21
14
7
5
3
,
,
,
,
,
,
,
+
, jeżeli
a)
5
=
n
a
b)
( )
−
+
−
=
+
3
1
2
1
n
n
E
n
a
c)
( )
n
n
a
n
1
−
=
d)
2
sin
π
n
a
n
=
e)
2
cos
1
1
π
n
n
n
a
n
+
+
=
f)
( )
3
2
1
2
+
−
=
+
n
a
n
n
g)
n
n
n
a
1
2
+
=
h)
( )
!
2
1
n
a
n
=
Uwaga: W przykładzie b)
)
(x
E
oznacza funkcję entier (część całkowita liczby).
Zad.2. Zbadać monotoniczność następujących ciągów o wyrazach ogólnych:
a)
n
n
n
n
a
n
1
...
3
2
1
2
−
−
+
+
+
+
=
b)
3
2
+
=
n
b
n
c)
(
)
(
)
!
!
1
!
!
1
n
n
n
n
c
n
−
+
+
+
=
d)
2
2
2
5
2
n
n
d
n
−
+
=
e)
3
7 −
=
n
n
a
f)
(
)
2
log
4
+
=
n
f
n
g)
!
7
n
a
n
n
=
h)
2
3
1
4
2
2
+
+
=
n
n
b
n
i)
5
2
3
+
+
=
n
n
b
n
Zad.3. Czy podane poniżej ciągi są ograniczone? Z jakim rodzajem ograniczoności mamy do czynienia?
a)
n
a
n
4
1
1 −
=
b)
n
n
n
a
+
=
1
1
c)
2
sin
π
n
a
n
=
d)
2
2
n
a
n
−
=
e)
( )
1
1
+
−
=
n
n
a
f)
4
+
=
n
a
n
Zad.4*. Korzystając z odpowiednich definicji granic ciągu, wykazać, że:
a)
2
1
3
4
1
2
lim
=
+
+
∞
→
n
n
n
b)
( )
2
3
1
2
lim
=
−
+
∞
→
n
n
n
c)
(
)
−∞
=
−
∞
→
n
n
10
lim
Zad.5. Obliczyć granice ciągów:
a)
n
n
n
n
4
5
3
6
5
lim
2
+
+
+
∞
→
b)
n
n
n
n
n
n
4
3
1
3
6
4
lim
5
5
2
+
−
+
+
∞
→
c)
2
3
7
1
3
lim
7
2
−
+
+
−
∞
→
n
n
n
n
n
d)
2
7
2
4
lim
n
n
n
n
−
+
∞
→
e)
2
1
1
2
2
1
1
lim
n
n
n
n
−
−
+
−
∞
→
f)
(
)
n
n
n
4
5
3
lim
2
+
−
∞
→
g)
+
−
+
+
∞
→
n
n
n
n
n
2
3
4
lim
2
2
h)
−
−
∞
→
1
lim
2
n
n
n
n
i)
+
−
−
∞
→
1
2
2
lim
2
n
n
n
n
j)
−
−
+
∞
→
n
n
n
n
n
lim
k)
3
8
7
5
2
lim
n
n
n
−
+
∞
→
l)
3
1
1
lim
2
2
+
−
+
+
∞
→
n
n
n
n
m)
+
−
−
+
+
∞
→
3
2
3
3
2
3
1
1
lim
n
n
n
n
n
n)
n
n
n
n
n
+
+
+
∞
→
3
1
1
9
11
lim
o)
(
)
n
n
n
n
3
5
9
lim
−
−
∞
→
p)
−
+
−
∞
→
3
2
3
3
3
5
2
2
lim
n
n
n
n
r)
n
n
n
n
n
5
4
4
3
3
2
lim
1
⋅
+
⋅
+
⋅
+
∞
→
s)
n
n
n
n
n
3
3
2
3
2
lim
1
3
⋅
+
+
+
+
∞
→
t)
n
n
n
n
n
12
3
2
lim
5
9
+
+
−
∞
→
u)
n
n
n
n
n
+
+
∞
→
2
1
3
2
5
1
lim
w)
n
n
n
n
n
3
2
4
3
13
2
5
lim
2
1
+
+
⋅
+
⋅
+
∞
→
x)
(
)
(
)
1
log
1
log
lim
3
2
+
+
∞
→
n
n
n
y)
−
−
∞
→
n
n
n
10001
10000
10
10
lim
z)
n
n
n
n
n
e
π
+
+
∞
→
3
lim
2
Zad.6. Obliczyć granice ciągów o wyrazach ogólnych:
a)
n
n
n
n
n
n
a
4
3
5
2
+
+
=
b)
7
4
5
sin
2
+
+
=
n
n
n
b
n
c)
!
cos
1
...
3
2
1
3
n
n
n
c
n
+
+
+
+
+
=
d)
3
2
2
2
2
...
3
2
1
n
n
c
n
+
+
+
+
=
e)
n
n
n
e
a
ln
4
log
3
27
=
f)
3
16
4
cos
2
1
4
+
−
=
n
n
n
b
n
g)
(
)
(
)
n
n
n
d
n
ln
1
ln
−
+
=
h)
n
n
c
n
1
3
1
ln
+
=
i)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
a
n
+
+
+
−
=
3
7
4
3
2
sin
2
5
2
2
j)
+
+
=
3
1
2
1
1
1
3
2
n
n
n
n
n
n
e
n
k)
(
) (
)
(
)
[
]
4
ln
3
ln
3
2
+
−
+
+
=
n
n
n
w
n
l)
1
4
2
4
+
−
+
=
n
n
n
n
c
m)
n
n
n
a
a
a
c
4
1
...
16
1
4
1
1
...
1
2
+
+
+
+
+
+
+
+
=
n)
∑
=
+
=
n
k
n
k
n
b
1
3
6
1
o)
−
+
=
n
n
n
n
d
n
3
3
p)*
n
n
n
a
2
10
=
r)*
!
2
n
a
n
n
=
s)*
( )
n
n
n
n
p
2
!
2
=
t)
n
n
h
n
+
+
+
+
−
+
+
+
+
=
...
3
2
1
)
1
4
(
...
9
5
1
u)
(
)
1
2
1
2
...
5
4
3
2
1
2
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
n
n
n
b
n
w)
(
)
)
3
(
1
)
5
(
cos
2
2
3
+
+
+
+
=
n
n
n
n
a
n
Uwaga: W przykładzie d) wykorzystać równość:
(
)(
)
6
1
2
1
...
3
2
1
2
2
2
2
+
+
=
+
+
+
+
n
n
n
n
,
Zad.7. Obliczyć granice ciągów wykorzystując liczbę e
a)
3
2
5
lim
+
∞
→
+
n
n
n
n
b)
5
4
2
1
1
lim
+
∞
→
−
n
n
n
c)
7
3
5
2
lim
+
∞
→
+
−
n
n
n
n
d)
1
9
8
5
3
5
lim
−
∞
→
+
+
n
n
n
n
e)
11
2
5
1
lim
+
−
∞
→
+
n
n
n
f)
1
3
2
2
2
2
3
lim
+
∞
→
+
+
+
n
n
n
n
n
n
g)
+
=
2
2
2
1
n
n
n
n
a
h)
3
4
7
5
lim
+
∞
→
−
+
n
n
n
n
i)
∞
→
+
+
−
+
2
2
2
3
5
4
4
6
4
lim
n
n
n
n
n
n
j)
3
6
7
8
5
8
lim
−
∞
→
−
+
n
n
n
n
k)
n
n
n
n
−
∞
→
+
1
5
2
lim
l)
2
3
2
2
2
2
9
lim
+
∞
→
+
+
n
n
n
n
m)
n
n
n
n
n
n
n
3
3
2
2
2
5
10
4
6
lim
+
∞
→
+
+
−
+
n)
3
2
2
2
5
4
2
lim
+
∞
→
+
+
+
n
n
n
n
n
n
o)
n
n
n
n
7
3
5
4
2
7
lim
−
∞
→
+
+
p)
n
n
n
n
2
5
1
4
lim
−
∞
→
−
+
r)
n
n
n
n
n
−
∞
→
+
+
+
+
+
+
2
2
...
3
2
1
2
2
lim
s)
(
)
n
n
n
n
n
+
∞
→
−
1
3
3
3
2
lim
t)
(
)
(
)
+
+
+
−
∞
→
10
1
ln
7
ln
12
lim
n
n
n
n
Zad.8. Dane są ciągi
( ) ( )
n
n
b
a
i
, gdzie
n
b
n
n
a
n
n
2
...
4
2
,
1
2
+
+
+
=
+
+
=
. Obliczyć
n
n
n
b
a
2
lim
∞
→
Zad.9. Niech
n
n
n
n
n
n
n
n
n
g
n
n
n
n
n
g
g
2
3
9
8
7
6
3
2
2
1
1
2
3
1
lim
,
10
5
3
1
2
lim
,
5
4
3
2
lim
+
+
=
+
+
+
+
+
−
+
=
+
+
=
∞
→
∞
→
∞
→
.
Czy prawdą jest, że:
a)
2
1
g
g =
i
0
3
≠
g
b)
+∞
=
2
g
c)
e
g <
3
Zad.10. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
(
)
n
n
a
an
b
n
+
−
−
=
2
2
1
1
. Wyznaczyć wartość parametru a tak, aby
2
lim
=
∞
→
n
n
b
.
Czy dla znalezionej wartości parametru a dany ciąg jest rosnący?