Ciagi liczbowe zadania

background image

1

Lista Nr 1

CIĄGI LICZBOWE

Zad.1. Wyznaczyć następujące wyrazy ciągów liczbowych:

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

2

1

100

21

14

7

5

3

,

,

,

,

,

,

,

+

, jeżeli

a)

5

=

n

a

b)

( )

+

=

+

3

1

2

1

n

n

E

n

a

c)

( )

n

n

a

n

1

=

d)

2

sin

π

n

a

n

=

e)

2

cos

1

1

π

n

n

n

a

n

+

+

=

f)

( )

3

2

1

2

+

=

+

n

a

n

n

g)

n

n

n

a

1

2

+

=

h)

( )

!

2

1

n

a

n

=

Uwaga: W przykładzie b)

)

(x

E

oznacza funkcję entier (część całkowita liczby).

Zad.2. Zbadać monotoniczność następujących ciągów o wyrazach ogólnych:

a)

n

n

n

n

a

n

1

...

3

2

1

2

+

+

+

+

=

b)

3

2

+

=

n

b

n

c)

(

)

(

)

!

!

1

!

!

1

n

n

n

n

c

n

+

+

+

=

d)

2

2

2

5

2

n

n

d

n

+

=

e)

3

7 −

=

n

n

a

f)

(

)

2

log

4

+

=

n

f

n

g)

!

7

n

a

n

n

=

h)

2

3

1

4

2

2

+

+

=

n

n

b

n

i)

5

2

3

+

+

=

n

n

b

n

Zad.3. Czy podane poniżej ciągi są ograniczone? Z jakim rodzajem ograniczoności mamy do czynienia?

a)

n

a

n

4

1

1 −

=

b)

n

n

n

a

+

=

1

1

c)

2

sin

π

n

a

n

=

d)

2

2

n

a

n

=

e)

( )

1

1

+

=

n

n

a

f)

4

+

=

n

a

n

Zad.4*. Korzystając z odpowiednich definicji granic ciągu, wykazać, że:

a)

2

1

3

4

1

2

lim

=

+

+

n

n

n

b)

( )

2

3

1

2

lim

=



+

n

n

n

c)

(

)

−∞

=

n

n

10

lim

Zad.5. Obliczyć granice ciągów:

a)

n

n

n

n

4

5

3

6

5

lim

2

+

+

+

b)

n

n

n

n

n

n

4

3

1

3

6

4

lim

5

5

2

+

+

+

c)

2

3

7

1

3

lim

7

2

+

+

n

n

n

n

n

d)

2

7

2

4

lim

n

n

n

n

+





e)

2

1

1

2

2

1

1

lim

n

n

n

n

+

f)

(

)

n

n

n

4

5

3

lim

2

+

g)

+

+

+

n

n

n

n

n

2

3

4

lim

2

2

h)

1

lim

2

n

n

n

n

i)

+

1

2

2

lim

2

n

n

n

n

j)

+

n

n

n

n

n

lim

k)

3

8

7

5

2

lim

n

n

n

+

l)

3

1

1

lim

2

2

+

+

+

n

n

n

n

m)

+

+

+

3

2

3

3

2

3

1

1

lim

n

n

n

n

n

n)

n

n

n

n

n

+

+

+

3

1

1

9

11

lim

o)

(

)

n

n

n

n

3

5

9

lim

p)

+

3

2

3

3

3

5

2

2

lim

n

n

n

n

r)

n

n

n

n

n

5

4

4

3

3

2

lim

1

+

+

+

s)

n

n

n

n

n

3

3

2

3

2

lim

1

3

+

+

+

+

t)

n

n

n

n

n

12

3

2

lim

5

9

+

+

u)

n

n

n

n

n

+

+

2

1

3

2

5

1

lim

w)

n

n

n

n

n

3

2

4

3

13

2

5

lim

2

1

+

+

+

+

x)

(

)

(

)

1

log

1

log

lim

3

2

+

+

n

n

n

y)

n

n

n

10001

10000

10

10

lim

z)

n

n

n

n

n

e

π

+

+

3

lim

background image

2

Zad.6. Obliczyć granice ciągów o wyrazach ogólnych:

a)

n

n

n

n

n

n

a

4

3

5

2

+

+

=

b)

7

4

5

sin

2

+

+

=

n

n

n

b

n

c)

!

cos

1

...

3

2

1

3

n

n

n

c

n

+

+

+

+

+

=

d)

3

2

2

2

2

...

3

2

1

n

n

c

n

+

+

+

+

=

e)

n

n

n

e

a

ln

4

log

3

27

=

f)

3

16

4

cos

2

1

4

+

=

n

n

n

b

n

g)

(

)

(

)

n

n

n

d

n

ln

1

ln

+

=

h)

n

n

c

n

1

3

1

ln

+

=

i)

(

)

(

)

(

)

n

n

n

n

n

a

n

+

+

+

=

3

7

4

3

2

sin

2

5

2

2

j)





+





+





=

3

1

2

1

1

1

3

2

n

n

n

n

n

n

e

n

k)

(

) (

)

(

)

[

]

4

ln

3

ln

3

2

+

+

+

=

n

n

n

w

n

l)

1

4

2

4

+

+

=

n

n

n

n

c

m)

n

n

n

a

a

a

c

4

1

...

16

1

4

1

1

...

1

2

+

+

+

+

+

+

+

+

=

n)

=

+

=

n

k

n

k

n

b

1

3

6

1

o)

+

=

n

n

n

n

d

n

3

3

p)*

n

n

n

a

2

10

=

r)*

!

2

n

a

n

n

=

s)*

( )

n

n

n

n

p

2

!

2

=

t)

n

n

h

n

+

+

+

+

+

+

+

+

=

...

3

2

1

)

1

4

(

...

9

5

1

u)

(

)

1

2

1

2

...

5

4

3

2

1

2

+

+

+

+

=

n

n

n

b

n

w)

(

)

)

3

(

1

)

5

(

cos

2

2

3

+

+

+

+

=

n

n

n

n

a

n

Uwaga: W przykładzie d) wykorzystać równość:

(

)(

)

6

1

2

1

...

3

2

1

2

2

2

2

+

+

=

+

+

+

+

n

n

n

n

,

Zad.7. Obliczyć granice ciągów wykorzystując liczbę e

a)

3

2

5

lim

+

 +

n

n

n

n

b)

5

4

2

1

1

lim

+

n

n

n

c)

7

3

5

2

lim

+

+

n

n

n

n

d)

1

9

8

5

3

5

lim

+

+

n

n

n

n

e)

11

2

5

1

lim

+

+

n

n

n

f)

1

3

2

2

2

2

3

lim

+



+

+

+

n

n

n

n

n

n

g)



+

=

2

2

2

1

n

n

n

n

a

h)

3

4

7

5

lim

+

+

n

n

n

n

i)



+

+

+

2

2

2

3

5

4

4

6

4

lim

n

n

n

n

n

n

j)

3

6

7

8

5

8

lim

+

n

n

n

n

k)

n

n

n

n

+

1

5

2

lim

l)

2

3

2

2

2

2

9

lim

+



+

+

n

n

n

n

m)

n

n

n

n

n

n

n

3

3

2

2

2

5

10

4

6

lim

+



+

+

+

n)

3

2

2

2

5

4

2

lim

+



+

+

+

n

n

n

n

n

n

o)

n

n

n

n

7

3

5

4

2

7

lim

+

+

p)

n

n

n

n

2

5

1

4

lim

+

r)

n

n

n

n

n

+

+

+

+

+

+

2

2

...

3

2

1

2

2

lim

s)

(

)

n

n

n

n

n

+









1

3

3

3

2

lim

t)

(

)

(

)

+

+

+

10

1

ln

7

ln

12

lim

n

n

n

n

Zad.8. Dane są ciągi

( ) ( )

n

n

b

a

i

, gdzie

n

b

n

n

a

n

n

2

...

4

2

,

1

2

+

+

+

=





+

+

=

. Obliczyć

n

n

n

b

a

2

lim

Zad.9. Niech

n

n

n

n

n

n

n

n

n

g

n

n

n

n

n

g

g

2

3

9

8

7

6

3

2

2

1

1

2

3

1

lim

,

10

5

3

1

2

lim

,

5

4

3

2

lim

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

=

.

Czy prawdą jest, że:

a)

2

1

g

g =

i

0

3

g

b)

+∞

=

2

g

c)

e

g <

3

Zad.10. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym

(

)

n

n

a

an

b

n

+

=

2

2

1

1

. Wyznaczyć wartość parametru a tak, aby

2

lim

=

n

n

b

.

Czy dla znalezionej wartości parametru a dany ciąg jest rosnący?


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Ciągi liczbowe zadania
Ciagi liczbowe zadania domowe
Ciagi liczbowe zadania domowe
Ciągi liczbowe - zadania powtórzeniowe, edukacja, GIMNAZJUM, matematyka
Zadania Ciągi liczbowe Politechnika Poznańska PP, Automatyka i Robotyka, Analiza matematyczna
Zadania Ciągi liczbowe Politechnika Poznańska PP, Automatyka i Robotyka, Analiza matematyczna
ciagi liczbowe, wyklad id 11661 Nieznany
10 Ciagi liczbowe odp
4 ciągi liczbowe
06 Ciągi liczbowe
Ciagi liczbowe R1
odp ciągi liczbowe
1 Ciągi liczbowe
10 Ciagi liczbowe
Ciągi liczbowe Materiały do druku, Ciąg arytmetyczny, geometryczny, Suma ciągu, różnica, iloraz Le
Zestawy zadań matma, Ciagi liczbowe, dr Anna Barbaszewska-Wiśniowska

więcej podobnych podstron